SISTEMAS DE NUMERACIÓN

El primer sistema de numeración del cual se tiene conocimiento fue el sistema egipcio. Posteriores a él son el romano, el maya, el chino, el indio, el árabe original hasta llegar al decimal actual.

EL SISTEMA DECIMAL

El sistema decimal es u sistema posicional, ya que el significado de un símbolo depende fundamentalmente de su posición relativa al símbolo coma (,), denominado coma decimal, que en caso de ausencia se supone colocada implícitamente a la derecha.

Utiliza como base el 10, que corresponde al número de símbolos que comprenden para la representación de cantidades; estos símbolos (también denominados dígitos) son:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Una determinada cifra, que se denominará número decimal, se puede expresar de la siguiente forma:

n

No =  (dígito)i * (base)i

i= -d

Donde:

• base = 10

• i = posición respecto a la coma

• d = n.o de dígitos a la derecha de la coma,

• n = n.o de dígitos a la derecha de la coma - 1,

• dígito = cada uno de los que componen el número

La fórmula responde al Teorema Fundamental de la Numeración que se verá en el siguiente tema.

El sistema decimal es un sistema posicional como ya hemos dicho, ya que el mismo dígito puede variar su valor de acuerdo a su posición.

Ej.:

1000 mil

100 cien

10 diez

1 uno

0,1 un décimo

0,01 un centésimo

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN

El teorema fundamental de la numeración dice:

“El valor en el sistema decimal de una cantidad expresada en otro sistema cualquiera de numeración, viene dado por la fórmula:

... + X4*B4 + X3*B3 + X2*B2 + X1*B1 + X0*B0 + X-1*B-1 + X-2*B-2 + X-3*B-3 + ...”

donde X es el dígito y B la base.

Ejemplo:

Supongamos la cantidad 3221,034 esta expresada en base 4 (ver subíndice al final de la cantidad), dicha base utiliza para representar cantidades los dígitos 0, 1, 2 y 3. ¿Cuál será el valor correspondiente en el sistema decimal?

3 * 43 + 2 * 42 + 2 * 41 + 1 * 40 + 0 * 4-1 + 3 * 4-2 =

3 * 64 + 2 * 16 + 2 * 4 + 1 * 1 + 0 * 0,25 + 3 * 0,0645 = 233,1875

El teorema aplicado a la inversa nos sirve para obtener el valor en una base cualquiera de un valor decimal, por medio de divisiones sucesivas por dicha base, como se verá más adelante.

EL SISTEMA BINARIO

Por razones técnicas, la mayoría de los circuitos electrónicos que conforman un ordenador solo puede detectar la presencia o ausencia de tensión en el circuito. Si a la presencia de tensión en un punto del circuito le asignamos el valor 1 y a la ausencia de la misma el valor 0 (a esta lógica se la denomina lógica positiva). Caso contrario la denominaremos lógica negativa.

Por las razones antes vistas, ya que el hardware por el momento solo reconoce estos dos estados fue necesario crear un sistema de numeración basado en estos dos valores (0, 1), al cual se lo denominó Binario, y cuya base por lo tanto es 2 (números de dígitos del sistema).

En computación cada dígito de un número representado en este sistema se denomina bit (contracción de binary digit).

Como múltiplos del bit hallamos:

• 8 bits " Byte (palabra) B (10110110)

• 1024 bytes " 1 kilobyte KB

• 1024 KB " 1 Megabyte MB

• 1024 MB " 1 Gigabyte GB

• 1024 GB " 1 Terabyte TB

Dos cosas a tener en cuenta:

La B de byte es siempre mayúscula, ya que Kb significa Kbit unidad utilizada en las memorias.

En el sistema de numeración decimal los múltiplos son potencias 10 (1K " 1000 unidades y 1M " 1000 K), en el binario es 210  = 1024.

