Trigonometría

Ángulos. Grados, radianes. Razones trigonométricas. Triángulos

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TRIGONOMETRÍA

Teoría

  • Ángulos. Medidas de ángulos.

  • Llamamos ángulo a la región del plano comprendida entre dos semirrectos con origen en común. Al origen le llamamos vértice y a las semirrectas lados.

    Ángulos

    -Llamamos ángulo recto a aquel que tiene sus lados perpendiculares

    -Lamamos ángulo agudo a aquel que es menor a un recto.

    -Llamamos ángulo obtuso a aquel que es mayor al ángulo recto.

    -Llamamos ángulo plano, cuando son dos rectos.

    -Llamamos ángulo nulo cuando no hay ángulo y cuyos lados coinciden.

    -Ángulo oriental ; tomamos la orientación positiva al movimiento contrario a las agujas del reloj.

    Unidades

  • Sistema sexagesimal;

  • -Llamamos grados sexagesimales a aquel que mide la noventava parte de un recto.

    1º = 1/ 90 (ángu.rec) 1recto = 90º

    • Un minuto sexagesimal es la sesentava parte de un grado sexagesimal.

    1' = 1/ 60·1º 1 = 60'

    • Un segundo sexagesimal es la sesentava parte de un minuto sexagesimal.

    1'' = 1/60 ·1' 1' = 60''

  • Sistema centesimal;

    • 1g es como la centésima parte de un recto.

    1g = 1g / 100 1 recto = 100g

    • 1m centesimal es como la centésima parte de un grado centesimal.

    1m = 1m / 100 · 1g 1g = 100m

    • 1s centesimal es como la centésima parte de un minuto centesimal.

    1s = 1s / 100 · 1m 1s = 100m

  • Sistema circular o de radiantes.

  • Radian: decimos que un ángulo mide un Rad. Si la longitud de un arco cualquiera coincide con el radio con el que lo hemos trazado.

    S. Sex

    S. Cent

    Rad.

    1

    1g 11m 11s

    0' 0175 Rad

    1g

    0º 54'

    1g

    0,0157 Rad.

    1 Rad.

    57º 17' 45''

    63g 63m 20s

    1

  • Razones trigonometricas de ángulos agudos.

  • A

    

    A'

    Sen  = al cateto opuesto partido por la hipotenusa. Sen  = cat.op/ hip. = AA'/ OA

    Cos  = al cateto contiguo partido por la hipotenusa. Cos  = cat.con/ hip. = OA/ OA'

    Tng  = Al cateto opuesto partido por el cateto contiguo. Tng  = cat.op / cat.con. = AA'/OA'

    Ctg  = la hipotenusa partido por el cateto opuesto. Ctg  = hipo./ cat.op. = OA'/AA'

    Sec  = la hipotenusa partido por el cateto contiguo. Cosec = hipo / cat.cot = OA / OA'

    Prop 1º tg  = AA'/ OA' = AA/OA // OA'/ OA = tag = sen/cos

    Prop 2º Las rezones trigonométricas sen  , cos y tg son inversas respectivamente, de las inversas r.t cos, sec , Cont .

    Prop 3º Formula fundamental de loa trigonométria (F.F.T).

    El (sen)2 + (cos)2 =1

    3 Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º.

  • R.T de 30º

  • Sen 30º = 1/ 2 cosec 30º = 2

    Cos 30º = "/2 sec 30º = 2"3/ 3

    Tg 30º = "3/3 ctg = "3

  • R.T de 60º

  • Sen 60º = "3/ 2 cosec 60º = 2"3/ 3

    Cos 60º = 1/ 2 sec 60º = 2

    Tg 60º = "3 cotg 60º = "3/ 3

  • R.T de 45º

  • Sen 45º = "2/ 2 cosec 45º = "2

    Cos 45º = "2 / 2 sec 45º = "2

    Tg 45º = 1 cotg 45º = 1

  • Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

  • Llamamos circunferencia goniometrica a aquella cuyo centro de origen de coordenada y cuyo radio es la unidad.

    (0,1) (-1,0) (1,0) (0, -1)

    Definimos y como sen de un ángulo y la x como el coseno de un ángulo.

  • Razones trigométricas de ángulos ...

  • Complementarios: son aquellos ángulos que su suma es 90º.

  • = 90º- 

    90º -

    90º + 

    180º - 

    180º + 

    360º -

    Sen

    Cos 

    Cos 

    Sen 

    - Sen 

    - Sen 

    Cos

    Sen 

    - sen 

    - Cos 

    - Cos 

    - cos 

    Tg

    Ctg 

    - ctg 

    - Tg 

    Tg 

    -Tg 

  • Que se diferencien en 90º.

  •  = 90º + 

  • Suplementarios ; son aquellos que su suma es de 180º.

  •  = 180 - 

  • Ángulos que su diferencia da 180º.

  •  = 180 + 

  • Ángulos opuestos: aquellos cuya suma es 360º.

  •  = 360º - = - 

  • Razones trigonométricas del ángulo:

  • Suma.

  • Sen ( + ) = sen · cos + cos · sen

    Cos ( + ) = cos · cos + sen · sen

    Tg ( +  ) = sen ( + ) / cos ( + ) = tg + tg / 1-tg + tg

  • Diferencia.

  • Sen (  -  ) = sen · cos - cos · sen

    Cos (  -  ) = cos · cos + sen · sen

    Tg ( -  ) = tg - tg  / 1+ tg · tag

    c)Mitad.

    Sen /2 = +-"1 - cos / 2

    Cos  /2 = +- " 1- cos /2

    Tg /2 = +-"1-cos /2

  • Trasformación de suma de productos.

  • Sen(2) = Sen ( + ) = 2(sen · cos)

    Cos (2) = cos ( + ) = cos2 - sen2

    Tg (2) = tg ( + ) = 2tg / 1- tg2

  • Resolución de triángulos.

  • Teorema de los senos: a / senA = b/ senB = c / senC = cte

    Teorema de los cosenos : c2 = a2 + b2 - 2ab· cos C

    Un lado es igual a la suma al cuadrado de los otros lados menos el doble del primero y el segundo por el coseno del ángulo opuesto.

    *Resolver un triángulo es encontrar todos sus lados, todos sus ángulos y su Area.

    S = 1/2ab · senC

    1

    Longitud = 6,28... Rad.

    Longitud = 2Rad.

    4rectos - 360º - 2Rad.

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