Torsión de piezas prismáticas

Aeronáutica. Deformación. Vigas hiperestácias. Líneas de influencia. Apoyos rígidos y elásticos. Secciones extremas. Rigidez. Teorema de reciprocidad

  • Enviado por: Avioneto
  • Idioma: castellano
  • País: España España
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PRÁCTICA 1 : TORSIÓN DE PIEZAS PRISMÁTICAS

1.- Determinación de la deformación inherente del equipo.

  • Aluminio : 0.15º, 0.14º, 0.14º

  • Latón : 0.12º, 0.12º, 0.13º

  • Acero : 0.14º, 0.14º, 0.14º

Deformación inherente (DI) = 0.15º

2.- Comparación entre la sección maciza y la de pared delgada.

Sección maciza (s.m.)

Lectura del comparador LC = 0.835º

Ángulo corregido LC - DI = 0.7º

Longitud L = 600 mm

Sección de pared delgada (s.p.d.)

Lectura del comparador LC = 0.25º

Ángulo corregido LC - DI = 0.115º

Longitud L = 600mm

Sabiendo que y siendo  el ángulo girado por la pieza por unidad de longitud, donde L es el ángulo girado pro un extremo respecto a otro que distan L entre sí queda, . Operando y simplificando al ser MT y G iguales tenemos:

3.- Comparación entre la sección de pared delgada cerrada y abierta.

a) Sección circular:

Sección cerrada (s.c.)

Lectura del comparador LC = 0.22º

Ángulo corregido LC - DI = 0.085º

Longitud L = 600mm

Sección abierta (s.a.)

Lectura del comparador LC = 3.44º

Ángulo corregido LC - DI = 3.305º

Longitud entre cojinetes L = 250mm

b) Sección cuadrada:

Sección cerrada (s.c.)

Lectura del comparador LC = 0.275º

Ángulo corregido LC - DI = 0.14º

Longitud entre rodamientos L = 650mm

Sección abierta (s.a.)

Lectura del comparador LC = 3.46º

Ángulo corregido LC - DI = 3.325º

Longitud entre rodamientos L = 200mm

Comparando de nuevo el módulo de torsión de ambas piezas en cada uno de los casos, y teniendo en cuenta las mismas hipótesis anteriores, obtenemos:

4.- Efecto de alabeo impedido en las secciones extremas.

Sección con alabeo libre (a.l.)

Lectura del comparador LC = 1.54º

Ángulo corregido LC - DI = 1.405º

Longitud entre cojinetes L = 240mm

Sección con alabeo impedido (a.i.)

Lectura del comparador LC = 3.93º

Ángulo corregido LC - DI = 3.795º

Longitud entre cojinetes L = 200mm

De nuevo se tienen iguales valores de MT y G, obteniendo la siguiente relación de rigideces:

5.- Comprobación de las expresiones de la rigidez (J).

  • Secciones maciza y de pared delgada cerrada

  • Sección circular

    Para este caso se puede comprobar que al no existir alabeo, el módulo de torsión coincide con el momento polar de inercia de la sección transversal.

    (J)s.m. = 1.9·10-10 m4

    (J)s.c. = 1.27·10-10 m4

    Sección cuadrada

    En el caso de ser la sección cuadrada cerrada, J se calcula mediante la fórmula:

    y tomando los valores de la sección 20x20mm y 1.4mm de espesor, tenemos:

    (J)s.c. =22,267·10-8m4

    y con la fórmula

    con

    MT= 0.49Nm

    G = 26100 Mpa

    obtenemos:

    (*L)s.c.= 0.548 m

  • Secciones de pared delgada abiertas

  • Aplicando la fórmula

    Sección circular: (J)s.a. = 848.23·10-8m4

    Sección cuadrada (J)s.a. = 68.0512·10-8m4

    J (m4)

    1.9·10-10

    1.27·10-10

    848.23·10-8

    22.267·10-8

    68.0512·10-8

    (*L)teórico (º)

    0,31

    0,278

    4,17

    0.06

    2.64

    (*L)exp (º)

    0.6995

    0.085

    3.305

    0.14

    3.325

    En la tabla vemos la relación entre los resultados teóricos obtenidos y los experimentales. Se puede apreciar gran diferencia en el ángulo girado, siendo de mayor relevancia en las secciones abiertas.

