Transmisión de señales y sistemas

Óptica. Señal. Pulso. Delta Dirac y Kronecker. Linealidad e invarianza de un sistema

  • Enviado por: El remitente no desea revelar su nombre
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 11 páginas
publicidad
publicidad

SEÑALES Y SISTEMAS

INTRODUCCIÓN:

Definimos una señal como una función matemática que depende de una o más variables independientes, y cuyo valor nos da información sobre el fenómeno físico al que está asociada.

Igualmente definimos un sistema como cualquier transformación realizada sobre una señal.

Transmisión de señales y sistemas

Un ejemplo serían las transformaciones que sobre la señal de un generador hace el circuito al que esta conectado.

SEÑALES:

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES:

Podemos dividir las señales según varios criterios. Los más usuales son:

  • Por el número de variables independientes:

  • Unidimensional

    Transmisión de señales y sistemas

    Multidimensional

    Transmisión de señales y sistemas

  • Por la variable independiente: Según si los valores que toma la variable pertenecen a un conjunto continuo(Variable continua), o si pertenecen a un conjunto finito(Variable discreta). Las señales se escribirán de la forma Transmisión de señales y sistemas
    y Transmisión de señales y sistemas
    respectivamente. Un ejemplo de ambas sería:

  • Transmisión de señales y sistemas

    En aquellos puntos en los que la señal de variable discreta no tenga valores, no se considera que la señal sea nula, sino que no está definida. A este tipo se señales las llamaremos secuencias.

    No se debe confundir la señal de variable continua con una señal continua. Por ejemplo la siguiente señal no es continua, pero si es de variable continua:

    Transmisión de señales y sistemas

  • Por el rango de valores: La señal puede dividirse, al igual que la variable, en continua y discreta. Por ello existen señales continuas de variable continua(Sinusoide), continuas de variable discreta(Temperatura diaria a lo largo de un mes), discretas de variable continua (Parte entera) y discreta de variable discreta(Señal digital). Se puede pasar de una a otra mediante el proceso de muestreo:

  • Transmisión de señales y sistemas

  • Por la determinación de la señal: Serán determinísticas aquellas señales cuyo valor para cada valor de la variable sea fijo(función matemática), y serán aleatorias aquellas cuyo valor es indeterminado(Temperatura en una fecha futura).

  • ENERGÍA Y POTENCIA DE UNA SEÑAL:

    Sabemos que en una resistencia la potencia viene dada por:

    Transmisión de señales y sistemas

    la energía por:

    Transmisión de señales y sistemas

    y la potencia media por:

    Transmisión de señales y sistemas

    Definiremos entonces la energía y la potencia media de una señal como (Transmisión de señales y sistemas
    ):

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    y la energía y potencia totales de una señal como:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Para el caso de una señal de variable discreta los definiremos como (Transmisión de señales y sistemas
    ):

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    y las totales como:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Diremos que una señal es definida, bien en potencia, bien en energía, o bien en ambas, cuando la potencia, la energía, o ambas respectivamente no sean nulas ni infinitas. Así, pues, la señal formada por Transmisión de señales y sistemas
    no está definida ni en potencia ni en energía.

    PROPIEDADES DE LAS SEÑALES:

  • Simetría: Una señal es:

  • par si:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    impar si:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Por ejemplo:

    Transmisión de señales y sistemas

    Toda señal impar, sea de variable discreta o continua, ha de valer cero en el origen, excepto si es discontinua en él.

    Evidentemente no todas las señales son pares o impares, pero siempre vamos a poder descomponerlas en suma de una señal par y otra señal impar:

    Sea Transmisión de señales y sistemas
    una señal. Entonces la podemos descomponer como Transmisión de señales y sistemas
    , siendo:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    e igualmente en señales de variable discreta.

