INCORPORANDO “FAIRNESS”

A LA TEORÍA DE JUEGOS

Éste trabajo se basa, fundamentalmente en un artículo de Matthew Rabin publicado en la “American Economic Review” del número de Diciembre de 1993 titulado “Incorporating Fairness into Game Theory and Economics”. Pero no se trata tan solo de una traducción de ese artículo, sino más bien de una aplicación de la teoría de Rabin a los juegos a los que estamos acostumbrados a ver los estudiantes, tanto en los “clásicos” como el dilema del prisionero, la batalla de sexos o el juego del gallina, como en juegos que son comunes en nuestros exámenes y lecciones, tales como el juego de los piratas o el de la subasta. También, en el último apartado del trabajo, intentaré buscar, con o sin éxito, algunos “puntos flacos” a ésta teoría.

El concepto “fairness” se podría traducir por equidad, justicia, rectitud..., pero, como no existe una traducción literal que me convenza, he conservado el término original.

Hasta ahora, al estudiar Teoría de Juegos, sólo teníamos en cuenta consideraciones puramente económicas, descartando los “sentimientos” de los agentes. En la realidad, aunque la racionalidad económica se imponga en los resultados, otras fuerzas como el grado de altruismo, la simpatía, las intenciones de los demás... también influyen en nuestras decisiones. Un claro ejemplo de lo que quiero decir lo hemos visto todos recientemente:

Todos conocemos bien cómo cada año, los camiones españoles cargados de frutas y verduras, sufren los ataques de los agricultores franceses que destruyen los cargamentos y perjudican, de forma lamentable y “poco elegante”, tanto a la Economía Española como al Comercio Intracomunitario. La reacción de los consumidores españoles el año pasado, hartos ya de tanto juego sucio, fue “de castigo” hacia los productos alimentarios franceses, sustituyéndolos por otros españoles. Así, supongamos que la confitura de fresa “calidad extra” es un bien bastante homogéneo y que la confitura francesa (ejemplo: Bonne Mamman) y la española (ejemplo: Hero que, aunque es de marca alemana, es “made in Spain”), tienen un diferencial de precios ligeramente favorable a la marca francesa. Pues bien, la antipatía que suscitan los productos franceses, hace que, aunque en igualdad de condiciones se demandase más confitura Bonne Mamman y menos Hero, los consumidores españoles prefieran comprar Hero y pagar ese pequeño diferencial de precios. Sin embargo, si la confitura francesa fuese tan competitiva que costase la mitad que la española, los consumidores serían más reacios a pagar tan alta diferencia para castigar a los productores franceses. Éste es un ejemplo de “antipatía”, pues los consumidores españoles están dispuestos a renunciar a parte de su renta (pagos) para minimizar los pagos de los productores franceses. Decimos que es un caso de “mutual-min”.

En la misma línea podemos ver cómo, en Navidad, las tarjetas de felicitación navideña que más se venden son las de Unicef. Ésto no es ni porque sean las más bonitas ni porque sean las más baratas, sino porque la Unicef hace una labor social tan importante por los niños del Tercer Mundo que los consumidores quieren colaborar con ella. Por otra parte, hay que tener en cuenta que el diferencial de precios no es demasiado alto, pues de ser así, la gente miraría primero por sus propios intereses. Éste sería un caso de “simpatía” o “mutual-max”, ya que los consumidores tratan de maximizar los pagos de Unicef, aun a costa de renunciar a una pequeña cantidad de renta.

Resumiendo, la misma gente que es altruista con otra gente altruista está también motivada a perjudicar a aquellos que quieren perjudicarles: La gente está dispuesta a sacrificar sus propio bienestar para ayudar a aquellos que están siendo amables con ellos y para perjudicar a quienes están siendo egoístas. Pero éstas motivaciones tienen un efecto más grande en el comportamiento cuanto más pequeño sea el coste material del sacrificio.

