Índice de contenidos.

Temas Página

Trigonometría 3

Trigonometría plana 4

Funciones trigonométricas 6

Igualdades trigonométricas 9

Funciones inversas 11

El triángulo general 11

Trigonometría esférica 12

Historia 14

Quién era Hiparco de Nicea 17

Quién era Tolomeo 17

Quién era Euler 18

Quién era John Napier 19

Cómo Eratóstenes midió

el radio de la tierra 20

Quién era Eratóstenes 21

Distancia a las estrellas 22

Quién era Bessel 23

Qué es Pi 24

Aplicaciones de Pi 25

Historia de Pi 27

Cómo se presenta Pi 27

Pi calculado a 10000 nº 28

Bibliografía 31

Autores 32

Trigonometría

Rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.

Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.

Trigonometría plana

El concepto trigonométrico de ángulo es fundamental en el estudio de la trigonometría. Un ángulo trigonométrico se genera con un radio que gira. Los radios OA y OB (figuras 1a, 1b y 1c) se consideran inicialmente coincidentes con OA. El radio OB gira hasta su posición final. Un ángulo y su magnitud son positivos si se generan con un radio que gira en el sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si la rotación es en el sentido de las agujas del reloj. Dos ángulos trigonométricos son iguales si sus rotaciones son de igual magnitud y en la misma dirección.

Una unidad de medida angular se suele definir como la longitud del arco de circunferencia, como s en la figura 2, formado cuando los lados del ángulo central (con vértice en el centro del círculo) cortan a la circunferencia.

Si el arco s (AB) es igual a un cuarto de la circunferencia total C, es decir, s = 3C, de manera que OA es perpendicular a OB, la unidad angular es el ángulo recto. Si s = 1C, de manera que los tres puntos A, O y B están todos en la misma línea recta, la unidad angular es el ángulo llano. Si s = 1/360 C, la unidad angular es un grado. Si s = YC, de manera que la longitud del arco es igual al radio del círculo, la unidad angular es un radián. Comparando el valor de C en las distintas unidades, se tiene que

1 ángulo llano = 2 ángulos rectos = 180 grados = p radianes

Cada grado se subdivide en 60 partes iguales llamadas minutos, y cada minuto se divide en 60 partes iguales llamadas segundos. Si se quiere mayor exactitud, se utiliza la parte decimal de los segundos. Las medidas en radianes menores que la unidad se expresan con decimales. El símbolo de grado es °, el de minuto es ' y el de segundos es ". Las medidas en radianes se expresan o con la abreviatura rad o sin ningún símbolo. Por tanto,

Se sobreentiende que el último valor es en radianes.

Un ángulo trigonométrico se designa por convenio con la letra griega theta (q). Si el ángulo q está dado en radianes, entonces se puede usar la fórmula s = rq para calcular la longitud del arco s; si q viene dado en grados, entonces

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte positiva del eje x.

En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.

Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:

Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,

Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero; por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales, la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°, 180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede ser igual a 0.

Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y +1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.

Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.

Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3, si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP = r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b = a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2= 2a2 o que c = a¶2. Por tanto

Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden hallar de forma aproximada dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se mencionan en el siguiente apartado.

Igualdades trigonométricas

Las siguientes fórmulas, llamadas igualdades o identidades, muestran las relaciones entre las diversas funciones trigonométricas, que se cumplen para cualquier ángulo q, o pareja de ángulos q y f:

Utilizando con reiteración una o más fórmulas del grupo V, conocidas como fórmulas de reducción, es posible calcular el seno de q y el coseno de q, para cualquier valor de q, en función del seno y del coseno de ángulos entre 0° y 90°. Utilizando las fórmulas de los grupos I y II, se pueden calcular los valores de la tangente, cotangente, secante y cosecante de q en función del seno y del coseno. Por tanto, es suficiente tabular los valores del seno y el coseno de q para valores de q entre 0° y 90°. En la práctica, para evitar cálculos tediosos, se suelen también tabular las otras cuatro funciones para los mismos valores de q. Sin embargo, desde la popularización de las calculadoras electrónicas y los ordenadores o computadoras, las tablas de funciones trigonométricas han caído en desuso.

La variación de los valores de las funciones trigonométricas para diversos ángulos se pueden representar gráficamente (ver figuras adjuntas). Se puede ver con claridad en estas curvas que todas las funciones trigonométricas son periódicas, es decir, el valor de cada una se repite a intervalos regulares llamados periodos. El periodo de todas las funciones, excepto la tangente y la cotangente, es 360° o 2p radianes. La tangente y la cotangente tienen un periodo de 180° o p radianes.

