Transformaciones lineales

Informática. Transformaciones lineales. Matriz de transformación lineal. Sistemas de ecuaciones lineales. Álgebra

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Índice

Pag.

Introducción

3

1. Transformaciones lineales

4

1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades

4

1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

7

1.3 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal

11

1.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal

13

1.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales

15

1.6 Algebra de las transformaciones lineales

19

1.7 Aplicación de las transformaciones lineales.

19

Conclusión

22

Bibliografía

23

Introducción

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.

Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales.

1. Transformaciones lineales

1.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades

Definición.   Sean  V  y  W  espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
 tal que:

i)   'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

           ii)   'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.

Observaciones:

i) Si  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
 es una transformación lineal, entonces  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

En efecto 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
. Por la ley de la cancelación en W, tenemos que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva  (i) de T. Este hecho lo usamos en el siguiente inciso.

ii) 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
 es lineal si y solo si 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

Si T lineal, entonces 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
. Inversamente, supongamos que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
. Probemos las dos condiciones para que  T  sea lineal:

a)    'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

b)   'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

Nótese que usamos el hecho de que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso (i).

iii)  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
 es lineal si y solo si 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

La demostración se hace por inducción sobre n.

a)      Si  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, entonces  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, por la condición  (ii) de T.

b)      Supongamos válido para n. Probemos para 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
:

Por la condición (i) de T, tenemos que, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
Y por hipótesis de inducción, tenemos que,

'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
 

Así que podemos concluir que,

'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:

'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación  (ii) de arriba.

Ejemplo 1. 

Sea  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
 tal que  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
. Entonces  T es lineal,  ya que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, y  por otro lado, 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
. Por lo tanto, vemos que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

Ejemplo 2.

Sea  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
  tal que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
. Entonces  T es lineal, ya que  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.

Ejemplo 3.

Sea  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
  tal que  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
 la traza de A, es decir,  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, la suma de los elementos de la diagonal. Entonces  T  es lineal, ya que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

Ejemplo 4.

Sea  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
  tal que  'Transformaciones lineales'
. Entonces T es lineal, ya que 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

'Transformaciones lineales'

'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

Ejemplo 5.

Sea  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
 tal que  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, la derivada de 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
. Entonces  T  es lineal ya que: 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

Ejemplo 6.

Sea  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
, el espacio vectorial de todas  las funciones continuas en un intervalo cerrado 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
 y sea  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
 tal que  'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'
.  Entonces  T  es lineal ya que: 'Transformaciones lineales'
'Transformaciones lineales'

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:

  • T(u+v) = T(u) + T(v)

  • T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.

  • Clasificación de las transformaciones lineales

  • Monomorfismo: Si 'Transformaciones lineales'
    es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo. 'Transformaciones lineales'

  • Epimorfismo: Si 'Transformaciones lineales'
    es sobreyectiva (exhaustiva).

  • Isomorfismo: Si 'Transformaciones lineales'
    es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).

  • Endomorfismo: Si 'Transformaciones lineales'
    o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).

  • Automorfismo: Si 'Transformaciones lineales'
    es endomorfismo e isomorfismo a la vez.

  • 1.2 Ejemplos de transformaciones lineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)

    Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     )

    'Transformaciones lineales'
    Sea 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
      un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar  cual es la transformación  T  de 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
      en  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     que gira cada vector  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     un ángulo 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    , para obtener un vector 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

    Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    Distribuyendo y usando el hecho de que  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     y  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
              tenemos que:

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     tal que  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    .

