1. ÍNDICE.

1. ÍNDICE 1

2. DEFINICIONES 2

3. TEOREMA DEL MÓDULO MÁXIMO 4

4. APLICACIONES Y CONSECUENCIAS 6

Teorema de la Aplicación Abierta 10

Lema de Schwarz 14

Transformaciones del Disco Unitario 15

5. TRANSFORMACIONES CONFORMES 18

Transformaciones de Regiones 21

La Transformación Bilineal 23

6. BIBLIOGRAFÍA 33

2. DEFINICIONES.

En este apartado se incluyen algunas definiciones que pueden ser necesarias para la mejor comprensión del resto del texto.

-Una métrica o función distancia en un conjunto X es una transformación  de XX al conjunto de los números reales no negativos que satisface las condiciones siguientes:

(x,y)= 0 x= y

(x,y)= (y,x)

(x,z)" (x,y)+ (y,z) (desigualdad triangular)

para todo x, y, z en X. Una pareja ordenada de un conjunto y una métrica en él (X, ) se llama espacio métrico.

-Sea X un espacio lineal (vectorial) sobre el campo real. Una norma en X es una transformación x x de X a los números reales no negativos que satisface:

x= 0 x= 0

x= ||x

x+y" x+ y

para todo x, y en X y  número real.

-Un subconjunto A de un espacio lineal normado es llamado acotado si {: "A} es acotado en R. El diámetro de A se define entonces como sup{-b:,b"A}.

-El espacio (X, ) es no conexo si se puede expresar como unión de dos conjuntos abiertos disjuntos (la intersección de uno de ellos con el complementario del otro es el conjunto vacío:
), no vacíos, ambos abiertos en X. Por el contrario, será conexo si no es no conexo. Esta misma definición es aplicable a conjuntos.

-Un espacio métrico (X, ) es llamado compacto si cada familia de conjuntos abiertos que cubre a X posee una subfamilia finita que cubre a X. Más explícitamente, lo que se pide es que si {V} es una colección de conjuntos abiertos cuya unión contiene a X, entonces la unión de alguna subcolección finita de {V} también debe contener a X. En consecuencia, si para cada punto de x en X se da una vecindad N(x), existe entonces un subconjunto finito {x1,...,xn} de X tal que X=
N(xj). Esta definición es aplicable a conjuntos.

-Un conjunto E de un espacio vectorial V se dice convexo si tiene la siguiente propiedad geométrica: si x" E, y" E y 0< t< 1, el punto zt= (1- t)x+ ty también pertenece a E, de modo que un conjunto convexo contiene todos los segmentos que unen dos de sus elementos.

-Si r> 0 y es un número complejo, D(; r)= {z: |z-|< r} es el disco abierto circular con centro en y radio r.

-
(; r) es la adherencia de D(; r), definida como el menor conjunto cerrado que contiene a D(; r), es decir,
(; r)= {z: |z- |" r}.

-D'(; r)= {z: 0< |z- |< r} es el disco perforado con centro en y radio r.

-Sea (X, ) un espacio métrico. Sea V un subconjunto de X y sea un punto de X. Entonces, V es una vecindad de (y un punto interior de V) si existe > 0 tal que V contiene al conjunto {x X: (x,)< }.

-Un conjunto G es abierto en (X, ) si es una vecindad de cada uno de sus puntos. Un conjunto F es cerrado si X\F es abierto.

-Siendo (X, ) e (Y, ) espacios métricos, y siendo f una transformación de X a Y, diremos que f es continua en un punto de X si, dada una vecindad V de f(), hay una vecindad U de tal que f(U) V (o lo que es equivalente, f-1(V) es una vecindad de ). Una función es continua en X si es continua en cada punto de X.

-Una serie de potencias centrada en es una serie de la forma

S(z)=

donde y cn son números complejos. El punto se llama centro de la serie de potencias y la sucesión {cn} se llama sucesión de coeficientes de la serie S(z).

-Decimos que una función f(z) definida en  es representable por serie de potencias en  si a cada disco D(; r)"  le corresponde una serie que converge a f(z) para todo z" D(; r).

-Sea  un conjunto abierto de C, y sea " . Decimos que f(z): !C, es holomorfa o analítica en , si existe el límite
. Se representa por f'() y se llama derivada de f(z) en . Si f(z) es holomorfa en , entonces f(z) es continua en ese punto.

-Un punto de acumulación p de un conjunto S" Rn es un punto para el cual toda vecindad contiene al menos un elemento de S distinto de p. p puede no pertenecer a S.

3. TEOREMA DEL MÓDULO MÁXIMO.

En este apartado se incluyen los teoremas que serán necesarios en la demostración del teorema del módulo máximo, así como otros cuyos enunciados se emplearán en algunas demostraciones posteriores. No se incluyen sus demostraciones ya que serían necesarios otros resultados previos y nos extenderíamos demasiado.

3.1. Teorema.

Un subconjunto de Rn es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.

3.2. Corolario.

Si (X, ) es un espacio métrico compacto, y f es una transformación continua de X a R, entonces f(X) es cerrado y acotado en R, en particular, f(X) contiene a su supremo y a su ínfimo.

3.3. Teorema.

Si f(z) es representable por serie de potencias en , entonces f(z) es holomorfa en  y f'(z) es también representable por serie de potencias en . De hecho,

3.4. Corolario.

Puesto que f'(z) satisface las mismas hipótesis que f(z), el teorema 3.3 puede aplicarse a f'(z). Se sigue que f(z) tiene derivadas de todos los órdenes representables por series de potencias en .

Si f(z) es representable mediante serie de potencias, se cumplen las igualdades k!ck= f(k)() para k= 0,1,2,... y, en consecuencia, para cada en  existe una única sucesión {cn} para la que se verifica la expresión de f(z) como serie de potencias.

3.5. Teorema: Teorema de Cauchy para un conjunto convexo.

Sean  un conjunto abierto convexo, p"  y f(z) una función continua en  y holomorfa en  salvo en un punto p, entonces f(z)= F'(z) para alguna F(z) holomorfa en . Por tanto,
para todo camino cerrado  en .

