Último Teorema de Fermat

Matemáticas. Variables. Características base. Ecuación base

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Ultimo Teorema de Fermat Páginas

Las variables y características base…………………………………………. 1 - 2

Ecuaciones base…………………………………………………………….. 3 - 5

Posibilidades de que “a” “g” y “Z” tengan factores comunes………… 6

n n n

Unica posibilidad de que a + g = C ………………………… 7

Relación de “Z” , con “a” y “g”…………………………………………. 7

Divisores de las ecuaciones.-Factores de “Z”……………………………….. 8

Imposibilidad de , P = (a + g) , sea múltiplo de “n”………………………. 8

Relación entre “P” , “C” , con “n”………………………………………… 9

n n

Imposibilidad de , L + K + 2 Z = P ……………………………… 10 - 11

xn-1 n

Imposibilidad de , n + L + 2 Z = P ……………………….. 12 - 15

xn-1 n n

Imposibilidad de , n K + L + 2 Z = P ................................ 16

El presente estudio intenta demostrar el denominado “ Ultimo

Teorema de Fermat “.

Las bases en que fundamenta , son las siguientes :

n n n

1º.- Su punto de partida.- a + g = C ; a + g = P ; P - C = Z

en el que “a” “g” “ C ” , son primos entre sí , “a” “g” “P” , también , y por

otra parte , “n” es un número primo.

2º.- Planteamiento de 5 ecuaciones.-La conexión entre las 3 primeras, es el principal

fundamento del estudio .La existencia de una desigualdad o no validez de alguna

de ellas , supondrá la demostración del “Teorema” .

3º.- Para la validez de las 5 ecuaciones, es preciso que, tanto “a” como “g” ,tengan

factores comunes con “Z”.

4º.- Imposibilidad de que “a” , “g” tengan factores comunes con “Z” .

------------------------------------------------------

1

n n n

Imposibilidad de que se cumpla la relación a + g = C

En relación con los valores arriba citados , a,g,n,C se pueden dar los

siguientes casos :

1º.- Que “n” sea número compuesto.

2º- Que “n” sea número primo.

3º.- Que a, g, C ,tengan divisores comunes.

4º.- Que a, g, C , sean primos entre sí .

n n n

Supongamos que existiese una relación a + g = C , en la que

“n” fueses un número compuesto. La igualdad no variaría dividiendo el exponente “n”

hasta convertirlo en número primo, y al mismo tiempo elevando los valores de a,g,C .

Si “n” fuese una potencia de “2” ,reduciríamos los exponentes “n” de

“a” y de “g” , a la cuarta potencia y el exponente “n” de “C” le reduciríamos a

a “dos”. Pierre de Fermat demostró la imposibilidad de descomponer un cuadrado en

dos cuartas potencias.

De la misma manera , en el caso nº 3 , que a , g , C tengan divisores comu-

nes , les dividiríamos por dichos divisores, hasta que a , g , C , fuesen primos entre sí.

Es decir, que nuestro estudio parte de la posibilidad de que exista :

n n n

a + g = C

en la cual los valores a, g , C , son primos entre sí, el exponente “n”, es un número pri-

mo.

A la suma de las bases “a” “g” la llamaremos “P” . Naturalmente , el va-

lor de “C” ha de ser inferior a “P” .- A la diferencia entre “P” y “C” la llamaremos Z.

a + g = P P - C = Z

Como quiera que a , g , C son primos entre sí , igualmente a , g , P lo

tendrán que ser. 2

En base a lo expuesto ,plantearemos unas Ecuaciones , cuya validez es necesaria para demostrar la posibilidad de que :

n n n

a + g = C

De la misma manera consideramos que la existencia de una desigualdad en cualquiera de las Ecuaciones , es suficiente para demostrar la imposibilidad a que

hace referencia el “Ultimo Teorema de Fermat”.

-----------------------------------------

Ecuación nº 1

a + g = P P - g = a lo elevamos a la potencia “n”.