    Esta transformación se llama la rotación por un ángulo 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     y es lineal, ya que:

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    Ejemplo 8.  (Reflexión sobre el eje x)

    En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T  de 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
      en 'Transformaciones lineales'
    que cada vector 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

    'Transformaciones lineales'

     

     'Transformaciones lineales'

     

    En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde  T  queda definida como sigue:

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

     

    Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x)

    En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T  de 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
      en 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    que a cada vector 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     lo proyecta perpendicularmente sobre el eje x, para obtener un vector  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    . En una gráfica, vemos la situación como sigue:

    'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'

    También este caso es sencillo, pues es obvio que  T  queda definida como sigue:

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x, y es lineal, ya que:

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos el siguiente subespacio de 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    :

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    Vemos que  éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien, 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     tiene un complemento directo, a saber, 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    De tal forma  que cada vector 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     se escribe en forma única como suma de un vector de 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     más un vector de 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
      como sigue:

    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    Notamos que la proyección sobre el eje x, manda a 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     sobre 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    , el cual  es precisamente el término correspondiente a 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     en la descomposición anterior!

    Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue:

    Definición.   Sea  V  un espacio vectorial y sea 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     un subespacio tal que existe 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    el complemento directo de 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     en V,  es decir  tal que  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    , de tal forma que cada vector  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     se escribe en forma única como: 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    Con 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
      y  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    . Definimos entonces la proyección sobre 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    , como aquella transformación 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     tal que 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    .

    Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
      con  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
      y   'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    , entonces  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    con  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
      y  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    . Por lo tanto, de acuerdo a la definición de  T, tenemos que: 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de la proyección sobre el eje x. Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificar sobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cual es el complemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede tener distintos complementos directos. El mismo eje x, tiene el siguiente complemento directo: 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    En efecto, es claro que 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     es un subespacio de 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     y  'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    . Además, cada 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
     se escribe como 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    . Todo esto demuestra que 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    . Usando esta descomposición y la definición de proyección, tendremos que en este caso, la transformación queda dada como sigue: 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'

    Así pues, por cada complemento directo que tengamos a la mano, podemos definir una proyección asociada a dicha descomposición.

    Ejemplo contracción

    Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.

    Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2

    Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.

    Ejemplo dilatación o expansión

    Una dilatación es una transformación que incrementa distancias.

    Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2

    Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)

    Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)

    1.3 Definición del núcleo o kernel, e imagen de una transformación lineal

    Kernel o Núcleo

    Definición 94 Sea 'Transformaciones lineales'
    una transformación lineal. Se define el Kernel o Núcleo de la transformación lineal 'Transformaciones lineales'
    , denotado por 'Transformaciones lineales'
    al conjunto de las preimágenes del vector nulo, es decir

    'Transformaciones lineales'

    Ejemplo Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal

    'Transformaciones lineales'

    Solución: Necesitamos determinar los vectores 'Transformaciones lineales'
    de 'Transformaciones lineales'
    tales que

    'Transformaciones lineales'

    Evaluando 'Transformaciones lineales'

    'Transformaciones lineales'

    es decir,

    'Transformaciones lineales'

    luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos

    'Transformaciones lineales'

    por lo tanto,

    'Transformaciones lineales'

    con lo cual,

    (x;y;z) = (0;-(1/3)z;z)

    = z(0;-(1/3);1) Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el subespacio

    'Transformaciones lineales'

    Note que el resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las preimágenes de un vector para una transformación lineal dada.

    Ejemplo Determinar el kernel de la siguiente transformación lineal

    'Transformaciones lineales'

    Solución: Como tenemos que

    'Transformaciones lineales'
    Reemplazando

    Imagen o Recorrido

    Recordemos la definición de recorrido.

    Definición Se define la Imagen o Recorrido de una transformación lineal 'Transformaciones lineales'
    , esto es 'Transformaciones lineales'
    como el conjunto de los vectores que tienen al menos una preimagen. 'Transformaciones lineales'

    Ejemplo Dada la transformación lineal

    'Transformaciones lineales'

    Determinar la imagen de 'Transformaciones lineales'

    Solución: Si recordamos el proceso que usamos en el cálculo en una variable, determinemos cuales vectores tienen preimagen.