3.6. Teorema.

Para todo abierto  del plano complejo, toda función f(z) holomorfa en  es representable por serie de potencias en .

Junto con el teorema 3.3 podemos concluir que f(z) es representable mediante serie de potencias si, y sólo si, f(z) es holomorfa.

3.7. Teorema.

Sean  un conjunto abierto conexo no vacío del plano complejo, f(z) holomorfa en  y Z(f)= {" : f()= 0}. Entonces, o bien Z(f)= , o Z(f) no tiene puntos de acumulación en , es decir, Z(f) está formado por puntos aislados. En el último caso, a cada " Z(f) le corresponde un único entero positivo m= m() tal que f(z)= (z- )mg(z), con z" , g(z) holomorfa en  y g()" 0.

El entero m se llama orden del cero que f(z) tiene en el punto . Claramente Z(f)=  si y sólo si f(z) es idénticamente 0 en . Z(f) se llama conjunto de ceros de f(z).

3.8. Teorema: Fórmula de Parseval.

Si
, con z" D(; R), y si 0< r< R, entonces

3.9. Teorema: TEOREMA DEL MÓDULO MÁXIMO.

Sea  un conjunto abierto conexo y sean f(z) holomorfa en  y
(; r)" . Entonces

de modo que la inecuación será igualdad si y sólo si f(z) es constante en .

Como consecuencia, |f(z)| no tiene máximos locales en ningún punto de , a menos que sea constante.

Demostración.

Supongamos que |f(+ rei)| |f()| para todo real . Como f(z) es holomorfa en , según el teorema 3.6 también es representable por serie de potencias:
, con z" D(; r), y r< R (radio de convergencia de la serie).

Entonces, se puede aplicar el teorema 3.8, según el cual

siendo esta última integral el valor medio de
. Tenemos que

y como |f(+ rei)| |f()|

Por lo tanto,
, de donde o bien r= 0 ! z= o bien cn= 0 para n= 1,2,3,..., lo que implica que f(z)= c0= f() en D(; r). Definimos g(z)= f(z)- c0 en . Como  es un abierto conexo y g(z) es holomorfa, se puede aplicar el teorema 3.7 concluyendo que o bien Z(g)=  o bien Z(g) no tiene puntos de acumulación sino puntos aislados, con Z(g)= {": g()= 0}. Por tanto, f(z)= c0, es decir, constante en .

4. APLICACIONES Y CONSECUENCIAS

4.1. Corolario: Teorema del módulo mínimo.

Bajo las mismas hipótesis que en el teorema anterior (sea  un conjunto abierto conexo y sean f(z) holomorfa en  y
(; r)" ), también se cumple

si f(z) no tiene ceros en D(; r).

Demostración.

Si f(+ rei)= 0 para algún , entonces el resultado es trivial. En el otro caso, existe un conjunto abierto conexo 0 que contiene a
(; r) en el cual f(z) no tiene ceros, sobre este dominio aplicamos el teorema 3.9 a 1/f(z) obteniendo directamente el resultado:

Sea 0 un conjunto abierto conexo y sean 1/f(z) holomorfa en 0 (f(z) no tiene ceros en 0) y
(; r)" 0. Entonces

, a partir de este resultado tenemos:

La conclusión que podemos extraer de los dos resultados anteriores es la siguiente: sea  un conjunto abierto conexo, sean f(z) holomorfa y no constante en  y
(; r)"  tal que f(z)" 0 si z" D(; r), entonces

es decir, |f()| está comprendido entre los valores máximo y mínimo que |f(z)| toma en la frontera de
(; r).

4.2. Corolario.

Sea f(z) holomorfa en un subconjunto abierto  del plano complejo y sea A acotado, cerrado y contenido en . Entonces sup{|f(z)|: z" A} se alcanza en la frontera.

Demostración.

Como A es compacto según 3.1, por el corolario 3.2, A contiene a su supremo y a su ínfimo, es decir, sup{|f(z)|: z" A} se alcanza en A. El resultado es trivial si f(z) es constante en A. De otro modo, el teorema del módulo máximo (teorema 3.9) muestra que el supremo no se alcanza en punto interior alguno de A, sino en su frontera, puesto que es cerrado y acotado.

4.3. Ejemplos.

1.Consideremos la función f(z)= ez en la región |z|" 1. Determinar en qué puntos de esta región alcanza |f(z)| sus valores máximo y mínimo.

Como ez nunca se anula en la región considerada podemos aplicar tanto el teorema del módulo máximo como el teorema del módulo mínimo, de modo que encontraremos la solución en la frontera del conjunto. Por otro lado

ya que ex es no negativo. |f(z)| será máximo en el punto de la región en que ex alcance su valor máximo, es decir, en x= 1, y= 0, y será mínimo en el punto en que ex alcance su valor mínimo, es decir, en x= -1, y= 0.

2.Encuentre los valores de z en R que corresponden a los valores máximo y mínimo de |f(z)| para las siguientes regiones cerradas R y funciones f(z). Proporcione una explicación en el caso de que los valores determinados no pertenezcan a la frontera de R. Escriba los valores máximo y mínimo de |f(z)| en R.

a) f(z)= z, R es la región |z- 1- i|" 1.

En primer lugar tratamos de dibujar la región. Se trata de un círculo centrado en z0= 1+ i de radio unidad, es decir,
(1+ i, 1)

|f(z)|= |z|= , siendo  la distancia al origen de cada punto. Por lo tanto, |f(z)| será máximo en el punto más alejado del origen y mínimo en el más próximo, puntos ambos que se encuentran en la bisectriz del primer cuadrante y en la frontera de R, como cabría esperar:

b) f(z)= ez, R es la región |z- 1- i|" 1.

Se trata de la misma región de a) y de la función del ejemplo 1:

Por lo tanto,

c) f(z)=
, R es la región |z- 1- i|" 1.

