Teoría de circuitos

Electricidad. Respuesta en frecuencia y filtrado. Diagramas de Bode. Series Fourier. Laplace

  • Enviado por: Marc Ruaix
  • Idioma: catalán
  • País: España España
  • 49 páginas
publicidad

TEMA 4: RESPOSTA EN FREQÜÈNCIA I FILTRAT

4.1 Resposta en freqüència

Teoría de circuitos

Recordem (del tema 3) que tot circuit electrònic té una funció de transferència Ym. La sortida del circuit Té una amplitud i una fase que poden canviar segons la freqüència.

Exemple

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Aquest filtre passabaixos, eliminarà la part sorollosa que és la que té la freqüència més alta.

Tipus de filtre

Teoría de circuitos

La banda (B) queda definida per:

B = H - L

4.2 El circuit de sintonització paral·lel.

Factor de qualitat ! Q = 2 ·  · WP / WD

on Wp= energía de pic

on Wd=energía dissipada en un periode

v(t)=Vm · cos(·t)

i(t)=Im· cos(·t+)

Pel cas de la bobina:

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Pel cas del condensador:

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Resumint:

Per la bobina ! QL =  · L / rs

Per el condensador ! QC =  · L · rp

De cara a trobar la freqüència amb la que el circuit entra en resonància

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Per a o veiem que el mòdul de la impedància tendeix a infinit.

Equivalència

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos
Teoría de circuitos

Resumint:

per al circuit sèrie ! Teoría de circuitos

per al circuit paral·lel !Teoría de circuitos

Càlculs per al RLC paral·lel:

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Resposta en freqüència

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Tant per la freqüència de tall superior, com per la de tall inferior, el mòdul del guany és el modul per a o dividir per Teoría de circuitos
. És a dir:

Teoría de circuitos

Tornant a l'expressió d'abans del circuit de sintonització paral·lel:

Demostrarem l'existència de dues freqüències

per les quals el valor de guany és Ao/Teoría de circuitos
:

Teoría de circuitos

Per a freqüències altes:

Teoría de circuitos

Per a freqüències baixes:

Teoría de circuitos

4.3 Resposta temporal d'un circuit de sintoni paral·lel.

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Si passem transformem l'impedància a l'operador de Heaviside podem observar que ens queda un denominador de 2º grau del qual podem obtenir molta informació, l'ample de banda i la freqüència de resonància natural del sistema:

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

4.4 Formes canòniques per filres de segon ordre.

Teoría de circuitos

Com veiem el guany a la freqüència de ressonància depèn del factor de qualitat: Qo=1/(2·)

Teoría de circuitos

4.5 Diagrama de BODE

Exemple

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

El guany en dB d'un funció de transferència és: Adb()=20·log·A()

Per calcula la potència transmesa: 10·log(Po/Pi)= 10·log(Vo2/Vi2)= 20·log(Vo/Vi)

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Factor general (zeros/pols múltiples)

Un cop factoritzat el numerador i denominador de la funció de transferència ens trobem binomis del següent tipus: ( j+a ) q . Si el binomi està en el numerador, parlem d'un zero. Si el binomi està situat en el denominador parlem d'un pol. Per analitzar les contribucions de guany en el bode ho passarem a dB: ( j+a ) q ! a és el zero o pol i q és la multiplicitat.

Cas particular on a=0.

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Cas general on a "0.

Teoría de circuitos

Aproximacions en el dibuix del Bode

 " a ! 10·q·log 2 = 20·q·log  ! zero= + 20·q·log 

! pol = - 20·q·log 

 " a! 10·q·log a2 = 20·q·log a ! zero= + 20·q·log a

! pol = - 20·q·log a

Teoría de circuitos

Demostració de l'aproximació, càlcul d'error.

Teoría de circuitos

Error per a  " a

Teoría de circuitos

Error per a  " a

Teoría de circuitos

Error per a  = a

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Com veiem en el darrer dibuix l'error és màxim quan =a. Però a mesura que ens allunyem de a, l'error diminueix éssent ínfim en punts més llunyants.

Exemple

Teoría de circuitos

I aquestes són les contribucions per part de la constant, el zero i els dos pols:

Teoría de circuitos

Que sumant-les totes ens dóna un Bode d'aquest tipus:

Teoría de circuitos

Un mètode més ràpid consisteix en determinar el guany a l'orígen del Bode (1 rad/s) i a partir d'aquí anar sumant pendents:

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Diagrama de Bode en fase

Un cop factoritzat el numerador i denominador de la funció de transferència ens trobem amb una constant K que multiplica a una sèrie de binomis del següent tipus: ( j+a ) q . Si el binomi està en el numerador, parlem d'un zero. Si el binomi està situat en el denominador parlem d'un pol. Per analitzar les contribucions de fase en el bode mirem l'argument del nombre complexe resultant:

Teoría de circuitos

Cas particular on a = 0:

per a un pol: Teoría de circuitos

per a un zero: Teoría de circuitos

Cas general on a " 0:

per a un pol: Teoría de circuitos
. En dos dècades cambiem q·90º la fase

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

per a un zero: Teoría de circuitos
. En dos dècades cambiem q·90º la fase

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

La contribució de la constant K en el diagrama de Bode de fase és de 0º per K>0 i de -180º per K<0.

