Sistemas numéricos

Sistemas: Binario, Hexadecimal, Octal y Decimal. Aplicaciones. Representaciones. Historia. Ejemplos. Suma. Resta. División. Conversión. Fracciones

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INTRODUCCIÓN

OBJETIVO:

Conocer los diferentes tipos de numeración existentes y sus aplicaciones.

Describir las operaciones básicas entre ellos así como sus conversiones y presentar una tabla comparativa de equivalencias entre cantidades expresadas en los diferentes sistemas numéricos.

Esto nos ayuda a tener una mejor comprensión de estos sistemas numéricos y su composición

PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN:

¿Qué es un sistema numérico?

¿Qué es el sistema binario?

¿Qué es el sistema hexadecimal?

¿Qué es el sistema octal?

¿Qué es el sistema decimal?

¿Cuáles son sus aplicaciones?

¿Cuáles son sus representaciones?

HISTORIA DEL SISTEMA BINARIO

El antiguo matemático hindú Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era.

Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números binarios de 6 bit, eran conocidos en la antigua china en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizados en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental.

Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo, fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI. Sin embargo, no hay ninguna prueba de que Shao entendió el cómputo binario.

En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, la cuales podrían ser codificados como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.

El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo diecisiete, en su artículo "Explicación de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz usó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.

En 1854, el matemático británico George Boole, publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

APLICACIONES:

En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementaba el Álgebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés y conmutadores por primera vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés, la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales.

En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los Laboratorios Bell, construyó un ordenador basado en relés - al cual apodó "Modelo K" (porque lo construyó en una cocina, en inglés "kitchen")- que utilizaba la suma binaria para realizar los cálculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigación a finales de 1938, con Stibitz al mando. El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una Calculadora de Números Complejos, la cual era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemáticas, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea telefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea de teléfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostración fueron John Von Neumann, John Mauchly y Norberto Wiener, el cual escribió acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.

REPRESENTACIÓN:

Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que a su vez pueden ser representados por cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados mutuamente exclusivos. Las secuencias siguientes de símbolos podrían ser interpretadas todas como el mismo valor binario numérico:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0

| - | - - | | - | -

x o x o o x x o x o

y n y n n y y n y n

El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En un ordenador, los valores numéricos pueden ser representados por dos voltajes diferentes y también se pueden usar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la arquitectura usada.

De acuerdo con la representación acostumbrada de cifras que usan números árabes, los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Cuando son escritos, los números binarios son a menudo subindicados, prefijados o sufijados para indicar su base, o la raíz. Las notaciones siguientes son equivalentes:

•100101 binario (declaración explícita de formato)

•100101b (un sufijo que indica formato binario)

•100101B (un sufijo que indica formato binario)

•bin 100101 (un prefijo que indica formato binario)

•1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)

•%100101 (un prefijo que indica formato binario)

•0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación)

Conversión entre binario y decimal

DECIMAL A BINARIO

Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero, este será el número binario que buscamos.

EJEMPLO

Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:

131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1

65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1

32 dividido entre 2 a 16 y el resto es igual a 0

16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0

8 dividido entre 2 a 4 y el resto es igual a 0

4 dividido entre 2 a 2 y el resto es igual a 0

2 dividido entre 2 a 1 y el resto es igual a 0

1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1

-> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

En sistema binario, 131 se escribe 10000011

EJEMPLO

Transformar el número decimal 100 en binario.

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.

EJEMPLO

100|0

50|0

25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2

12|0

6|0

3|1

1|1 --> (100)10 = (1100100)2

Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 28=256, es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151 - 128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma de el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.

EJEMPLO

20= 1|1

21= 2|1

22= 4|1

23= 8|0

24= 16|1

25= 32|0

26= 64|0

27= 128|1 128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151)10 = (10010111)2

DECIMAL (CON DECIMALES) A BINARIO

Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:

1. Se inicia por el lado izquierdo, multiplicando cada número por 2 (si la parte entera es mayor que 0 en binario será 1, y en caso contrario es 0)

2. En caso de ser 1, en la siguiente multiplicación se utilizan sólo los decimales.

3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención.

4. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0,1

EJEMPLO

0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario).

Proceso:

0,3125 x 2 = 0,625 => 0

0,625 x 2 = 1,25 => 1

0,25 x 2 = 0,5 => 0

0,5 x 2 = 1 => 1

En orden: 0101 -> 0,0101 (binario)

EJEMPLO

0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario).

