Sistemas de ecuaciones

Métodos. Igualación. Sustitución. Reducción. Tres incognitas

  • Enviado por: Frael
  • Idioma: castellano
  • País: República Dominicana República Dominicana
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Método de Igualación

Consiste este método en hallar el valor de la misma incógnita, en función de otra, en ambas ecuaciones, e igualamos los resultados.

Pasos para resolver este método.

  • Despejamos a x en ambas ecuaciones.

  • 4x-6y = -20

  • 2x+4y = 32

  • 4x-6y = -20 2) 2x+4y = 32

  • X = 20+6y X = 32-4y

    4 2

  • Igualamos los valores de las dos X y multiplicamos por el dividiendo de cada uno en viceversa.

  • -20+6y = 32-4y 2(-20+6y) = 4(32-4y)

    4 2 -40+12y =128-16y

  • Agrupamos los términos semejantes y factorizamos hasta encontrar a Y.

  • -40+12y = 128-16y

    16y+12y = 128+40

    28y = 168

    28 28

    Y = 6

  • Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.

  • 2x+4y =32

    2x+4(6) = 32

    2x+24 = 32

    2x = 32-24

    2x = 8

    2 2

    X = 4

    Conj. Solución es (6,4)

    Método de Sustitución

    Consiste en despejar una incógnita, en función de otra, en una de las ecuaciones y sustituir el valor en otra letra.

    Paso para resolver por este método.

  • Despejar a X de la ecuación, de cual quiera de las ecuaciones.

  • 8x+7y = 82 X = 82-7y

    6x-5y = 0 8

  • Sustituimos a X de la segunda ecuación por lo despejado y multiplicamos por el primer valor ósea 6.

  • 6x-5y = 0

    6(82-7y)-5y = 0

    8

    492-42y-5y = 0

    8

  • Ahora dividimos 492-42y por su dividiendo y los otros números se le agregan un 1y se divide.

  • 492-42y-5y = 0

    8

    492-42y-5y = 0

    8 1 1

    61-5y-5y = 0

  • Agrupamos términos semejantes y factorizamos hasta encontrar el valor de Y.

  • 61-5y-5y = 0

    -5y-5y = 0-61

    10y = -61

    10 10

    Y = -6

    5- Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.

    6x-5y = 0

    6x-5(-6) = 0

    6x+30 = 0

    6x = 0-30

    6x = -30

    6 6

    Y = -5

    Conj. Solución es (-6,-5)

    Método de Reducción

    Método de reducción, uno de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones. Si el sistema es de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, este método consiste en procurar que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en las dos ecuaciones para que, al restarlas miembro a miembro, se elimine dicha incógnita, dando lugar a una ecuación con una única incógnita.

    Pasos para resolver por este método.

    1- Pasar los dos primeros valores de la ecuación al final de la ecuación multiplicando en viceversa y el primer valor pasa negativo.

    6x-7y = 5 6x-7y = 5 (-8)

    8x-9y = 7 8x-9y = 7 (6)

    2- Ahora multiplicamos por los números escogidos la ecuación, después eliminamos los términos semejantes y ahora sumamos o restamos según los signos. Después de eso hacer media factorisación.

    6x-7y = 5 (-8)

    8x-9y = 7 (6)

    -48x+56y = -40

    48x -54y = 42

    -48x+56y = -40

    48x -54y = 42

    2y = 2

    2 2

    Y = 1

    3- Para encontrar a X, cojeemos una de las ecuaciones y sustituimos la letra correspondiente ósea Y por su valor encontrado, luego multiplicamos, agrupamos términos y factorizamos.

    Método de reducción con 3 incógnitas

    Paso para resolver por este método.

    1- Cojeemos las dos primeras ecuaciones y hacemos lo mismo que en el método de reducción de dos incógnitas hasta encontrar una ecuación de dos incógnitas.

    X+3y-z = 7 I

    4x+6y-8z = -6 II

    3x-y+2z = 11 III

    I x+3y-z = 7 x+3y-z = 7 (-4)

    II 4x+6y-8z = -6 4x+6y-8z = -6

    -4x-12y+4z = -28

    4x+6y-8z = -6

    -6y-4z = -34

    -6y-4z = -34 IV

    2- Coger la primera ecuación y la tercera y hacer los mismo que el primer paso.

