Traslaciones en el Plano

Rotaciones. Propiedades. Elementos. Composición de Rotaciones. Vectores

  • Enviado por: Carlos Seedorf
  • Idioma: castellano
  • País: Venezuela Venezuela
  • 14 páginas

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REPUBLICA DE VENEZUELA

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

TRANSLACIONES N EL PLANO

Materia: Matematica

TRASLACIONES EN EL PLANO

Consideremos un punto p en el plano y un vector “a”; Si dibujamos un vector equipolente al vector “a”, con origen el punto p, y llamamos p´ al extremo de este vector, diremos que p ha sido trasladado al punto p´, o que p´ es la traslación de p por medio del vector “a”.

p

a

p

a

En general:

Diremos que la traslación de un punto p; por medio del vector “a”, es un punto p´, tal que:

pp = a

De esta manera, cualquier punto del plano puede trasladarse por medio del vector “a”, o sea, que podemos definir una función del plano en el plano, de tal manera que a cada punto p del plano le hacemos corresponder su trasladado por medio del vector “a”. A esta función la denotaremos por Ta y la llamaremos traslación de vector “a”.

Ejemplo:

Hallemos las imágenes de los puntos a, b y c por medio de la traslación Ta .

b b´

a

a. a a´

c c´

Observemos que: La imagen de a por medio de Ta es a´ y escribimos:Ta (a) = a´

La imagen de b por medio de Ta es b´ y escribimos: Ta (b) = b´

La imagen de c por medio de Ta es b´ y escribimos: Ta (c) = c´

En resumen, diremos que:

Una traslación de vector “a” es una función del plano en el plano, tal que a cada punto p del plano le hace corresponder su trasladado p´ , es decir:

Ta (p) = p´, donde p´ = a

Imagen de figuras planas por medio de una traslación.

Imagen de un segmento por una traslación.

Consideremos el segmento pq y el vector “a”: queremos determinar el tipo de figura que se obtiene al colocarle la traslación Ta .

a

Para ello, hallemos Ta (p) = p´ y Ta (q) = q´

q q´

Unimos p´ con q´ y obtenemos un segmento p´o´. a

Observemos entonces que la imagen de pq por a

medio de Ta es otro segmento p´q´. Esto lo p p´

podemos denotar así:

Ta (pq) = p´q´.

Si consideramos el vector pq, podemo observar que el vector p´q´ es equipolente al vector pq. En efecto, ambos vectores tienen la misma dirección, sentido y modulo. Por lo tanto, el segmento p´q´ tiene la misma longitud que el segmento pq.

q q´

p p´

En resumen:

La traslación de un segmento pq por medio de Ta es un segmento p´q´. Cumpliéndose ademas que:

| (pq) = | (p´q´)

Además, si consideremos el vector pq, se obtiene el vector p´o´, donde :

pq = p´q´ (Equipolentes)

Imagen de una semirrecta y de una recta por una traslación.

Consideremos la semirrecta l, de origen o.

Para hallar la traslación de dicha semirrecta,

simplemente determinamos Ta (o) y Ta (b).

Donde b es un punto cualquiera de la semirrecta.

La semirrecta l´ de origen o´, que pasa por b´, a

es la imagen de l por medio de Ta . O sea; l b b´

l

Ta (l) = l´

o o´

Similarmente, para hallar la imagen de una recta R,

Por medio de Ta , tomamos dos puntos distintos

c Y d, de R. Luego, hallamos Ta (c) = c´ y R´

Ta (d) = d´. a

d d´

La recta R´ que pasa por c´ y d´ es la imagen de R R

por medio de Ta . O sea; c c´

a

Ta (R) = R´

Imagen de un triangulo por una traslacion.

Consideremos el triangulo abc y la traslación de Ta .

Como un triangulo esta determinado por

sus vértices, para hallar la imagen del triangulo

abc simplemente hallaremos las imágenes de c

sus vértices, es decir, de a, b y c. c´

Asi: Ta (a) = a´; T a (b) = b´; Ta (c) = c´.

b

El a´b´c´ sera la imagen de abc o sea: a b´

T ( abc) = a´b´c´

La imagen de un triangulo abc , por medio de la traslación Ta , es otro triangulo

a´b´c´.

