Teorema de Pitágoras

Demostraciones del teorema de Pitágoras

Primera Demostración:

Veamos este trapecio:

El área de un trapecio esta dada por :

" el producto de la semi-suma de las bases por la altura"

por lo tanto el área es : (a+b)/2 * (a+b) = (a+b)2/2 = a2/2 + ab + b2/2

Pero esta área también está dada por la suma de las áreas de los 3 triángulos :

ab/2 + ab/2 + c2/2 = ab + c2/2

Entonces : ab + c2/2 = a2/2 + ab + b2/2

Luego, c2/2= b2 /2 + a2/2

Y por último: c2 = a2 + b2

Segunda Demostración:

Veamos estas figuras:

- Tenemos que el area del cuadrado grande es (a + b)²

- Además el area del cuadrado chico es c²

- Y el area de cada triangulo formado es de ab /2 ( por lo que el area de los cuatro triángulos es de 2ab)

Y asi nos quedará :

(a + b) ² = c² + 2ab

Luego:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

a² + b² = c²

Tercera Demostración:

Veamos esta figura:

Además, tomemos en cuenta el teorema de la tangente:

Una tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado desde el punto de tangencia (Teorema de la tangente).

Luego, tenemos por otro teorema que:

(c + a)(c - a) = b²

c² - a² = b²

a² + b² = c²

Cuarta Demostración:

Veamos esta figura:

“Si en el triángulo rectángulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, ca-da cateto es media proporcional entre la hipotenusa "c" y la proyección sobre ella.”

a = p a² = cp

c a

b = q b² = cq

c b

a² = cp

b² = cq

a² + b² = cp + cq

a² + b² = c(p + q)

a² + b² = c²

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