INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA MEDICION

“Suelo decir con frecuencia que cuando se

puede medir de lo que se habla y expresarlo

en números, se sabe algo de ello ;...”.

EXPERIENCIA N°1 Lord KELVIN (1824-1907)

1. OBJETIVOS

1. Reconocer los instrumentos de medida e identificar su lectura mínima.

2. Aplicar una técnica que permita cuantificar el grado de precisión en los

procesos de medición.

2. MATERIALES

Balanza de tres barras. Cilindro metálico.

Pesas (para aumentar el rango de medición de la balanza) Placa de vidrio y/o metal.

Micrómetro o Pálmer. Tarugo de madera.

Calibrador vernier o pie de rey. Esfera metálica.

Regla métrica. Arena.

3. FUNDAMENTO TEORICO

Medir es comparar dos cantidades de la misma magnitud, tomando arbitrariamente una de ellas como unidad de medida.

El resultado de la medición es una cantidad acompañada de la unidad correspondiente. En adelante usaremos el Sistema Internacional de Unidades, SI.

Ejemplo : 10 m, 5 s, 22 °C.

El proceso de medición se divide en medición directa y medición indirecta.

Medición directa : Cuando el valor de la magnitud desconocida es obtenido por comparación

con una unidad conocida (patrón) ; grabada en el instrumento de medida.

Medición indirecta : Cuando el valor se obtiene calculándolo a partir de fórmulas que vincula

una o más medidas directas

Cuando se tiene por ejemplo unas cinco medidas directas, expresadas con el mismo valor entonces la variable que se mide es estable. La medida directa que no tiene un valor único exacto se expresa de la siguiente manera.

X = X1 ± Dx X : valor real

X1 : valor i-ésima

DX: error o incertidumbre

Si se toma más de cinco medidas directas en las mismas condiciones anteriores y éstas presentan variación en sus valores, decimos que esto corresponde a fluctuaciones que están en su entorno o intervalo de valores. Estas diferencias indican la imposibilidad de encontrar el valor real.

Las n-mediciones directas realizadas, con n grande, se pueden tratar estadísticamente mediante la Teoría de la Medición. El valor real de la medida queda expresada por :

X = X ± DX X : valor real

X : medida promedio

DX : error o incertidumbre

Los errores de la medición directa son : sistemáticos, del instrumento, aleatorios, etc.

Errores sistemáticos.

Son los errores relacionados con la destreza del operador, la técnica, los métodos de cálculo y de redondeo. Estos errores son controlables y susceptibles de ser minimizados.

Un error sistemático asociado con el operador es el error de paralaje (Ep), este error tiene que ver con la postura que toma el operador para la lectura de la medición.

NOTA : Para evitar este error, la postura correcta

del observador debe ser tal que la línea de

la visión sea perpendicular al punto de

interés.

Otros errores sistemáticos son los errores ambientales y físicos (Ef). Por ejemplo, al cambiar las condiciones climáticas, éstas afectan las propiedades físicas de los instrumentos : dilatación, resistividad, conductividad, etc. Los Ef se minimizan y/o compensan aislando el experimento, controlando el ambiente en la regiónde interés, tomando un tiempo adecuado para la experimentación.

También se incluyen como errores sistemáticos, los errores de cálculo, los errores en la adquisición automática de datos y otros.

La mayoría de los errores sistemáticos se corrigen, se minimizan o se toleran ; su manejo en todo caso depende de la habilidad del experimentador.

Errores del instrumento de medición.

Los errores relacionados con la calidad de los instrumentos de medición son : error de lectura mínima y error de cero.

Error de lectura mínima (ELM) : Cuando la expresión numérica de la medición resulta estar entre dos marcas de la escala de la lectura del instrumento. La incerteza del valor se corrige tomando la mitad de la lectura mínima del instrumento.

Ejemplo : lectura mínima de 1/25 mm, ELM = ½ (1/25 mm) = 0,02 mm

Error de cero (Eo) : Es el error propiamente de los instrumentos no calibrados.

Ejemplo, cuando se tiene que las escalas de lectura mínima y principal no coinciden, la lectura se verá que se encuentra desviada hacia un lado del cero de la escala. Si esta desviación fuera menor o aproximadamente igual al error de lectura mínima, entonces Eo es Eo = ELM

Ei =Ö (ELM)2 +(Eo)2

Errores aleatorios.