De nuevo tenemos la misma región de a). Teniendo en cuenta que z" -1 en R podemos examinar la función |z+ 1|:

y estamos en el mismo caso que en a)

d) f(z)= z2, R es la región |z- 1- i|" 2.

En primer lugar tratamos de dibujar la región. Se trata de un círculo centrado en z0= 1+ i de radio dos unidades, es decir,
(1+ i, 2)

Calculamos |f(z)|

Por lo tanto, |f(z)| será máximo en el punto más alejado del origen y mínimo en el más próximo. El máximo estará en la bisectriz del primer cuadrante, lo calculamos:

de modo que el máximo de |f(z)| está en
y es
.

El mínimo de |f(z)| se encuentra en z= 0, no está en la frontera de R porque f(z)= 0 con z" D((1+i); 2) y ya no se cumple el teorema del módulo mínimo,

El Teorema de la Aplicación Abierta.

En este apartado trataremos de demostrar que si  es un conjunto abierto conexo y f(z) es holomorfa en , entonces la imagen de  por f(z), f(), es o un conjunto abierto conexo o un punto.

4.4. Lema.

Si f(z) es holomorfa en  y g(z,w) está definida en × como

g(z,w)=

Entonces, g(z,w) es continua en ×.

Demostración.

Los únicos puntos (z,w) en los que puede ser dudosa la continuidad de g(z,w) son aquellos en los que z= w.

Fijemos "  y > 0. Existe r> 0 tal que D(; r)"  y |f'()- f'()|<  para todo " D(; r), por la continuidad de f'(z), pues se puede representar mediante serie de potencias según el teorema 3.3,  puede ser tan grande como se desee, pero r será menor que R (radio de convergencia de la serie de potencias) pues basta para demostrar que |f'()- f'()|< . Si z y w están en D(; r) y si (t)= (1- t)z+ tw,

entonces (t)" D(; r) para 0" t" 1, y
, ya que

. Como para todo t se cumple |f'((t))- f'()|< 

Por tanto, |g(z,w)- g(,)|< , por lo que g(z,w) es continua en (,) y en ×.

Si f(X)= Y se dice que f aplica X sobre Y. Para todo y" Y escribiremos f-1(y) como la inversa de f(x). Si para cada y" Y, f-1(y) consta a lo sumo de un punto, es decir, F(x)= F(y) ! x= y, se dice que f es inyectiva. Si f es inyectiva, entonces f-1 es una función con dominio f(X) e imagen X.

4.5. Teorema.

Sean (z) holomorfa en , z0"  y '(z0)" 0. Entonces,  contiene una vecindad V de z0 tal que

a) (z) es inyectiva en V.

b) W= (V) es un conjunto abierto.

c) Si : W!V está definida por ((z))= z, entonces (z) es holomorfa en W.

Por lo tanto, : V!W tiene una inversa holomorfa.

Demostración.

Si aplicamos el lema 4.4 a (z) en lugar de a f(z), concluimos que  contiene una vecindad V de z0 tal que
cuando z1" V y z2" V, veamos cómo:

Como (z) es holomorfa en , podemos definir (z) en × tal que

(z1,z2)=

Según el lema 4.4 (z) es continua en ×. Como z0" , dado > 0, podemos tomar D(z0; r), que constituirá la vecindad V de z0 en la que se cumpla que

cuando z1" V y z2" V.

Si hacemos tender z1 y z2 a z0 tendremos:

pudiendo concluir que

, si z1" V y z2" V.

Entonces, (z) es inyectiva en V y '(z)" 0 con z" V, ya que '(z) es continua alrededor de z0. Tomamos " V y elegimos r> 0 tal que
(; r)" V. Sustituyendo z2= y z1= + rei en
(z1,z2" V), tenemos:

y, por lo tanto, existe c> 0 tal que
(
), con -" " . Si " D((); c), entonces |- ()|< c y por tanto
. Aplicando el teorema del módulo mínimo (corolario 4.1) a f(z)= - (z) sobre D(();c) concluimos que
, pero además
y f(z) debe en consecuencia tener un cero en D(; r). Así pues, = (z) para algún z" D(; r)" V.

Esto prueba que D((); c)" (V). Como era un punto arbitrario de V, se tiene que (V) es abierto.

Para probar c) fijamos w1"W. Entonces (z1)= w1 para un único z1" V (pues (z) es inyectiva). Si w" W y (w)=z" V, tenemos que
.

Como
, zz1 cuando ww1. Por tanto, '(z)" 0 con z" V implica que '(w1)=
, luego (z) es holomorfa en W.

4.6. Definición.

Para m= 1,2,3,..., denotaremos la función potencia m-ésima de z, zm por m.

Cada w" 0 es igual a m(z) para exactamente m valores distintos de z (estamos planteando la resolución de la ecuación en z, zm= w): si w= rei, r> 0 (w" 0), entonces m(z)= w si y sólo si z= r1/mei(+2k)/m, con k= 0,1,2,...,m-1. Así conseguimos que
, es decir, que la fase de z esté en un intervalo de longitud 2.

Observemos que cada m es una aplicación abierta: si V es abierto y no contiene al cero, entonces m(V) es abierto según el teorema 4.5. Por otra parte, m(D(0; r))= D(0; rm).

Las composiciones de aplicaciones abiertas son abiertas, en particular, por el teorema 4.5, m es abierta si '(z) no tiene ceros.

4.7. Teorema.

Sea  un conjunto abierto conexo y sean f(z) holomorfa en , no constante, z0"  y w0= f(z0). Sea m el orden del cero que tiene la función f(z)- w0 en z0. Entonces, existe una vecindad V de z0, V"  y existe (z) holomorfa en V tal que

a) f(z)= w0+ [(z)]m para todo z" V.

b) '(z) no tiene ceros en V y (z) es una aplicación invertible de V sobre un disco D(0; r).

Así pues, f(z)- w0= [(z)]m = m en V. Por tanto, f(z) es exactamente una aplicación m a 1 de V-{z0} sobre el disco perforado D'(w0; rm) y cada w0" f() es un punto interior de f(), con lo que f() es abierta.

Demostración.