    Para ello, sean 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    tales que  

    T(x;y;z) = (a;b;c) (2x-y+z;x-y+z;x) = (a;b;c)

    Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema

    'Transformaciones lineales'

    Ahora, resolvamos el sistema buscando la matriz asociada a él, y determinando su escalonada

    'Transformaciones lineales'

    luego, un vector tiene preimagen si y sólo si el sistema el sistema es consistente (no necesitamos que la solución sea única), lo cual es equivalente a escribir

    'Transformaciones lineales'

    Por lo tanto,
    Im(T) = {(a;b;c) 'Transformaciones lineales'
    /((x;y;z) 'Transformaciones lineales'
    ((T(x;y;z)=(a;b;c))
    = {(a;b;c) 'Transformaciones lineales'
    /a-b-c=0}
    = <(1;1;0);(1;0;1)>:

    1.4 La matriz de una transformación lineal y representación matricial de una transformación lineal

    Representación matricial de una transformación lineal.

    Sea T : V !"! W una T.L con dimV = n, dimW = m si {e1,...,en} es una base de V y {w1,...,wm} es una base de W, cada elemento t(ek) puede expresarse con unicidad, como una combinación lineal de los elementos de la base es decir T(ek) =m"i=1tikwi donde tik ,...,t mk son los componentes de t(ek) respecto a la base ordenada {w1,...,wm}.

    • Los tik forman un vector columna o matriz columna. Tenemos una columna para cada uno de los n-elementos t(e1),..., t(en), formando así una matriz de orden m × n.

    Así toda T.L de un espacio n-dimensional V, en un espacio m dimensional W da origen a una matriz m × n t(eik), cuyas columnas son los componentes de t(ei),...,t(en), relativos a la base (w1,...,wn), la llamamos representación matricial de T relativa a unas bases ordenadas {e1,...,en}, de V y {w1,...,wm}, para w.

    Teorema

    Dada una transformación lineal T: V ! V donde dimV = n. Si T tienen una representación en matriz diagonal, existe entonces un conjunto de elementos independientes u1,...,u2 en V y un conjunto correspondiente de escalares 1,...n que satisfacen: T(uK) = kuk para k=1, 2,...,n. Recíprocamente, si existe un conjunto independiente u1,...,un en V y un conjunto correspondiente de escalares 1,...,n que satisfacen (1), entonces la matriz A = diag(1,...,n) es una representación de T respecto a la base

    (u1,...,un).

    Luego el problema de hallar una representación en matriz diagonal de una transformación lineal se reduce al de hallar el elemento sin dependientes u1,...,un y los escalares 1,...,n que satisfacen T(uk) = kuk. Para k = 1, 2,...,n. Tales elementos u1,...,un y 1,...,n, se conocen como autovectores y autovalores respectivamente.

    Teorema

    Sea una matriz de n × n se dice que  es un valor propio de A ssi P()=det(A " i) = 0 Esta es la ecuación característica de A, P() se llama polinomio característico de A.

    Teorema

    Sea A una matriz real o compleja de orden n × n, entonces exite una matriz C compleja invertible de orden n × n talque

    C"1 AC = J

    Donde J es la matriz de Jordan cuyos elementos en la diagonal son los valores propios de A.

    Mas aun la matriz de Jordan es única, excepto por el orden (dado por la base ordenada fija) en el que aparecen los bloques de Jordan.

    Una manera de facilitar el trabajo con una transformación lineal, es asociarle una matriz, para lo cual es necesario considerar un par de bases ordenadas.

    Definición Sean 'Transformaciones lineales'
    dos espacios vectoriales sobre 'Transformaciones lineales'
    , además 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    bases ordenadas de 'Transformaciones lineales'
    respectivamente y 'Transformaciones lineales'
    una transformación lineal de 'Transformaciones lineales'
    en 'Transformaciones lineales'

    Se define la matriz asociada a 'Transformaciones lineales'
    en las bases 'Transformaciones lineales'
    a

    'Transformaciones lineales'

    denotada por

    'Transformaciones lineales'

    donde 'Transformaciones lineales'

    Además si la base 'Transformaciones lineales'
    del espacio de partida es igual al del espacio de llegada, la matriz asociada a la transformación lineal se denota por 'Transformaciones lineales'

    1.5 Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales

    Teorema sobre transformaciones de renglones de matrices.