Propongamos un juego: 2 personas tienen que dividir una cantidad fija de dinero (X) cumpliendo las siguientes reglas:

Uno de ellos propone el sistema de reparto y el otro decide si lo acepta o no. Si se acepta, se lleva a cabo el reparto como se ha propuesto, si no se acepta, ambos se quedan sin nada.

En la Teoría de Juegos convencional, el resultado era claro: los que proponen no ofrecerían más de una peseta y los que deciden aceptarían cualquier oferta de al menos una peseta. Pero la realidad demuestra que los decisores tratarán de castigar las ofertas injustas (“unfair”) rechazándolas, y los que proponen tenderán a hacer ofertas justas (“fair”). Aunque ésto último será si y sólo si la cantidad de dinero a sacrificar no es demasiado alta. Ejemplos:

ejemplo 1:

X = 1.000.000.000 ptas.

xi es la parte que recibirá, según lo propuesto por el jugador 1, el jugador i, para i = 1,2

El jugador 1 propone: x1 = 999.999.999 ptas.

x2 = 1 pta.

Si sólo tenemos en cuenta criterios de racionalidad económica, el jugador 2 aceptaría la propuesta porque lo que gana aceptando (1 pta.) es mayor que lo que gana rechazando (0 ptas.), pero en la realidad, es casi seguro que optará por rechazar porque la conducta del jugador 1 es egoísta.

ejemplo 2:

X = 1.000.000.000 ptas. El jugador 1 propone: x1 = 990.000.000 ptas.

x2 = 10.000.000 ptas.

Si X fuesen 10.000 ptas. y se mantuviese la misma relación (x1 = 9.900 ptas. y x2 = 100 ptas.), es también muy probable que la oferta sea rechazada ya que 100 ptas. significan muy poco para perjudicar a alguien que se comporta de forma tan egoísta, pero en el ejemplo propuesto, la cantidad que el jugador 2 perdería si rechazase es, o puede ser, suficientemente alta para dejar que se escape una oportunidad de ganar 10 millones de pesetas.

BATALLA DE SEXOS (Fig. 1)

El jugador 1 no se fija sólo en su propio pago, sino que depende del pago del jugador 2

Si el jugador 2 quiere ayudar/perjudicar al jugador 1, entonces el jugador 1 querrá ayudar/perjudicar al jugador 2 y viceversa.

Si el jugador 1 cree: a) que el jugador 2 juega boxeo

b) que el jugador 2 cree que el jugador 1 juega boxeo

Entonces el equilibrio de Nash será (boxeo, boxeo)

Ahora incorporamos fairness al juego:

El jugador 1 cree que:

a) El jugador 2 juega boxeo

b) El jugador 2 cree que el jugador 1 juega ópera

Entonces el jugador 1 creerá que el jugador 2 está reduciendo su propio pago para rehuirle por lo que el jugador 1 sentirá hostilidad frente al jugador 2 y querrá perjudicarle. Si la hostilidad es grande (opera, boxeo) es un equilibrio.

El comportamiento en éstos juegos depende de la escala de juegos materiales. ¿Es el resultado hostil (ópera, boxeo) un equilibrio “fairness”? Si X es pequeño, el jugador 1 prefiere ópera a boxeo dados sus pensamientos. El jugador 2 prefiere boxeo a ópera, por tanto, es equilibrio. Si X es grande, (ópera, boxeo) no será equilibrio, y sí lo serán (ópera, ópera) y (boxeo, boxeo).

La hostilidad de cada jugador puede llevarles a tomar costosas decisiones para castigar al otro.

DILEMA DEL PRISIONERO (Fig. 2)

Aquí vemos cómo, cuando en el juego convencional, el único equilibrio era el que los dos jugadores se perjudicaban mutuamente, si incorporamos “fairness”, puede darse el caso de que un jugador se sacrifique para ayudar al otro. Si X es muy pequeño, (cooperar, cooperar) es un equilibrio “fairness”. Los jugadores cooperarán siempre que el pago material por no cooperar no sea muy grande.