OPERACIONES CON BINARIOS

Tanto la suma como la multiplicación son semejantes a la decimal con la diferencia que se maneja solo dos dígitos, sus tablas de operación se pueden observar en los siguientes esquemas

Suma Multiplicación

		+	0	1		*	0	1
		0	0	1		0	0	0
		1	1	10		1	0	1

Ejemplos

								1	1	1		1	1			Acarreo
										1	1	0	0	1			25
							+		1	0	1	0	1	1			+ 43
								1	0	0	0	1	0	0			68

								1	1							Acarreo
										1	1	0.	1	0			6,50
							+		1	1	0	1.	0	1			+ 13.25
								1	0	0	1	1.	1	1			19.75

										1	1	0	0	1			25
							*			1	0	0	1	1			* 19
										1	1	0	0	1
									1	1	0	0	1
						1	1	0	0	1	0	0
						1	1	1	0	1	1	0	1	1			475

La resta como la división son procesos que la unidad de cálculo del ordenador no realiza por lo tanto no lo vamos a ver en forma directa.

EL SISTEMA OCTAL

Es un sistema cuya base es el número 8, es decir, utiliza 8 símbolos para la representación de un valor cualquiera. Estos símbolos son:

0 1 2 3 4 5 6 7

Este es un sistema también posicional, de aritmética muy similar al decimal. Su utilización comenzó como sistema de salida de las computadoras ya que para representar un valor la cantidad de símbolos que necesita es menor que el binario y la conversión entre ambos sistemas es muy sencilla de implementar.

EL SISTEMA HEXADECIMAL

Es un sistema cuya base es el número 16, es decir, utiliza 16 símbolos para la representación de un valor cualquiera. Estos símbolos son:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Este es otro sistema posicional, de característica similar al octal. Su uso fue adoptado por idénticas razones que el octal.

CONVERSIÓN ENTRE LOS DISTINTOS SISTEMAS

Se denomina así la transformación de un valor en un sistema al equivalente en otro sistema.

Conversión decimal a binario

Para convertir un número decimal entero a binario, este debe ser dividido por dos y repetir el proceso con sus cocientes hasta que el cociente tome el valor 1. La unión de todos restos escritos en orden inverso encabezados por el último cociente, nos dará el valor expresado en binario.

Ej. : Convertir el número 174 a binario

	1 7 4	2
	0	8 7	2
		1	43	2
			1	21	2
				1	10	2
					0	5	2
						1	2	2
							0	1

17410 = 101011102

Para convertir una fracción decimal a binario, esta fracción debe ser multiplicada por dos y tomamos la parte entera del resultado, repetimos el proceso con la parte fraccionaria del resultado anterior, dándonos una nueva parte entera, y así sucesivamente hasta que la parte fraccionaria se haga 0 (cero) o que tengamos suficientes decimales que nos permita estar debajo de un determinado error.

Ej. : Convertir el número 0,90625 a fracción binaria

0,90625 * 2 = 1,8125

0,8125 * 2 = 1,625

0,625 * 2 = 1,25

0,25 * 2 = 0,5

0,5 * 2 = 1,

0,9062510 = 0,111012

Ej. : Convertir el número 0,64037 a fracción binaria

0,64037 * 2 = 1,28074

0,28074 * 2 = 0,56148

0,56148 * 2 = 1,12296

0,12296 * 2 = 0,24592

0,24592 * 2 = 0,49184

0,49184 * 2 = 0,98368

0,98368 * 2 = 1,96736

0,96736 * 2 = 1,93472

0,93472 * 2 = 1,86944

0,86944 * 2 = 1,73888

0, 6403710 = 0,10100011112

El error en el valor es  " 2-10 !  " 0,001. Esto es así porque hemos obtenido 10 unidades binarias, de querer mejorar la precisión deberemos obtener un mayor número de fracciones binarias.

Pase a binario las siguientes fracciones decimales con  " 2-10 : 0,63965 y 0,064062.

Si se desea convertir un número que tiene parte entera y decimal a binario, se deberá operar cada parte por separado como ya se ha visto, y luego obtener la suma de los resultados.

Por ejemplo:

174,9062510 = 10101110,111012

Conversión binario a decimal

Para realizar esta conversión se utiliza como base el teorema fundamental de la numeración.

