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Conjunots. Esfera de plano. Esfera de espacio. Sucesiones. Progresión geométrica. Raíz de Cauchy. Coordenadas polares

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Conjuntos:

· (x^2)+(y^2)=(r^2) => Esfera en el plano

· (x^2)+(y^2)+(z^2)=(r^2) => Esfera en el espacio.

· ((x-x0)^2)+((y-y0)^2)+((z-z0)^2)=(r^2) => Esfera en el espacio centrada en (x0,y0,z0)

· (x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1 => Elipse (en el plano) de semiejes a y b.

· Para demostrar si un conjunto es abierto, cerrado, o ninguna de las dos cosas, a veces es útil coger su complementario (que será lo contrario).

· Para representar algo en el espacio, muchas veces es útil fijar zetas y dibujar en planos z=cte.

· A*x+B*y+C*z+D=0 => Plano en R3.

· Cosenos directores son del tipo Cos(alfa)=Vx/|V|

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Sucesiones:

· Dada una sucesión en Rn, L es el límite de (Xk) sii para todo Eps>0, existe K(Eps) natural tal que para todo n>=K(Eps), ||Xn-L||<Eps

· Propiedad de arquímedes: Dado cualquier número racional, existe un natural mayor: Para todo Eps racional -> Existe K(Eps) natural tal que K(Eps)>Eps.

· Métodos para demostrar cosas: inducción y reducción al absurdo.

· Desigualdad de Bernouilli: Para todo n>=2, a>(-1), ((1+a)^n)>(1+n*a)

· Si sumamos, restamos, multiplicamos o dividimos sucesiones, hacemos lo mismo con los límites y ese es el límite de la sucesión resultante.

· Sucesión acotada: (Xk) de Rn acotada sii Existe M>0 tal que ||Xk||<M para todo k natural.

Está acotada si lo está superior e inferiormente.

· Toda sucesión convergente está acotada (pero no al revés, porque puede ser que oscile).

· Una sucesión de n coordenadas converge si cada coordenada tiene límite, y el límite será uno de n coordenadas con el límite de casa una como componentes.

· Una sucesión tiene infinitas subsucesiones, y todas convergen al mismo límite que la sucesión (si esta converge).

· Punto de acumulación es aquel que al encerrarlo en una bola tan pequeña como queramos, siempre tendrá puntos de la sucesión contenidos en esa bola (aparte del punto de acumulación en cuestión):

x de Rn pto de acumulación de S sii para todo k natural, existe ak de S tal que 0<||x-ak||<(1/k)

· Teorema de Bolzano-Weierstrass: Una sucesión acotada en Rn tiene una subsucesión convergente.

· Truquillo a veces útil: (2^(n-1))>(n!)

· Sucesión de Cauchy: Dado Xk de Rn, Xk es sucesión de Cauchy sii para todo Eps>0 existe n0 natural tal que para todo m>n>n0, ||Xm-Xn||<Eps

Si podemos poner (contractiva) |X(k+1)-Xk|=<c*|Xk-X(k-1)| => sucesión de Cauchy!

· Una sucesión es convergente sii es de Cauchy.

· Progresión geométrica de razón r: Sn=(a1-an*r)/(1-r)

La fórmula se halla restando (r*Sn) a Sn.

· Si ((a(n-1))/an) (para todo n>=n0, an real y mayor que cero):

· =<c<1 => an->0

· >=c>1 => an diverge a +inf.

· =c=1 an=a(n+1)=a1 (términos ctes)

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Series:

· Las series SIEMPRE son infinitas, S=lim(Sk,k->inf)

· Como Xk=Sk-S(k-1), se puede ver a partir de ahí que si la serie converge, lim(Xn,n->inf)=0 => sum(Xn) converge

· Sum(Xn) converge sii Sk acotada.

· Criterio integral de Cauchy: desde hasta de

f: [n0,+inf[ -> R, n0 natural, contínua y decreciente a cero => sum(n=n0,inf,f(n)) C sii int(n0,+inf,f(x),dx) C (aunk no valgan lo mismo).

· Métodos de estudio:

· Por inducción.

· Series de términos positivos:

· Criterio de comparación: Si lim(Xn/Yn,n->inf)=l, entonces:

· l distinto de cero => Tienen igual carácter (las dos convergen o divergen).

· l=0 Si sumYn C => sumXn C

Si sumXn D => sumYn D

· Criterio de la raíz de Cauchy: Dada Xk, r>0, lim(xroot(k,Xk),k->inf)=r, entonces:

· r>1 => sumXk D.

· r<1 => sumXk C

· r=1 => Nada, ya que se puede acercar por + ó -.