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que  es una vecindad conexa suficientemente pequeña para que f(z)" w0 si z" -{z0}. Entonces f(z)- w0= (z-z0)mg(z) con z"  para alguna g(z) holomorfa en  que no tiene ceros en . Por lo tanto, g'(z)/g(z) es holomorfa en  (por ser el cociente de dos funciones holomorfas donde el denominador no se anula), y entonces, por el teorema 3.7 (teorema de Cauchy para un conjunto convexo), g'(z)/g(z)= h'(z) para alguna h(z) holomorfa en . La derivada de g(z)e-h(z) es cero en , como podemos comprobar

Modificando h(z) por la adición de una constante adecuada se obtiene que g(z)= eh(z): g'(z)/g(z)= (ln(g(z)))'= h'(z) ! ln(g(z))= h(z) ! g(z)= eh(z). Si definimos
, para z" , se verifica a) para todo z" :

, para todo z" .

Además,
, y '(z0)" 0, ya que

y g(z) no tiene ceros en  por hipótesis.

Como (z) es holomorfa en  por ser el producto de dos funciones holomorfas, z0"  y '(z0)" 0, podemos aplicar el teorema 4.5 y concluir que  contiene una vecindad abierta V de z0 tal que si : W!V está definida como la inversa de (z) (((z))= z), entonces (z) es holomorfa en W, es decir, (z) es invertible de V sobre W (disco D(0; r)), ya que (z) lleva z0 a 0 y los puntos de alrededor de z0 (V) al disco D(0; r).

4.8. Teorema.

Sea f(z) una función holomorfa e inyectiva en un abierto conexo . Entonces, f'(z)" 0 para todo z" , y la inversa de f(z) es holomorfa.

Demostración.

Si para algún z0" , f'(z0)= 0, se verificarían las hipótesis del teorema 4.7 y el orden del cero de f(z)- w0 en z0 sería mayor que 1 (m> 1) puesto que si g(z)= f(z)- w0! !g(z0)= 0 ! m" 1 y como g'(z)= f'(z) ! g'(z0)= f'(z0)= 0 ! m" 2, y concluimos que f(z) es exactamente una aplicación m a 1 en algún entorno perforado de z0, pero por hipótesis f(z) es inyectiva, es decir, uno a uno, lo que impone que f'(z0)" 0 y se concluye que f'(z)" 0 cuando z" .

Como f(z) es holomorfa en  y "z0"  se cumple que f'(z0)" 0, se puede aplicar el teorema 4.5 y concluir que f(z) tiene una inversa holomorfa.

Lema de Schwarz.

4.9. Definiciones.

a) Denominamos U al disco unitario abierto del plano complejo: U= {z: |z|< 1}.

b)
se define como la adherencia de U, es decir, el menor conjunto cerrado en el plano complejo que contiene a U. Por lo tanto,
será el disco unidad cerrado y se define como
= {z: |z|" 1}.

c) Denominamos T a la circunferencia unidad en el plano complejo, es decir, el conjunto de todos los números complejos cuyo módulo es 1: T= {z: |z|= 1}.

4.10. Teorema: Lema de Schwarz.

Supongamos que f(z) es holomorfa y está acotada en U, sup{|f(z)|: z" U}" 1 y f(0)= 0. Entonces,

|f(z)| " |z|, z" U

|f'(0)| " 1

si |f(z)|= |z| para z" U-{0}, o si |f'(0)|= 1, entonces f(z)= z, donde  es una constante que cumple ||= 1.

En lenguaje geométrico, la hipótesis exigida a f(z) es que sea una aplicación holomorfa de U en U que deje el origen fijo. Parte de la conclusión es que o f(z) es una rotación, o f(z) acerca cada z" U-{0} al origen más de lo que estaba.

Demostración.

Puesto que f(0)= 0, f(z)/z tiene una singularidad evitable en z= 0. Por tanto, existe g(z) holomorfa en el disco unitario U tal que g(z)= f(z)/z. Si z" U y |z|< r< 1, tenemos g(z) holomorfa en un subconjunto abierto U del plano complejo y un conjunto acotado, cerrado y contenido en U: el disco A= {z: |z|" r}. Por lo tanto, podemos aplicar el corolario 4.2 y concluir que el supremo de g(z) en A se alcanza en su frontera, es decir

,

puesto que
.

Haciendo tender r a 1, vemos que |g(z)|" 1 para z" U, obteniendo a partir de aquí el primer resultado:

, con z" U

Puesto que f(z)= zg(z) ! f'(z)= g(z)+ zg'(z) ! f'(0)= g(0) ! |f'(0)|= |g(0)|" 1, ya que |g(z)|" 1, obteniendo el segundo resultado.

Si |g(z)|= 1 para algún z" U, entonces se alcanza el máximo de |g(z)| en el interior del disco unitario
y, según el teorema del módulo máximo, g(z) es constante.

Transformaciones del Disco Unitario.

4.11. Definición.

Para cada "U definamos

donde
representa el conjugado de .

4.12. Teorema.

Sea " U, entonces  es una aplicación inyectiva que lleva T sobre T, U sobre U y  en 0. La inversa de  es -. Se verifica que

Demostración.

 es holomorfa en todo el plano, salvo quizá en los ceros del denominador:
. Así pues,  es holomorfa en todo el plano salvo en
, que está fuera de la frontera de
:

= {z: |z|" 1};

Sustituyendo  en
tenemos

y podemos observar que - es la aplicación inversa de  y que - es una aplicación inyectiva.

Para todo t real (z: |z|= 1 ! z" T)

con = eit- .

Por lo tanto,  aplica T en T; lo mismo es cierto para -; por tanto, (T)= T. Se sigue ahora aplicando el teorema del módulo máximo que (U)" U puesto que para cada "U podemos definir un disco
(; r)"U, tal que
, ya que
(; r)" U y no corta a T, y
.

Considerando -(z) se obtiene que, realmente (U)= U. Podemos considerar un punto tan próximo al círculo unidad como se desee y observar mediante -(z) que existe z" U tal que su imagen es este punto.