El método práctico consiste en multiplicar cada uno de los términos por potencias crecientes de 2 a partir de la coma decimal y hacia la izquierda, y realizar la suma de las operaciones.

Por ejemplo:

Pasar a decimal el binario 101011102

1 0 1 0 1 1 1 0

									0 * 20 =	0
									1 * 21 =	2
									1 * 22 =	4
									1 * 23 =	8
									0 * 24 =	0
									1 * 25 =	32
									0 * 26 =	0
									1 * 27 =	128
										174

101011102 = 17410

En los casos de números que posean parte entera y decimal se recomienda el uso del teorema fundamental de la numeración.

Ej.: Convertir 1101,0112 a base 10

Para pasar a base 10 deberemos hacer:

1 * 23 + 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 0 * 2-1 + 1 * 2-2 + 1 * 2-3 =

1 * 8 + 1 * 4 + 0 + 1 * 1 + 0 + 1 * 0,25 + 1 * 0,125 =

8 + 4 + 0 + 1 + 0 + 0,25 + 0,125 = 13,375

1101,0112 = 13,37510

Conversión octal a binario

Al ser la base del octal (8) potencia de la base binaria (23), la transformación de una base a la otra se hace en forma directa dígito a dígito. Cada dígito octal será reemplazado por 3 dígitos binarios (3 por ser la potencia que relaciona ambas bases), según la tabla que tenemos a continuación.

	Octal	Binario
	0	000
	1	001
	2	010
	3	011
	4	100
	5	101
	6	110
	7	111

Ej.:

Convertir a binario el número 276,5348

	2	7	6,	5	3	4
	010	111	110,	101	011	100

276,5348 = 10111110,10101112

Como se puede ver los ceros al comienzo se han quitado, igual que los ceros que se hallan a la derecha de la coma (ya que no tienen ningún sentido).

Conversión binario a octal

Esta conversión es similar a la anterior, pero cada tres símbolos binarios corresponde uno octal. Para realizar correctamente esta conversión el número de dígitos a la derecha de la coma decimal debe ser múltiplo de 3 si no lo fuera deberá agregarse al final del número tantos ceros como sea necesario. Idéntico caso será a la izquierda de la coma, en dicho caso los ceros se agregan al principio del número.

Ej.

Convertir el binario 10101011,0011 a octal.

	010	101	011,	001	100
	2	5	3,	1	4

0 cero agregado al número para permitir la correcta conversión.

10101011,00112 = 253,148

Conversión hexadecimal a binario

Por idénticas razones que el caso anterior (16 = 24), la transformación de una base a la otra se hace en forma directa dígito a dígito. Cada dígito hexadecimal será reemplazado por 4 dígitos binarios (4 por ser la potencia que relaciona ambas bases), según la tabla que tenemos a continuación.

	Hexadecimal	Binario		Hexadecimal	Binario
	0	0000		8	1000
	1	0001		9	1001
	2	0010		A	1010
	3	0011		B	1011
	4	0100		C	1100
	5	0101		D	1101
	6	0110		E	1110
	7	0111		F	1111

Ej.:

Convertir a binario el número 5A8,39C16

	5	A	8,	3	9	C
	0101	1010	1000,	0011	1001	1100

5A8,39C16 = 10110101000,00111001112

Como se puede ver otra vez los ceros al comienzo se han quitado, igual que los ceros que se hallan a la derecha de la coma (ya que no tienen ningún sentido).

Conversión binario a hexadecimal

Esta conversión es similar a la conversión a octal, pero en lugar de tres, serán cuatro símbolos binarios los que corresponde a un hexadecimal. Para realizar correctamente esta conversión el número de dígitos a la derecha de la coma decimal debe ser múltiplo de 4 si no lo fuera deberá agregarse al final del número tantos ceros como sea necesario. Idéntico caso será a la izquierda de la coma, en dicho caso los ceros se agregan al principio del número.

Ej.

Convertir el binario 1010101011,00111 a hexadecimal.

	0010	1010	1011,	0011	1000
	2	A	B,	3	8

0 cero agregado al número para permitir la correcta conversión.