Imagen de un rectángulo por una traslación.

Consideremos el rectángulo abcd y d c

la traslación Ta .

a b

Como el rectángulo esta determinado por

sus vértices: a, b, c y d, para hallar la

traslación de este rectángulo procedemos a hallar: d´ c´

Ta (a) = a´; Ta (b) = b´; Ta (c) = c´; Ta (d) = d´. a´ b´

Luego, el rectángulo a´b´c´d´ es la imagen

de abcd por medio de Ta .

Imagen de una circunferencia por una traslación.

Consideremos una circunferencia de c

centro o y radio de longitud R.

o a

Tomemos un radio oa de la circunferencia c;

Hallemos Ta (o) = o´ y Ta (a) = a´.

Como vimos anteriormente: a´

R = |(oa) = |(o´a´)

Luego, la imagen de c por medio de Ta

Es otra circunferencia c´, de centro O´ y del

Mismo radio (R)

En todas las imágenes presentadas se han observado las siguientes propiedades de la traslación de Ta .

a) Conserva distancias, es decir: Ta transforma el segmento ab en el segmento

a´b´ con:

b b´

|(ab) = |(a´b´)

a r a´

Por esto, diremos que Ta es una isometría.

B) Transforma una figura f de la misma forma y dimensiones.

f f´

Ta

Existencia del elemento neutro

Recordemos que el vector O tiene la propiedad:

A + O = O + A = A

Entonces, una traslación del vector O deja fijo a un P del plano, es decir:

Ta ( p) = p

Observemos entonces que:

To T a = T a . a = T a

O sea, la composición de cualquier traslación Ta con la traslaciónTa ; por esta razón, diremos:

El conjunto de las traslaciones tiene como elemento neutro a la traslación T , con respecto a la operación de composición de traslaciones, es decir:

T a o Ta = To T a = T a

Traslacion inversa

Consideremos un punto p y una traslacion Ta .

Con esta traslación, p se traslada hasta q.

Si , a su vez, trasladamos q por medio de Ta p a

Obtendremos de nuevo p.

q

O sea: Ta (p) = q, y Ta (q) = p p

a

Por lo tanto:

q

T a o T a = T (-a) + a = T o

Por esto, decimos:

Para cada traslación Ta existe una traslación inversa Ta respecto a la composición de traslaciones.

En resumen, la composición de tralaciones cumple las siguientes propiedades:

Composicion de traslaciones: Tb o Ta = Ta . Tb

Propiedades

Conmutativa T b o Ta = Ta o Tb

Asociativa Tc o ( Tb o Ta ) = ( Tc o Tb ) oTa

Existencia del Ta o To = To o Ta = Ta

elemento neutro

Traslación inversa Ta o T.a = T. a o Ta = To

ROTACIONES EN EL PLANO

Consideremos un punto O en el plano y p

sea otro punto del plano, distinto al anterior.

Consideremos la semirrecta Oa. Dibujemos

los angulosA y & que se indican ( a la derecha).

& a

Con un compas , tomando centro en O y con un O A

radio Oa, cortamos los lados Op y Oq , obte- q

niendo, respectivamente, los puntos a´ y a´´.

&

O a

a´´

Ejemplos:

Dan ideas de rotación las siguientes situaciones:

  • El movimiento de una puerta al cerrarse o abrirse.

  • El movimiento de un péndulo.

  • El movimiento de las agujas del reloj.

  • Elementos de una rotación.

    Como vimos anteriormente, una rotación queda determinada por:

  • El centro de giro o de la rotación (el punto O).

  • La magnitud del angulo

  • El sentido del angulo.

  • Ejemplo:

    Hallemos las imágenes del punto a, por medio de una rotación de centro o y angulo a.