  • Periodicidad: Una señal Transmisión de señales y sistemas
    es periódica si existe Transmisión de señales y sistemas
    tal que Transmisión de señales y sistemas
    , donde Transmisión de señales y sistemas
    es el mínimo valor tal que se cumple la condición dada. Análogamente se dice que una señal Transmisión de señales y sistemas
    es periódica si existe Transmisión de señales y sistemas
    tal que Transmisión de señales y sistemas
    , donde Transmisión de señales y sistemas
    es el mínimo valor tal que se cumple la condición dada.

  • Causalidad: Una señal Transmisión de señales y sistemas
    es causal si Transmisión de señales y sistemas
    . Igualmente en variable discreta.

  • Ortogonalidad: Dos señales Transmisión de señales y sistemas
    e Transmisión de señales y sistemas
    se dice que son ortogonales en un intervalo Transmisión de señales y sistemas
    si:

  • Transmisión de señales y sistemas

    Análogamente, y para dos señales Transmisión de señales y sistemas
    e Transmisión de señales y sistemas
    se dice que son ortogonales en un intervalo Transmisión de señales y sistemas
    si:

    Transmisión de señales y sistemas

    TRANSFORMACIONES EN LA VARIABLE INDEPENDIENTE:

  • Desplazamiento en la variable: Consiste en restar a la variable una constante:

  • Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

  • Reflexión: Consiste en invertir la señal respecto del origen de la variable:

  • Transmisión de señales y sistemas

  • Escalado: Aquí hay que diferenciar el escalado en tiempo continuo y el escalado en tiempo discreto. Vamos a estudiar el escalado en tiempo continuo:

  • Consiste en multiplicar la variable por una constante:

    Transmisión de señales y sistemas

    Aquí debemos tener en cuenta que la constante puede ser mayor o menor que la unidad:

    Transmisión de señales y sistemas

    Es decir:

    Transmisión de señales y sistemas
    disminuye la amplitud

    Transmisión de señales y sistemas
    aumenta la amplitud

    En tiempo discreto la operación es ligeramente distinta, pues consiste en cambiar la señal Transmisión de señales y sistemas
    de tal manera que(Suponiendo que Transmisión de señales y sistemas
    ):

    Transmisión de señales y sistemas

    Por ejemplo, para una señal dada, y Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    A esta operación de escalado aplicada a una señal de variable discreta se le llama interpolación, y consiste en intercalar Transmisión de señales y sistemas
    ceros entre cada dos valores consecutivos. Se representa por el siguiente simbolo:

    Transmisión de señales y sistemas

    En el caso de que Transmisión de señales y sistemas
    la operación consiste en eliminar Transmisión de señales y sistemas
    muestras entre cada Transmisión de señales y sistemas
    muestras separadas. A este proceso se le llama diezmado, y no tiene más plicación práctica que recomponer una señal ya interpolada. Se representa por:

    Transmisión de señales y sistemas

    Evidentemente es posible conjugar las operaciones, pero siempre teniendo cuidado con el orden de actuación. Veamos un ejemplo de conjugación a partir de una señal dada:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Evidentemente la primera conjugación está mal, ya que en realidad lo que está haciendo es Transmisión de señales y sistemas
    , que es incorrecto. Lo correcto es, pues, desplazar primero y escalar despues.

    EJEMPLOS DE SEÑALES:

    • TIEMPO CONTINUO:

  • Exponencial compleja:

  • Transmisión de señales y sistemas
    , donde Transmisión de señales y sistemas

    En el caso de que Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Si Transmisión de señales y sistemas
    y Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    con lo que la función resultante es periódica

    Transmisión de señales y sistemas
    En el caso general:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Podemos representar la parte real. La parte imaginaria es identica.

    Relacionada con este tipo de señal están las exponenciales armonicamente relacionadas, que son todas aquellas exponenciales complejas de la forma:

    Transmisión de señales y sistemas

    Evidentemente todas son periódicas de periodo Transmisión de señales y sistemas
    , y el periodo mínimo de cada una de ellas es Transmisión de señales y sistemas

  • Impulso unidad o Delta de Dirac:

  • Transmisión de señales y sistemas
    Para definir esta señal vamos a empezar por definir una señal Transmisión de señales y sistemas
    como una señal cuadrada centrada en el origen, de anchura Transmisión de señales y sistemas
    y area unidad:

    El límite de dicha función es la función delta de Dirac:

    Transmisión de señales y sistemas

    Dicha función se representa por :

    Transmisión de señales y sistemas

    Donde el 1 indica que el área es la unidad, ya que la altura es infinita.