Pel que fa als factors generals (pols o zeros)

Exemple

Fer el diagrama de bode per a la següent funció de transferència:

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

TEMA 5: RESPOSTA EN FREQÜÈNCIA I FILTRAT

5.1 Sèries de Fourier trigonomètrica.

Encara que apliquem una entrada no sinusiodal, tota senyal periòdica es pot descomposar en sèries de Fourier trigonomètriques.

Teoría de circuitos

Així doncs per poder descomposar un senyal s'ha de complir que f (t) = f (t+T). On T és el periode.

Una sèrie de Fourier té el següent aspecte:

Teoría de circuitos

a0 / 2 ! valor mig

a1, a2, b1, b2, ... ! coeficients de Fourier

0 ... ! freqüència fonamental (2· /T)

n · 0 ... ! harmònics

Càlcul dels coeficients

Teoría de circuitos

Exemple

Calcular la sèrie de Fourier per aquest senyal:

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

f(t)=2·sin t - sin(2·t) + (2/3)·sin (3·t) - 1/2·sin (4·t) +2/5 sin (5·t)+....

Si representem la suma dels 5 primers harmònics tenim una senyal del següent tipus, veiem com s'apropa a la dent de serra:

Teoría de circuitos

5.2 Propietats de les simetries

Segons si les senyals són parells ( f(t)=f(-t) ) o senars ( f(t) = -f(-t) ), ténen una sèrie de característiques que són útils alhora de simplificar els càlculs. La següent taula les fórmules per calcular els coeficients.

Teoría de circuitos

Exemple

Calcular la sèrie de Fourier de la següent funció :

Teoría de circuitos

f (t+2) = f (t) ! T=2 ! 0=  rad/s

Teoría de circuitos

Veiem que es tracta d'una simetria senar (no té termes de cosinus), i a simple vista determinem que el valor mig del senyal és 0.

Teoría de circuitos

Amb el 9 primers harmònics:

Teoría de circuitos

Amb els 199 primers harmònics :

Teoría de circuitos

5.3 Resposta a excitacions periòdiques

Exemple

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Si volem trobar el corrent que circularà la funció de transferència ha de ser una admitància:

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Les sèries de Fourier es poden representar com la suma de termes de cosinus i sinus, o bé com termes de cosinus amb un defasatge n.

Teoría de circuitos

+

Teoría de circuitos

=

Teoría de circuitos

Analíticament:

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Exemple 2

Calcula V del condensador:

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

5.4 Sèrie de Fourier exponencial

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Càlcul de Cn:

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Exemple

Calcular la sèrie de Fourier de la següent funció :

Teoría de circuitos

f (t+2) = f (t) ! T=2 ! 0=  rad/s

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Així podem resumir la sèrie exponencial de Fourier com una altra sèrie en el que el terme Cn ens aporta més informació que la trigonomètrica, concretament l'amplitud i la fase. La sèrie és del següent tipus:

Teoría de circuitos

En temes anteriors deiem que tot circuit té una funció de transferència, i que quan aplicàvem un senyal a l'entrada teníem una senyal de sortida. La senyal de sortida (y(t)= yn(t)+ yf(t)) tenia un transitori que dessapareixia i com a règim estacionari permanent ens queda la senyal de sortida forçada. Si l'entrada del circuit és un senyal x(t) del següent tipus:

Teoría de circuitos

5.4 Espectre en freqüència

Exemple

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Donant diferents valors a n trobarem les diferents amplituds del diferents harmònics:

n

Cn

øCnø

n

1

1/

1/

0

2

0

0

0

3

1/(-3·)

1/(3·)

0

4

0

0

0

5

1/(5·)

1/(5·)

0

6

0

0

0

Gràfica

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

TEMA 6:Aplicacions de la transformada de Fourier

6.1 La integral de Fourier.

Per a passar una funció f(t) dependent del temps al domini de la freqüència (j) cal aplicar la transformada de Fourier. Cal aplicar la integral de Fourier:

Teoría de circuitos

El motiu de treballar en el domini de la freqüència, és la reducció de complexes eqüacions a simples expresions algebraiques, que un cop resoltes, les tornem a passar al domini del temps aplicant la antitransformada de Fourier:

Teoría de circuitos

Exemple

Tenim una funció f(t)=e-at·u(t)

Respecte, el temps: Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Respecte, la freqüència. (vermell ! mòdul,

blau ! fase)

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Exemple 2

Tenim una funció Teoría de circuitos

Trobar la transformada de Fourier

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

6.2 Propietats de la transformada de Fourier

Quan fem la transformada de Fourier, passem a treballar amb freqüència complexa. La transformada ens aportarà informació del guany i fase:

Teoría de circuitos

SIMETRIES

Tornant a fer referència a les simetries, es cumpleixen les següents propietats:

  • Si f(t) és parell ! f(t)= -f(t):

Teoría de circuitos

  • Si f(t) és senar ! f(t)= -f(-t):

Teoría de circuitos

Exemple

Tenim una funció Teoría de circuitos

Trobar la transformada de Fourier.

