Vectores

Vector, vectorial. Sistema de referencia: coordenadas y componentes. Puntos. Distancia. Unitarios. Rotación. Proyección. Plano. Origen

  • Enviado por: Cacho
  • Idioma: castellano
  • País: Ecuador Ecuador
  • 8 páginas

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INTRODUCCIÓN:

Hasta ahora en clase, hemos analizado a todo lo relevante con vectores proyectados en un plano, pero los vectores no solo son eso, es más los vectores pueden ser también expresados en el espacio y es así que consultamos lo siguiente.

OBJETIVOS:

Los objetivos principales de este trabajo son aprender cuales son las formas de expresar un vector en el espacio, así cuando ya las conozcamos aprender acerca de las características de los vectores en el espacio.

Tanto así que también existen objetivos secundarios los cuales pueden ser que a la larga aprendemos las aplicaciones de los vectores en tres dimensiones para nuestra vida diaria.

VECTORES EN EL ESPACIO

En el espacio de tres dimensiones en el que vivimos, podemos construir un sistema de coordenadas rectangulares utilizando tres ejes mutuamente ortogonales. El punto en el que estos ejes se cortan se llama Origen.

El Sistema de coordenadas rectangulares utilizado en vectores espaciales es el siguiente:

Vectores

Las coordenadas de este sistema son (0,0,0)

En este sistema de coordenadas, a un punto en el espacio se le asocia con una tercia de números (a,b,c), y a los números a, b, c se les denomina " las coordenadas cartesianas " del punto P.

En este sistema, las coordenadas rectangulares son (1,2,3)

Este punto se localiza en la intersección de los planos x = a, y = b, z = c.

Las coordenadas de este sistema so (3,2,1)

Octantes

Cada par de ejes coordenados determina un plano coordenado. El eje x y el eje y determinan el plano xy, el eje x y el eje z determinan el plano xz, y el eje z y el eje y determinan el plano yz.

Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes. El octante en el que las tres coordenadas de un punto son positivas se denomina primer octante. No hay un acuerdo para denominar a los otros siete octantes.

Distancia entre dos puntos:

La fórmula para la distancia entre dos puntos en el espacio es una simple extensión de la fórmula para la distancia en el plano.

d(p1 , p2) = [(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2 + (z1 - z2)2 ]1/2

Ejemplo:

P1=(1,2,3)

P2=(3,3,3)

Distancia ente puntos =2(3) ½

Adición y sustracción

La suma de vectores se define mediante la ley del paralelogramo, En general, un vector A en el espacio tridimensional es cualquier tríada de números reales,

A= <a1, a2, a3>

en donde los números a1, a2, a3 se llaman componentes del vector . Ejemplo:

A=(4,2,3)

En términos de componentes, la suma de vectores se define como sigue:

Sean A= <x1, y1, z1> y B= <x2, y2, z2>, la suma de A y B se define como:

A+B = <x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2>

Ejemplo:

A= { 3, 2, 3} B= {2, 2, 0}

C= A+ B= {5, 4, 3}

La magnitud de un vector en términos de sus componentes.


Por el teorema de Pitágoras, tendríamos que:

Sea A= <a1, a2,a3>,entonces A = ( a12 + a22 + a32 )1/2


Ahora definiremos otra operación, la multiplicación de un vector por un escalar.

Sea A= <a1, a2, a3> y k un escalar, entonces definimos la multiplicación por un escalar como sigue:

kA = <k a1, k a2, k a3>


Ejemplo:

A= {4, 3, 2} kA = 1 / 4

C= k A= {1, 3 / 4, 1 / 2}

Obsérvese que kA es un vector con la misma dirección que si k > 0 y con dirección contraria si kA < 0.
La magnitud de k es |k|A || .

En virtud de lo anterior, el negativo de A es

-A = (-1) A

La sustracción o resta de vectores.

Se define la resta de vectores como: A - B= A+ (- B)

Las propiedades de la resta de vectores espaciales son las siguientes:

Los vectores unitarios i, j y k.

Cualquier vector dá origen a un vector con la misma dirección pero de magnitud 1.

Por las definiciones dadas anteriormente, cualquier vector

A= <a1, a2, a3>

se puede escribir en la forma

A= a1<1, 0, 0> + a2<0, 1, 0> + a3<0, 0, 1>

Definición:
Definimos los vectores unitarios

i = <1,0,0>

j = <0,1,0>

k = <0,0,1>

Entonces, por lo anterior, cualquier vector se puede expresar en la forma

A = a1i + a2j + a3k


A los vectores a1i, a2, a3j se les llama vectores componentes.

Rotación de Véctores

Si quiere rotar un véctor [x, y, z] sobre el x-ejes, simplemente hay que multiplicarlo por el matriz:

| 1 0 0 |

| 0 cos(t) sin(t) |

| 0 -sin(t) cos(t) |

El resultado en este caso es el véctor:

[x, y*cos(t)-z*sin(t), y*sin(t)+z*cos(t)].

Sobre el y-ejes, multiplicarlo por:

| cos(t) 0 -sin(t) |

| 0 1 0 |

| sin(t) 0 cos(t) |

Y el z-ejes:

| cos(t) sin(t) 0 |

| -sin(t) cos(t) 0 |.

| 0 0 1 |

Hay que notar que hay un patrón y que hay un cambio de signos

en el caso del y-ejes. El "t" representa el ángulo de rotación.

Estas fórmulas son para rotar en sentido contrario a las agujas del reloj.

Se puede construir cualquier rotación de cualquier ejes en tres dimenciones con una combinación de los matrices arriba.

CONCLUSIONES:

Creemos que dado el hecho que hemos analizado la mayor parte de vectores espaciales, hemos completado aún más nuestros conocimientos sobre vectores, dado a que ahora no solo podemos realizar ejercicios acerca de vectors en un plano, sino que ya podemos realizar otro tipo de ejrcicios como lo son los vectores en el espacio.

BIBLIOGRAFÍA:

El trabajo realizado fue obtenido de:

  • http:\\www.cdj.itesm.mx

  • http:\\www.vector3.es

  • http:\\www.sisweb.com

  • htttp:\\euler.ciens.ucv.es

  • http:\\www.forum.swarthmore.edu

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