Son originados básicamente por la interacción del medio ambiente con el sistema en estudio, aparecen aun cuando los errores sistemáticos hayan sido suficientemente minimizadas, balanceadas y corregidas.

Los errores aleatorios se cuantifican por métodos estadísticos. Si se toma n-mediciones de una magnitud física x, siendo las lecturas : x1,, x2, .........., xn ; el valor estimado de la magnitud física x, se calcula tomando el promedio de la siguiente manera :

X = x1+x2..........................+xn.= Sxi

n n

El error aleatorio Ea se toma como Ea = 3s

Ön-1

En cuanto al tratamiento de los errores experimentales, se consideran dos tipos de errores : absolutos y relativos.

Error absoluto : Se obtiene de la suma de los errores del instrumento y el aleatorio.

DX = Ei + Ea

la expresión del valor de la medida es, X = x ± Dx = x ± (Ei + Ea)

Error relativo : Es la razón del error absoluto y el valor promedio de la medida,

Er =Dx

x

Error porcentual : Es el error relativo multiplicado por 100,

E% = 100 Er

La expresión de la medida : El valor de la medida en función del error relativo es,

X = X ± Er

Y el valor de la medida en función del error porcentual se expresa como,

X = X ± E%

Comparando el valor experimental, con el valor que figura en las tablas (Handbook) al cual llamaremos valor teórico, se tiene otra medida que se conoce como error experimental relativo :

Eex,r = Valor Teórico - Valor Experimental

Valor Teórico

Que expresado como error experimental porcentual es, Eex,% = 100 Er

Si al medir los primeros valores (alrededor de 5 medidas) de una magnitud se observa que la desviación estándar (o) es muy pequeña comparada con el error del instrumento (Ei) no habrá necesidad de tomar una gran cantidad de datos para encontrar el valor promedio. Las medidas que tengan una desviación mayor que tres veces la desviación estándar, se recomiendan descartarlas.

PRECISION PARA LAS MEDICIONES INDIRECTAS

Las medidas indirectas son afectadas por los errores de las mediciones directas. Estos errores se “propagan” cuando se calcula el valor de la medición indirecta.

Si Z = Z(A,B) expresa una magnitud física cuya medición se realiza indirectamente ; A y B son ambas medidas directas, ambas indirectas o una directa y la otra indirecta tal que

A = A ± DA y B = B ± DB

Las medidas indirectas se calculan mediante las fórmulas que ahora analizaremos.

i) Si Z resulta de adiciones y/o sustracciones Z = A ± B, entonces :

Z = A ± B y DZ = Ö(DA)2 + (DB)2

ii) Si Z resulta de multiplicaciones o divisiones : Z = A * B o Z =A , entonces :

B

Z = A * B o Z = A y DZ = ZÖ (DA)2 + (DB)2

B A B

iii) Si Z resulta de una potenciación Z = kAn, entonces :

Z = K(A)n y DZ = n(DA)Z

A

Finalmente, la expresión de la medida indirecta en cualquiera de los casos anteriores será

Z = Z ± DZ

CUADRO N°1 - CILINDRO

Cilindro completo Orificio cilíndrico Ranura paralelepípeda

Medida D H do ho l a hp

(mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm)

01 51,30 43,10 8,70 15,10 27,90 6,40 43,10

02 51,32 43,12 8,72 15,12 27,92 6,42 43,12

03 51,34 43,14 8,74 15,14 27,94 6,44 43,14

04 51,36 43,16 8,76 15,16 27,96 6,46 43,16

05 51,38 43,18 8,78 15,18 27,98 6,48 43,18

Ei = Elm

Dx = Ei 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

Medida 51,34 ± 43,14 ± 8,74 ± 15,14 ± 27,94 ± 6,44 ± 43,14 ±

x ± Dx 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

Volumen (Vc) Volumen (Vo) Volumen (Vp)

(cm3) (cm3) (cm3)

Medida

z ± Dz 89,260954 ± 0,212129 0,9078589 ± 0,0113361 7,762335504 ± 0,0655304804

Medida m m1 m2 m3 m4 m5 m Dm

m ± Dm 497,4 497,3 497,5 497,6 497,2 497,4 0,262132

Volumen Densidad

real del experimental

cilindroà 80,59075992 ± 0,2223099166 del cilindroà 6,171923438 ± 0,0173331083

CUADRO N°2

TARUGO - ESFERA - PLACA

Tarugo Esfera Placa

Medida dt H mt de me l a hp mp

(mm) (mm) (g) (mm) (g) (mm) (mm) (mm) (g)