Teoría de circuitos

La simetria és senar :

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

LINIALITAT

Els escalars que multipliquen a la f(t) són els mateixos que multipliquen a f(j):

Teoría de circuitos

DERIVACIÓ

Teoría de circuitos

DESPLAÇAMENT

Un desplaçament en el temps, provoca un canvi de fase a la freqüència:

Teoría de circuitos

MULTIPLICACIÓ PER t n

Teoría de circuitos

6.3 Aplicacions de transferència en freqüència

6.3.1 Funció de xarxes

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

* n és el nombre d'elements de memòria

Exemple

En el següent circuit trobar H(j) i Vo(t).

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Aplicant transformadas de Fourier no podem tenir en compte les condicions inicials del circuit. De fet la funció de transferència no depèn de les condicions inicials. Per a poder-les tenir en compte hauríem d'aplicar la transformada de Laplace.

6.3.2 Càlcul de la densitat de energètica

En aquest apartat i gràcies a la relació de Parseval podrem determinar l'energia aplicada a un circuit, calcular l'energia de resistències, inductàncies i condensadors.

Relació de Parseval

Teoría de circuitos

Per a calcular l'energia (W) hem de fer l'integral de la potència en el temps:

Teoría de circuitos

Nosaltres no treballarems amb la potència sinó amb la tensió al quadrat, que és directament proporcional:Teoría de circuitos

Exemple

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

TEMA 7:Aplicacions de la transformada de Laplace

7.1 Introducció.

Com les eqüacions diferencials de temps són força complicades, fem servir la transformada de Laplace per passarles al pla s on aquestes mateixes eqüacions queden reduides a formes algebraiques molt més senzilles de tractar.

Per a passar una funció f(t) dependent del temps al pla s cal aplicar la transformada de Laplace:

Teoría de circuitos

Exemple

Si tenim una funció f(t)=e-at·u(t)

Teoría de circuitos

Si tenim una funció f(t)=u(t)

Teoría de circuitos

Si tenim una funció g(t)=Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Exemple 2

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

7.2 Linealitat

Els escalars que multipliquen a la f(t) són els mateixos que multipliquen a f(s):

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Exemple

Teoría de circuitos

Exemple 2

Teoría de circuitos

Fent transformades de Laplace:

Teoría de circuitos

Utilitzant l'operador p de Heaviside:

Teoría de circuitos

7.3 Traslació

Teoría de circuitos

Exemple

Teoría de circuitos

Exemple 2

Teoría de circuitos

7.4 Convolució

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Producte de convolució

Teoría de circuitos

Exemple

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

7.5 La funció impuls

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

7.6 La transformada inversa

Exemple

Teoría de circuitos

Exemple 2

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Exemple 3

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

7.7 Teorema de diferenciació

Teoría de circuitos

7.8 Circuits elèctrics

Exemple

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Exemple 2

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

7.9 El circuit transformat

Anàlisis per tensions

Anàlisis per corrents

RESISTÈNCIA

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

INDUCTÀNCIA

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

CONDENSADOR

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos

Teoría de circuitos
Teoría de circuitos

  • Considera el circuit de la figura 1. A t=0- el circuit es troba en condicions règim permanent.

  • Determina:

  • Les condicions inicials, és a dir, els valors del corrent de la bobina (i) i la tensió en el condensador a t=0.

  • Troba la funció de transferència.

  • Quina és la resposta en corrent per qualsevol valor de temps superior a zero? Determina la resposta completa.

  • Teoría de circuitos

  • Substituim les bobines per un curtcircuit i el condensador per un circuit obert. Calculem la tensió entre borns del circuit obert (VCo), i el corrent del curtcircuit (ILo).

  • Teoría de circuitos

    Teoría de circuitos

  • Apliquem les condicions inicials i treiem la branca de l'interruptor obert que no actúa de cap manera per t=0+.

  • Teoría de circuitos

    Aplicant anàlisis nodal:

    Teoría de circuitos

    Teoría de circuitos

  • Per determinar la funció sencera apliquem la expansió en fraccions parcials.

  • Teoría de circuitos

    Teoría de circuitos

  • Considera el circuit de la figura 2. Apliquem un senyal d'entrada, Vg, de valor 26·cos(2t)·u(t) V. Si considerem que les condicions inicials són Va(0)=0 i Vb(0)=2V, determina:

  • El sistema d'equacions que descriu el circuit.

  • La funció de transferència.

  • La resposta en corrent per qualsevol valor de temps superior a zero? Determina la resposta completa.

  • Si anul·lem les condicions incicial quina serà la resposta forçada?

  • Teoría de circuitos

    a) Sabem que gràcies a la realimentació negativa la tensió dels terminals + i - de l'operacionals són la mateixa, afegint condicions inicials:

    Teoría de circuitos

    a)

    Teoría de circuitos

    b)

    Teoría de circuitos

    Teoría de circuitos

    Teoría de circuitos

    c)

    Teoría de circuitos

    Teoría de circuitos

    Teoría de circuitos

    d)

    Teoría de circuitos