    Dada una matriz de un sistema de ecuaciones lineales, resulta una matriz de un sistema equivalente si:

    a) Se intercambian dos renglones. Símbolo:      Ri Rj.

    b) Se multiplica o divide un renglón por una constante diferente de cero. Símbolo: kRiRi.

    c) Un  múltiplo  constante  de  un  renglón  se  suma  a  otro  renglón.   Símbolo:     kRi + Rj'Transformaciones lineales'
    Rj.

    Uso de matrices para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

    Ejemplo.
    Resuelve el sistema:

    x + 2y + 3z = 9

    4x + 5y + 6z = 24

    3x + y - 2z = 4

    Comenzaremos con la matriz del sistema, es decir, la matriz aumentada:
    'Transformaciones lineales'

    Luego aplicamos transformaciones elementales de renglón a fin de obtener otra matriz (más sencilla) de un sistema de ecuaciones equivalentes. Pondremos símbolos adecuados entre matrices equivalentes.

    'Transformaciones lineales'
         (-4)R1 + R2'Transformaciones lineales'
    R2  'Transformaciones lineales'

    (-3)R1 + R3'Transformaciones lineales'
    R3'Transformaciones lineales'
          
    (-(1÷ 3))R2'Transformaciones lineales'
    R2'Transformaciones lineales'
       
    (-1)R3'Transformaciones lineales'
    R3'Transformaciones lineales'
        
    (-5)R2 + R3'Transformaciones lineales'
    R3'Transformaciones lineales'
                

    Con la matriz final regresamos al sistema de ecuaciones:
    'Transformaciones lineales'
       'Transformaciones lineales'
       'Transformaciones lineales'

    Que equivale al sistema original. La solución x = 4, y = -2, z = 3 se puede encontrar ahora por sustitución.

    La matriz final de la solución es una forma escalonada.

    En general, una matriz está en forma escalonada si satisface estas condiciones:

    a) El primer número diferente de cero de cada renglón, leyendo de izquierda a derecha, es 1.
    b)   La columna que contenga el primer número diferente de cero en cualquier renglón está a la izquierda de la columna con el primer número distinto de cero del renglón de abajo.
    c)  Los renglones formados enteramente de ceros pueden aparecer en la parte inferior de la matriz.


    Ejemplo:
    Sea la matriz:


    'Transformaciones lineales'
    ,      es "una matriz escalonada"

    Guías para hallar la forma escalonada de una matriz.

    (a) Localizar la primer columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón a fin de obtener 1 en el primer renglón de esa columna.
    (b) Aplicar transformaciones elementales de renglón del tipo kR1 + Rj'Transformaciones lineales'
    Rj. para j > 1 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (a) en cada uno de los renglones restantes.
    (c) Hacer caso omiso del primer renglón. Localizar la próxima columna que contenga elementos diferentes de cero y aplicar transformaciones elementales de renglón con objeto de obtener el número 1 en el segundo renglón de esa columna.
    (d) Aplicar transformaciones elementales del tipo kR2 + Rj'Transformaciones lineales'
    Rj. para j >2 y obtener 0 bajo el número 1 obtenido en la guía (c) en cada uno de los renglones restantes.
    (e) Hacer caso omiso del primer y segundo renglones. Localizar la siguiente columna que contenga elementos diferentes de cero y repetir el procedimiento.
    (f) Continuar el proceso hasta alcanzar la forma escalonada.

    Uso de la forma escalonada para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

    Ejemplo:
    Resuelve el sistema:

    'Transformaciones lineales'


    Solución: Comenzamos con la matriz aumentada y luego obtenemos una forma escalonada, según se describe en las guías.