01 16,0 101,60 13,70 18,21 25,5 40,0 39,0 12,25 51,3

02 16,2 101,62 13,85 18,212 25,7 40,2 39,2 12,252 51,35

03 16,4 101,64 13,80 18,214 25,6 40,4 39,4 12,254 51,20

04 16,6 101,66 13,75 18,216 25,55 40,6 39,6 12,256 51,42

05 16,8 101,68 13,80 18,218 25,65 40,8 39,8 12,258 51,40

Ei=ELM

x=Ei 0,01 0,01 0,12648 0,01 0,245576 0,01 0,01 0,01 0,1683

Medida 16,4 ± 101,64 ± 18,214 ± 40,4 ± 39,4 ± 12,254 ±

x ± Dx 0,01 0,01 -------- 0,01 ------- 0,01 0,01 0,01 -------

(mm)

Volumen (Vt) masa Volumen masa Volumen (Vp) masa

(cm3) mt Ve me (cm3) mp

(g) (cm3) (g) (g)

Medida 21,4596191 ± 13,78 ± 3,1622 ± 25,6 ± 19,50542704 ± 51,33 ±

z ± Dz 1,236577642 0,12648 0,004814 0,245576 0,3006589326 0,1683

Densidad 0,642136281 ± 8,095535306 ± 2,63178037 ±

P ± Dp 0,0374686162 0,0786307804 0,0414744287

(g/cm3)à

cuadro n° 3

masa de una cucharada de arena

mi mi mi mi mi mi Dm = Ei

(g) (g) (g) (g) (g) (g) (g)

10,5 10,4 10,5 10,3 10,45 10,44 0,110

10,4 10,3 10,4 10,4 10,5

10,6 10,4 10,3 10,5 10,6 Er E%

10,5 10,5 0,0113 1,13

5. CUESTIONARIO

1. Coloque el error absoluto y halle el error relativo y el error porcentual cometido en la medida

del volumen del cilindro.

DZ Er E%

0,2223099166 0,0027585037 0,27585037

2. Coloque el error absoluto y encuentre el error relativo y el error porcentual que ha resultado al obtener la medida del volumen de la placa de vidrio y/o metal y del tarugo.

Cuerpo DZ Er E%

Placa 0,3006589326 0,0154141169 1,54141169

Tarugo 1,236577642 0,0576234664 5,76234664

3. Halle el error relativo y el error porcentual de la densidad del cilindro y de la esfera metálica.

Exprese la medida con estos errores

Cuerpo Er E% X ± Er X ± E%

Cilindro 0,0028083803 0,28083803 6,171923438 ± 6,171923438 ±

0,0028083803 0,28083803

Esfera 0,0097128574 0,97128574 8,095535306 ± 8,095535306 ±

0,0097128574 0,97128574

4. Con la ayuda de tablas de densidades, identifique los materiales de los cuerpos medidos en el experimento. Dichas tablas se encuentran en textos, o en “Handbooks”, de Física.

Cuerpo pexp pteó Clase de Sustancia

que se identifica

Cilindro 6,171923438 6,4 HIERRO

Metálico

Placa de

Metal o de 2,63178037 2,643 ALUMINIO

Vidrio

Tarugo 0,642136281 0,689 ARCE DULCE

Esfera

Metálica 8,095535306 8,153 BRONCE

5. Considere los valores de las tablas como valores teóricos. Halle el error experimental porcentual de las densidades.

Cilindro Placa Tarugo Esfera

Error

Experimental 3,56369628 0,4245035944 6,80170087 0,7048288237

Porcentual

6. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones, para el caso de la medida de la masa de una cucharada de arena.

a) Los errores aleatorios proceden del proceso de medición y no de la variable (cucharada de

arena que se mide...........................................................................................................(V)

b) Los errores aleatorios proceden de los errores sistemáticos y no de la variable que se

mide...............................................................................................................................(V)

c) El proceso de medición y el instrumento de medida sn invariantes comparado con la variable

que se mide....................................................................................................................(F)

d) Los errores aleatorios proceden de la variable que se mide y no del instrumento de medición ni

del proceso de medición.................................................................................................(F)

e) La variable que se mide es muy estable ; los errores aleatorios provienen de las fluctuaciones que ocurren en los instrumentos o en los elementos del proceso de medición.......................(V)

f) Los instrumentos y el proceso de medición son estables y precisos ; los errores aleatorios provienen de las fluctuaciones que ocurren en la variable que se mide..................................(F)

7. ¿Qué medida es mejor, la de un tendero que toma 1Kg de azúcar con la precisión de un gramo, o la de un físico que toma 10cg de una sustancia en polvo con una balanza que aprecia miligramos ?