Las expresiones finales se obtienen mediante sustitución de z=0 y z= en '(z):

4.13. Ejemplo.

Sean  y  números complejos en U (||< 1, ||< 1), cómo de grande puede ser |f'()| si f(z) es holomorfa y está acotada en U, sup{|f(z)|: z" U}" 1 y f()= .

Construimos g(z)= f-= (f(-(z))). Como - y  aplican U sobre U, g(z) es holomorfa y está acotada en U puesto que es la composición de funciones holomorfas y acotadas en U. Además, sup{|g(z)|: z" U}" 1, ya que estas tres funciones tienen como cota superior 1 y también se cumple que g(0)=0:
, ya que -(0)=  puesto que se trata de la inversa de , que aplica  en cero y  aplica  en cero.

Por lo tanto, podemos aplicar el teorema 4.10 (lema de Schwarz) y concluir que |g'(0)|" 1. Aplicando la regla de la cadena

y ya tenemos la respuesta al problema, de modo que
cuando |g'(0)|= 1, en cuyo caso g(z) es una rotación: g(z)= z, según el lema de Schwarz, y tendríamos f(z)= -(g((z)))= -( (z)), con z" U y con  constante tal que ||= 1.

Veamos cómo se pueden caracterizar las aplicaciones holomorfas e inyectivas de U sobre U a partir del anterior resultado.

4.14. Teorema.

Sea f(z) holomorfa en U, inyectiva, f(U)= U, y sea " U con f()= 0. Entonces, existe una constante  con ||= 1, tal que f(z)= (z), con z" U.

Es decir, f(z) se obtiene por la composición de (z) con una rotación.

Demostración.

Sea g(z) la inversa de f(z), definida por g(f(z))= z (f(z) es inyectiva y g(z) es su inversa), con z" U. Puesto que f(z) es inyectiva y holomorfa en U, según el teorema 4.8, f'(z) no tiene ceros en U (f'(z)" 0 para todo z" U) y la inversa de f(z) es holomorfa. Así, g(z) es holomorfa en U. Aplicando la regla de la cadena a g(f(z))= z, tenemos
.

Tomando =0 y  en U (||< 1, ||< 1), como f(z) es holomorfa y está acotada en U y como f(U)=U, sup{|f(z)|:z"U}"1. Además, f()==0 y se puede aplicar la solución del ejemplo 4.13, obteniendo
.

Si aplicamos el ejemplo 4.13 a g(z) con g(0)=, además,
, concluyendo que
y
, lo que implica según el ejemplo que f(z)=-( (z)), y = 0 ! f(z)=(z), con  constante y de módulo ||= 1, con z" U.

5. TRANSFORMACIONES CONFORMES.

En esta sección se emplean dos planos: el plano z (con ejes x e y) y el plano w (con ejes u y v), de modo que w= f(z) establece una correspondencia entre los puntos de uno y otro plano. Decimos que dos puntos relacionados por w= f(z) son imágenes uno del otro.

5.1. Definiciones.

Decimos que una transformación w= f(z) es conforme en z0 si conserva la magnitud y el sentido del ángulo de intersección de dos curvas cualesquiera que se intersectan en z0. Una transformación que es conforme en todo punto de un dominio D es conforme en D.

Se trata de un caso concreto de las transformaciones isogonales, pues éstas conservan la magnitud de los ángulos de intersección pero no necesariamente el sentido.

5.2. Teorema.

Sea f(z) una función holomorfa en un conjunto abierto conexo , entonces, f(z) es conforme en todo punto de  tal que f'(z)" 0.

Demostración.

Sean 1 y 2 dos caminos regulares a trozos con gráficas respectivas C1 y C2, que se intersectan en z0. Supongamos que 1 es inyectiva en un intervalo que contiene a t1 y que 2 es inyectiva en un intervalo que contiene a t2, con 1(t1)=  2(t2)= z0. Supongamos que 1'(t1)" 0 y 2'(t2)" 0.

La diferencia arg[2'(t2)]- arg[1'(t1)] se llama ángulo formado por C1 y C2 en z0.

Si f'(z)" 0, existe una vecindad V de z0 tal que f(z0) es inyectiva en V según el teorema 4.5.a). Luego las funciones compuestas w1(t)= f[1(t)] y w2(t)= f[2(t)] serán localmente uno a uno (inyectivas) en las proximidades de t1 y t2, respectivamente, y describirán arcos C1' y C2' que se cortarán en f(z0), como se observa en la figura siguiente:

Por la regla de la cadena tenemos:

por lo tanto, recordando que el argumento del producto es la suma de los argumentos
y que
, existen enteros n1 y n2 tales que:

luego el ángulo formado por C1' y C2' en f(z0) es igual al formado por C1 y C2 en z0 más un múltiplo entero de 2.

Los ángulos no se conservan en aquellos puntos en los que la derivada es cero. Por ejemplo, si f(z)= z2, una recta que pase por el origen y forme con el eje real un ángulo  se transforma por medio de f(z) en una recta que forma con el eje real un ángulo 2. En general, cuando f'(z0)= 0, el desarrollo de Taylor de f(z) toma la forma:

donde k" 2. Se observa que los ángulos formados por las curvas que se cortan en z0 quedan multiplicados por un factor k. Los valores de z tales que f'(z)= 0 se conocen como puntos críticos de la transformación.

5.3. Ejemplo.

Consideremos el contorno C1 definido por x= y, x> 0 y el contorno C2 definido por x= 1, y" 1. Obtenga las imágenes de estas curvas con la transformación
y compruebe que el ángulo de intersección se conserva en magnitud y en dirección.

La transformación es:

Sobre C1 tenemos y= x y sustituyendo obtenemos:

Como x> 0, tenemos u" 0 y v" 0, es decir, C1' es la bisectriz del 4º cuadrante. A medida que nos alejamos del origen a largo de C1, el punto imagen correspondiente se aproxima al origen a lo largo de C1' ya que tanto u como v tienden a cero al aumentar x.

