Trigonometría

Funciones. Fórmulas. Seno. Coseno. Tangente. Pi. Ecuaciones trigonométricas. Logaritmos. Teorema de Moivre

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Repaso de calculus:

Cos:

Cos(+)=coscos -sinsin

Cos(-)=coscos +sinsin

Sin :

Sin(+) =sincos + sincos

Sin(-) =sincos - sincos

De estas formulas se derivaran muchas de las cosas que hacemos asi que hay que tomarlas muy en cuenta..

Tomas el ángulo que te den y si es positivo verificas que ángulos cuyos sin-cos sepamos suman dicho ángulo: Ej. : Te dan 135 = 90 + 45.

En caso de que te den un ángulo negativo considera que puedes usar la ecuación de tu preferencia siempre y cuando te permita utilizar los ángulos de la tabla de sin -cos.

Si no hay ángulos que sumen lo dado utilicen ángulos que sean el resultado de dos ángulos de los que podemos usar.

Ej:

Cos 75

Cos(+)=coscos -sinsin

Cos(45 + 30)= cos 45 cos30- sin45sin30

=("2/2 * "3/2) - ("2/2 * ½)

="6/4 - "2/4 = 0.26

1"sin; cos " -1 (muy importante para comprobar respuestas)

  • If the angles in a circle are equal then the cords are equal.

  • Formula de la distancia : "((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)

Otro ejemplo , en caso de que les den incógnitas:

Cos(x + /4) - cos (x-/4)=1

(cosxcos45 -sinxsin45) - (cosxcos45 + sinxsin45)=1

(cos x * "2/2) - (sin x"2/2) - (cos x"2/2) - (sin x"2/2)=1

-sin x"2=1

-sin x = 1/"2*"2/"2

-sin x = "2/2

-sin x = -"2/2

x1= 2 -/4 =7/4 + 2n

x2=+ /4 =5/4 + 2n

MUY IMPORTANTE

  • Si sin es - :

Entonces a 2 le restan el ángulo encontrado y a  le suman el ángulo

  • Si cos es +:

Entonces es  y 2 menos el ángulo.

MORE SUM AND DIFFERENCE FORMULAS:

Tan (+)=(tan+tan)/1- tantan

Tan (-)=(tan - tan)/1 + tantan

Cot( + ) = (cotcot - 1) / (cot + cot)

Cot( - ) = (cotcot + 1) / (cot - cot)

Multiple angle formulas:

Sin 2 = Sin ( + )= sincos + sincos = 2sincos

Cos2=cos(+) = cos cos - sinsin= cos2-sin2 = 1- 2sin2

Tan2 = sin2/cos2 = 2tan/1-tan2

Cot2 = cot^2 -1/2cot

Half angle formulas

Sin /2 = "1- cos/2

Cos /2 = "(1 + cos)/2

tan/2 = "(1-cos)/(1 + cos)

cot/2 = "(1 + cos)/(1-cos)

How to prove ?

Te dan dos formulas.. tu coges la mas fácil y la desarrollas usando conceptos de trigonometría y álgebra…la mayoría de las veces.

Ej:

*en vez de los símbolos convencionales de ángulo voy a usar x y y por que esos símbolos hartan.

((Sin(x + h) - sin x)/h)= sin x ((cos h - 1)/h) + cos (sin h /h)

Sin (x +h) - sin x = sin x (cos h -1 ) + cos x (sin h) * aquí se multiplico por h para eliminarlas

Sin x cos h + sin x cos h - sin x = sin x cos h - sin x + cos x sin h * aquí se expandieron todos los paréntesis y ambas ecuaciones son iguales…

*Estos pasos no son siempre los mismos..

SUM TO PRODUCT FORMULA

  • SIN X + SIN Y = 2 SIN ( X + Y)/2 COS (X-Y)/2

  • COS X + COS Y = 2 COS (X + Y)/2 COS (X -Y)/2

  • SIN X - SIN Y = 2 COS (X + Y)/2 SIN (X -Y)/2

  • COS X - COS Y = - 2 SIN (X + Y)/2 SIN /(X -Y)/2

Ej:

(Cos 4x + cos 2x)/(sin 4x + sin 2x) = cot 3 x

2 cos (6x/2) cos(2x/2) * aquí se sumaron los componente x y y para

__________________ = ambos lados de la división

2 sin (6x/2) cos (2x/2)

2 cos 3x cos x * Se eliminan los que son iguales y

___________ = (cos 3x/ sin 3x) = cot 3x nos quedan resultados iguales.

2 sin 3x cos x

Mas ejercicios :

Cos 3x = 0

Cos x = 0

X = /2 +2n

X1= (/2 +2n)3 = 3/2 +6n

X2 = (3/2 + 2n)3 = 9/2 +6n

SYSTEMS OF TRIGONOMETRIC EQUATIONS:

Sin x + cos y = 1

Sin x - cos y = 0

*Como son ambas iguales se pueden sumar…

tendríamos ahora:

2 sin x = 1

sin x = ½ * De que ángulo es ½ el seno? De 30!!!