Para todo X, el equilibrio de Nash (no cooperar, no cooperar) es también un equilibrio “fairness”, porque cada jugador sabe que el otro no quiere quedarse sin X para darle al otro 6X. Así, si ambos jugadores son hostiles, en la solución (no cooperar, no cooperar), se satisfacen sus deseos de perjudicar al otro a costa del propio interés material.

Si el jugador 2 estuviese, por alguna razón, forzado a cooperar, el jugador 1 jugaría siempre no cooperar, porque no ve buenas intenciones en la decisión del jugador 2, ya que no le está haciendo ningún favor voluntariamente.

No se está agradecido a nadie que simplemente hace lo que debe.

JUEGO DEL “GALLINA” (CHICKEN) (Fig. 3)

En éste juego, el equilibrio de Nash resulta siempre (valiente, gallina), ¿es éste un equilibrio “fairness”? El juego es de sobra conocido: dos adolescentes circulan cada uno en un coche, por un mismo carril pero en sentido contrario. Si uno de los dos siente miedo y se aparta a un lado, será un “gallina” y quedará mal delante de sus compañeros, mientras que el otro será un “valiente” y se llevará toda la gloria (0, 2X). Si ambos se retiran, no quedarán mal ninguno, aunque tampoco bien y seguirán con sus coches intactos (X, X). Si ambos son “valientes”, se pegarán un trastazo que desguazarán sus coches (si no algo peor), sus pagos serán (-2X, -2X).

Comprobamos que el jugador 1 perjudica al jugador 2 en su propio beneficio. Así, si X es un valor suficientemente pequeño, el jugador 2 jugaría valiente, perjudicando a ambos, entonces, podemos concluir que, para un X pequeño, (valiente, gallina) no es un equilibrio.

En éste caso, la introducción de “fairness” influye en el equilibrio de Nash.

THE GRABBING GAME (Fig. 4)

Aunque desconozco el título de éste juego en castellano, se trata del conocido dilema de las latas: Dos individuos que están comprando en una tienda ven que sólo quedan dos latas de sopa (y se supone que ambos adoran la sopa en lata, ya que si a uno de ambos no le gustase, el planteamiento del juego sería absurdo), de forma que si uno de los dos corre a por ellas y el otro no, el primero se quedaría con ambas. Si los dos corren o ambos van a paso normal, llegarán al mismo tiempo y se llevarán una lata cada uno.

El equilibrio convencional sería (correr, correr), pero si el pago fuera muy pequeño (por ejemplo que valoren muy poco la diferencia entre comprar una lata o un sustitutivo cercano (un sobre de sopa en polvo, por ejemplo) que puedan comprar sin necesidad de correr), un equilibrio posible sería (no correr, no correr).

EL JUEGO DE LOS PIRATAS

Introducir “fairness” al juego de los piratas es quizá el apartado más tentador y a la vez el más arriesgado de todo el trabajo. El juego es bien conocido: 10 piratas se plantean repartir un botín de 100 monedas de oro. La forma del reparto la establecerá el más joven de ellos (grumete), y si no lo acepta el 50% de los piratas, matarán al grumete y decidirá el siguiente más joven, y así sucesivamente hasta que se pongan todos de acuerdo. En la teoría convencional, el juego se resuelve partiendo de que sólo queda un pirata que se queda todo el oro:

Piratas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (grumete)

Oro 100

0 100

1 0 99

......

1 0 1 0 1 0 1 0 96

0 1 0 1 0 1 0 1 0 96

Así, el grumete no solo consigue seguir vivo, sino que se queda con casi todo el oro.