Para fundamentar mejor su respuesta anterior, conteste si es más significativo recurrir al error absoluto o al error relativo.

La mejor medida es la del físico porque toma la presición de 1mg en cambio el tendero toma sólo la presición de un gramo, o sea que la lectura mínima de la balanza que aprecia miligramos se aproxima más a la medida real que tomando sólo 1gramo.

Es más significativo recurrir al error relativo pues el cociente nos dará un valor lo más aproximado posible para el caso del físico.

8. Exprese la medida que Ud. lee en el siguiente gráfico.

0 1 2 3 cm

0 2 4 6 8 10

Se lee : 11,15mm

CALCULOS

ERRORES aleatorio de dc

DC = Ö (51,34-51,3)2 + (51,34-51,32)2 + (51,34-51,34)2 + (51,34-51,36)2 +.(51,34-51,38)2

5

DC = Ö (0,04)2 + (0,02)2 + (0)2 + (-0,02)2 + (-0,04)2

5

DC = Ö 0,0016 + 0,0004 + 0 + 0,0004 + 0,0016 = Ö 0,004 = Ö 0,0008 = 0,0282842712

5 5

Ea = .. 3s - = 3(0,0282842712) = 0,0424264068 mm

Ö n-1 2

ERROR DEL INSTRUMENTO (Ei)

Ei = ½(0,02) = 0,01 mm

ERROR ABSOLUTO (DX)

DX = Ei + Ea

DX = 0,01 + 0,0424264068 = 0,0524264068 mm

Pero :

DX = DC = HC=do=ho=lr=ar=hr=Ht= 0,0524264068 mm

ERRORES aleatorio de dt =

dt = Ö (16,4-16)2 + (16,4-16,2)2 + (16,4-16,4)2 + (16,4-16,6)2 +.(16,4-16,8)2

5

dt = Ö (0,4)2 + (0,2)2 + (0)2 + (-0,2)2 + (-0,4)2

5

dt = Ö 0,16 + 0,04 + 0 + 0,04 + 0,16 = Ö 0,4 = Ö 0,08 = 0,2828427125

5 5

Ea = .. 3s - = 3(0,2828427125) = 0,4242640688 mm

Ö n-1 2

ERROR DEL INSTRUMENTO (Ei)

Ei = ½(0,02) = 0,01 mm

ERROR ABSOLUTO (DX)

DX = Ei + Ea

DX = 0,01 + 0,4242640688 = 0,4342640688 mm

Pero :

DX = dt = lP = aP = 0,4342640688 mm

ERRORES aleatorio de hP

hP = Ö (18,214-18,21)2 + (18,214-18,212)2 + (18,214-18,214)2 + (18,214-18,216)2 +.(18,214-18,218)2

5

hP = Ö (0,004)2 + (0,002)2 + (0)2 + (-0,002)2 + (-0,004)2

5

hP = Ö 0,000016 + 0,000004 + 0 + 0,000004 + 0,000016 = Ö 0,00004 = Ö 0,000008

5 5

= 0,0028284271

Ea = .. 3s - = 3(0,0028284271) = 0,0042426406 mm

Ö n-1 2

ERROR DEL INSTRUMENTO (Ei)

Ei = ½(0,02) = 0,01 mm

ERROR ABSOLUTO (DX)

DX = Ei + Ea

DX = 0,01 + 0,0042426406 = 0,0092426406 mm

Pero :

DX = hP = de = 0,0092426406 mm

ERRORES aleatorio en la masa del cilindro

mC = Ö (0)2 + (497,4-497,3)2 + (497,4-497,5)2 + (497,4-497,6)2 +.(497,4-497,2)2

5

mC = Ö 0 + 0,01 + 0,01 + 0,04 + 0,04 = Ö 0,11 = Ö 0,02 = 0,1414213562

5 5

Ea = .. 3s - = 3(0,1414213562) = 0,4242640686 mm

Ö n-1 2

ERROR DEL INSTRUMENTO (Ei)