· Criterio del cociente: lim(X(k+1)/Xk,k->inf), entonces:

· r>1 => sumXk D.

· r<1 => sumXk C

· r=1 => Nada. Ej: sucesiones n y 1/n.

· Series alternadas:

· Teorema de Leibniz: Si an decreciente, an>0, lim(an,n->inf)=0 => sum(((-1)^(n-1))*an) C.

· Series de términos cualesquiera:

· Suma parcial de Abel: Dados (an), (bn), An=dum(k=1,n,ak) => sum(k=1,n,ak*bk)=An*b(n+1)+sum(k=1,n,Ak*(bk-b(k+1)))

· Criterio Dirichlet: Dada sum(an) tal que An acotada, dada (bn) decreciente, lim(bn)=0 => sum(an*bn) C.

· Serie telescópica: Dadas (an), (bn) tal que an=bn-b(n+1) => sum(an) C sii (bn) C => sum(an)=b1-lim(bn)

· Criterio de Abel: Dadas sum(an) C, (bn) monótona C => sum(an*bn) C

· Serie aritméica: a(n+1)=r+an => Sn=(n/2)*(a1+an)

· Serie geométrica: an=a1*r^(n-1) => Sn=(a1-an*r)/(1-r) => (Si |r|<1) => S=a1/(1-r)

· Si una serie no es ni geométrica ni aritmética, puede que sea telescópica.

· Series absolutamente convergentes:

Dada Xn de Rn =>

=> sum(Xk) es absolutamente convergente sii sum(||Xk||) C. Nota: ||Xk|| son todo términos positivos, aviso...

=> Si sumXk C y sum||Xk|| no C => sumXk es condicionalmente convergente.

=> Si sum||Xk|| C => sumXk C porque sum||Xk||>=sumXk (por el criterio de comparación) (esto no vale en sucesiones).

· Teorema de Riemann: Si sum(an) es condicionalmente convergente, an real, dado S real => Exite sum(bm) tal que bn=a(f(n)) tal que sum(bn)=S

· Series contractivas: Dada (Xk), si ||X(k+1)-Xk||=<c*||Xk-X(k-1)||, 0<c<1 => Xk es de Cauchy. (k>=2, claroxtá, para que los índices sean todos positivos).

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Representaciones de R2 en R:

· Coordenadas polares (plano): (ro^2)=(x^2)+(y^2), fi=ArcTg(y/x), x distinto de cero.

· Coordenadas cilíndricas (espacio): x=ro*Cos(fi), y=ro*Sen(fi), z=z.

· Coordenadas esféricas (espacio): x=r*Sen(theta)*Cos(fi), y=r*Sen(theta)*Sen(fi), z=r*Cos(theta).

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Límites de funciones:

· L´Hópital solo se puede aplicar en indeterminacios, si keda algo/0 no existe el límite.

· f:S de Rn en Rm, dad a de Rn, b de Rm:

lim(f(x),x->a)=b sii dado Eps>0 exite delta(Eps)>0 tal que ||x-a||<delta => ||f(x)-b||<Eps

(a no tiene por qué pertenecer a S, ya que nunca se llega a tocar dicho punto).

· f: S de Rn, a=pto de acumulación de S

lim(f(x),x->a)=l sii lim(fi(x),x->a)=li, i=1,2,...,n.

donde f(x)=(f1(x),...,fm(x)), l=(l1,...,lm).

· Límites iterados: (ejemplo con pto (0,0))

· Si existen:

· lim(f(x,y),y->0 (x=cte))

· lim(f(x,y),x->0 (y=cte))

· Entonces, si lim(lim(f(x,y),x->0),y->0)=lim(lim(f(x,y),y->0),x->0)=l, lim(f(x,y),(x,y)->0)=l en caso de que exista.

Esto es útil pq si no coinciden los límites iterados (recuerda q deben existir para k esto valga), la función no tiene límite.

· El límite de la suma es la suma de los límites y tol rollo ese...

· En el cambio a polares recuerda que el resultado no debe depender para nada de theta (en algunos casos es mejor mirar cuando no hay indeterminaciones que cuando las hay).

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Continuidad:

· Definición: existe límite de f(x) en a y es f(a) sii f contínua en a.

· En varias coordenadas: Exite el límite si existe en todas las coordenadas.

· f contínua en a sii para todo Xk de S tal que Xk->a => f(Xk)->f(a)

· S de Rn cerrado, acotado y no vacío (cerrado y acotado = compacto), f contínua en S => f(S) cerrado, acotado y alcanza sus extremos.

· Teorema de la densidad: Entre dos racionales cualesquiera, siempre hay un irracional.