    Estas diferencias son debidas a los errores cometidos en las medidas debido a la precisión de los aparatos utilizados (de *0.01mm).

    En cuanto al módulo de torsión, es mucho mayor en secciones cerradas que en las mismas secciones pero abiertas.

    De esto deducimos que las piezas cerradas serán las de mejor comportamiento frente a esfuerzos torsores, desancosejamos por tanto el uso de las abiertas.

    PRÁCTICA 2 : FLEXIÓN DE PIEZAS PRISMÁTICAS

    1.-Resultados experimentales:

    SECCIÓN TRANSVERSAL

    CONFIGURACIÓN

    Comparador

    VERTICAL (mm)

    Comparador

    HORIZONTAL (mm)

    Comparador

    GIRO

    (mm) *

    *)

    *(mm)

    0

    0

    0.5

    0

    ----

    45

    0

    1.47

    1

    ----

    90

    0

    2.21

    0.04 **

    1.955

    90

    15

    2.24

    0.04**

    1.985

    0

    0

    0.535

    0

    ----

    45

    0

    0.48

    0.04

    ----

    90

    0

    0.41

    0

    0.13

    90

    5

    0.435

    0

    0.105

    90

    10

    0.37

    0

    0.015

    90

    15

    0.36

    0

    -0.01 ***

    0

    0

    1.405

    0.71

    --

    45

    0

    0.64

    0.06 **

    0.205

    45

    4

    0.67

    0

    0.03

    45

    8

    0.68

    0

    -0.05

    45

    12

    0.62

    0

    -0.11

    (*)Con el comparador giro lo que realmente medimos no es el giro que experimenta la viga cuando le sometemos a la carga, si no la diferencia entre el comparador vertical y el de giro.

    (**)Esas medidas tan próximas a cero son en realidad nulas, pero debido a la precisión de los aparatos utilizados y a pequeñas perturbaciones no son nulas del todo; posteriormente comprobaremos mediante la teoría que efectivamente son nulas.

    (***)Esa medida sale negativa, es decir la aguja en el comparador gira en sentido contrario, debido a que es donde se cruzan las medidas, al ir disminuyendo los ángulos que es donde tenemos el centro de cortadura.

    2.-Resultados teóricos:

    SECCIÓN TRANSVERSAL

    CONFIGURACIÓN

    Comparador

    VERTICAL (mm)

    Comparador

    HORIZONTAL (mm)

    Comparador

    GIRO

    (mm) *

    *)

    *(mm)

    0

    0

    0.396

    0

    0

    45

    0

    1.06

    -0.66

    0

    90

    0

    1.72

    0

    0

    90

    15

    1.72

    0

    0.011

    0

    0

    0.37

    0

    0

    45

    0

    0.3

    -0.073

    -0.21

    90

    0

    0.23

    0

    -0.3

    90

    5

    0.23

    0

    -0.22

    90

    10

    0.23

    0

    -0.14

    90

    15

    0.23

    0

    -0.06

    0

    0

    0.87

    -0.7

    -0.15

    45

    0

    0.4

    0

    -0.21

    45

    4

    0.4

    0

    -0.12

    45

    8

    0.4

    0

    -0.02

    45

    12

    0.4

    0

    0.07

    La flecha vertical que se produce la hallamos mediante la fórmula:

    Corresponde al desplazamiento vertical (puesto que la carga aplicada se mantiene en el plano de la sección). Esta expresión podrá usarse siempre que el plano de cargas sea paralelo a un plano de simetría de la pieza. Si esto no ocurriera tendríamos que descomponer en dos estados: uno según una de las direcciones principales (IY) y otro según la perpendicular (IZ) y sumar vectorialmente para obtener el desplazamiento total.

    El ángulo girado por la pieza lo obtenemos de:

    con

    MT =0.49Nm

    G = 26100Mpa

    L = 510mm

    IY = 3.6·10-9, 1.66·10-8, 9.76·10-9 m4 respectivamente para cada una de las piezas

    IZ = 3.6·10-9, 2.73·10-8, 9.76·10-9 m4 respectivamente para cada una de las piezas

    Para calcular de forma teórica la posición del centro de cortadura debemos buscar los ejes de simetría de cada sección ya que veremos fácilmente que está sobre ellos.

    Para saber la distancia exacta debemos obtenerlo de la equivalencia entre el momento que produce la distribución de flujos que crea la carga aplicada y el momento que crea la carga aplicada en el centro de cortadura.