    . a

    . o

    Construyamos el segmento oa y dibujemos b

    el angulo aob, congruente con el angulo a y

    con el mismo sentido. Luego, con un compas, y a´

    tomando centro en o con una abertura oa,

    trazamos un arco hasta cortar el lado ob. o

    Sea a´ este punto. Diremos entonces que a

    a´ es la imagen de a por medio de la rotación de

    centro o y angul a.

    Observa que oa´ = oa y aoa´ = a, con el

    Mismo sentido.

    Por esta razon, definimos:

    Una rotación de centro o y angulo a orientado, es una funcion que transforma cada punto p del plano en otro punto q, tal que:

    op = oq y poq = a.

    Imágenes de algunas figuras por medio de una rotación.

  • Imagen de un segmento por medio de una rotación.

  • Consideremos el segmento ab; queremos hallar su imagen por medio de una rotación de centro o y angulo a orientado.

    b b

    & a

    & a o &

    La imagen del sgmento ab es el segmento a´b´.

    Si medimos los segmentos ab y a´b´ observaremos que son iguales.

    O sea: |(ab) = |(a´b´)

    En el siguiente ejemplo veremos que esto no es una casualidad, sino que la imagen de un segmento ab es otro segmento a´b´ con la misma longitud.

    f

    Asi, a la derecha tenemos la rotación del d

    Segmento ab para varios angulos de

    rotación.

    La imágenes cd, ef, hg, etc, todas o b

    tienen la misma longitud.

    Esto nos permite obtener una conclusión

    muy importante. En efecto, como la distancia h

    del punto “a” al punto “b” es la longitud

    del segmento ab, y

    como |(ab) = |(a´b´), siendo a´b´ la imagen

    ab por medio de una rotación, entonces

    la distancias entre las imágenes a´ y b´ es

    la misma distancia que entre a y b.

    Luego:

    La rotación de centro o y angulo orientado a, conserva las distancias, es decir, es una isometría. O sea:

    Imagen de a = a´

    Imagen de b = b´

    Distancia entre a y b = |(ab) = |(a´b´) = distancia entre a´ y b´

  • Imagen de untriangulo por medio de una rotación.

  • Como un angulo viene determinado por sus tres vértices, para hallar la imagen del

    triangulo abc lo que haremos sera hallar las imágenes de a, b y c, y luego trazar los segmentos a´b´, a´c´ y b´c´, obteniendo el triangulo a´b´c´, obteniendo el

    triangulo a´b´c´. c

    a

    b

    O a

    b

    Como |(ab) = |(a´b´); | (ac) = |(a´c´); |(bc) = |(b´c´), concluimos diciendo que la imagen de un triangulo abc es otro triangulo a´b´c, donde los lados correspondientes son iguales, es decir:

    |(ab) = |(a´b´)

    |(ac) = |(a´c´)

    |(bc) = |(b´c´)

    Composicion de rotaciones del mismo centro

    Consideremos un punto a y apliquémosle

    sucesivamente una rotación de centro o y

    angulo a, y luego una rotación de centro o a´

    y angulo &. Observando que se tendría el

    mismo efecto aplicando, de una vez, la

    rotación de centro o y angulo a + &. &

    Es decir: o a´

    a

    R.(&)°R.(a) = R.(a + &)

    a´´

    O sea, la composición de la rotación de centro o y angulo a, con la rotación de centro o angulo &, es una rotación del mismo centro o y angulo a + &.

    R.(&)°R.(a) = R.(a + &)

    Ejemplo:

    Hallemos la imagen del triangulo abc por medio de R.(30°) y R.(80°).

    Solucion:

    De acuerdo a la composición de rotaciones, se obtiene el mismo resultado aplicando R.(30°) al abc, y luego aplicando R.(80°), que aplicando directamente

    R.(30° + 80°) = R.(110°). b´´

    c´´ a´´

    c´ b´

    o c

    a b

    b´´

    c´´ a´´

    R.(30°) R.(80°)

    abc a´b´c´ a´´b´´c´´

    c

    O

    a b

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