1010101011,00111 2 = 2AB,38816

Conversión decimal a octal o hexadecimal

Para cualquiera de estos dos casos se hará en forma similar a la explicada para convertir de decimal a binario 1.7.1. Pero se deberá tener en cuenta que la base ya no es 2, sino 8 o 16 según corresponda. (Dividir por 8 o 16)

Conversión octal o hexadecimal a decimal

Para cualquiera de estos dos casos se deberá usar el teorema fundamental de la numeración, teniendo en cuenta base que corresponda ( 8 o 16 según el caso).

Conversión octal a hexadecimal o hexadecimal a octal.

Estas conversiones no son posibles en una forma directa. Para realizar cualquiera de ellas se deberá usar el pasaje a otra base como paso intermedio.

Por ejemplo octal ! decimal ! hexadecimal

octal ! binario ! hexadecimal

Se recomienda como metodología de trabajo esta última, porque al ser las operaciones de conversión más sencillas disminuye la probabilidad de error. Además no existe la posibilidad de errores de redondeo.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Existen 4 formas de representar un número entero en un ordenador (todos en sistema binario), ellas son

• Módulo y signo

• Complemento a 1 (C-1)

• Complemento a 2 (C-2)

• Exceso a 2 elevado a la N -1

En todos los casos se considera que tenemos un número limitado de dígitos para cada elemento numérico. El número de dígitos disponibles lo representa N (8, 16, 32, 64 o sea 1, 2, 3, 4... Bytes).

Módulo y signo.

En este método se utiliza el primer bit a la izquierda como signo, 0 si es positivo y uno si es negativo. Los restantes (7, 15, etc.), representan el módulo

Por ejemplo

Signo Mantisa

19 se representa en 8 bits como 0 0010011

-19 1 0010011

19 se representa en 16 bits como 0 000000000010011

-19 1 000000000010011

El conjunto de valores que se puede representar en un método determinado se conoce como rango de la representación. Para módulo y signo el rango de representación para N dígitos es:

- 2N-1 +1 " x " 2N-1 -1

Para 1 Byte (8 bits) es

-127 " x " 127

Para 2 Byte (16 bits) es

-32767 " x " 32767

Para 4 Byte (32 bits) es

-2147483647 " x " 2147483647

Este método tiene la ventaja de poseer un rango simétrico, pero la desventaja de poseer dos representaciones para el número 0

Complemento a 1 (C-1).

Para representar un número positivo es igual al método de MS. Pero en el caso de los negativos, se obtiene complementando al positivo (cambiando 1 por 0 y viceversa)

Por ejemplo

Signo Mantisa

19 se representa en 8 bits como 0 0010011

-19 1 1101100

19 se representa en 16 bits como 0 000000000010011

-19 1 111111111101100

Para complemento a 1 el rango de representación para N dígitos es:

- 2N-1 +1 " x " 2N-1 -1

Para 1 Byte (8 bits) es

-127 " x " 127

Para 2 Byte (16 bits) es

-32767 " x " 32767

Para 4 Byte (32 bits) es

-2147483647 " x " 2147483647

Este método presenta iguales ventajas y desventajas que el anterior.

Complemento a 2 (C-2)

Este método es similar al anterior, la representación de los números positivos es igual a la anterior, pero los negativos se obtiene en dos pasos:

• Se complementa a 1

• Al resultado se le suma 1

Por ejemplo

19 se representa en 8 bits como 0 0010011

-19 1 1101100 C-1

+ 1

-19 1 1101101 C-2

Para complemento a 2 el rango de representación para N dígitos es:

- 2N-1 " x " 2N-1 -1

Para 1 Byte (8 bits) es

-128 " x " 127

Para 2 Byte (16 bits) es

-32768 " x " 32767

Para 4 Byte (32 bits) es

-2147483648 " x " 2147483647

Presenta la siguientes ventajas. Tiene una única representación para 0, la segunda es que en lugar de hacer A - B, puedo hacer A + BC-2. La unidad aritmético lógica del microprocesador solo suma, no resta.

Exceso a 2 elevado a la N -1

En este método no hay bit de signo, todos los bits se utilizan para representar el valor del número más el exceso, que para N bits viene dado por 2N-1, que para una representación de 8 bits es 128.