Funciones inversas

La expresión 'y es el seno de q,' o y = sen q, es equivalente a la expresión q es el ángulo cuyo seno es igual a y, lo que se escribe como q = arcsen y, o también como q = sen-1y. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccotg y, arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen q o q = arcsen y, un valor dado de y genera un número infinito de valores de q, puesto que sen 30° = sen 150 ° = sen (30° + 360°)…= 1. Por tanto, si q = arcsen 1, entonces q = 30° + n360° y q = 150° + n360°, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor 30° se toma como valor principal o fundamental del arcsen 1. Para todas las funciones inversas, suele darse su valor principal. Hay distintas costumbres, pero la más común es que el valor principal del arcsen y, arccos y, arctg y, arccosec y, arcsec y y arccotg y, para y positiva es un ángulo entre 0° y 90°. Si y es negativa, se utilizan los siguientes rangos:

El triángulo general

Entre las diversas aplicaciones prácticas de la trigonometría está la de determinar distancias que no se pueden medir directamente. Estos problemas se resuelven tomando la distancia buscada como el lado de un triángulo, y midiendo los otros dos lados y los ángulos del triángulo. Una vez conocidos estos valores basta con utilizar las fórmulas que se muestran a continuación.

Si A, B y C son los tres ángulos de un triángulo y a, b, c son los tres lados opuestos respectivamente, es posible demostrar que

Las reglas del coseno y de la tangente tienen otras dos expresiones que se obtienen rotando las letras a, b, c y A, B, C.

Estas tres relaciones son suficientes para resolver cualquier triángulo, esto es, calcular los ángulos o lados desconocidos de un triángulo, dados: un lado y dos ángulos, dos lados y su correspondiente ángulo, dos ángulos y un ángulo opuesto a uno de ellos (que tiene dos posibles soluciones), o los tres lados.

Trigonometría esférica

La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos, los tres lados a, b, c, y los tres ángulos A, B y C. Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos.

La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en la geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.

Ejemplo de problema:

Trigonometría y cálculo de la altura de un edificio

Para hallar la altura, H, de un edificio se miden la distancia desde el punto de observación a la base del edificio, D, y el ángulo ð (theta) que se muestra en el dibujo. El cociente entre la altura H y la distancia D es igual a la tangente de ð (H/D = tg ð). Para calcular H se multiplica la tangente de ð por la distancia D (H = D tg ð). El ángulo se puede calcular aproximadamente señalando con un brazo la base del edificio y con el otro el tejado y estimando si el ángulo es más o menos 15º, 30º, 45º, 60º o 75º. El ángulo se puede medir con mayor exactitud utilizando un transportador de ángulos y una plomada (hecha con un lápiz que colgaremos de un hilo). Se sujeta la plomada en el origen del transportador y se apunta con la base de éste hacia el tejado del edificio. El ángulo buscado es 90º menos el formado por el hilo de la plomada.

Historia

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 71° y yendo hasta 180 °C con incrementos de 71°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.

Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía, el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de 1°, desde 0° a 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes.

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nq y cos nq, en función de potencias de senq y cosq.

Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos.

Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.

Quién era Hiparco de Nicea

Hiparco de Nice fue astrónomo griego, el más importante de su época. Hiparco nació en Nicea, Bitinia (hoy Iznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precesión de los equinoccios .Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. Hiparco inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.

Quién era Tolomeo

Tolomeo, Claudio fue un astrónomo y matemático cuyas teorías y explicaciones astronómicas dominaron el pensamiento científico hasta el siglo XVI (véase Sistema de Tolomeo). También se reconocen sus aportaciones en matemáticas, óptica y geografía. Posiblemente, Tolomeo nació en Grecia, pero su nombre verdadero, Claudius Ptolemaeus, refleja todo lo que realmente se sabe de él: 'Ptolemaeus' indica que vivía en Egipto y 'Claudius' significa que era ciudadano romano. De hecho, fuentes antiguas nos informan de que vivió y trabajó en Alejandría, Egipto, durante la mayor parte de su vida.

Tolomeo también contribuyó sustancialmente a las matemáticas a través de sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol. En su Tetrabiblon, aplicó la astronomía a la astrología y la creación de horóscopos.

Quién era Euler.

