Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo

Matemáticas. Ecuaciones. Time-Invariant Systems. Sistema invariante en el tiempo. Comportamiento. Diferenciales. Tiempo contínuo, discreto

  • Enviado por: Josel pepelu
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 7 páginas

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SISTEMAS L.T.I.

• INTRODUCCIÓN:

Gran parte de los sistemas físicos reales se pueden aproximar a sistemas lineales tiempo invariantes(LTI). Como circuitos lineales o sistemas mecánicos. Por ello es muy importante el estudio del comportamiento de dichos sistemas, y como podemos manejarlos.

• REPRESENTACIÓN DE SEÑALES MEDIANTE IMPULSOS:

Es posible representar cualquier señal en tiempo discreto como una suma de Deltas de Kronecker. Para ello basta recordar que:

'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

Con lo que en general podemos decir que:

'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

En tiempo continuo la situación es un poco más complicada. Para estudiarla hacemos una aproximación:

Tomamos la función 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
, y escalonamos la señal a procesar, como en la imagen:

'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

Con ello nos queda que:

'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

Haciendo tender 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
a cero:

'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

Es decir, podemos expresar una señal, tanto de tiempo discreto como continuo, mediante una suma de deltas de Kronecker o de Dirac según corresponda.

• RESPUESTA AL IMPULSO DE UN SISTEMA Y CONVOLUCIÓN:

• TIEMPO DISCRETO:

Supongamos un sistema lineal. Si de dicho sistema yo conozco la respuesta a la delta desplazada, es decir, conozco:

'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

entonces, dada una secuencia tal como:

'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

La respuesta del sistema a 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
será:

'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

Si además el sistema es invariante en el tiempo, es decir:

'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

Y conocemos 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
, entonces podemos conocer la respuesta del sistema ante cualquier señal. Para ello:

'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

Y a esa operación, representada por “'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
“ se le llama Suma de convolución. Como sabiendo 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
conocemos el comportamiento del sistema ante cualquier señal, definiremos los sistemas LTI mediante 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
, llamada respuesta al impulso del sistema. Además, toda propiedad de la convolución será aplicable a los sistemas.

Veamos entonces las propiedades de los sistemas:

  • Conmutativa:

  • 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Es decir:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

  • Asociativa:

  • 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Es decir:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

  • Distributiva respecto de la suma:

  • 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Es decir:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Ejemplo:

    Sean una señal 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    y un sistema dado por 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    Operamos:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    :

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Análogamente nos queda:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Y la señal final queda como:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Siempre se verifica que el número de muestras de la señal resultante es el número de muestras de la señal de entrada más el de la respuesta del sistema menos uno. Por otra parte, existen infinitos sistemas cuya respuesta el impulso es la misma, pero solo existe uno que además sea lineal.

    • TIEMPO CONTINUO:

    Supongamos un sistema lineal. Si de dicho sistema yo conozco la respuesta a la delta desplazada, es decir, conozco:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    entonces, el resultado de introducir a dicho sistema una señal 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    será:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Si además el sistema es tiempo invariante, es decir:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Entonces:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Y a esa operación, representada por “'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    “ se le llama Integral de convolución. Las características y propiedades son análogas a las de la suma de convolución.

    Ejemplo:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    La integral se divide en varios trozos:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    La señal resultante es:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    • PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS LTI:

    Intentamos hallar un método para hallar las propiedades de un sistema mediante su respuesta al impulso. Para ello vamos a estudiar las propiedades y la convolución:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

  • Memoria:

  • Sabemos que:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Por tanto la única manera de que la salida solo depende de la entrada actual es que:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Y en tiempo continuo:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

  • Sistema inverso:

  • Partimos de:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Lo que buscamos es 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    tal que:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Si logramos encontrar una función que cumpla dicha condición, entonces la función tendrá inversa.

  • Causalidad:

  • La respuesta solo puede depender de valores actuales o anteriores, es decir:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Es decir, 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    no debe depender de 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    para 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    . Eso significa que todos los coeficientes 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    que multiplican a 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    para 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    han de ser nulos. Por tanto se ha de cumplir que 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    para 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    . Análogamente en tiempo continuo se ha de verificar que 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    para 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    .

  • Estabilidad:

  • Ha de ocurrir que ante valores acotados de la entrada, la salida este acotada. Por tanto:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Donde 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Luego para que un sistema sea estable ha de ocurrir:'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    • DEFINICIÓN DE UN SISTEMA MEDIANTE EC. DIFERENCIALES:

    • TIEMPO CONTINUO:

    Es posible describir un sistema lineal mediante ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes, es decir, definirlos mediante una ecuación de la forma:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Pero dicha ecuación no nos definirá el sistema por completo. Necesitamos unas condiciones iniciales para determinarlos por completo. Un claro ejemplo sería un circuito RLC, en el que habría que saber la carga inicial del condensador.

    Dada una ecuación diferencial, el sistema que representa solo es lineal si las condiciones iniciales dadas son nulas.

    • TIEMPO DISCRETO:

    Igualmente es posible describir un sistema discreto mediante una ecuación en diferencias, cuya forma es:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    De tal manera que es posible escribir la solución 'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    como la suma de una solución particular de la ecuación dada más la solución general de la ecuación homogénea, y hacer:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Y aplicando condiciones auxiliares tendremos el sistema descrito.

    El método para la resolución de dichas ecuaciones en diferencias es:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Con lo que obtenemos una formula recursiva.

    Hay un caso particular, en el que el sistema viene descrito por la ecuación:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    En esta caso no se necesitan condiciones iniciales, al venir totalmente determinado por la ecuación, ya que podemos hacer:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Y ya tenemos totalmente determinado el sistema.

    Veamos un ejemplo de uso de la fórmula recursiva:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'
    Condición inicial.

    Introducimos una señal del tipo:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Hallamos la señal de salida:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    La señal total queda como:

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    Esta señal no es lineal, pues las condiciones iniciales no son nulas. Si es invariante en el tiempo.

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

    'Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo'

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