    Realizando los pasos anteriores llegamos a:

    SECCIÓN EN FORMA DE “U”: 18.55 (mm de G)

    SECCIÓN EN FORMA DE “L”: 8.84 (mm de G)

    PRÁCTICA 3: FLEXIÓN DE VIGAS HIPERESTÁTICAS. LÍNEAS DE INFLUENCIA

    1.-Ensayos sobre una viga bi-apoyada sometida a una carga concentrada en el centro.

    1.1 Apoyo rígido

    Lectura del comparador CB (mm): -2.93

    Lectura del comparador CC (mm): 0.00

    Lectura del comparador CD (mm): 1.99

    Giro experimental en el apoyo (º) : 0.995

    Reacción en C (N) : 5

    Flecha teórica en la sección central (mm): 2.88 en el sentido de la carga

    Giro teórico en el apoyo : 0.97

    Reacción teórica en C (en N) : 4.9

    1.2 Apoyo elástico

    Lectura del comparador CB (mm): -2.96

    Lectura del comparador CC (mm): -0.11

    Lectura del comparador CD (mm): 1.81

    Giro experimental en el apoyo (º) : 0.905

    Reacción en C (N) : 5

    Flecha teórica en la sección central (mm): 2.88 en el sentido de la carga

    Giro teórico en el apoyo : 0.97

    Reacción teórica en C (en N) : 4.9

    Se puede usar este ensayo para determinar experimentalmente la constante elástica del anillo:

    Carga en B

    Comparador CC (mm)

    Reacción en C (mm)

    1000gr

    -0.11

    5

    +200gr

    -0.11

    6.05

    +200gr

    -0.13

    7

    +200gr

    -0.15

    7.90

    Ajustando los valores de la tabla anterior por mínimos cuadrado, obtenemos la recta: y = 52.052x .

    Su pendiente es la constante elástica del anillo:

    K = 52.052 KN/m

    2.- Ensayos sobre una viga empotrada-apoyada

    2.1 Determinación experimental de la flecha en el centro y del giro en el apoyo

    a) Apoyo rígido

    Lectura del comparador CB (mm): -1.49

    Lectura del comparador CC (mm): 0.00

    Lectura del comparador CD (mm): 1.11

    Giro experimental en el apoyo (º) : 0.555

    Reacción en C (en N) : 3.45

    Usamos las siguientes expresiones:

    Obtenemos:

    Flecha teórica en la sección central (mm): 1.24

    Giro teórico en el apoyo : 0.73

    Reacción teórica en C (N) : 3.06

    b) Apoyo elástico

    Lectura del comparador CB (mm): -1.5

    Lectura del comparador CC (mm): -0.08

    Lectura del comparador CD (mm): 1

    Giro experimental en el apoyo (º) : 0.5

    Reacción en C (en N) : 3.25

    Teóricamente tendríamos que resolver el problema de una viga empotrada con apoyo elástico en el extremo. Resulta ser un problema hiperestático con grado de hiperestatismo 1, por lo que para resolverlo aplicamos el método de compatibilidad.

    Nuestros dos estados son:

    A C A C

    estado (0) estado (I)

    Los estados 0 y I se resuelven como el caso de una viga bi-apoyada y sumando un giro y desplazamiento extra provocados por la presencia del muelle. Este desplazamiento es equivalente al de un sólido rígido y sale de exigir en cada estado que la relación en el apoyo C sea F/2 en (0) y M/L en (I).

    La ecuación de compatibilidad a plantear es:

    *A = 0

    Con esto el momento que obtenemos es: M =-0.9257 Nm

    Con lo que nos queda:

    Flecha teórica en la sección central (mm): 1.45

    Giro teórico en el apoyo : 0.74

    Reacción teórica en C (N) : 2.87

    2.2-Comprobación experimental del teorema de reciprocidad

    Si en el caso de apoyo rígido, trasladamos el peso aplicado del punto B al D se comprueba experimentalmente el Teorema de Reciprocidad.