Ei = ½(0,1) = 0,05 g

ERROR ABSOLUTO (DX)

DX = Ei + Ea

DX = 0,05 + 0,4242640686 = 0,2621320343 g

ERRORES aleatorio en la masa del tarugo

mt = Ö (13,78-13,7)2 + (13,78-13,85)2 + (13,78-13,8)2 + (13,78-13,75)2 +.(13,78-13,8)2

5

mt = Ö 0,013 = Ö 0,0026 = 0,0509901951

5

Ea = .. 3s - = 3(0,0509901951) = 0,0764852926 mm

Ö n-1 2

ERROR DEL INSTRUMENTO (Ei)

Ei = ½(0,1) = 0,05 g

ERROR ABSOLUTO (DX)

DX = Ei + Ea

DX = 0,05 + 0,0764852926 = 0,1264852926 g

ERRORES aleatorio en la masa de la esfera

me = Ö (25,6-25,5)2 + (25,6-25,7)2 + (25,6-25,6)2 + (25,6-25,85)2 +.(25,6-25,65)2

5

me = Ö 0,085 = Ö 0,017 = 0,1303840481

5

Ea = .. 3s - = 3(0,1303840481) = 0,1955760722 mm

Ö n-1 2

ERROR DEL INSTRUMENTO (Ei)

Ei = ½(0,1) = 0,05 g

ERROR ABSOLUTO (DX)

DX = Ei + Ea

DX = 0,05 + 0,1955760722 = 0,2455760722 g

ERRORES aleatorio en la masa de la placa

mp = Ö (51,334-51,3)2 + (51,334-51,35)2 + (51,334-51,2)2 + (51,334-51,42)2 +.(51,334-51,4)2

5

mp = Ö 0,03112 = Ö 0,006224 = 0,07889233116

5

Ea = .. 3s - = 3(0,07889233116) = 0,1183384974 mm

Ö n-1 2

ERROR DEL INSTRUMENTO (Ei)

Ei = ½(0,1) = 0,05 g

ERROR ABSOLUTO (DX)

DX = Ei + Ea

DX = 0,05 + 0,1183384974 = 0,1683384974 g

CALCULO DEL VOLUMEN DEL CILINDRO

Dc =51,34 ± 0,0524264068 Hc = 43,14 ± 0,0524264068

Vc = (0,785)(Dc)2Hc

Z =(0,785)(Dc)2=(0,785)(51,34)2 = 2069,099546 mm2

DZ=2(0,0524264068)(2069,099546)=4,225767608 mm2

51,34

Z'=Z*Hc=(2069,099546)(43,14)=89260,95441 mm3 =89,26095441cm3

DZ'=(89,26095441) 0,0000056478 =(89260,95441)(0,00237651)

=212,1295549 mm3 = 0,2121295549 cm3

Vc=89,26095441± 0,2121295549 cm3

CALCULO DEL VOLUMEN DEL orificio CILINDRICO

do =8,74 ± 0,0524264068 ho = 15,14 ± 0,0524264068

Vo = (0,785)(do)2ho

Z =(0,785)(do)2=(0,785)(8,74)2 = 59,964266 mm2

DZ=2(0,0524264068)( 59,964266)=0,7193846689 mm2

8,74

Z'=Z*ho=(59,964266)(15,14)=907,8589872 mm3 =0,9078589872cm3

DZ'=(907,8589872) 0,0001559161 =11,33610544 mm3 = 0,01133610544 cm3

Vo=0,9078589872 ± 0,01133610544 cm3

VOLUMEN DE LA RANURA PARALELEPIPEDA

lr =27,94 ± 0,0524264068 ar = 6,44 ± 0,0524264068

hr = 43,14 ± 0,0524264068

Vr = lr x ar x hr

Z =lr x ar=(27,94)(6,44) = 179,9336 mm2

DZ=(179,9336) Ö (0,0000697925)=1,503199583 mm2

Z'=Z x hr=(179,9336)(43,14)=7762,335504 mm3 =7,762335504 cm3

DZ'=(7,762335504) Ö (0,0000712692)=65,5304804 mm3 = 0,0655304804 cm3

Vr=7,762335504 ± 0,0655304804 cm3

VOLUMEN REAL DEL CILINDRO

Vreal=Vc-(Vo+Vr)