Pero éste juego depende de algo fundamental: el valor de una moneda de oro. Si tiene un valor bajo (por ejemplo, 1000 pesetas), es bastante probable que los piratas que reciben 1 moneda voten, al igual que los que no reciben nada, a favor por la muerte del grumete, por ser una oferta avariciosa la de éste. Así, incluyendo “fairness” para el grumete, la dificultad estriba en saber cómo valoran los demás su oferta, así, uno de los innumerables equilibrios sería:

Piratas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (grumete)

0 20 0 20 0 20 0 20 0 20

Aunque también pudiera ocurrir que el grumete tratase de maximizar los pagos de los que deben votar a su favor y renunciar a su propio pago:

0 25 0 25 0 25 0 25 0 0

Aunque también conviene apuntar que el orden de a quien le toca pago y a quien no, puede dejar de tener importancia. En éste juego, ahora el resultado será incierto.

LA SUBASTA A SOBRE CERRADO (Versión del precio mínimo)

Supongamos que dos individuos van a una subasta de un cuadro con ánimo de comprarlo, que cada uno de ellos conoce la valoración del otro por el cuadro:

El individuo 1 sabe que el individuo 2 valora el cuadro en 1 millón de pesetas, mientras que el individuo 2 sabe que el individuo 1 sólo lo valora en 900.000 pesetas. Además, el individuo que más ofrezca por el cuadro, se lo llevará pagando tan sólo la cantidad ofrecida por el otro. El equilibrio de Nash sería (900.000, 1.000.000), llevándose el cuadro el individuo 2 y pagando por él 900.000 ptas., porque ninguno de los dos tiene incentivos para ofrecer una cantidad diferente a su valoración.

Pues bien, incorporemos “fairness” a este juego: (Obsérvese que es el individuo 1 el que puede decidir si ayuda o no al individuo 2, ya que éste último es el que está más interesado y el que, en principio, se lo va a llevar).

El individuo 1 sabe que el individuo 2 es el que va a pujar más (sabe que va a pujar por el cuadro un millón de pesetas, y que él no debe ofrecer más de 900.000 pesetas porque es su valoración máxima), también sabe que es el otro quien se va a llevar el cuadro, así que puede “echarle una mano” y ofrecer una cantidad próxima a cero (por ejemplo, 1 peseta), con lo que el individuo 2 se llevaría el cuadro y casi gratis. (Tengamos en cuenta que en este caso al individuo 1, ayudar al individuo 2 no le cuesta nada, sea cual sea el valor del cuadro). El individuo 1 puede perjudicar al individuo 2 ofreciendo 999.999 pesetas y forzándole a pagar casi la totalidad de lo que valora. Incluso si la enemistad del individuo 1 por el individuo 2 es muy alta y para el individuo 1, la diferencia entre su valoración y la del otro (100.000 pesetas) no supone mucho dinero, pudiera ser que estuviera dispuesto a ofrecer más de 1 millón para llevarse el cuadro y así impedir que se lo llevara el otro.

EL JUEGO DE LOS MAFIOSOS (Fig. 5)

Tras éste juego de creación propia, intentaré exponer lo que va a ser el eje central de mis críticas al modelo: que el señor Rabin, en algunos casos parece no haber tenido en cuenta que detrás de los llamados “pagos materiales”, hay otros “no materiales” que es en lo que se basa la introducción de la “fairness”

Supongamos dos mafiosos que se odian hasta el punto de que cada uno quiere matar al otro. Si uno (mafioso 1) mata al otro (mafioso 2), el asesino irá a la cárcel 30 años y al otro le enterrarán: los pagos serían (-30, -X) y viceversa (siendo X un número próximo a infinito). Si los dos se matan mutuamente, los pagos serían (-X, -X), pues se supone que una vez muertos les da igual lo que sea del otro. Por contra, si ambos se olvidan de sus diferencias, ambos seguirán vivos y sus pagos serán (X, X). Éste último será el equilibrio de Nash, ya que los pagos de “Matar” son ambos negativos y perdonando se obtiene el mismo pago negativo en el caso de que el otro nos mate (-X) o uno positivo (X) si el otro piensa igual que nosotros. Sin embargo, si el odio que uno siente por el otro compensa los 30 años de cárcel (lo cual quiere decir que, incorporando pagos no materiales, el pago sería diferente a (-30), sino que sería un pago positivo (Y) incluso superior a X, ya que cada mafioso preferiría acabar con su rival e irse 30 años a la cárcel que seguir vivos y libres ambos. Ésto quiere decir que existiría, detrás de nuestro juego, un juego implícito que tendría la forma de un dilema del prisionero (Fig. 6). Así, el equilibrio de Nash los lleva a la tumba a ambos, ya que cada uno piensa de la siguiente forma:

• Si el otro me mata, me va a dar igual haberle matado yo o no, mientras que si no me mata y yo le mato, obtendré un pago superior (Y) que si también le perdono (X).

V. Conclusiones y Críticas

· Una conclusión directa del modelo es que:

1º- Todo equilibrio de Nash en mutual-max o mutual-min es un equilibrio fairness.

2º- Si los pagos son pequeños, el equilibrio fairness está, en el intervalo de soluciones

(mutual-max, mutual-min).

3º- Si los pagos son grandes, el equilibrio fairness está aproximadamente en el

equilibrio Nash.

· La crítica más fuerte que yo veo que se le puede hacer a éste modelo deshace, a mi modo de ver, la mayor parte de la teoría aquí expuesta (que no es completamente el modelo de Rabin, ya que para la formalización matemática nos remitimos al artículo citado). Como ya he expuesto más arriba, la introducción de “fairness” lo que hace, a mi entender, es falsear los pagos, ya que supone unos pagos implícitos que no se contemplan en la matriz de pagos. O, dicho de otra forma, el señor Matthew Rabin supone que en los juegos convencionales no se tienen en cuenta otros pagos que no sean los pagos materiales: En el caso que poníamos al principio de la confitura francesa versus la española, lo que sucede es que al consumidor la primera le ofrece a un precio Pf los 375 gramos (por ejemplo) de confitura más un mal (por ejemplo -X), que es la antipatía que siente por los productos franceses así que Pf será el precio que tendrá que pagar un consumidor español para obtener la utilidad que le proporcionan 375 gramos de confitura menos X unidades de utilidad que le proporciona un producto francés. Dependiendo del nivel de hostilidad y del diferencial de precios, un consumidor se decidirá por una confitura o por otra.

De la misma manera, en el caso del juego del gallina, puede ser que los dos prefieran destrozar sus coches a quedar mal con sus amigos, con lo que los pagos en caso de siniestro serían mayores que los de hacer el “gallina” (independientemente del valor del resultado (gallina, gallina).

La matriz de pagos sería la siguiente:

• Valiente, Valiente: Y, Y

- Gallina, Gallina: X, X

- Gallina, Valiente: 0, 2X

- Valiente, Gallina: 2X, 0

Si tenemos en cuenta que Y es mayor que 0 (y aquí cabe que Y sea mayor que 0 porque a cada jugador le parezca que es mejor impedir que el otro se salga con la suya ya que, si aceptamos que X es mayor que Y, un jugador obtendrá más utilidad perjudicando al otro aun a costa suya que dejando que el otro se ría de él. Hay que tener en cuenta que los pagos son en términos de utilidad), el único equilibrio de Nash de éste juego es (Valiente, Valiente), ya que, independientemente de lo que haga el otro, la mejor opción para cada uno es seguir en el carril. (Volvemos al dilema del prisionero convencional)

Así, si en la figura 3, X es un valor muy pequeño, al incorporar fairness tenemos que tener en cuenta que la celdilla (V, V) tendrá unos pagos superiores a cero (no negativos), ya que es mejor tener el accidente que quedar deshonrado (recordemos la triste Historia de España cuando, hace exactamente 100 años, alguien dijo aquello de “más vale honra sin barcos que barcos sin honra”, y miles de españoles murieron inútilmente en Santiago de Cuba por ofrecer batalla a la armada estadounidense que tenía la batalla ganada de antemano).