Euler, Leonhard fue un matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Euler nació en Basilea y estudió en la Universidad de Basilea con el matemático suizo Johann Bernoulli, licenciándose a los 16 años. En 1727, por invitación de la emperatriz de Rusia Catalina I, fue miembro del profesorado de la Academia de Ciencias de San Petersburgo. Fue nombrado catedrático de física en 1730 y de matemáticas en 1733. En 1741 fue profesor de matemáticas en la Academia de Ciencias de Berlín a petición del rey de Prusia, Federico el Grande. Euler regresó a San Petersburgo en 1766, donde permaneció hasta su muerte. Aunque obstaculizado por una pérdida parcial de visión antes de cumplir 30 años y por una ceguera casi total al final de su vida, Euler produjo numerosas obras matemáticas importantes, así como reseñas matemáticas y científicas.

En su Introducción al análisis de los infinitos (1748), Euler realizó el primer tratamiento analítico completo del álgebra, la teoría de ecuaciones, la trigonometría y la geometría analítica. En esta obra trató el desarrollo de series de funciones y formuló la regla por la que sólo las series convergentes infinitas pueden ser evaluadas adecuadamente. También abordó las superficies tridimensionales y demostró que las secciones cónicas se representan mediante la ecuación general de segundo grado en dos dimensiones. Otras obras trataban del cálculo (incluido el cálculo de variaciones), la teoría de números, números imaginarios y álgebra determinada e indeterminada. Euler, aunque principalmente era matemático, realizó también aportaciones a la astronomía, la mecánica, la óptica y la acústica. Entre sus obras se encuentran Instituciones del cálculo diferencial (1755), Instituciones del cálculo integral (1768-1770) e Introducción al álgebra (1770).

Quien era John Napier

Napier o Neper fue un matemático escocés nacido en Merchiston, cerca de Edimburgo. Estudió en la Universidad de San Andrés y durante su estancia allí fue seguidor del movimiento de la Reforma en Escocia y años más tarde tomó parte activa en los asuntos políticos promovidos por los protestantes. Es autor de la primera interpretación importante en Escocia de la Biblia.

Napier es más conocido por introducir el primer sistema de logaritmos, descrito en Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614). Los sistemas comunes y naturales de logaritmos que se utilizan actualmente no usan la misma base que los logaritmos de Napier, aunque a los logaritmos naturales a veces se les denomina logaritmos neperianos. Napier fue uno de los primeros, si no el primero, en utilizar la moderna notación decimal para expresar fracciones decimales de una forma sistemática. También inventó sistemas mecánicos para realizar cálculos aritméticos, descritos en Rabdologiae seu numerationis per virgulas libri duo (1617).

Como Eratóstenes midió el radio de la Tierra

Erastótenes de Cirene, un griego del siglo III a. de J.C., calculó por primera vez el radio de la Tierra con una exactitud extraordinaria para los métodos de que disponía.

La idea de su cálculo es muy sencilla: si se toman dos puntos, A y S, sobre un mismo meridiano y se puede medir el ángulo a y la distancia l medida sobre el arco AS del meridiano que pasa por los dos puntos, aplicando una sencilla regla de trescalculó el radio de la Tierra

Lo difícil, por supuesto, era determinar el ángulo a y la distancia.

Erastótenes eligió, como punto S, una ciudad del sur de Egipto llamada Siena. Allí había un profundo pozo cuyo fondo iluminaba el Sol un mediodía de verano. El punto A era Alejandría, ciudad situada en el mismo meridiano que Siena. El Sol no caía vertical, sino separándose de la plomada un ángulo que valía 1 / 50 de la circunferencia.

Utilizando probablemente el tiempo de viaje de una caravana o, tal vez, medidores expresamente contratados para ello, determinó que la distancia entre Alejandría y Siena era de 926 km. Por tanto, el radio de la Tierra debía ser: bastante aproximado a los 6.378 km que revelan las mediciones más modernas.

¿Quién era Eratóstenes?

Fue matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Midió la circunferencia de la Tierra con una precisión extraordinaria al determinar, a través de la astronomía, la diferencia de latitud entre las ciudades de Siena (actual Asuán) y Alejandría, en Egipto. Nació en Cirene (en la actualidad Shahhat, Libia). Entre sus maestros se encontraba el poeta griego Calímaco de Cirene. Hacia el 240 a.C., Eratóstenes llegó a ser el director de la Biblioteca de Alejandría. Sus cálculos sobre la circunferencia terrestre se basaron en la observación que hizo en Siena, su ciudad natal; a mediodía, en el solsticio de verano, los rayos del sol incidían perpendicularmente sobre la tierra y, por tanto, no proyectaban ninguna sombra (Siena estaba situada muy cerca del trópico de Cáncer). En Alejandría se percató de que en la misma fecha y hora las sombras tenían un ángulo de aproximadamente 7° con respecto a la vertical. Al conocer la distancia entre Siena y Alejandría, pudo hallar a través de cálculos trigonométricos la distancia al Sol y la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes también midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.