    'Transformaciones lineales'
           R1 'Transformaciones lineales'
    R4    'Transformaciones lineales'

           R2 'Transformaciones lineales'
    R3    'Transformaciones lineales'

    (1)R1 + R3'Transformaciones lineales'
    R3'Transformaciones lineales'

    (-2)R1 + R4'Transformaciones lineales'
    R4'Transformaciones lineales'

    (-1)R2'Transformaciones lineales'
    R2          'Transformaciones lineales'

    (-(1÷ 2))R2'Transformaciones lineales'
    R2'Transformaciones lineales'

    (-1)R2 + R3'Transformaciones lineales'
    R3'Transformaciones lineales'

    (-1)R2 + R4'Transformaciones lineales'
    R4'Transformaciones lineales'

    (3)R3 + R4'Transformaciones lineales'
    R4 'Transformaciones lineales'

    La matriz final está en forma escalonada y corresponde a un sistema de ecuaciones:


    (-(1÷ 2))R4'Transformaciones lineales'
    R4'Transformaciones lineales'
      'Transformaciones lineales'
      'Transformaciones lineales'

    Ahora usamos sustitución a fin de hallar la solución. De la última ecuación vemos que   w = -1;  de la tercera ecuación vemos que   z = -2 .   Sustituimos en la segunda ecuación, y obtenemos:

    y - 2z - w = 6

    y - 2(-2) - (-1) = 6

    y + 4 + 1 = 6

    y = 1

    Sustituimos los valores encontrados en la primera ecuación:

    x + z + 2w = -3

    x + (-2) + 2(-1) = -3

    x - 2 - 2 = -3

    x = 1

    Por lo tanto, el sistema tiene una solución:   x = 1,   y = 1,   z = -2,   w = -1.

    1.6 Algebra de las transformaciones lineales

    Sean 'Transformaciones lineales'
    podemos definir la suma de transformaciones lineales, dada por

    'Transformaciones lineales'


    También podemos definir la multiplicación por escalar.

    Sean 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    definamos la multiplicación por escalar de una transformación lineal, dada por

    'Transformaciones lineales'

    • Definición. Un álgebra A sobre un campo F es un espacio vectorial sobre F en el que se tiene definida una operación producto que satisface para todos los elementos T1, T2, T3  A y  F:

    • T1(T2+T3)=T1T2+T1T3

    • (T2+T3)T1=T2T1+T3T1

    • (T1T2)=(T1)T2=T1(T2)

    • Si además se cumple que

    • (T1T2)T3=T1(T2T3)

    • entonces A es un álgebra asociativa

    • Definición. Sean V, U y W espacios vectoriales sobre el mismo campo F. Sean T1: VU y T2: UW dos transformaciones lineales.

    • Se define la composición de T2 seguida de T1 T2T1 como la función de V a W (T2T1) :VW tal que (T2T1)(v)=T2(T1(v))

    • Proposición. Si T1 y T2 son TL, entonces T2T1 también lo es.

    • Demo. Sean u,v V y ,  F, entonces

    • (T2T1)(v+u)=T2(T1(v+u))=T2(T1(v)+T1(u))

    • =  (T2T1)(v)+ (T2T1)(u)

    • (T2T1) es T.L.

    • Puede verse que Hom(V,V) con la composición es un álgebra asociativa.

    1.7 Aplicación de las transformaciones lineales.

    Se aplican en sistemas de ecuaciones lineales, en matrices y en un sin número de problemas, gracias a las transformaciones lineales sabemos el dominio e imagen y teniendo esto saber si es un espacio vectorial.

    Ejemplo 142Dada la transformación lineal

    'Transformaciones lineales'

    Determinar todos los espacios propios asociados a 'Transformaciones lineales'
    sabiendo que 'Transformaciones lineales'
    son los únicos valores propios.