Para obtener un número en un exceso dado, se realiza la suma algebraica del exceso más el número. Solo se pueden representar valores en módulo menores o iguales al exceso.

Ej.

Exceso 128 10000000

19 + 00010011

19 en exceso 128 10010011

Por ejemplo

19 se representa en 8 bits como 1 0010011

-19 0 1101101

En este método el 0 tiene única representación, el rango de representación es asimétrico.

Para complemento a 2 el rango de representación para N dígitos es:

- 2N-1 " x " 2N-1 -1

Para 1 Byte (8 bits) es

-128 " x " 127

Para 2 Byte (16 bits) es

-32768 " x " 32767

Para 4 Byte (32 bits) es

-2147483648 " x " 2147483647

La representación en exceso para un número cualquiera es igual a la representación en complemento a dos pero el valor del primer bit de la izquierda esta invertido.

DESBORDAMIENTO (OVERFLOW)

Este hecho se puede producir cuando se suman dos números en un método de representación y el resultado no puede ser representado por el método, dándonos un resultado erróneo. Para el ejemplo usaremos la notación de MS

Ej.

52 0 0 1 1 0 1 0 0 52

+ 97 + 0 1 1 0 0 0 0 1 97

149 1 0 0 1 0 1 0 1 -21

PRECISION FINITA DE LA INFORMACIÓN

Muchos estudiantes consideran que el ordenador puede trabajar con números con cantidades de cifras infinitamente grande. Este preconcepto es uno de los más erróneos que se puede detectar en el alumno.

Todo ordenador cuenta con un número finito de Bytes para poder almacenar una cifra. Este número puede ser de 1, 2, 4, 6, 8, 10 Bytes, pero nunca infinito. Por lo tanto solo se podrá ingresa, procesar, almacenar y extraer un rango de valores. Por ejemplo para números enteros se utiliza como máximo 4 Bytes (32 bits), siendo el rango de representación entre -247483648... 247483647.

Coma Flotante

Este método nace de la necesidad de representar números reales o enteros con un rango mayor que el dado por los otros métodos.

En su representación se utiliza la representación matemática

NO = mantisa * base exponente

Por ejemplo

79436.54 = 0,7943654 * 105

A este proceso se lo denomina normalización.

Para estos números se utilizan explicaremos dos formas de representación simple y doble precisión, pero existen otros formatos como real, extended, o comp.

Para simple precisión se utiliza 32 bits (4 Bytes), en el segundo caso 64 bits (8 Bytes).

(Todos los elementos en computación se comienzan a numerar por 0)

El esquema en ambos casos es como se ve abajo

	Simple Precisión				Doble Precisión
	C. de bits	B. Inicial	B. Final		C. de bits	B. Inicial	B. Final
Signo	1	31			1	63
Exponente	8	23	30		11	52	62
Mantisa	23	0	22		52	0	51

Ejemplos de Pasajes de Decimal a Flotante

57 a Flotante

1) Paso 57 a Binario

57 ! 111001

2) Normalizo el binario

111001 ! 0,111001 * 26

3) Paso el exponente a binario

6 ! 110

4) Si trabajo en Simple Precisión (SP) lo expreso como excedente a 10000000 (por los 8 bits), si es en Doble Precisión como excedente a 10000000000 (por los 11 bits). EL exponente nos queda así.

SP 10000110

DP 10000000110

5) Como el número es positivo el bit de signo es 0

El número queda estructurado de la siguiente manera

	Signo	Exponente	Mantisa
SP	0	10000110	111001

Debería agregar 0 hasta completar los 24 bits

El número en cuestión nos queda

0100 0011 0111 0010 0000 0000

7) Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda

437216

En el caso de - 56

8) Como el número es negativo el bit de signo es 1

El número queda estructurado de la siguiente manera

	Signo	Exponente	Mantisa
SP	1	10000110	111001

Debería agregar 0 hasta completar los 24 bits

El número en cuestión nos queda

1100 0011 0111 0010 0000 0000

9) Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda

C37216

Ejemplo de exponente negativo

El número 0, 13671875 repito los pasos anteriorres.