Distancia a las estrellas.

Paralaje trigonométrico

El paralaje es una palabra de origen griego que significa cambio de posición.

Con la siguiente experiencia se comprueba el efecto del paralaje. Colocando el dedo pulgar a unos 25 cm por delante de los ojos y situándose a 1 m de distancia de la pared. Tapando con la mano un ojo cada vez se ve que la posición del dedo pulgar respecto de la pared cambia .

El paralaje es el responsable del movimiento aparente del dedo pulgar respecto de la pared.

Este movimiento aparente depende de la longitud de la base o distancia entre los ojos y de la distancia a la que se encuentre el dedo de nosotros. Cuanto más alejado esté el objeto que miramos, mayor será la longitud de la base que habrá que tomar para que el ángulo de paralaje sea apreciable.

El paralaje es el método más antiguo que se aplicó para calcular la distancia a las estrellas. El método consiste en trazar sendas visuales; una, por ejemplo en enero, y la otra, seis meses más tarde, en julio. Como estas observaciones están separadas 2 UA (la UA es la distancia media de la Tierra al sol), la estrella E se ve desde un punto con un ángulo diferente del ángulo con el que se ve desde otro punto.

Con estas dos observaciones se puede construir un triángulo rectángulo de base 1 UA (1 UA = 149.597.840 Km) y ángulos también conocidos. La altura D de este triángulo es la distancia estelar que buscamos.

Teniendo esto en cuenta y que un año-luz equivale a 9.460.528.400.000 km, podemos escribir:

Esta expresión nos permite calcular las distancias estelares. La primera distancia estelar calculada por este procedimiento la hizo el alemán Friefrich Wilheim Bessel (1784-1846), en 1838, para la estrella 61 Gygni.

Quién era Friefrich Wilheim Bessel

Bessel fue un astrónomo y matemático alemán, nacido en Minden, conocido principalmente por realizar la primera medición precisa de la distancia de una estrella. Nació en Minden. Bessel supervisó la construcción del observatorio de Königsberg y fue su director desde 1813 hasta su muerte. Estableció el sistema uniforme para calcular las posiciones de las estrellas que todavía se utiliza actualmente. Desde 1821 hasta 1833, determinó con precisión las posiciones de estrellas de hasta la novena magnitud, elevando el número de estrellas catalogadas a 50.000. Sus Observaciones astronómicas fueron publicadas en 1842. Bessel fue el primero en determinar el paralaje, y por tanto, la distancia de una estrella fija, 61 Cygni, proporcionando así la confirmación definitiva de la teoría por la que el Sol y no la Tierra es el centro del Sistema Solar. También determinó el diámetro, el peso y la elipticidad (o desviación de la forma de una esfera real) de la Tierra. En la investigación de problemas relacionados con perturbaciones planetarias ,introdujo en matemáticas las funciones de Bessel como solución a ciertas ecuaciones diferenciales. Las funciones son de gran importancia para determinar la distribución y el flujo del calor o la electricidad a través de un cilindro circular, y para la solución de problemas relacionados con el movimiento ondulatorio, la elasticidad y la hidrodinámica.

¿Qué es pi?

=3.141592653589793238462643383279502884197169399365105820974944592307816406808998628034823421170679821480865132823066470938446095905822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819628810975665933446728475648237867831652

Pi, letra griega (), es el símbolo para la relación detransformación de la circunferencia de un círculo

de diámetro (2r). Es aproximadamente 22/7 y se calcula generalmente a 3 dígitos, 3,14. Con el uso de

ordenadores, el pi ha estado calculado concluido a 51 mil millones de decimales. El pi es un

significado del número irracional que relanzará infinitamente sin relanzar. El símbolo para pi, , primero

fue utilizado en 1737 por Guillermo Jones, pero sera popular después de que fuera adoptado por el

matemático suizo Leonhard Euler en 1737.

Euler dio el primer tratamiento analítico completo de la

álgebra, de la teoría de ecuaciones, de la trigonometría, y de la geometría analítica. Él también trabajó con

cálculo y es variaciones, teoría del número, y números imaginarios.