Sobre C2 tenemos x= 1, y sustituyendo en las ecuaciones de u y v obtenemos

y reordenando tenemos

circunferencia de radio
con centro en
. Cuando y pasa de 1 a " a lo largo de C2, entonces, la coordenada u varía de
a 0. Como v es siempre negativa, la imagen de C2 es el arco C2' de la figura siguiente:

Teniendo en cuenta que C1' corta a C2' en
y que en este punto la tangente a C2' es una recta horizontal, el ángulo de intersección de C1' y C2' es igual a
, que es el ángulo formado por C1 y C2, como cabría esperar.

Transformación de Regiones.

Las transformaciones conformes se pueden emplear para transformar unas regiones en otras. Esta propiedad puede resultar interesante en problemas físicos en los que existe alguna dificultad en la definición de la función que expresa el proceso físico en la región original.

5.4. Ejemplo.

Estudie la forma en que w(z)= u+ iv= ez= ex+iy transforma la franja infinita 0" Im{z}" , con 0" " 2.

Se toma 0" " 2 debido a la propiedad de periodicidad de ez = ez+2ni. Haciendo que la anchura de la franja sea inferior a 2 se elimina la posibilidad de que la franja contenga parejas de puntos con partes reales idénticas y partes imaginarias que difieren múltiplos de 2. Estos puntos se transformarían en un mismo punto del plano w y la transformación de la franja no sería uno a uno.

La frontera inferior de la franja, y= 0, -"< x< ", se transforma tomando y= 0 para obtener ex= u+ iv. -"< x< " ! v= 0, u= ex ! 0< u< ".

La frontera superior se transforma tomando y= :

ecuación de una recta que pasa por el origen del plano w y de pendiente tg(). El ángulo que forma con el eje es radianes.

Si sen() y cos() son positivos (0< < /2), cuando x pasa de -" a " sólo se genera la porción de recta que se encuentra en el primer cuadrante. Si hubiese satisfecho las condiciones /2< < , < < 3/2 o 3/2< < 2, se hubieran obtenido porciones de recta en el segundo, tercero y cuarto cuadrantes, respectivamente.

A continuación representamos el caso en que 0< < /2. Los puntos A, B y C de la frontera interior se transforman en A', B' y C', mientras que D, E y F de la frontera superior se transforman en D', E' y F'.

Los casos en que = /2, = 3/2 y =  producen rectas que coinciden con los ejes de coordenadas. Si = , la frontera superior se transforma en la parte negativa del eje real, de modo que la región se convierte en el semiplano v" 0.

La transformación inversa, z= ln(w), se puede utilizar para obtener en el plano z la imagen de cualquier punto de la cuña, puesto que en la franja sólo existe un valor de ln(w).

5.5. Ejemplo.

Estudie la manera en que w(z)= sen(z) transforma la franja y" 0, -/2" x" /2.

Debido a que sen(z) es periódica, es decir, a que sen(z)= sen(z+ 2), dos puntos cualesquiera del plano z cuyas partes imaginarias sean idénticas y cuyas partes reales difieran por 2 (o un múltiplo entero de 2) se transforman en el mismo punto del plano w. Esto no ocurre en la franja dada pues su anchura es igual a .

La frontera inferior de la franja es y= 0, -/2" x" /2, y se transforma en u= sen(x) y v= 0, por lo tanto, según avanzamos de x= -/2 a x= /2, el punto imagen pasa de -1 a +1 a lo largo de la recta v= 0 en el plano w.

En la frontera izquierda de la franja x= -/2, y" 0:

Al pasar de y= " a y= 0, la coordenada u pasa de -" a -1 a lo largo de v= 0, es decir, la imagen de esta frontera se encuentra sobre u" -1. Análogamente, la imagen de la frontera derecha de la franja, x= /2, 0" y" ", es u" 1, como se aprecia en la siguiente figura:

Así pues, w(z)= sen(z) transforma el interior de la franja semiinfinita en el plano z en la mitad superior del plano w.

La transformación w(z)= sen(z) no es conforme en los puntos del plano z tales que
, lo que sucede en z= ±/2. Los segmentos de recta AB y BC de la figura se cruzan en el punto z= -/2 formando un ángulo recto, sin embargo, sus imágenes en el plano w se intersectan formando un ángulo de  radianes. Lo mismo sucede en el caso de los segmentos CD y DE.

La Transformación Bilineal.

5.6. Definición.

Entre los ejemplos más importantes de las aplicaciones conformes se halla la transformación bilineal, también denominada transformación lineal fraccionaria o transformación de Möbius. Es particularmente útil en la resolución de diversos problemas físicos por la manera en que transforma rectas y círculos. Son las funciones f(z) definidas como sigue:

si , b, c y d son cuatro números complejos tales que
, se define

siempre que
. Es conveniente definir f(z) en todas partes del plano complejo ampliado C* haciendo
y
(si c= 0, estas dos ecuaciones se sustituyen por
). Si tomamos
, f(z) se reduce a un valor constante del plano w:

Así pues, f'(z)= 0 para todo z y la transformación no es conforme ni interesante. En general
.

La transformación inversa se obtiene despejando z, de modo que se tiene:

que es también una transformación bilineal que define un valor finito de z para todo
. Se entiende que
y que
. Entonces, la transformación bilineal es una aplicación uno a uno de C* en sí mismo.

Supongamos que las rectas infinitas del plano complejo se consideran como circunferencias de radio infinito, de modo que llamaremos “circunferencias” no sólo a las circunferencias en el sentido convencional, sino también a las rectas. La palabra circunferencia denotará circunferencias en sentido convencional.

5.7. Teorema.

La transformación bilineal transforma siempre “circunferencias” en “circunferencias”.

Demostración.

Expresemos f(z) como sigue:

donde suponemos c" 0. Esta transformación puede tratarse como una sucesión de transformaciones. Consideremos una transformación que pasa del plano z al plano w1, otra que pasa del plano w1 al plano w2, y así sucesivamente, de acuerdo con las siguientes ecuaciones:

Las ecuaciones anteriores contienen tres tipos distintos de operaciones. Sea k una constante compleja, entonces:

-hay traslaciones de la forma f(z)= z+ k.

