Teorema del Endomorfismo

Ciencias matemáticas. Álgebra. Algoritmos. Máximos. Mínimos. Dominios. Polinomios

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Tema 4: Teoría del endomorfismo

Algoritmo de la división: dados f(x), g(x)  K[x] existen q(x) (cociente) y r(x) (resto) únicos tales que f(x) = g(x)·q(x) + r(x) de modo que r(x) = 0 ó gr(r(x))<gr(g(x)).

Teorema del resto: dado un polinomio f(x), se verifica:

(x-t)|f(x) ((x-t) es divisor de f(x)) ! t es una raíz de f(x)

Nota: Si g(x)·q(x) = f(x) se dice que g(x) es divisor de f(x): g(x)|f(x).

· t es una raíz de f(x) !al sustituir en f(x) la x por t sale 0.

(K[x],+,·,·k) Unidades del anillo K[x] (polinomios que : las constantes

tienen inversa) no nulas

f·g = 1

gr(f) + gr(g) = gr(1) = 0

gr(f) = gr(g) = 0

K[x] está constituido en el cuerpo de fracciones de K[x], que es {f(x)/g(x); f(x),g(x)K[x] y g(x)"0}

! ! !

K[x] ! K(x)

Máximo común divisor de los polinomios f1,…,fr: es el polinomio mónico de mayor grado que divide a todos los fi.

Dominio de Ideales Principales (D.I.P.): K[x] es un D.I.P. cuando cualquier ideal es el conjunto de los múltiplos de un polinomio. En particular, si consideramos el ideal generado por unos cuantos polinomios, f1,…,fr, es el conjunto de los múltiplos del polinomio d, siendo d el máximo común divisor de los fi. Se denota (d).

Polinomio irreducible: fK[x] mónico se dice que es irreducible si los únicos divisores mónicos de f son 1 y f (salvo productos por constantes).

Teorema: Cada polinomio se descompone de una única manera en producto de irreducibles por una constante.

Lema: Si f es un polinomio irreducible y f divide a g·h (f|g·h), entonces f|g ó f|h.

K[x]n es un dominio de factorización única.

Polinomios irreducibles en K[x]: Hay infinitos. Los mónicos de grado 1 siempre son irreducibles.

![x] ! Los únicos polinomios irreducibles son los (mónicos) de grado 1.

Teorema Fundamental del álgebra

![x] ! Son irreducibles ! los de grado 1

! algunos de grado 2, los que no tienen raíces.

Los que son de la forma (x-t)2+s2 = 0 con s"0.

![x] ! hay irreducibles de cualquier grado.

Polinomio mínimo. Polinomio característico.

¿Qué se pretende con la teoría del endomorfismo?

h

V ! V un endomorfismo {a1,…,an} una base de V

A A es matriz coordenada de h en esa base.

Trataremos de hallar otra base {c1,…,cn} de V de modo que la matriz coordenada de h en esta nueva base sea “lo más sencilla posible”.

Supongamos que se puede conseguir que la matriz coordenada de h en la nueva base es

t1

. 0 = C Y = AX

0 . Y = CX

tn

1 t1

Por tanto, h(c1) = C· 0 = 0 = t1c1

.. ..

0 0

h(cj) = tj·cj Vj = 1…n

Si ponemos Xj para las coordenadas de cj en la base inicial {a1,…,an}

Xj =

entonces, la imagen de cj la podemos calcular usando las coordenadas respecto de la base antigua:

t(cj) = AXj

= = AXj = tjXj [tj·In - A]·Xj = 0

tjcj tjxj

Xj es solución no nula del sistema homogéneo [tj·In - A]·X = 0.

Por tanto, ha de ser rang[tj·In - A] < n, luego tj·In - A no es regular, o sea [tj·In - A] = 0.

O sea, tj es una raíz del polinomio |xIn - A|

solución de la ecuación xIn - A = 0

x t11 ……. t1n x-t11 -t12 ……… -t1n

. - ………….. = -t21 x-t22 …………...

. ………….. ………………………

x tn1 …… tnn -tn1 …………… x-tnn

K[x]"K(x)

K[x]"K(x). Consideramos matrices cuyas elementales son polinomios. En particular, son matrices sobre un cuerpo.

Llamaremos x-matriz a cualquier matriz cuyos elementos están en K[x], es decir, cuyos elementos son polinomios; diremos que una x-matriz M es regular:

  • si existe otra x-matriz, N, tal que M·N = N·M = In.

  • si tiene inversa y además su inversa es también una x-matriz.

Tipos de x-matrices:

x- matriz elemental de tipo 1:

'Teorema del Endomorfismo'

Pij-1 = Pij

x- matriz elemental de tipo 2:

qK[x] Sij(q)-1 = Sij(-q)

x- matriz elemental de tipo 3:

sK* Mi(s)-1 = Mi(s-1)

Proposición: Si M es una x-matriz, entonces:

  • Pij·M es la x-matriz que resulta de intercambiar en M las filas i y j.

  • M·Pij es la x-matriz que resulta de intercambiar en M las columnas i y j.

  • Sij(q)·M es la x-matriz que resulta de sumar a la fila i, la fila j multiplicada por q.

  • M·Sij(q) es la x-matriz que resulta de sumar a la columna j, la columna i multiplicada por q.

  • Mi(s)·M es la x-matriz que resulta de multiplicar la fila i de M por s"0.

  • M·Mi(s) es la x-matriz que resulta de multiplicar la columna i de M por s.

Teorema: Dada una x-matriz M existen x-matrices elementales P1,…,Pl,Q1,…,Qs tales que Qs…Q1·M·P1…Pl = en donde los Ei son polinomios mónicos y

además cada uno divide al siguiente (o

cada uno es múltiplo del anterior)

!E1|E2|…|Er

Observación: |xIn - A| es un polinomio mónico de grado n. En particular, |xIn - A| " 0.

Consecuencia:

= |Qs|·…·|Q1|·|xIn-A|·|P1|·…·|Pl| en donde

K* K* ! K* K*

polinomio mónico

de grado n

Polinomio de grado n

los Qi y los Pj son x-matrices elementales.

Por tanto, tiene que ser r = n y además E1·…·En es un polinomio mónico de grado n que se diferencia de |xIn-A| en producto por una constante, luego ha de ser E1·…·En = |xIn-A|

Corolario: Para una x-matriz M son equivalentes las siguientes afirmaciones:

  • M es una x-matriz regular.

  • |M|K* ! el determinante de M es una constante no nula.

  • M es producto de elementales.

  • Dada una x-matriz M, denotaremos Ds(M) al máximo común divisor de todos los menores de orden s de M.

    Lema: Si P es una x-matriz elemental., entonces Ds(P·M) = Ds(M) = Ds(M·P).

    Teorema: Dada la x-matriz (xIn - A), sabemos que mediante operaciones elementales la podemos transformar en una del tipo con los Ei mónicos y además

    E1|…|En.

    Pues bien, esos polinomios mónicos E1,…,En están determinados por la x-matriz xIn -A. (Independientemente del proceso seguido nos saldrán los mismos polinomios).

    De hecho, son E1 = D1(xIn - A)

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