Proceso:

0,1 x 2 = 0,2 => 0

0,2 x 2 = 0,4 => 0

0,4 x 2 = 0,8 => 0

0,8 x 2 = 1,6 => 1

0,6 x 2 = 1,2 => 1

0,2 x 2 = 0,4 => 0 <- se repiten las cuatro cifras, periódicamente

0,4 x 2 = 0,8 => 0 <-

0,8 x 2 = 1,6 => 1 <-

0,6 x 2 = 1,2 => 1 <- ...

En orden: 0 0011 0011 ...

BINARIO A DECIMAL

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:

1.Inicie por el lado derecho del número en binario, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0).

2.Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

EJEMPLOS:

•(Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)

También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.

EJEMPLO

El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82 se puede representar de la siguiente manera:

Entonces se suma los números 64, 16 y 2:

Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1:

Binario a decimal (con decimal binario)

1. Inicie por el lado izquierdo, cada número multiplíquelo por 2 y elévelo a la potencia consecutiva a la inversa(comenzando por la potencia -1). 2.Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

EJEMPLOS

•0.101001 (binario) = 0.640625(decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (-1)=0.5

0*(2) elevado a (-2)=0

1*(2) elevado a (-3)=0.125

0*(2) elevado a (-4)=0

0*(2) elevado a (-5)=0

1*(2) elevado a (-6)=0.015625

La suma es: 0.640625

•0.110111 (binario) = 0.859375(decimal). Proceso:

1*(2) elevado a (-1)=0.5

1*(2) elevado a (-2)=0.25

0*(2) elevado a (-3)=0

1*(2) elevado a (-4)=0.0625

1*(2) elevado a (-5)=0.03125

1*(2) elevado a (-6)=0.015625

La suma es: 0.859375

Operaciones con números binarios

Suma de números Binarios

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:

•0 + 0 = 0

•0 + 1 = 1

•1 + 0 = 1

•1 + 1 = 10 al sumar 1+1 siempre nos llevamos 1 a la siguiente operación.

EJEMPLO

10011000

+ 00010101

———————————

10101101

Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).

RESTA DE NÚMEROS BINARIOS

El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

•0 - 0 = 0

•1 - 0 = 1

•1 - 1 = 0

•0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1.

EJEMPLOS

10001 11011001

-01010 -10101011

—————— —————————

00111 00101110

En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46.

Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varios métodos:

•Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:

100110011101 1001 1001 1101

-010101110010 -0101 -0111 -0010

010000101011 0100 0010 1011

•Utilizando el complemento a dos (C2). La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el «complemento a dos» del sustraendo.

EJEMPLO

La siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario es:

1011011 1011011

-0101110 el C2 de 0101110 es 1010010 +1010010

———————— ————————

0101101 10101101

En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos:

11011011 11011011

-00010111 el C2 de 00010111 es 11101001 +11101001

————————— —————————

11000100 111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.

•Utilizando el complemento a uno. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit que se desborda.

Producto de números binarios

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

10110

1001

—————————

10110

00000

00000

10110

—————————

11000110

En sistemas electrónicos, donde suelen usarse números mayores, se utiliza el método llamado algoritmo de Booth.

11101111

111011

__________

11101111

11101111

00000000

11101111

11101111

11101111

______________

11011100010101

DIVISIÓN DE NÚMEROS BINARIOS

La división en binario es similar al decimal, la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, estas deben ser realizadas en binario.

EJEMPLO

Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

100010010 |1101

——————

- 0000 010101

———————

10001

- 1101

———————

01000

- 0000

———————

10000

- 1101

———————

00111

- 0000

———————

01110

- 1101

———————

00001

CONVERSIÓN ENTRE BINARIO Y OCTAL

Binario a octal

Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario 000 001 010 011 100 101 110 111

Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 7

3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.

EJEMPLOS

•110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:

111 = 7

110 = 6

Agrupe de izquierda a derecha: 67

•11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:

111 = 7

001 = 1

11 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3

Agrupe de izquierda a derecha: 317

•1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:

011 = 3

000 = 0

1 entonces agregue 001 = 1

Agrupe de izquierda a derecha: 103

Octal a binario

Cada dígito octal se lo convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden.

EJEMPLO

•247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111.

Conversión entre binario y hexadecimal

BINARIO A HEXADECIMAL

Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Número en hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda.