    Solución: Determinemos el espacio propio asociado al valor propio 'Transformaciones lineales'

    V2 = { (x;y)/T(x;y)=2(x;y)}

    = {(x;y)/(x+y;3x-y)=2(x;y)}

    = {(x;y)/(-x+y;3x-3y)=(0;0)}

    = {(x;y)/-x+y=0

    = <(1;1)>

    Para el otro valor propio procedemos de manera similar

    V-2 = {(x;y)/T(x;y)=-2(x;y)}

    = {(x;y)/(x+y;3x-y)=-2(x;y)}

    = {(x;y)/(3x+y;3x+y)=(0;0)}

    = {(x;y)/3x+y=0}

    = <(1;-3)>

    Ejemplo Sean 'Transformaciones lineales'
    'Transformaciones lineales'
    bases de 'Transformaciones lineales'
    y 'Transformaciones lineales'
    una transformación lineal tal que

    'Transformaciones lineales'

    Demostrar que 'Transformaciones lineales'
    es un isomorfismo, sin explicitar 'Transformaciones lineales'

    Solución: Para demostrar que 'Transformaciones lineales'
    es un isomorfismo, basta celular el determinante de 'Transformaciones lineales'
    y comprobar que es distinto de 'Transformaciones lineales'

    Calculemos

    'Transformaciones lineales'

    por lo tanto la matriz es invertible, luego 'Transformaciones lineales'
    es un isomorfismo.
    Para explicitar la transformación inversa, tenemos

    'Transformaciones lineales'

    Reemplazando obtenemos

    'Transformaciones lineales'

    Necesitamos determinar las coordenadas de 'Transformaciones lineales'
    en la base 'Transformaciones lineales'
    .

    'Transformaciones lineales'

    igualando coordenadas obtenemos el sistema de ecuaciones lineales

    'Transformaciones lineales'

    resolviendo el sistema mediante la matriz, tenemos

    'Transformaciones lineales'

    Así 'Transformaciones lineales'
    luego

    [T
    -1(x;y;z)]b = ( -1 -2 0)74x+14y-54z
                             ( -8 -13 1)
    14y-54x+34z
                             ( -11 -18 1)
    14z+14x-14y

    [T(x;y;z)]
    D = ( 34x-34y-14z)      (a')
                          (
    52x-112y+12z)=(b')
                          (
    72x-152y+12z)  (c')  

    Con lo cual obtenemos
    T-1(x;y;z) = a'(1;1;-1)+b'(0;2;-1)+c'(1;0;1)
    T
    -1(x;y;z) = (174x-334y+14z;234x-474y+34z;14x-54y+14z )

    Conclusión

    Se han visto mas detallado y con mas exactitud los teoremas y propiedades que hilan todos los temas propuestos por este trabajo y se ha se ha llegado a la conclusión de todos los temas están relacionados en cierta forma ya que en varios de estos se necesita recurrir a las propiedades que se han visto en temas anteriores.

    Con esto podríamos decir que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya que no podemos omitir las enseñanzas pasadas ya que estas nos forman las bases para comprender y analizar y poder poner en practica los temas futuros.

    Este trabajo se ha hecho con el fin de comprender de que no hay que dejar tirado lo ya hemos aprendido antes ya que eso nos va a ayudar a solucionar problemas en nuestro futuro, citando el dicho popular si no aprendemos de nuestros errores del pasado los mismo nos estarán esperando en un futuro.

    Bibliografía

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    http://docentes.uacj.mx/gtapia/ALgebra/Contenido/Unidad%20IV/definicion%20y%20ejemplos.htm

    http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def91.htm

    http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap3/def94.htm

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    http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/lecciones_html/cap2/cap2.html

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    http://www.matem.unam.mx/~rgomez/algebra/seccion_2.html#

    http://www.ciencia.net/VerArticulo/Transformaci%C3%B3n-lineal?idArticulo=dsfjuvpf1drjfg2kj5kpa2e1

    http://html.rincondelvago.com/algebra-lineal_vectores-y-espacios-vectoriales.html

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