· Teorema de la compresión o del bocadillo: Si acotas una función entre otras dos que tienden a un mismo límite, esa función tiene el mismo límite.

· Una función lineal es contínua si es combianción de funciones contínua.

· La composición de dos funciones contínuas es contínua.

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Cálculo diferencial:

· Si la tangente a un curva es horizontal => hay un máximo o un mínimo.

· Derivada: f'(c)=lim((f(x)-f(c))/(x-c),x->c)=lim((f(c+h)-f(c))/h,h->0).

· Diferencial: dfa(h) (a es el punto, h la dirección) = f(a+h)-f(a)=(f'(a))*h

· Derivada direccional: Dvf(a)=f'(a,v)=lim((f(a+h*v)-f(a))/h,h->0)

· Derivada parcial: Derivada respecto a los vectores de la base: Dif(a)=(df/dx1)(a)=Deif(a)

Ejemplo: D1f(0,0)=lim((f((0,0)+h(1,0))-f(0,0))/h,h->0)

· Si una función es lineal, su aproximación diferencial será ella misma.

· fi=dfa ; dfa(x)=f'(a)*x ; f diferenciable en a sii existe una aplicación LINEAL fi tal que

lim((f(a+u)-f(a)-fi(u))/||u||,||u||->0)=0

· Gradiente de f en a: grad(f(a))=(D1f(a),...,Dnf(a))

=> dfa(v)=grad(f(a))*v=(si ||v||=1)=Dvf(a)

· Una función es diferenciable en un punto si todas sus coordenadas lo son.

· Matriz asociada de Jacobi:

(df1/dx1 .. df1/dxn)

f'=Djfi(a)=(..................)

(dfn/dx1 .. dfn/dxn)

(df1(a)) (Dvf1(a)) (grad(f1(a)))

dfa(v)=(......)=(.......)=(...........)*v

(dfm(a)) (Dvfm(a)) (grad(fm(a)))

· Condición suficiente de diferenciabilidad es que existan las derivadas parciales y sean contínuas en a <=> f contínuamente diferenciable => f diferenciable (al revés no vale).

· Para ver si existen y son contínuas las Di en un punto:

1) Calculamos Di(f(x,y))

2) Calculamos con la definición Di(f(a))

3) Calculamos el límite en el punto a de Di(f(a)) que ha de ser igual al hallada con la definición, entonces será contínua.

(Deben de existir, claroxtá).

· Si f,g diferenciables en a => cualquier combinación lineal de ellas lo será.

· Regla de la cadena: h=gof => dha=dga+dfa => h'(a)=g'(f(a))*f'(a) (producto matricial, asumiento f diferenciable en a y g diferenciable en f(a)).

· Derivadas parciales de órden superior: DjDi(f)=(d^2)(f)/(dxjdxi)=(d/dxj)(d/dxi)(f)

· Teorema de Schwarz: Si existe una derivada cruzada y es contínua en a, la otra también existe y además valdrá lo mismo.

· Una función es diferenciable en un punto si existen sus derivadas direccionales (por tanto, también parciales) y su plano tangente (formado por dichas derivadas) en ese punto.

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Aproximación de funciones y problemas de extremos:

· Teorema de Taylor: f(x)=Pn(x)+En(x)

=> Aproximación cerca del punto x0: Pn(x)=sum(k=0,n,(fsuperk(x0)/k!)*((x-x0)^k))

=> Resto de Lagrange: En(x)=((fsuper(n+1))(c))/((n+1)!)*((x-x0)^(n+1)), c de [x,x0] ó [x0,x]

=> En(x)->0 si x->x0, y si además En(x)->0 cuando n crece => La serie infinita es igual a la función para todo x.

=> Propiedades:

· Linealidad: Pn(alfa*f+beta*g)=alfa*Pn(f)+beta*Pn(g)

· (Pn(f))'=P(n-1)(f)

=> Aplicaciones geométricas:

· Existe f' contínua en [a,b], f''(x0) distinta de 0, x0 de [a,b] => si f''(x0)>0 => f convexa; f''(x0)<0 => f cóncava.

· fsuper(p-1)(x0)=0, fsuperp(x0) distinto de cero =>

· p par => fsuperp(x0)>0 convexa; fsuperp(x0)<0 cóncava.

· p impar => La curva corta a la tangente.

·fsuper(p-1)(x0)=0, fsuperp(x0) distinto de cero =>

· p par => fsuperp(x0)>0 mínimo local ; fsuperp(x0)<0 máximo local.

· p impar => pto de inflexión.

· Función de clase C^k: f tiene derivadas contínuas hasta de órden k.