n n-1 n-2 2 2 n-2 n-1 n n n

P - n P g + ( ) P g - + .. + - ( ) P g + n P g = a + g = C

Ecuación nº 2

a + g = P P - a = g lo elevamos a la potencia “n”

n n-1 n-2 2 2 n-2 n-1 n n n

P - n P a + ( ) P a - +..+ - ( ) P a + n P a = a + g = C

Ecuación nº 3

C + Z = P P - Z = C lo elevamos a la potencia “n”:

n n-1 n-2 2 2 n-2 n-1 n n

P - n P Z + ( ) P Z - +.. - ( ) P Z + n P Z - Z = C

3

Ecuación nª 4

Igualamos las ecuaciones nº 1 y nº 3 ,

n-1 n-2 2 2 n-2 n-1

-n P g + ( ) P g + - - ( ) P g + n P g =

n-1 n-2 2 2 n-2 n-1 n

= - n P Z + ( ) P Z - + . - ( ) P Z + n P Z - Z

Ecuación n º 5

Igualamos las ecuaciones nº 2 y nº 3 :

n-1 n-2 2 2 n-2 n-1

- n P a + ( ) P a + - . -( ) P a + n P a =

n-1 n-2 2 2 n-2 n-1 n

= - n P Z + ( ) P Z - + . - ( ) P Z + n P Z - Z

--------------------------------------------------

La Ecuación nº 4 ,podemos representarla como sigue :

Ecuación 4 B

n-1 n-2 2 2 n-3 3 3

n P (g - Z) - ( ) P (g -Z ) + ( ) P ( g - Z )...+ -.....+

2 n-2 n-2 n-1 n-1 n n n n n n

+ ( ) P (g - Z ) - n P ( g - Z ) = Z = K L p n t

n

Esto nos muestra que Z es múltiplo de “ P “ , de “n” y también de ,

( g - Z ).

------------------------------------------------------

De la misma manera , la ecuación nº 5 , la representaremos :

Ecuación 5 B

4

n-1 n-2 2 2 n-3 3 3

n P (a - Z) - ( ) P ( a - Z ) + ( ) P ( a - Z ) + -.........+

2 n-2 n-2 n-1 n-1 n n n n n n

+ ( ) P ( a - Z ) - n P ( a - Z ) = Z = K L n p t

n

Igualmente esto nos indica que Z es múltiplo de “P” , “n” y

También de “ ( a - Z ) “ .

Es decir que :

n

Z = ( g - Z ) ( a - Z ) n P Y

n 2

Z = ( a g - Z ( a + g ) + Z ) n P Y

n 2

Z = ( a g - Z P + Z ) n P Y

n

Z = [ a g - Z ( P - Z ) ] n P Y

n

Z

= ( a g - Z C ) n P Y

(recordemos que a , g, son primos entre sí con C , y también son primos entre sí con P).

Vemos con ello que “a” ó “g” , o ambas tienen divisores comunes con “Z” .

Podíamos pensar que ( a g - ZC ) = 1 .- Teniendo en cuenta que .

A + g = P = Z + C

para que ( a g - Z C ) = 1 , es preciso que a = g , lo cual no es posible ,puesto que

“a” “g” sabemos son primos entre sí.

A la última conclusión podemos llegar por un razonamiento más

simple ,

n n n n n n

a + g = P a + g = C a = C - g

n n n

a ha de ser divisible por la diferencia de las bases de C - g

n

a = ( C - g ) X C = P - Z = a + g - Z

n n

a = ( a + g - Z ) X a = ( a - Z ) X 5

esto exige , que “Z” tenga divisores comunes con “a” .

Empleando el mismo razonamiento , llegamos a la conclusión de

que “Z” tiene que tener divisores comunes con “g” .

Con esto creemos demostrar que para que sea posible ,

n n n

a + g = C , es preciso que “Z” tenga divisores comunes con “a” y con “g” .

Posibilidades de que “a” ó “g” tengan divisor(es) común(es) con “Z

A la vista de la ecuación nº 4 B ,

n-1 n-2 2 2

n P ( g - Z ) - ( ) P ( g - Z ) + ………..-……… +

2 n-2 n-2 n-1 n-1 n n n n n n

+ ( ) P ( g - Z ) - n P ( g - Z ) = Z = K L n p t

Supongamos que “g” “Z” tengan como divisor común “K”

g = K . M ; Z = K . T ; sustituímos estos valores :

n-1 n-2 2 2 2 n-3 3 3 3

n P K ( M - T ) - ( ) P K ( M - T ) + ( ) P K ( M - T ) - +

2 n-2 n-2 n-2 n-1 n-1 n-1 n n

+ ( ) P K ( M - T ) - n P K ( M - T ) = K T

Ahora pueden darse dos casos :

1º.- Que ( M - T ) no sea divisible por “K “

2º.- Que ( M - T ) sea divisible por “K”

En el caso nº 1 , todos los sumandos de la ecuación a excepción del

2

primero, son divisibles por K , lo que indica la no validez de la ecuación.

En el caso nº 2 ( M - T ) , es divisible por “K” , como el resto de los

sumandos. Esta es la imposibilidad que a continuación en nuestro trabajo , tra -

taremos de demostrar.