    Lectura del comparador CB (mm): 1.13

    Lectura del comparador CC (mm): 0.00

    Lectura del comparador CD (mm): -2.5

    2.3-Líneas de influencia. Determinación experimental del punto donde hay que aplicar la carga para obtener máximo giro en el apoyo

    Ahora vamos a determinar experimentalmente las líneas de influencia del desplazamiento en el centro y del giro en el apoyo. Para ello aplicaremos una carga de 1 Kg en distintos puntos a lo largo de la viga. El apoyo en C se considera rígido, así que haremos 0 la medida de su comparador para cada medida. Obtenemos los datos siguientes:

    x(mm)

    comparador CB

    (mm)

    comparador CD

    (mm)

    150

    -0.97

    0.315

    200

    -1.30

    0.44

    250

    -1.50

    0.565

    300

    -1.48

    0.625

    350

    -1.27

    0.63

    Proponemos un método para conocer a qué distancia del empotramiento tenemos que aplicar la carga para obtener máximo giro en el apoyo.

    Colocamos la carga en extremo D y ayudándonos de un nivel buscaremos donde la pendiente se anula. En ese punto se tendrá lugar el máximo desplazamiento.

    Medimos la x donde ha ocurrido eso. Ahora ponemos la pesa en x y comprobamos que el giro es máximo.

    Para determinarla línea de influencia nos basaremos en el Teorema de Reciprocidad. Consideramos dos estados de un mismo sólido:

    En uno se está aplicando una carga unitaria en P y medimos el desplazamiento en Q y en el otro aplicamos una carga unitaria en Q con la misma dirección que el movimiento que queremos estudiar.

    Aplicando el Teorema de reciprocidad obtenemos que los desplazamientos de Q en el estado (1) son los mismos que los de P en el (2), y éstos últimos son la deformada del sólido cuando se aplica en Q la carga unitaria.

    Buscamos calcular los giros de la sección en un punto determinado cuando ponemos una carga en diferentes puntos. Calculamos la línea de influencia hallando la deformada de este problema:

    F

    Este problema es hiperestático, así que procedemos a separar en dos estados liberando el giro en el empotramiento y exigiendo como ecuación de compatibilidad, que el giro en el punto A sea cero, Así hallamos el momento en el empotramiento (incógnita hiperstatica).

    La ecuación de la deformada es:

    con M= 1.12308Nm

    Distancia al empotramiento (mm): 333.3

    Giro máximo (º) : 0.57

    Nótese que existe apreciable diferencia entre los resultados teóricos y los experimentales. Las causas provienen de los diversos errores cometidos durante las mediciones por la falta de pericia de los observadores y le extrema precisión de los aparatos de medida.

    3.- Análisis e interpretación de los resultados.

    3.1 Determinación experimental de la constante elástica del anillo

    Primero debemos conocer el valor del incremento de diámetro. Este valor lo obtenemos aplicando Castigliano.

    -Valor experimental: 52.052 KN/m

    -Valor teórico: 46.738 KN/m

    3.2 Comparación entre los resultados experimentales y teóricos.

    CONFIGURACIÓN

    v (mm)

    *(º)

    Teórico

    Experimental

    Teórico

    Experimental

    Viga bi-apoyada

    (apoyo rígido)

    2.8

    2.93

    0.97

    0.995

    Viga empotrada-apoyada

    (apoyo rígido y fuerza en el centro)

    1.4

    1.49

    0.73

    0.555

    Viga empotrada-apoyada

    (apoyo elástico y fuerza en el centro)

    1.45

    1.5

    0.74

    0.5

    Viga empotrada-apoyada

    (apoyo rígido y fuerza en un extremo)

    0.97

    1.13

    -1.55

    -1.355

    3.3 Líneas de influencia. Desplazamiento en el centro de la viga empotrada-apoyada.

    Al igual que en el apartado 2.3, pero ahora el problema a resolver es el de una viga empotrada-apoyada con una carga en el centro. El punto en el cual se consigue el mayor desplazamiento en B y su valor es:

    Distancia al empotramiento: 276,9 mm

    Desplazamiento de B: 1,32 mm

    Comparando resultados experimentales con teóricos obtenemos:

    Torsión de piezas prismáticas

    Torsión de piezas prismáticas

    Torsión de piezas prismáticas

    Torsión de piezas prismáticas

    Torsión de piezas prismáticas

    Torsión de piezas prismáticas

    Torsión de piezas prismáticas

    Torsión de piezas prismáticas

    Torsión de piezas prismáticas

    Torsión de piezas prismáticas

    Torsión de piezas prismáticas

    Torsión de piezas prismáticas