Transformaciones geométricas

Geometría y Álgebra. Semejanza. Homotecia. Lados homotéticos. Traslación. Vector libre. Simetría axilares. Simetrías centrales. Giros

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INDICE:

Página

Esquema de transformaciones geométricas 1

Transformaciones geométricas que conservan la forma pero no el tamaño:

. Semejanza 2

. Homotecia 2-3

Transformaciones geométricas que conservan la forma y el tamaño:

. Traslación 4

. Simetrías 5

. Giros 5

Bibliografía 6

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS QUE CONSERVAN LA FORMA PERO NO EL TAMAÑO.

Semejanza.

Es una semejanza todo segmento que se aplica en otro cuya longitud es igual a K veces la del primero. A K, número real no nulo, se le llama razón de la semejanza. En el caso particular de que sea K=1 las semejanzas se reducen a los desplazamientos. El caso más sencillo de semejanzas es el de las homotecias.

Toda semejanza es equivalente al producto de una homotecia por un desplazamiento (traslaciones, giros, simetrías o productos de ellos). Toda semejanza conserva los ángulos o cambia su sentido ya que las homotecias los conservan y los desplazamientos los conservan o invierten.

Dos figuras serán semejantes cuando tengan igual forma pero distinta extensión.

-lados homólogos: son los lados de ambos polígonos que unen pares de vértices de ángulos respectivamente iguales.

-razón de semejanza: la razón o cociente constante de las longitudes de los lados homólogos.

Homotecia

Es la relación entre dos sistemas de puntos que satisfacen a ciertas condiciones geométricas.

La homotecia es un caso particular de homología: si el eje de homología de dos figuras es la recta del infinito, las rectas homólogas son paralelas y por tanto ambas figuras son homotéticas.

-Figuras homotéticas: dos o más figuras semejantes paralelamente colocadas.

-Lados homotéticos u homólogos: líneas paralelas entre sí de las figuras homotéticas.

-Puntos homotéticos u homólogos: puntos correspondientes de los lados homólogos.

-Radios homólogos consigo mismo: son las rectas concurrentes a un mismo punto y que pasan por los puntos homotéticos.

-Centro de homotecia: es el punto en el que concurren todos los radios homólogos consigo mismos.

-Razón de homotecia: es el cociente constante que resulta de dividir dos lados homólogos entre sí.

Es decir dado un puto fijo O y una constante K, si a un punto cualquiera M del espacio se le hace corresponder un punto M' tal que OM'/OM=K, se dice que los puntos M yM' son homólogos en una homotecia de centro O y razón K. La razón de la homotecia puede ser positiva o negativa: en el primer caso la homotecia es directa y en el segundo, inversa: cuando M se desplaza sobre una figura F el punto M' describe un lugar geométrico F' y las dos figuras F y F' se llaman homotéticas una respecto a la otra. Si F' es la figura homotética de F respecto al centro O y K es la razón de homotecia, F también es homotética de F' respecto al mismo centro, siendo la razón de 1/K.

-Las rectas homólogas de dos figuras homotéticas son paralelas.

-dos segmentos homólogos dan por cociente la razón de homotecia.

-los planos homólogos son paralelos.

-los ángulos planos o diedros son iguales.

-Las tangentes a dos curvas homotéticas en dos puntos homólogos son paralelas.

-los radios de curvatura de los puntos homólogos cumplen la relación de homotecia.

-Dos sistemas homotéticos a un tercero son homotéticos entre sí y los tres centros de homotecia estan alineados.

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS QUE CONSERVAN LA FORMA Y EL TAMAÑO.

Traslación

Es el movimiento más sencillo que podemos realizar con una figura es su desplazamiento en la dirección y el sentido dados por un vector

-Vector libre: es el conjunto de vectores equipolentes entre sí. La propiedad más importante de los vectores libres es que por cualquier punto del plano se puede trazar un representante de ese vector libre.

-El producto de dos traslaciones: Tv y Tw de vectores libres v y w respectivamente, es otra traslación de vector libre v + w y la denotamos por Tv+w.

Es decir, es la correspondencia entre los puntos del plano o del espacio, definida de modo que a cada punto A le corresponda otro punto A' tal que el valor del vector geométrico AA' sea un representante de un determinado vector libre.

Dado un punto A, existe un único punto A' tal que el vector AA' sea representante del vector v que define la traslación. Al punto A' correspondiente del A se le llama su homólogo en la traslación.

Características:

-Una traslación transforma una recta en otra paralela.

-Una circunferencia, en otra circunferencia de igual radio.

-Las figuras geométricas, en general, en otras figuras iguales.

En el conjunto de las traslaciones del plano está definida, pues, una operación que cumple las propiedades uniforme, conmutativa y asociativa; existe elemento neutro (la traslación definida por el vector nulo), y a cada traslación T le corresponde otra, T , a la que se denomina inversa ( si T viene definida por v, -v definirá a T ). El conjunto de las traslaciones del plano constituye, por lo tanto, un grupo abeliano.

Simetrías

Relación particular entre dos figuras o de una figura consigo misma. La simetría puede definirse, en un espacio métrico afín, como el desplazamiento sin traslación cuya matriz asociada tiene determinante igual a -1.

Simetrías axilares:

Son simetrías respecto a un eje. Dos figuras son simétricas respecto a un eje (llamado eje de simetría) si los puntos homólogos están a la misma distancia del eje y la recta que los une es perpendicular a él.

Simetrías centrales:

Obtenemos figuras simétricas utilizando como referencia un punto, son simetrías centrales. Dos figuras son simétricas respecto a un punto, llamado centro de simetría si sus puntos homólogos equidistan al centro y están en línea recta con él.

Relación entre simetrías axilares y traslaciones:

La composición de dos simetrías axilares de ejes paralelos equivale a una traslación.

Relación entre simetrías centrales y giros:

Una simetría central equivale a un giro de 180º con ese mismo centro.

Giros.

Los caballitos del tiovivo, las aspas de un ventilador o las ruedas de un coche son objetos que giran, también las figuras en el plano pueden realizar este movimiento.

Al aplicar un giro a una figura, se obtiene también otra figura igual a la anterior. Los puntos homólogos permanecen a la misma distancia del centro del giro.

Los giros se pueden efectuar en dos sentidos:

-Giro positivo: aquel que se realiza en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.

-Giro negativo: aquel que se realiza en el mismo sentido que el movimiento de las agujas del reloj.

-Propiedades del giro:

-El transformado de un segmento es otro segmento de la misma longitud.

-La transformada de una recta es otra recta.

-El transformado de un ángulo es otro ángulo de la misma medida.

BIBLIOGRAFIA

Libros de texto de 3º y 4º de la ESO

Enciclopedia Larousse

Enciclopedia autodidáctica de Dalmau Carles Pla S.A.

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