· Teorema valor medio: c de [a,b], f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

· Teorema valor medio multivariable: f(b)-f(a)=grad(f(c))*(b-a), c de [a,b]

· Acotación del resto con Taylor: Ej: acotar exp(1) con tres décimas exactas:

· Em(1)<10^(-4) (3 décimas), pto referencia x0=0

· M (cota) > exp(1) => M=3 ; M>=fsuper(n+1)(x)=exp(1)

·En(x)=(fsuper(n+1)(c))/((n+1)!)*((x-x0)^(n+1))=<M*((1-0)^(n+1))/((n+1)!)=3/((n+1)!)<10^(-4) => ((n+1)!)>3*10^4

=> Debo encontrar Pn(x)=sum(k=0,n,(fsuperk(x0))/(k!)*((x-x0)^k)) llegando hasta n tal que ((n+1)!)>3*10^4

· Fórmula de Taylor para varias variables:

· L(x,y) (órden 1) = f(x0,y0)+(1/1!)*(D1f(x0,y0)*(x-x0)+D2f(x0,y0)*(y-y0))

· Q(x,y) (órden 2) = L(x,y)+(1/2!)*()=f(x0,y0)+(1/1!)*(D1f(x0,y0)*(x-x0)+D2f(x0,y0)*(y-y0))+(1/2!)*(D11f(x0,y0)*((x-x0)^2)+D12f(x0,y0)*(x-x0)*(y-y0)+D21f(x0,y0)*(x-x0)*(y-y0)+D22f(x0,y0)*((y-y0)^2))

· Para senos, cosenos y to eso, las series de potencias llevan una lógica con la que se puede atajar (vamos, su serie de Taylor de to la vida, k la sabe tol mundo).

· D(superk)(subv)=D(k,v)f(x)=(v1*D1+...+vn*Dn)^k

· f(a+h)=sum(k=0,m,(D(k,h)f(a))/(k!))+(1/(m+1)!)*D(m+1,h)f(c), c de [a,a+h[

Pmf<-------------------------- ----------------------->Emf

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Extremos de funciones de varias variables:

f: U de Rn -> R

· f máximo local en a si existe B(a,delta) de U tal que f(x)=<f(a) para todo x de B(a,delta)

· f mínimo local en a si existe B(a,delta) de U tal que f(x)>=f(a) para todo x de B(a,delta)

· Si grad(f(a))=0 => a punto estacionario (crítico).

· f presenta un extremo local en a => Dif(a)=0, i=1,2,...,n. (pero no al revés)

· Q(x)=(x^t)*A*x =>

· >0 => definida positiva sii deltai>0

· <0 => definida negativa sii deltai alternan

· semidefinida en otro caso.

(D11f(a) .. D1nf(a))

· H(f,a)=(matriz hessiana)=(..................)

(Dn1f(a) .. Dnnf(a))

|A B| (B está 2 veces pq las derivadas cruzadas (por Schwarz) son iguales)

· delta=det(H(f,a))=(con n=2 (2 variables))=|B C|=>

· delta>0 => si A (=delta1=D11) >0 a mínimo relativo ; si A<0 a máximo relativo.

· delta<0 => a pto de silla.

· delta=0 => dudoso.

· Q(h)=(h=(x,y,z),por ejemplo)=(1/2)*(h^t)*H(f,a)*h, a pto estacionario =>

· Q(h)>0 => a mínimo.

· Q(h)<0 => a máximo.

· Q(h1)>0 y Q(h2)<0 => a pto de silla.

· Valores propios de H(f,a) =>

· >0 => a mínimo.

· <0 => a máximo.

· >0 y <0 => a pto de silla.

· Teorema de la función inversa:

· f: U de Rn en Rn. existe V de U talque a es de V

· U abierto, a de U => W tal que b=f(a) de W de froma que:

· f de (C^1)(U) f:V->W es invertible y (f^(-1))'(b)=(f'(a))^(-1)

·det(f'(a)) distinto de cero

=> Para ver dónde una fc es invertible, se calcula su matriz de Jacobi y se el determinantes es distinto de cero, lo es.

=> La derivada de una función multivariable es su matriz de Jacobi.

=> Según el Teorema de la función inversa: (g')^(-1)=(g^(-1))'

· Ejemplo de cálculo de una derivada a partir de su función inversa:

· (d/dx)(ArcTg(x))?

· y=Tg(x)

· y'=1+(Tg(x))^2

· Sea y(x)=ArcTg(x) => (Tg(y(x)))'=x' => (1+((Tg(y))^2))*y'=1 => y'=1/(1+((Tg(y))^2)) =>

=> y'=1/(1+((Tg(ArcTg(x)))^2)=1/(1+(x^2))=(d/dx)(ArcTg(x)).

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