X = /6 +2n

X2=5/6 + 2n

*ahora hay que buscar al ángulo y…

½ + cos y = 1

cos y = 1- ½

cos y = ½

y= /3 +2n

y2=5/3 +2n

sin2 x + y = 2 y = 2 - sin2x

cos2 x + y = 1

  • sin2 x + 2 - sin2 x = 1 1 + y =2

  • 3-2 sin2 x = -2 y= -1

    -2 sin2 x = -2

    sin2 x = -2/-2

    sin2 x = 1

    sin x =  ; x = /2 + 2n ; x2 = 3/2 + 2 n

    Pasos realizados:

  • conversión de la primera ecuación o la que consideres mas simple en función de una variable

  • reemplazo en la ecuación

  • búsqueda de los ángulos

  • PROPERTIES OF LOGARITHMS

  • LogcA + lOGcB = Logc(AB)

  • LogcA - LogcB = Logc(A/B)

  • Logc(Bn) = n LogcB

  • Logc1=0

  • LogcC= 1 ; C1= C

  • B (LOGbA)= A

  • Logb(bc)= C

  • CHANGE OF BASE FORMULA

    LogcB = LognB/LognC

    SOLVING WITHOUT CALCULATOR

    aquí les pongo ejemplos :

    Tan (Tanø 2.3)

    Tan x = 2.3

    Tan = 2.3

    Explicación :

    Tan(tan^-1ø)= x

    Tan ^-1 = x

    tan = x

    MORE PROVING EXAMPLES :

    Cos^4 x - sin^4 x = cos 2x

    (cos^2 x - sin^2 x)(cos ^2 x + sin^2 x) = cos 2x

    (cos^2 x - sin^2 x) (1- sin^2x + sin^2 x) = cos 2x

    cos^2 x - sin^2 x = cos^2 x - sin^2 x

    cos 2x = Cos 2x

    • Esta es otra manera de provar..

    COMPLEX NUMBERS:

    Z=(X, Y)

    X= Real number

    Y= Imaginary number

    • A complex number can be represented in a plain

    • Complex number addition : Z1+ Z2+Z3….

    • Module of a complex number : " (x^2 + y^2)

    • Binomial form: Z = a - bi

    • Polar form : M= " (A^2 + B^2)

    • Ordered pair form : (a,b)

    • Trigonometric form : Z = M(cos x+ sin y)

    • Complex number multiplication = Z1 * Z2 = [Z1 * Z2]x+y se multiplican los modulos y se suman los ángulos

    • Complex Number división = = Z1 * Z2 = [ Z1 / Z2]x -y se dividen los valores absolutos de los modulos y se restan los ángulos

    • Forma modulo argumental Z= Z a, ; Z es el modulo… y a es el ARGUMENTO

    Ejemplo de convertir a forma polar :

    (1, -1):

    "(1^2 + -1^2)

    " (1 + 1)

    " 2 315

    argumento = arctan y/x = arctan=-1/1 = 45 = 360-45 = 315

    THE DE MOIVRE THEOREM

    Zn = r n (cos n x + isin nx)

    Ejemplo :

    ((-1 + "3i)/2)^6 = (-1/2 +"3 i/2)^6

    (-1/2 +"3 i/2)^6 = (1 120) ^6 = cos ( 6 * 120) + sin ( 6 * 120)= 1 720

    • El que tiene la I es siempre el imaginario,… por eso representa y y el otro x.

    • aquí primero se busco el modulo , luego el argumento y se soluciono usando la formula de DE MOIVRE.

    ROOTS OF COMPLEX NUMBERS :

    n" Z= n"r (cos ((2k + x)/n) + isin((2k + x)/n) 

    K= 0,1..(N-1) “ K is a whole number”

    315315315hbvgh

    TRANSFORMACION:

    Se llama transformacion a la correspondencia uno a uno de dos puntos P y P'.

    No encontr el simbolo la T rara esa ---P P'

    Es una transformacion isometrica

    TRASLACIONES :

    Es una transformacion isometrica T que asocial al punto P(X,Y) al punto P'(x,y).

    T: (X,Y) (X + , Y + )

    ROTACIONES :

    Es una transformacion isometrica R que asocial al punto P(x, Y) al punto P'(x',y'), mediante al regla.

    R(x,y) (x cos  - y sin, x sin + y cos  )

    Cuando hay rotaciones segun dos ángulos se hace lo sgte

    R2R3 : (X,Y) (X(cos [ +  ]) - y (sen [  + ]), X(sin [ +  ]) + y (cos [  + ])

    REFLEXIONES :

    Son las transformaciones S: P P' , tal que d (P,O) = d(O, P')

    Sy : (x,y) ….. (-x,y)

    Sx : (x,y)……(x,-y)

    So: (x,y)……(-x,-y)

    Por si acaso :

    Sin = cateto opuesto / hipotenusa

    Cos = cateto adayacente/hipotenusa

    Sec= hipotenusa/adyacente

    Tan = opuesto / adyacente

    Csc = hipotenusa/ cateto opuesto

    Cot = adaycente /opuesto

    Sin30 = 1/2

    Cos30 = "3/2

    Sin45 ="2/2

    Cos 45="2/2

    Sin60="3/2

    Cos 60 =1/2

    Sin0= 0

    Cos0=1

    Cos180= -1

    Sin270=-1

    Cos270=0

    Sin360=0

    Cos360=1

    Sin 90=1

    Cos90=0