    Podemos definirla como:

    Transmisión de señales y sistemas

    Algunas de sus propiedades son:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

  • Escalón unidad:

  • Al igual que en la anterior, vamos a definir una función accesoria cuyo límite nos va a dar la función escalón unidad. Por tanto definimos la función Transmisión de señales y sistemas
    como:

    Su límite es la función escalón unidad:

    Transmisión de señales y sistemas

    Sus propiedades son análogas a las de la delta de Dirac. Además, si la derivamos, obtenemos:

    Transmisión de señales y sistemas

    Por tanto podemos definir:

    Transmisión de señales y sistemas

  • Transmisión de señales y sistemas
    Pulso rectangular:

  • Esta señal se re presenta por:

    Transmisión de señales y sistemas

    Su representación gráfica es la de la derecha:

    Es posible crear esta señal a partir de dos funciones escalones retardadas convenientemente:

    Transmisión de señales y sistemas

  • Transmisión de señales y sistemas
    Señal triangular:

  • Esta señal se re presenta por:

    Transmisión de señales y sistemas

    Su representación gráfica es la de la derecha:

  • Función Transmisión de señales y sistemas
    :

  • Transmisión de señales y sistemas
    Se define como:

    Transmisión de señales y sistemas

    Se puede verificar que es continua en Transmisión de señales y sistemas
    . Asimismo Transmisión de señales y sistemas
    es nulo en todos los puntos en los que Transmisión de señales y sistemas
    sea entero, exceptuando a Transmisión de señales y sistemas
    .

    • TIEMPO DISCRETO:

  • Transmisión de señales y sistemas
    Impulso delta de Kronecker:

  • Se define como:

    Transmisión de señales y sistemas

    Algunas de sus propiedades más importantes son:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

  • Escalón unidad en tiempo discreto:

  • Transmisión de señales y sistemas
    Se define como:

    Transmisión de señales y sistemas

    También se puede definir como:

    Transmisión de señales y sistemas

  • Exponencial compleja en tiempo discreto:

  • Transmisión de señales y sistemas
    Se define como:

    Transmisión de señales y sistemas
    , donde Transmisión de señales y sistemas

    En el caso de queTransmisión de señales y sistemas
    :

    En el caso de que Transmisión de señales y sistemas
    , Transmisión de señales y sistemas
    , escribimos:

    Transmisión de señales y sistemas

    Donde las unidades de Transmisión de señales y sistemas
    son radianes, y le llamamos pulsación, o vulgarmente frecuencia. Por las formulas de Euler podemos escribir:

    Transmisión de señales y sistemas

    Dicha señal es periódica en la frecuencia, es decir, para valores de Transmisión de señales y sistemas
    separados por un múltiplo entero de veces Transmisión de señales y sistemas
    , el comportamiento se repite, de tal manera la oscilación va creciendo con la frecuencia hasta llegar a Transmisión de señales y sistemas
    , y luego vuelve a disminuir hasta llegar a Transmisión de señales y sistemas
    , repitiendose el proceso.

    También puede ser periódica en la variable. Para ello se ha de cumplir que:

    Transmisión de señales y sistemas

    Si Transmisión de señales y sistemas
    , entonces Transmisión de señales y sistemas
    y la señal es periódica.