Conviene tener en cuenta,que al ser “n” primo,todos los coeficien-

tes de los sumandos de todas las ecuaciones, ( ) , ( ) , ( ) , son divisibles por

“ n “ . 6

n n n

Unica posibilidad de que a + g = C

Esta se limita a :

1º .- Que “Z” tenga factores comunes con “a” y con “g” .

2º.- Que las relaciones sean :

g - Z = K g = K . M Z = K L n p t o bien ,

xn-1 x x

g - Z = n g = n . M Z = n L p t

xn-1 n x x

g - Z = n K ; g = n K M ; Z = n K L p t

y por otra parte , la relación entre “a” y “Z” :

n

a - Z = L a = L . R

Relación entre “Z” y “a” “g”

1º.- Los factores comunes, si son potencias, serán del mismo grado.

2º.- Consecuencia de lo anterior.- “Z” no puede contener todos los factores de

“a” ni de “g” .

3º.- El valor de la diferencia ,

g - Z no podrá ser " 0 ( módulo F )

g - Z solo será " 0 ( mód. K ó (y) n )

7

Divisores de las ecuaciones

A la vista de las ecuaciones nº 1 , 2 y 3 ,

P - C " 0 ( módulos n , P , g , a , Z )

n

Pero mientras que en las 2 primeras ecuaciones el origen de C

n n

es a + g ( imposibilidad que tratamos de demostrar ), en la tercera , procede de

la diferencia entre P - Z .

El fundamento de nuestro estudio no es otro que mostrar la in-

compatibilidad de valores , uniendo las 2 primeras ecuaciones con la tercera.

Factores de “Z”

El origen del valor de “Z”. es ,

K y ó n = factor(es) comun(es) con “g” .

L = factor común con “a”

“p” “n” = contiene siempre estos factores (ver ecuación 4 )

t = resto de valores ( valor desconocido )

“Z” siempre es par. Todos estos factores , a excepción de “n” ,

(ya lo indicamos al iniciar el estudio) pueden ser primos o compuestos.

Imposibilidad de que P = a + g ,sea múltiplo de “n”

Observando cualquiera de las 5 ecuaciones base,por ejemplo

la nº 1 ,llegamos a la conclusión de que ,

n n

C " ( módulo P ) , así como que , P = p

8

A la vista de las ecuaciones nº 1 al 3 ,

n n n+1

C " 0 ( mód. p ) , y no " 0 ( mód. p )

n n n

C = p . e ; e = valor desconocido ; C = p . e

en el caso de “p” fuese múltiplo de “n” , si dividimos la ecuación por “P” ,

todos los sumandos de la ecuación serían divisibles por “n” , a excepción

n

de e . Con esto sabemos que “ P ” no contiene el valor “n”.

Si recordamos que C = P -Z , y que “Z” es múltiplo de “n” , “ C “

tampoco es divisible por “n”

Relación entre “P” “C” , con “ n “

Dividiendo la 3ª ecuación por “P” , queda :

n-1 n-2 n-3 2 n-1 n n

P - n P Z + ( ) P Z +.... +.. + ..+ n Z - Z / P = e

podemos llegar a las siguientes conclusiones ,para que no se anule la ecuación :

n-1 n

P " 1 ( mód. n ) , luego e " 1 ( mód. n )

n n-1

e = e . e = ( 8 n j + 1 ) e ; e " 1 ( mód. n )

n 2 n-1 2

e " 1 ( mód. n ), asímismo P " 1 ( mód. n )

n 2

P = p " 1 ( mód. n ) ; p " 1 ( mód. n )

Como quiera que tanto “P” como “C” son función del valor de

“Z” , los valores citados son válidos para Z " 0 ( mód. n ) , es decir , pueden ser

x

no válidos para Z " 0 ( mód. n ) , para x > 1 .

Más adelante veremos que es condición necesaria para que “Z”

x x

sea múltiplo de “ n “ , que este “ n “ sea el factor común con “g” .