EJEMPLOS

•110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso:

1010 = A

1011 = B

1 entonces agregue 0001 = 1

Agrupe de derecha a izquierda: 1BA

•11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso:

0101 = 5

1111 = F

110 entonces agregue 0110 = 6

Agrupe de derecha a izquierda: 6F5

HEXADECIMAL A BINARIO

Ídem que para pasar de octal a binario, sólo que se remplaza por el equivalente de 4 bits, como de octal a binario.

Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Código Gray o Reflejado

Decimal Binario Hexadecimal

Octal

BCD

Exceso 3

Gray o Reflejado

0 0000 0 0 0000 0011 0000

1 0001 1 1 0001 0100 0001

2 0010 2 2 0010 0101 0011

3 0011 3 3 0011 0110 0010

4 0100 4 4 0100 0111 0110

5 0101 5 5 0101 1000 0111

6 0110 6 6 0110 1001 0101

7 0111 7 7 0111 1010 0100

8 1000 8 10 1000 1011 1100

9 1001 9 11 1001 1100 1101

10 1010 A 12 0001 0000 1111

11 1011 B 13 0001 0001 1110

12 1100 C 14 0001 0010 1010

13 1101 D 15 0001 0011 1011

14 1110 E 16 0001 0100 1001

15 1111 F 17 0001 0101 1000

SISTEMA HEXADECIMAL

Tabla de multiplicar hexadecimal.

El sistema hexadecimal, a veces abreviado como hex, es el sistema de numeración posicional de base 16 —empleando por tanto 16 símbolos—. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria; y, debido a que un byte representa 28 valores posibles, y esto puede representarse como , que, según el teorema general de la numeración posicional, equivale al número en base 16 10016, dos dígitos hexadecimales corresponden exactamente —permiten representar la misma línea de enteros— a un byte.

En principio dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan. El conjunto de símbolos sería, por tanto, el siguiente:

Se debe notar que A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. En ocasiones se emplean letras minúsculas en lugar de mayúsculas. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16. Por ejemplo: 3E0,A16 = 3×162 + E×161 + 0×160 + A×16-1 = 3×256 + 14×16 + 0×1 + 10×0,0625 = 992,625.

El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en 1963. Una representación anterior, con 0-9 y u-z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15

FRACCIONES

Como el único factor primo de 16 es 2, todas las fracciones que no tengan una potencia de 2 en el denominador, tendrán un desarrollo hexadecimal periódico.

Fracción Hexadecimal Resultado en hexadecimal

1/2 1/2 0,8

1/3 1/3 0,5 periódico

1/4 1/4 0,4

1/5 1/5 0,3 periódico

1/6 1/6 0,2A periódico

1/7 1/7 0,249 periódico

1/8 1/8 0,2

1/9 1/9 0,1C7 periódico

1/10 1/A 0,19 periódico

1/11 1/B 0,1745D periódico

1/12 1/C 0,15 periódico

1/13 1/D 0,13B periódico

1/14 1/E 0,1249 periódico

1/15 1/F 0,1 periódico

1/16 1/10 0,1

Existe un sistema para convertir números fraccionarios a hexadecimal de una forma más mecánica. Se trata de convertir la parte entera con el procedimiento habitual y convertir la parte decimal aplicando sucesivas multiplicaciones por 16 hasta convertir el resultado en un número entero.

Por ejemplo: 0.06640625 en base decimal.

Multiplicado por 16: 1.0625, el primer decimal será 1. Volvemos a multiplicar por 16 la parte decimal del anterior resultado: 1. Por lo tanto el siguiente decimal será un 1.Resultado: 0.11 en base hexadecimal. Como el último resultado se trata de un entero, hemos acabado la conversión.

Hay ocasiones en las que no llegamos nunca a obtener un número entero, en ese caso tendremos un desarrollo hexadecimal periódico.

OPERACIONES EN SISTEMA HEXADECIMAL

En el sistema hexadecimal, al igual que en el sistema decimal, binario y octal, se pueden hacer diversas operaciones matemáticas. Entre ellas se encuentra la resta entre dos números en sistema hexadecimal, la que se puede hacer con el método de complemento a 15 o también utilizando el complemento a 16. Además de éstas, deberemos manejar adecuadamente la suma en sistema hexadecimal, explicada a continuación:

Hexadecimal Decimal

A 10

B 11

C 12

D 13

E 14

F 15

SUMA

•9 + 7 = 16 (16 - 16 = 0 y nos llevamos 1)

En este caso la respuesta obtenida, 16, no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 10 (sistema hexadecimal).

Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

•A + 6 = 16 (16 - 16 = 0 y nos llevamos 1)

Ocurre lo mismo que en el ejemplo anterior.

•A + A = 20 ( 20 - 16 = 4 y nos llevamos 1)

La respuesta es 20 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 14 (sistema hexadecimal).

Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

•F + E = 29 ( 29 - 16 = D y nos llevamos 1)

La respuesta es 29 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 1D (sistema hexadecimal).

Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

•A + B + C = 33 ( 33 - 32 = 1 y nos llevamos 2)

La respuesta es 33 y no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 32. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 21 (sistema hexadecimal).

En esta operación hemos tenido que restar 32, y no 16 como hacíamos anteriormente. Esto ha ocurrido porque si a 33 le restamos 16 seguiríamos estando fuera del sistema hexadecimal, con un número que no se encuentra entre el 0 y el 15.

Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

•Ahora haremos una operación más complicada:

A83F

+ 24CC

———————————

CD0B

La haremos paso a paso:

•F + C = 27 (27 - 16 = B y nos llevamos 1)

•3 + C = 15 + 1 (acarreo) = 16 (16 - 16 = 0 y nos llevamos 1)

•8 + 4 = 12 + 1 (acarreo) = 13 (13 corresponde a D)

•A + 2 = 12 (12 corresponde a C)

Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizando una calculadora científica.

Resta Hexadecimal

Antes de entrar en esta parte se recomienda aprender la suma hexadecimal, ya que será necesaria durante los procesos explicados a continuación.

Las restas Hexadecimales se pueden resolver fácilmente utilizando el complemento a 15 o el complemento a 16. Estos procesos hacen que una resta se convierta en una suma en sistema hexadecimal.

COMPLEMENTO

Podemos hacer la resta de dos números hexadecimales utilizando el complemento a 15. Para ello tendremos que sumar al minuendo el complemento a quince del sustraendo, y finalmente sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).

Para entender la resta en complemento a 15 lo analizaremos con un ejemplo. Esta es la resta que tenemos que resolver: Aunque no estoy muy seguro que digamos, pero algo es algo.

A4FC9

- DE8

Primero tenemos que hacer que el minuendo y el sustraendo tengan la misma cantidad de números. Para ello, añadiremos ceros al sustraendo hasta que sean suficientes.

A4FC9

- 00DE8

Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo. Como en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos es el 15, que corresponde a la letra F, tendremos que escribir la F tantas veces como números tiene el sustraendo.

FFFFF

- 00DE8

La resta se hace siguiendo las normas generales de la resta común. La diferencia obtenida se denomina el complemento a 15. Recuerda el valor correspondiente a cada letra al operar.

Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 15 utilizando la suma en sistema hexadecimal, mencionada anteriormente.

A4FC9

+ FF217

————

1A41E0

Con la suma obtenemos el resultado 1A41E0, pero no es la respuesta final. Te habrás dado cuenta que este nuevo número tiene más cifras que los números iníciales que teníamos que restar. Tenemos que quitar el número de la izquierda (en este caso, el 1) y sumarlo.

A41E0

+ 1

—————————

A41E1

La respuesta es A41E1.

Ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizando una calculadora científica.

COMPLEMENTO

También podemos hacer la resta de dos números hexadecimales utilizando el complemento a 16, siguiendo un proceso similar que en el caso del complemento a 15. Para resolver la resta, tendremos que sumar al minuendo el complemento a dieciséis del sustraendo.

Para entender la resta en complemento a 16 lo analizaremos con el ejemplo anterior. Esta es la resta que tenemos que resolver:

A4FC9

- DE8

Después, crearemos un nuevo número con la misma cantidad de números que el nuevo sustraendo.

Como en el sistema hexadecimal el mayor número que tenemos es el 15, que corresponde a la letra F, tendremos que escribir la F tantas veces como números tiene el sustraendo.

FFFFF

- 00DE8

—————————

FF217

La resta se hace siguiendo las normas generales de la resta común.

Ahora tenemos que sumarle 1 a la diferencia obtenida. Este paso es muy importante, ya que es la diferencia entre hacer la resta en complemento a 15 u 16, y se suele olvidar fácilmente. Además, recuerda que estás sumando en sistema hexadecimal, siguiendo el mismo proceso explicado anteriormente.