-hay amplificaciones- rotaciones de la forma f(z)= kz.

-y hay inversiones de la forma f(z)= 1/ k.

Si demostramos que cada una de estas operaciones transforma “circunferencias” en “circunferencias” habremos demostrado el teorema.

a) Está claro que una traslación conserva la naturaleza geométrica de cualquier figura (círculos, triángulos, rectas,...), ya que todo punto de cualquier figura que se escoja simplemente se desplaza una distancia dada por el vector complejo k.

b) En el caso de las amplificaciones- rotaciones podemos escribir:

con k= arg(k). Esta transformación hace que un punto del plano z gire un ángulo k y que su distancia al origen se multiplique por un factor |k|. El proceso de rotación conserva la forma de toda figura geométrica. Demostraremos que la amplificación transforma “circunferencias” en “circunferencias”. Una transformación de este tipo está dada por:

Una circunferencia en el plano z es de la forma
. El centro está en (x0,y0) y el radio es r. Si sustituimos los valores de x e y tendremos:
, ecuación en el plano w de una circunferencia de radio r|k| con centro en (|k|x0,|k|y0). Por otro lado, una recta de pendiente m y ordenada en el origen b en el plano z es de la forma y= mx+ b y sustituyendo se obtiene v= mu+ |k|b.

c) A fin de demostrar que f(z)= 1/z transforma “circunferencias” en “circunferencias” consideremos la ecuación algebraica

donde A, B, C y D son números reales. Si A= 0,
y se trata de la ecuación de una recta. Suponiendo que A" 0, dividimos la ecuación por A obteniendo:

y tras completar cuadrados puede escribirse como:

Ecuación de una circunferencia siempre y cuando
, es decir,
.

Sobre la ecuación general aplicamos las expresiones

para obtener
, ecuación de una circunferencia cuando A" 0 y
. Si A= 0 se trata de una recta.

Si sustituimos z por 1/z podemos determinar qué imagen asigna una inversión a la “circunferencia” inicial:

Esta ecuación es de la misma forma que la inicial
, se diferencia en que ahora D desempeña la función de A, A la de D y -C la de C, puesto que la función de B no se ve alterada.

De este modo, la ecuación que se debe cumplir para que estemos ante una circunferencia no se altera
, de modo que si D" 0, la ecuación
corresponde a una circunferencia siempre y cuando
corresponda a una circunferencia.

Si D= 0, la ecuación describe una línea recta, es decir, una “circunferencia”, de modo que queda demostrado que la transformación
transforma “circunferencias” en “circunferencias”. Por lo tanto, queda demostrado que la transformación
transforma “circunferencias” en “ circunferencias”. Si c= 0, f(z) está compuesta por una amplificación- rotación y un desplazamiento, y lo cumple.

Como la inversa de una transformación bilineal es también una transformación bilineal, una “circunferencia” en el plano z es la imagen de una “circunferencia” en el plano w mediante f-1(z).

Un caso concreto de aplicación de este teorema y de las aplicaciones conformes es el de las transformación del disco unitario definida en 4.11,
. En ella
y
.

5.8. Ejemplo.

a) Encuentre la imagen de la circunferencia |z- 1- i|= 1 bajo la transformación
.

b) Encuentre la imagen de la misma circunferencia bajo la transformación
.

a) Si observamos la circunferencia dada, notamos que no pasa por z= 0, con lo que la expresión
no se hace infinita en ningún punto de la circunferencia.

Sabemos que la imagen de la circunferencia no es una recta en el plano w porque no pasa por f(z)= ", por lo que debe ser una circunferencia. Por lo tanto, para determinarla bastará con aplicar la transformación a tres puntos, ya que son suficientes para determinar el centro y el radio.

Escogemos los puntos A (z= 1), B (z= i) y C (z= 2+ i) y mediante sustitución obtenemos que sus imágenes son A' (f(1)= 1), B' (f(i)= -i) y C' (f(2+ i)= (2- i)/5). Para hallar el centro basta con construir las rectas mediatrices de dos de los segmentos que unen estos puntos e igualar:

Igualando las ecuaciones de las rectas mediatrices de los segmentos A'B' y A'C' obtenemos:

Por lo tanto, el centro está en z= 1- i y su radio es

b)
, sucesión de tres transformaciones:
,
y
. f1(z) es la empleada en el apartado a) y la transformación que se obtiene es la respuesta del mismo.
, amplifica la imagen obtenida en a) por un factor de 2, obteniéndose una circunferencia de radio 2 y centro en z= 2- 2i.
desplaza una unidad hacia la derecha la circunferencia que se acaba de obtener, de modo que el centro cae en z= 3- 2i y la circunferencia viene dada por |z- 3+ 2i|= 2.

5.9. Ejemplo.

La figura muestra un circuito eléctrico elemental. Vi y Vo son los factores de amplitud y fase de los potenciales de entrada y de salida del circuito. El factor de amplificación del circuito
está dado por
, donde s= + i es la frecuencia compleja que describe a estos potenciales que varían como funciones sinusoidales de amplitud fija, = 0 y s= i. ¿Qué lugar geométrico traza A(s) en el plano de frecuencias complejas a lo largo de la recta s= i, con -"" " "?

Se trata de proyectar la recta infinita = 0 sobre el plano A por medio de la transformación
. La imagen según el teorema 5.7 debe ser una circunferencia o una recta, de modo que si es una recta debe pasar por A= ".

De la definición de A(s) se observa que A= " cuando s= -2, pero s= -2 no pertenece a s= i, por lo que se concluye que la imagen buscada es una circunferencia.

Por sustitución obtenemos
y
. Es fácil demostrar que
, es decir, los valores de A que corresponden a puntos conjugados del plano s son conjugados, de modo que dos puntos conjugados del eje  tendrán imágenes conjugadas y la circunferencia será simétrica respecto al eje real del plano A.