9

n n n

Imposibilidad de L + K + 2 Z = P = p

En base a que ,

2

P - Z = C ; si P " 1 ( mód. n ) , y además Z " 0 ( mód. n )

n 2 2

obliga a que , C " 1 ( mód. n ) = n J + 1 ; J = valor desconocido

------------------------------

Como sabemos, el otro valor de “C” , es función de los valores de “a” y de “g” , será :

n n-1

g = K . M ; g = K + K L n p t ; M = K + L n p t

x

M = n s + 1 ;

n

a = L . R ; a = L + K L n p t ; R = L + K n p t

x

R = n f + 1

----------------------------------------

x x

K M = g = K ( n s + 1 ) = K n s + K = g

x x

L R = a = L ( n f + 1 ) = L n f + L = a

n x n x+1 n

g = ( K n s + K ) = n K q + K ............... (1)

n x n x+1 n

a = ( L n f + L ) = n L w + L .............. (2)

n n 2

según sabemos , ( K + L ) " 1 ( mód. n ) , no" 1 ( mód. n )

n n n

K + L + 2 K L n p t = P = p

n n

sumando los valores arriba reseñados (1)(2) de ( a + g ) es " 1 ( mód. n)

2 n

pero no" 1 ( mód . n ) . Este valor de “ C “ no coincide con el calculado

n 2

en función de “P” “Z” , que era de C = n J + 1

Con ello queda demostrada la imposibilidad del enunciado.

10

n n x n

Imposibilidad de K + L + 2 K L n p t = P = p

Como vemos , este caso se diferencia del anterior exclusivamente

x

en que “Z” es divisible por “ n “ , en vez de solamente por “n” .

Teniendo en cuenta que :

n y x

p = P " 1 ( mód. n ) .- Si 2 Z" 0 ( mód. n ) , en la que tanto “x” como “y”

son mayores que la unidad , para que sea válida le ecuación tendrá que darse el caso de

n n x ó y

que , ( K + L ) " 1 ( mód. n )

A continuación vamos a ver si es posible este caso :

y d

P " 1 ( mód. n ) ;……………… ( K + L ) " 1 ( mód. n )

d

K = n f - ( L - 1 )

n d+1 n

K = n f H + n f L - L + 1

n n d+1 2

K + L = n f H + n f L + 1 , que no es múltiplo de n , más

la unidad.

Conviene tener en cuenta , que ( L-1) nunca podrá ser

múltiplo de “n” ,porque si así lo fuera ,sería necesario que K " 0 ( mód. n ).

Lo que supondría que el factor común entre “g” “Z” , sería “n”. Como sabe-

mos ,en este caso el factor común entre “g” y “Z” , es “K”.

Creemos queda demostrada la imposibilidad a que hace

referencia ,

n n x

L + K + 2 K L n p t = P

11

xn-1 n x n

Imposibilidad de n + L + 2 n L p t = P = p

A continuación vamos a demostrar la imposibilidad de que “g” sea múltiplo

de “n” , o lo que es lo mismo , que el factor común de “g” y “Z” sea “n”. Considera-

mos que el factor común entre “a” , “Z” , es “L” .

x xn-1 x xn-1 x

g = n . M ; g - Z = n ; Z = n L p t ; g = n + n L p t

n n x

a = L R ; a - Z = L ; a = L + n L p t

estos valores de “a” “g” , determinan la ecuación del enunciado.

En la página 9 , al tratar de la relación entre “P” “C” con “n” , hicimos

n

constar que “p” , “P” , P , son " 1 ( módulo n ) . Ello obliga a que también

n

L " 1 ( módulo n ).

Por otra parte , podemos matizar , según la ecuación nº 4 B , los valores de

Z :

n n n xn n

Z = L p n t

xn n-1 y

y dividiendo dicha ecuación por “ n “ , al ser P " 1 ( mód. n ) , nos

n n n y

indica que L p t " 1 ( mód. n ) . Según esto , los nuevos valores son :

n xn+x xn x 2x-1 x

Z = n + n ; Z = n L p t = F n + n

Asimismo , en dicha página 9 , y con referencia a la ecuación nº 3 , indica ,

n n n

P - Z = C ; C = p . e ; C = p . e ;

x x-1 x

Si P " 1 ( mód. n ) ............ p " 1 ( mód. n ) , no " 1 ( mód. n )

n-1 x n x x+1

P " 1 ( mód. n ).......... e " 1 ( mód. n ) , no " 1 ( mód. )

n x x-1 x

Si e " 1 ( mód. n ).......... e " 1 ( mód. n ), no" 1 ( mód. n )

x-1 x-1 x

Si p " 1 ( mód. n )....... e " 1 ( mód. n ), no" 1 ( mód. n )

12

x-2 x-1

teniendo en cuenta que , C = p.e , si p = ( n d + n h + 1 ) , y por

x-2 x-1

otra parte , si e = n j + n q + 1 , obliga a que (h + q) = n

Esto último supone que si ,

2x-2 x+1 x x-1

p = n Q + n j + n d + n h + 1; d < n ; h < n

n-1 2x-1 x+3 x+2 x+1 x

P = n H + n j + n u + n (h-d) - n h + 1

2x-2 x+1 x x-1

e = n w + n r + n i + n q + 1 ; i < n

n 2x-1 x+2 x+1 x

e = n y + n S + n i + n q + 1

n-1 n 2x-1 x+2 x+1

P - e = n B + n D + n ( h -d-i-1 )

n

Dividiendo la ecuación nº 3 por “ p “ ,

n-1 n-2 n

P - P n Z +………….. +……… -……….. = e

n-2 y

como P " 1 ( mód. n ) ,

n-2 2x+y x+y+1 x+y x+1

" P n Z = " ( n S + n J + n F + n )