FF217

+ 1

—————————

FF218

A la diferencia obtenida y sumarle uno le denominaremos el complemento a 16.

Ahora tendremos que sumar el minuendo y el complemento a 16

A4FC9

+ FF218

—————————

1A41E1

Con la suma obtenemos el resultado 1A41E1.

Te habrás dado cuenta que este nuevo numero tiene más cifras que los números iníciales que teníamos que restas, cosa imposible en una resta (que la diferencia sea mayor que el minuendo y el sustraendo). Por eso, y estando en complemento a 16, tendremos que despreciar (eliminar) el número de la izquierda. En este caso es el 1.

La respuesta, por lo tanto, es A41E1.

En ambos casos la respuesta obtenida deberá ser la misma, ya que hemos resuelto la misma resta en sistema hexadecimal. Por lo tanto, podremos comprobar que hemos operado bien comparando las respuestas obtenidas en complemento a 15 y en complemento a 16 para una misma resta.

Además, ten en cuenta que puedes comprobar los resultados utilizando una calculadora científica

SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL

El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.

El teorema fundamental aplicado al sistema octal sería el siguiente:

Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452.32 tenemos q: 2*80 + 5*81 + 4*82 + 3*83 + 3*8-1 + 2*8-2 = 2 + 40 + 4*64 + 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 + 40625d

Entonces, 3452.32q = 1834.40625d

El sub índice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra y el número 0. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar del decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.

Es utilizado como una forma abreviada de representar números binarios que emplean caracteres de seis bits. Cada tres bits (medio carácter) es convertido en un único dígito octal. Okta es un término griego que significa 8.

SISTEMA DECIMAL

Para los números reales que no son exactos, véase número decimal.

El sistema decimal es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9). Este conjunto de símbolos se denomina números árabes, y es de origen indio.

Es el sistema de numeración usado habitualmente en todo el mundo (excepto ciertas culturas) y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. Sin embargo hay ciertas técnicas, como por ejemplo en la informática, donde se utilizan sistemas de numeración adaptados al método de trabajo como el binario o el hexadecimal. También pueden existir en algunos idiomas vestigios del uso de otros sistemas de numeración, como el quinario, el duodecimal y el vigesimal. Por ejemplo, cuando se cuentan artículos por docenas, o cuando se emplean palabras especiales para designar ciertos números (en francés, por ejemplo, el número 80 se expresa como "cuatro veintenas").

Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.

El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:

Los números decimales se pueden representar en rectas numéricas.

BIBLIOGRAFÍA:

www.google.com

www.academiabritanicamatematica.com

www.slideshare.net/dmelop/sistema-decimal

wikipedia.org/wiki/Sistema_decimal

ÍNDICE:

TEMA PÁGINA

INTRODUCCIÓN------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2

2HISTORIA DEL SISTEMA BINARIO---------------------------------------------------------------------------- 3

REPRESENTACIONES----------------------------------------------------------------------------------------------- 3

APLICACIONES-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3

EJEMPLOS-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4

DE DECIMAL A BINARIO------------------------------------------------------------------------------------------- 5

BINARIO A DECIMAL------------------------------------------------------------------------------------------------- 6

RESTA DE NUMEROS BINARIOS-------------------------------------------------------------------------------- 7

EJEMPLOS--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8

RESTA DE NUMEROS BINARIOS-------------------------------------------------------------------------------- 10

DIVISIÓN CON NUMEROS BINARIOS-------------------------------------------------------------------------- 10

CONVERCIÓN DE BINARIO A OCTAL-------------------------------------------------------------------------- 11

BINARIO A HEXADECIMAL---------------------------------------------------------------------------------------- 12

HEXADECIMAL A BINARIO---------------------------------------------------------------------------------------- 12

SISTEMA HEXADECIMAL------------------------------------------------------------------------------------------ 13

FRACCIONES----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 13

OPERACIONES EN HEXADECIMAL------------------------------------------------------------------------------14

RESTA HEXADESIMAL---------------------------------------------------------------------------------------------- 15

COMPLEMENTOS---------------------------------------------------------------------------------------------------- 16

SISTEMA DE NUMERACION OCTAL---------------------------------------------------------------------------- 17

SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL------------------------------------------------------------------------ 18

BIBLIOGRAFIA--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18

Página 17

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