Teorema del seno

Trigonometría. Razones trigonométricas. Triángulo, triángulos

  • Enviado por: Ana García
  • Idioma: castellano
  • País: Chile Chile
  • 3 páginas

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Demostración del teorema del seno:

Por definición de las razones trigonométricas, h= a senB, luego b senA = a senB de donde se obtiene:

a = b

sen A sen B

C se obtiene de la misma manera que las otras, pero considerando otra de las alturas.

De tal modo que siempre se cumple:

a = b = c

sen A sen B sen C

Estas tres igualdades relacionan 6 datos y nos ayudan a resolver el triángulo. Se demuestra que son igualdades de la siguiente manera:

A vale 60.07° a vale 8cm

B vale 68.79° b vale 8.60cm

C vale 51.13° c vale 7.18cm

De tal modo que si divido:

a = 8 = 8 = 10.307

sen A sen 50.90° 0.7761

b = 10 = 10 = 10.307

sen B sen 75.96° 0.970

c = 8.24 = 8.24 = 10.307

sen C sen 53.13° 0.8

Como podemos observar, nos da el mismo resultado en los tres casos, y es así como demostramos que se cumple esta igualdad.

Ejemplo: problema resuelto

Tenemos un triángulo en el cual conocemos: A: 30°; B: 100°; c: 5cm. Y debemos calcular las medidas restantes.

Como A + B + C = 180°, C = 180 - 30 -100 = 50°

Para el cálculo de las longitudes utilizamos el teorema del seno:

a = c

sen A sen C

a = c senA = 5 sen30° = 2.5 = 3.26

sen C sen 50° 0.76

y b se calcula igual:

b = c

sen B sen C

b = c senB = 5 sen100° = 4.92 = 6.42

sen C sen 50° 0.76

De tal modo que ya tenemos todos los datos.

Problemas propuestos:

  • Resolver un triángulo que mida :

  • a = 4.5 cm

    B = 30°

    C = 78°

    Solución:

    A = 72°

    b = 27.75 cm

    c = 4.63 cm

  • Un carpintero quiere construir una mesa triangular de tal forma que un lado mida 2m otro 1.5m y el ángulo opuesto al primero debe ser de 40°. Halla el resto de las medidas para que el carpintero pueda construirlo.

  • Solución:

    A = 112.97°

    B = 40°

    C = 27.03°

    a = 3m

    b = 2m

    c = 1.5m

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