Aplicaciones de pi

Pi tiene muchas aplicaciones útiles y es muy fácil de utilizar. Con pi, se puede calcular la circunferencia o el área de un círculo, de la esfera, del cono, o de cualquier polígono con una dimensión de una variable circular

La secuencia 314159 reaparece en la extensión decimal del pi en el lugar 176451. Esta secuencia aparece 7 veces en primeros 10 millones de lugares (no incluyendo la derecha en el comienzo)

Pi no tiene que ser escrito en decimales, el binario de pi (lenguaje de programación básico) es:

11,0010010000111111011010101000100010000101101000110000100011010011

El pi ocurre en centenares de ecuaciones en muchas ciencias incluyendo ésos que describen la hélice del doble del ADN, un arco iris, ondulación que se separa de donde una gota de agua cayó en el agua, ecuación gravitacional del campo de Einstein, la distribución normal, los problemas de la geometría, ondas, navegación.

Se puede hacer porciones más materia con pi cuando está en formato binario - como trazar cuadros extraños de ella, o aún escuchar ella. Pues pi tiene un número infinito de lugares, es absolutamente posible que cualquier mensaje se pudiese oír en alguna parte en el pi. Incluso se ha sugerido que contiene la VOZ DE DIOS. En el libro ` contacto ` de Carl Sagan los lugares del pi (en la base 11) se encuentran para contener un mensaje de los seres que construyeron el universo.

Satan no aparece en el pi demasiado rápidamente: La primera vez que aparece ` 666 ` está en la posición

2440

Los dígitos del pi aparecen ` al azar ` pero describen algo esencial para el universo. La secuencia de dígitos ha pasado hasta ahora todas las pruebas sabidas para la aleatoriedad.

Pi es un número ` transcendental `. Esto significa que no es la solución a ningún polinomio finito con coeficientes del número entero. Esta es la razón por la cual es imposible ajustar el círculo

Lo siguiente es todo casi :

101/2

Raíz cúbica de 31

666/212

(97 + 9/22)1/4

9/5 + (9/5)el ½

(19 (7))/ 16 del ½

(2)el ½ + (3)el ½

1,1 x 1,2 x 1,4 x 1,7

(296/167) 2

Historia de pi

Cerca de 1650 A.C., los egipcios utilizaron pi = 3 pero mejoraron esto (22 / 7). También utilizaron(256/81), según lo mostrado en el Rhind egipcio Papyrus.

Otra referencia sabida de pi está en un desfile medio del papyrus del reino, escrito alrededor de la misma época de los egipcios por Ahmes el escribano.

En alrededor 200 A.C. Archimedes de Syracuse encontró que el pi estaba en medio (223 / 71) y (22 /7). Su error no era no más de 0,008227 %

Cómo se presentó :

El símbolo p primero fue utilizado en 1706 por el matemático Guillermo Jones english pero llegó a ser popular cuando Leonhard Euler lo adoptó en 1737

Linea de tiempo de cuántos dígitos de pi se han calculado:

1699: Resultados usados sostenidos de Gregory para conseguir 71 dígitos

1701: Machin consiguió a 100 dígitos

1719: de Lagny encontró 112 dígitos

1789: Vega acheived 126 dígitos

1794: Vega podía calcular 136 dígitos correctamente

1841: Rutherford caclculated 152 dígitos

1853: Doce años más adelante, Rutherford podía conseguir 440 dígitos

1873: La asta consiguió al lugar 707, pero 527 de ellos eran incorrectos

1949: Los ordenadores estupendos fueron utilizados para calcular a 2000 lugares

1991: Los hermanos Chudnovsky en Nueva York calculaban 2.260.321.363 lugares decimales

Hoy dia pi ha sido calculado a 51 billones de digitos con potentes ordenadores.

Pi calculado a 10.000 dígitos:

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012 8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912 9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279 6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955 3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356 6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000 8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548 1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333 4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542 5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383 8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511 7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863 0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287 4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009 9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077 2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203 4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151 5709858387 4105978859 5977297549 8930161753 9284681382 6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680 8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388 4390451244 1365497627 8079771569 1435997700 2774155991 1973568548 1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333 4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542 5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383 8279679766 8145410095 3883786360 9506800642

Bibliografía.

• Aprendo a superar las matemáticas de 2º de BUP

• Aprendo a superar las matemáticas de 3º de BUP

• Matemáticas Tecnología 1º Bachiller J.R. Vizmanos y M. Anzola.

• Diccionario enciclopédico Espasa Calpe.

• Diccionario enciclopédico Larousse.

• Diccionario enciclopédico Vox.

• Microsoft Encarta 99.

• Enciclopedia Planeta Multimedia.

• Direcciones de Internet :

http://planetpi.8m.com/

http://usuarios.iponet.es/~jastorga/matematicas/mates.htm

http://www.arrakis.es/~davidgv/index.html

http://www.redemat.com/

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