Paso a binario

0,13671875 ! 0,00100011

Normalizo

0,001000112 ! 0,1000112 *2-2

Paso el modulo de la potencia a Binario

2 ! 102

Si trabajo en Simple Precisión (SP) lo expreso como excedente a 10000000 EL exponente nos queda así.

SP 01111110

Como el número es positivo el bit de signo es 0

El número queda estructurado de la siguiente manera

	Signo	Exponente	Mantisa
SP	0	01111110	100011

Debería agregar 0 hasta completar los 24 bits

El número en cuestión nos queda

0011 1111 0100 0110

(no se completó con ceros porque su representación en Hexadecimal son 0 que no afectan el número final)

Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda

3F4616

Si el número fuera negativo el bit de signo es 1

El número queda estructurado de la siguiente manera

	Signo	Exponente	Mantisa
SP	1	01111110	100011

Debería agrega 0 hasta completar los 24 bits

El número en cuestión nos queda

1011 1111 0100 0110

Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda

BF4616

Si el número (-0,13671875) quisiéramos expresarlo en flotante de 64 bits, el único cambio que tendríamos sería el exponente que ya no tiene 8 bits sino 11 bits quedándonos.

El número queda estructurado de la siguiente manera

	Signo	Exponente	Mantisa
SP	1	01111111110	100011

El número en cuestión nos queda

1011 1111 1110 1000 1100

Lo paso a HEXADECIMAL y nos queda

BFE8C16

Como se puede ver el mismo número según se represente en 32 o en 64 bits

	32 bits	64 bits
-0,13671875	BF460000	BFE8C00000000000

Los ceros a la izquierda no son representativos, pueden o no escribirse.

Este método de representación tiene sus rangos de representación los cuales no incluyen el número 0 (cero). Se puede representar números muy próximos a 0 pero no incluye este número.

El módulo mayor que se puede expresar en doble precisión es 1,710 * 10308, con una precisión de 15 a 16 cifras(ver transformación de fracciones decimales a binarios). El número más próximo a cero será 1 * 10-309. El módulo mayor que se puede expresar en punto flotante (extended) es 1,10 * 104932.

REPRESENTACIÓN INTERNA DE LA INFORMACIÓN: Codificación alfanumérica

Cada vez que presionamos una tecla cualquiera en nuestra computadora, esta convierte el carácter presionado en un conjunto bits. Para esta transformación se utilizaron y se utilizan distintos códigos.

El primero fue un código de 6 bits denominado FIELDATA. Es código fue reemplazado por el ASCII (American Standard Code for Information Interchange) que era un código de 7 bits (tenía 128 caracteres posibles), luego aparece el EBCDIC que fue el primer código de 8 bits por último aparece para el ambiente de PC el ASCII extendido que también es de 8 bits (256 caracteres).

Tabla de conversión

	Decimal	Binario	Octal	Hexadecimal
	0	0000	00	0
	1	0001	01	1
	2	0010	02	2
	3	0011	03	3
	4	0100	04	4
	5	0101	05	5
	6	0110	06	6
	7	0111	07	7
	8	1000	10	8
	9	1001	11	9
	10	1010	12	A
	11	1011	13	B
	12	1100	14	C
	13	1101	15	D
	14	1110	16	E
	15	1111	17	F
	16	10000	20	10
	17	10001	21	11
	18	10010	22	12
	19	10011	23	13
	20	10100	24	14
	21	10101	25	15
	22	10110	26	16
	23	10111	27	17
	24	11000	30	18
	25	11001	31	19
	26	11010	32	1A
	27	11011	33	1B
	28	11100	34	1C
	29	11101	35	1D
	30	11110	36	1E
	31	11111	37	1F
	32	100000	40	20

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Práctica

1 - Pasar a base 10 los siguientes números, de las bases indicadas:

11012		0,101 2		101,11 2		1,01112		753 8
0,63 8		17,134 8		3A 16		0,FF 16		A5,3B 16

2 - Pasar los siguientes números de base 10 a la base indicada:

39 ! 2		0,525 ! 2		23,945 ! 2		123 ! 8
3,1 ! 8		0,14 ! 8		1068 ! 16		61,6 ! 16

3 Pasar el siguiente decimal a la base indicada con un error menor o igual al indicado

	Número	Base	Error
	0,267	2	0,001
	52,38	2	0,0001
	129,64	2	0,1
	163,97	8	0,0001
	954,62	16	0,0001

4 - Pasar a las bases indicadas usando propiedad de base de potencia de otra base:

32 8 !	2	F1 16 !	8	F1 16 !	2
73 8 !	16	1010 2!	16	10,10 2 !	8

5 - Realizar las siguientes sumas:

	1010 2		1001 2		1110 2
	+		+		+
	0101 2		0110 2		1010 2
	7354 8		F1E5 16		3231 4
	+		+		+
	1123 8		ABC116		2123 4

6 - Realizar las siguientes restas:

	F91F 16		0334 8		1060 8
	-		-		-
	0101 16		0137 8		1776 8

7 - Realizar las siguientes operaciones por Complemento a la Base

1 0 0 1 1 1 0 1 2		0 1 1 1 0 1 0 1 2		0 0 1 0 0 0 1 1 2
-		-		-
0 0 1 1 0 0 1 1 2		0 0 0 1 1 1 1 1 2		0 0 0 1 1 0 0 1 2

8 - Realizar las siguientes restas en base 2. Los números tienen signo.

	01000		11001		00110
	-		-		-
	00101		00111		11000

9 - Realizar los siguientes productos.

	0018 16		047 8		0018 18
	x		x		x
	100 16		010 8		010 18

10 - Escribir con notación exceso 10000000 2

	1010 2		- F1 16		3014 8
	-1100 2		- 513 8		- 37 16

11 - Escribir como complemento a Dos (en 16 bits):

35 10		- 47 10		F1 16		- 16 16

12 - Escribir como complemento a Dos (en 32 bits):

- 93 10		- FF 16		- 10 10		- 31 10
- F3 16		- 16 16

13 - Pasar a base 10 los números (16 bits complemento a dos):

1) 1000000000101000		2) 1110100000010101
3) 1001111011010111		4) 1000000000010101

14 - Pasar a base 10 los siguientes números expresados como punto fijo sin signo (16 bits)

1000000000101000		0110100000010101
1001111011010111		0000000000010101

15 - Escribir con notación exceso 10000000 2

	1010 2		- F1 16		3014 5
	33 4		- 513 6		- 37 16

16 - Escribir en base 2 y operar por complemento a la base

	5349 10		F1F0 16		-3511 10
	-		+		-
	317F 16		-34312 10		39F1 16

17 - Escribir como complemento a Dos (en 16 bits):

35 10		- 47 10		F1 16		- 16 16

18 - Escribir como complemento a Dos (en 32 bits):

- 93 10		- FF 16		- 10 10		- 31 10
- F3 16		- 16 16

19 - Expresar en base 10 los siguientes números dados en formato de Punto Flotante

35A1F

93900D

ECF

3ED

20 - Pasar a base 10 los números (16 bits complemento a dos):

1) 1000000000101000		2) 0110100000010101
3) 1001111011010111		4) 0000000000010101

Realizar 1) + 2) y 1) - 4)

21 - Pasar a base 10 los siguientes números expresados como punto fijo sin signo (16 bits)

1000000000101000		0110100000010101
1001111011010111		0000000000010101

22 - Pasar a Punto Flotante:

39	0,0103	9F1	9F3,G1
-5826	-0,00002103	-74F28B	-0,002A359

23 - Decir que número decimal, representa el siguiente número expresado como Punto Flotante

9 E C 1 9 3 5 F 16	C D 9 4 0 1 0 3 16
3 E A C 1 0 0 0 16	A E 8 F 5 0 0 0 16

En todo sistema de numeración la base no aparece como dígito.

La idea de palabra queda de las antiguas computadoras con palabras de 8 bits, hoy existen máquinas cuya palabra es de 16, 32, 64 bits.

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