Resumiendo ,

n-1 n n-2 x+y x+2 x+1

P " e " P n Z = n W + n D + n ( h-d-i-1-1 )

ya hemos indicado que tanto “h” , como “d” ,como “i” son valores menores que “n” .

Suponiendo que ( h-d-i-1-1 ) = 0

n-1 n n-2 x+2

( P " e " P n Z ) es solo " 0 ( módulo n )

13

el siguiente sumando de la ecuación nº 3 es , ( ya dividido por P ) :

n-3 2 y 2x+2y-2 2 2x+y-1 2x

( n(n-1)/ 2 ) P Z = (n-1)/2 ( n Q + 1 ) ( n F + 2 n + n ) n

2x+1

es decir, que este sumando es " 0 ( módulo n )

Con ello queda demostrada la imposibilidad de la ecuación del enunciado.

------------------------------------------------

Otra demostración que ratifica la imposibilidad de la ecuación del enun-

ciado , es decir ,

xn-1 n 2x-1 x n

n + L + 2 n F + 2 n = p = P

sería :

n

Damos a “ L “ el valor ,

n 2x-1 x+2 x+1 x

L = n J + n j + n d + n (h-2) + 1

x 2x-1 x

Ya dijimos que Z = n L p t = n F + n . Teniendo en cuenta estos va-

lores,

n xn-1 2x-1 x+2 x+1 x 2x-1 x

p = n + n J + n j + n d + n (h-2) + 1 + 2 n F + 2 n

según esto , los valores de “p” , y de “ L” , serían :

2x-2 x+1 x x-1

p = n Q + n j + n d + n h + 1

2x-2 x+1 x x-1

L = n H + n j + n d + n (h-2) + 1

2x-2 x-1

y por tanto , ( p - L ) = n ( Q - H ) + 2 n ; Q - H = W

14

elevado a “n” :

n n x-1 x-1 n

p - L - n p L (p-L)S = [ n ( n w + 2 ) ]

n xn-n x n

p = n ( n f + n r + 2 ) + L + n p L ( p - L ) S

a la vista de esta ecuación y la del enunciado ,

xn-n x xn-1

n ( n f + n r + 2 ) - n " 0 ( módulo p ) ( * )

pues bién ,

xn-n+x xn-n+1 xn-n xn-1

n f + n r + n 2 - n " p . B

teniendo en cuenta que ,

2x-2 x+1 x x-1

p = n Q + n j + n d + n h + 1

y aunque demos a “B” los valores ,

xn-n xn-n+1 xn-n

B = n i , para ( i < n ) , ó bien B = n i + n b , (para b <n)

Queda demostrada la imposibilidad a la que este apartado hace referencia .

(*)

“f” tiene un valor alto , toda vez que ,

xn-n x xn-n xn-n n xn-1

n ( n f + n r + 2 ) > n n w > n

15

xn-1 n n x n

Imposibilidad de n K + L + 2 n K L p t = p = P

En este caso los valores serían :

x x xn-1 n

g = n K M ; Z = n K L p t ; g - Z = n K

n n x

a = L . R ; a - Z = L ; a = L + n K L p t

A la vista de la ecuación nº 4 B , y siguiendo la misma operativa

del apartado anterior , conocemos que, 2x-1 x

Z = n F + n

Otro tanto podemos decir de los valores “p” , “ L “ , con lo que,

n xn-1 n 2x-1 x+2 x+1 x 2x-1 x

p = n K + n J + n j + n d + n (h-2) + 2 n F + 2 n = P

en función de los valores de “p” , y de “L” ,

n 2x-2 x-1 n

( p - L ) = [ n W + 2 n ]

xn-1 n xn-1

de este desarrollo restaríamos n K , en vez de n ,

xn-n+x xn-n+1 xn-n xn-1 n

n f + n r + n 2 " n K " p . B

por los motivos indicados en el apartado anterior .

n n n

Con esto hemos demostrado la imposibilidad de a + g = C ,

x

cuando los factores comunes de “g” “Z” , son n K , y por otra parte, el factor

común entre “a” “Z” es “L” .

16

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