Z=Vo+Vr=0,9078589872 + 7,762335504=8,670194491cm3

DZ= Ö (0,004422751)=0,0665037668cm3

Z'=Vc-Z=89,26095441-8,670194491=80,59075992cm3

DZ'= Ö (0,049421699)=0,2223099166cm3

Vreal=80,59075992 ± 0,2223099166 cm3

VOLUMEN DEL TARUGO

dt=16,4 ± 0,4342640688 ht=101,64 ± 0,0524264068

Vt = (0,785)(dt)2ht

Z =(0,785)(dt)2=(0,785)(16,4)2 = 211,1336 mm2

DZ=2(0,4342640688)(211,1336)=11,18143124 mm2

51,34

Z'=Z*ht=(211,1336)(101,64)=21459,6191 mm3 =21,4596191cm3

DZ'=(21,4596191) Ö (0,003204639) =1236,577642 mm3 = 1,236577642 cm3

Vt=21,4596191 ± 1,236577642 cm3

VOLUMEN DE LA ESFERA

de=18,214 ± 0,0092426406

Ve = (0,523333333)(de)3

Z =(0,523333333)(18,214)3= 3162,236842 mm3=3,162236842 cm3

DZ=3(0,0092426406)( 3162,236842)=4,814003287 mm3=0,004814003287cm3

18,214

Ve=3,162236842 ± 0,004814003287 cm3

VOLUMEN DE LA placa

lp =40,4 ± 0,4342640688 ap = 39,4 ± 0,4342640688

hp = 12,254 ± 0,0092426406

Vp = lp*ap*hp

Z =lp*ap=(40,4)(39,4) = 1591,76 mm2

DZ=(1591,76) Ö (0,0002370262)=24,50618812 mm2

Z'=Z*hp=(1591,76)(12,254)=19505,42704 mm3 =19,50542704 cm3

DZ'=(19,50542704) Ö (0,000237595)=300,6589326 mm3 = 0,3006589326 cm3

Vr=19,50542704 ± 0,3006589326 cm3

DENSIDAD DEL CILINDRO

Vc=80,59075992 ± 0,2223099166 cm3 mc=497,4 ± 0,2621320343 g

pc=mc/Vc

Z=mc/Vc=497,4/80,59075992=6,171923438 g/cm3

DZ=(6,171923438) Ö (0,000007887)=0,0173331083 g/cm3

pc=6,171923438 ± 0,0173331083 g/cm3

DENSIDAD DEL TARUGO

Vt=21,4596191 ± 1,236577642 cm3 mt=13,78 ± 0,1264852926 g

pt=mt/Vt

Z=mt/Vt=13,78/21,4596191=0,642136281 g/cm3

DZ=(0,642136281) Ö (0,003404716)=0,0374686162 g/cm3

pt=0,642136281 ± 0,0374686162 g/cm3

DENSIDAD DE LA ESFERA

Ve=3,162236842 ± 0,004814003287 cm3 me=25,6 ± 0,2455760722 g

pe=me/Ve

Z=me/Ve=25,6/3,162236842=8,095535306 g/cm3

DZ=(8,095535306) Ö (0,0000943396)=0,0786307804 g/cm3

pt=8,095535306 ± 0,0786307804 g/cm3

DENSIDAD DE LA PLACA

Vp=19,50542704 ± 0,3006589326 cm3 mp=51,334 ± 0,1683384974 g

pp=mp/Vp

Z=mp/Vp=51,334/19,50542704=2,63178037 g/cm3

DZ=(2,63178037) Ö (0,0002483485)=0,0414744287 g/cm3

pp=2,63178037 ± 0,0414744287 g/cm3

ERROR RELATIVO Y PORCENTUAL DE LOS VOLUMENES HALLADOS

CILINDRO

Er=0,2223099166/89,26095441=0,0027585037

E%=100 Er=100(0,0027585037)= 0,27585037

PLACA

Er=0,3006589326/19,50542704=0,0154141169

E%=100 Er=100(0,0154141169)= 1,54141169

TARUGO

Er=1,236577642/21,4596191=0,0576234664

E%=100 Er=100(0,0576234664)=5,76234664

ERROR RELATIVO Y PORCENTUAL DE LAS DENSIDADES HALLADAS

CILINDRO

Er=0,0173331083/6,171923438=0,0028083803

E%=100 Er=100(0,0028083803)= 0,28083803

ESFERA

Er=0,0786307804/8,095535306=0,0097128574

E%=100 Er=100(0,0097128574)= 0,97128574