Con todo esto ya se puede trazar la solución:

En ocasiones puede interesar encontrar la transformación bilineal que transforma ciertos puntos del plano z en imágenes conocidas previamente del plano w o encontrar la transformación que proyecta una recta o una circunferencia dadas sobre otra recta u otra circunferencia específicas. Para resolver estos problemas es necesario conocer las constantes , b, c y d. Si " 0

y basta determinar c1, c2 y c3, por lo que dados tres puntos z1, z2 y z3 y sus imágenes respectivas f(z1), f(z2) y f(z3), se pueden sustituir en la ecuación obteniendo un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas cuya solución aporta c1, c2 y c3. Si no tuviera solución es porque = 0 y se determinarían b, c y d directamente.

Sin embargo, existe un modo más sencillo de encontrar una transformación bilineal particular.

5.10. Definición.

La razón doble de cuatro números complejos (o puntos) distintos z1, z2, z3 y z4 está dada por:

Si cualquiera de estos números (zj) es ", se redefine la razón doble sustituyendo el cociente de los dos términos que contienen a zj,
, por 1.

El orden de los puntos en una razón doble es importante, por ejemplo, (1,2,3,4)= -1/3, mientras que (3,1,2,4)= 4.

5.11. Teorema: Invarianza de la razón doble.

La transformación bilineal dada por
deja invariante la razón doble de cuatro puntos, es decir,
.

Demostración.

Si se toma i= 1 y j= 2 se obtiene
en términos de z1 y z2. Del mismo modo, se expresa
en términos de z3- z4 y así sucesivamente:

Si uno de los puntos z1, z2, z3 ó z4 es infinito, la expresión cambia, puesto que
y en la parte derecha de la expresión, el cociente entre los factores que contienen a zi tiende a 1. Por ejemplo, si z1= ":

Este teorema resulta útil para determinar la transformación bilineal de tres puntos dados, z1, z2 y z3, sobre tres imágenes dadas, f(z1), f(z2) y f(z3), puesto que en tal caso el punto z4 se toma como un punto genérico z cuya imagen es f(z) en lugar de f(z4):

basta despejar f(z) en función de z. Si alguno de los puntos es " la expresión se modifica como ya conocemos.

5.12. Ejemplo.

Encuentre la transformación bilineal que transforma z1= 1, z2= i y z3= 0 en f(z1)= 0, f(z2)= -1 y f(z3)= -i.

Sustituimos los seis números complejos en la expresión del teorema 5.11 y obtenemos

5.13. Ejemplo.

Considere la transformación obtenida en el ejemplo anterior. ¿Cuál es la imagen de la circunferencia que pasa por z1= 1, z2= i y z3= 0 y cuál es la imagen de su interior bajo esta transformación?

Como se trata de una transformación bilineal y conocemos tres puntos no alineados del resultado podemos conocer la circunferencia que pasa por ellos:

Así pues, el contorno de la imagen es la circunferencia del plano w, de modo que la imagen debe ser el círculo definido por el interior de la circunferencia o el anillo definido por la parte exterior. Para saberlo consideramos un punto del interior de la circunferencia a transformar y hallamos su imagen:

Se observa que f(z0) cae en la zona interior a la circunferencia, por lo que
se transforma en el dominio
.

5.14. Ejemplo.

Encuentre la transformación bilineal que proyecta los puntos z1= 1, z2= i y z3= 0 en f(z1)= 0, f(z2)= " y f(z3)= -i.

Recurrimos de nuevo a la expresión del teorema 5.11, pero teniendo en cuenta que f(z2)= ", por lo tanto:

Ahora, la circunferencia que pasa por z1, z2 y z3 se transforma en la “circunferencia” que pasa por 0, i e ", es decir, una recta infinita que coincide con el eje imaginario del plano w. El semiplano u< 0 es la imagen del círculo, pues

5.15. Ejemplo.

Encuentre la transformación que transforma el dominio 0< arg[z]< /2 del plano z en el dominio |f(z)|< 1 del plano w.

La ecuación buscada debe transformar la frontera del dominio (el primer cuadrante), en el círculo unitario U. Una transformación bilineal proyecta rectas sobre circunferencias pero no puede transformar una línea poligonal abierta con un ángulo de 90º en un círculo. Por lo tanto, la respuesta no es una transformación bilineal.

Sin embargo, la transformación s= z2 transforma el sector de 90º en la mitad superior del plano s. Si encontramos una segunda transformación que proyecte el semiplano superior sobre el círculo unitario del plano w podremos combinarla con la anterior para obtener la transformación deseada. Esta transformación es
, donde  es un número real e Im{p}> 0.

Combinando ambas transformaciones se obtiene
, con  un número real e Im{p}> 0. Así pues, el proceso sería el siguiente:

Este método se puede modificar para que sea el sector 0< arg[z]<  el que se transforme en el disco unitario.

6. BIBLIOGRAFÍA.

Bibliografía Básica.

•APOSTOL, T. M.: “Análisis Matemático”, 2ª Edición, Editorial Reverté, Barcelona, 1986.

•JAMESON, G. J. O.: “Primer Curso de Funciones Complejas”, Editorial Continental, México, 1973.

•RUDIN, W.: “Análisis Real y Complejo”, 3ª Edición, McGraw-Hill, Madrid, 1988.

•WUNCHS, A. D.: “Variable Compleja con Aplicaciones”, 2ª Edición, Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington (E. U. A.), 1997.

Bibliografía Complementaria.

•CHURCHILL, R. V. y BROWN, J. W.: “Variable Compleja y Aplicaciones”, 5ª Edición, McGraw-Hill, Madrid, 1992.

•DIEUDONNÉ, J.: “Cálculo Infinitesimal”, Ediciones Omega, Barcelona, 1971.

•JÓDAR, L.: “Segundo Curso de Matemáticas Constructivas”, Servicio de Publicaciones U. P. V., Valencia, 1998.

•MARKUSHËVICH, A. I.: “Números Complejos y Representaciones Conformes”, Editorial MIR, Moscú, 1977.

Teorema del Módulo Máximo

34