    Al igual que en variable continua, existen unas exponenciales armónicas relacionadas, de frecuencia múltiplo de la fundamental Transmisión de señales y sistemas
    , cuyo número no es infinito, ya que son periódicas en la frecuencia. Las representamos como:

    Transmisión de señales y sistemas

    SISTEMAS:

    CONEXIÓN DE LOS SISTEMAS:

  • En serie o cascada:

  • Consiste en conectar la señal de salida de un sistemas a la entrada de otro sistema:

    Transmisión de señales y sistemas

  • En paralelo:

  • Este tipo de conexión consiste en hacer dividir la señal y hacerla pasar por diferentes sistemas, para luego sumarlos:

    Transmisión de señales y sistemas

  • Con realimentación. Consiste en sumar parte de la señal de salida de un sistema a su propia entrada:

  • Transmisión de señales y sistemas

    Por supuesto es posible usar combinaciones de los tres tipos de conexión. Un ejemplo sería:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS:

  • Linealidad:

  • Se dice que un sistema es lineal si cumple los principios de superposición y multiplicación por una constante. La manera de expresarlo es:

    Un sistema Transmisión de señales y sistemas
    es lineal si Transmisión de señales y sistemas
    , para cualesquiera señales Transmisión de señales y sistemas
    , Transmisión de señales y sistemas
    y para cualesquiera constantes Transmisión de señales y sistemas
    , Transmisión de señales y sistemas
    .

    Por ejemplo:

    Transmisión de señales y sistemas

    No es lineal

    Transmisión de señales y sistemas

    No es lineal

    Transmisión de señales y sistemas

    No es lineal

    Transmisión de señales y sistemas

    Si es lineal

    Existe un tipo de sistemas, no lineales, consistentes en aplicar una transformación lineal y sumar una constante al resultado. Por ejemplo:

    Transmisión de señales y sistemas

    Sin embargo, estos sistemas si son lineales con respecto a los incrementos de la señal, y por ello se les llama sistemas incrementalmente lineales.

    Por último hacer notar que todo sistema lineal verifica que ante una señal de entrada nula, la señal de salida es nula.

  • Invarianza:

  • Un sistema se dice invariante si un desplazamiento en la señal o secuencia de entrada produce el mismo desplazamiento en la señal o secuencia de entrada. Podemos decir que:

    Un sistema Transmisión de señales y sistemas
    es invariante si Transmisión de señales y sistemas
    , para cualquier señal Transmisión de señales y sistemas
    .

    Por ejemplo:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Son distintas, luego el sistema es variante.

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Luego el sistema es invariante.

  • Causalidad:

  • Un sistema es causal si en un instante dado la señal de salida depende solamente del valor de la señal de entrada en dicho instante, o en instantes anteriores, nunca posteriores.

    Por ejemplo:

    Transmisión de señales y sistemas

    Es causal

    Transmisión de señales y sistemas

    No es causal

    Los sistemas no causales con variable temporal no son realizables fisicamente.

  • Estabilidad:

  • Un sistema se dice estable si ante una señal de entrada acotada da una señal de salida acotada. En ingles se dice que el sistema es BIBO. Se puede expresar como:

    Un sistema Transmisión de señales y sistemas
    es estable si Transmisión de señales y sistemas
    , para cualquier señal Transmisión de señales y sistemas
    .

    Por ejemplo:

    Transmisión de señales y sistemas

    Es estable

    Transmisión de señales y sistemas

    No es estable

    Transmisión de señales y sistemas

    Es estable

    Transmisión de señales y sistemas

    No es estable

  • Invertibilidad:

  • Un sistema es invertible si podemos encontrar un sistema que al introducir la señal de salida del original nos devuelva la señal de entrada.Es decir:

    Transmisión de señales y sistemas

    Por ejemplo:

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

  • Memoria:

  • Se dice que un sistema no tiene memoria si la señal de salida depende unicamente del valor actual de la señal de entrada.

    Por ejemplo:

    Transmisión de señales y sistemas

    Sin memoria

    Transmisión de señales y sistemas

    Con memoria

    Evidentemente todo sistema sin memoria es causal.

    Por ejemplo, una función cuya variable pertenece a Transmisión de señales y sistemas
    es continua, pero una cuyos posibles valores para la variable son Transmisión de señales y sistemas
    es discreta

    Transmisión de señales y sistemas

    4

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Transmisión de señales y sistemas

    Vídeos relacionados