    I x+3y-z = 7 x+3y-z = 7 (-3)

    III 3x-y+2z = 11 3x-y+2z = 11

    -3x-9y+3z = -21

    3x-y+2z = 11

    -10y+5z = -10

    -10y+5z = -10 V

    3- Ahora juntamos las dos ecuaciones nuevas ósea la ecuación IV y la V y hacer lo mismo que el paso uno y dos solo que vamos a Terminal haciendo una ecuación para encontrar a Z.

    -6y-4z = -34 -6y-4z = -34 (10)

    -10y+5z = -10 -10y+5z = -10 (-6)

    -60y-40z = -340

    60y-30z = 60

    -70z = -280

    70 70

    Z = 4

    4- Ya tenemos a Z ahora tenemos que encontrar a Y cogiendo una de las ecuaciones que hicimos de dos incógnitas y sustituir a Z por su valor hallado, hasta hacer una ecuación y encontrar a Y.

    -6y-4z = -34

    -6y-4(4) = -34

    -6y-16 = -34

    -6y = -34+16

    -6y = -18

    -6 -6

    Y = 3

    5- Ya tenemos a Y ahora vamos a encontrar a X, cogiendo una de las ecuaciones de tres incógnitas y sustituir las letras Z y Y por sus valores encontrado y hacemos una ecuación hasta encontrar a X.

    X+3y-z = 7

    X+3(3)-4 = 7

    X+9-4 = 7

    X = 7-9+4

    X = 2

    Conj. Solución es (2, 3,4)

    Método de Sustitución con 3 incógnitas

    Paso para resolver por este método

    1- Despejar una letra de la primera ecuación en este casa despejaremos a Z, después de despejada coger la segunda ecuación y sustituir la letra por el valor de la ecuación despejada.

    3x-y+2z = 3 I

    X-y+z = -1 II

    X+2y-z = 8 III

    I 3x-y+2z = 3

    2z = -3x+y+3

    Z = -3x+y+3

    2

    II -x-y+z = -1

    x-y+ (-3x+y+3) = -1

    2

    2-Ahora multiplicamos lo de el paréntesis con el primer valor que esta al principio de los paréntesis, luego de eso dividir por el dividiendo (si un valor no tiene dividiendo se le pone un 1) y terminar haciendo una ecuación hasta encontrar el valor de una letra. (Ay que eliminar los términos semejantes).

    x-y+ (-3x+y+3) = -1

    2

    x-y+ (-3x+y+3) = -1

    2 1

    x-y-3x+y+3 = -2

    x-3x-y+y = -2-3

    -2x = -5

    -2 -2

    X = 2.5

    3- Cojeemos la tercera ecuación y hacemos lo mismo que el segundo pasó, hasta encontrar una ecuación de dos incógnitas.

    X+2y-z = 8

    X+2y-(3x+y+3) = 8

    2

    X+2y-(3x+y+3) = 8 M.C.M. (2)

    2 1

    x+2y+3x-y-3 =16

    X+3+2y-y = 16+3

    4x+y = 19

    4- Ahora sustituir la X de la ecuación nueva por la X encontrada y luego hacer una factorisacion hasta encontrar a Y.

    4x+y = 19

    4(2.5)+y = 19

    10+y = 19

    Y = 19-10

    Y = 9

    5- Ahora para encontrar a Z debemos coger una de las ecuaciones de 3 incógnitas y sustituir las letras por sus valores y hacer una ecuación hasta encontrar Z.

    x-y+z = -1

    2.5-9+z = -1

    -6.5+z = -1

    Z = -1+6.5

    Z = 5.5

    Conj. Solución (5.5, 9, 2.5)

    Construcción de un Sistema de ecuación con 2 incógnitas

    1- Les damos valor a X Y.

    X=4

    Y=2

    2- Construimos una ecuación de la igualad.

    2x+6y =

    6x-3y =

    3- Ahora sustituimos las letras por los valores que le dimos a cada ecuación y multiplicamos y sumamos o restamos según los signos.

    2x+6y =

    2(4)+6(2) =

    8+12 = 20

    6x-3y =

    6(4)-3(2) =

    24-6 = 18

    4- Ponemos el resultado de lo hecho anteriormente en el sistema de ecuación y ya tenemos nuestro sistema de ecuación.

    2x+6y = 20

    6x-3y = 18

    Construcción de un Sistema de ecuación con 3 incógnitas

    1- Darle valor a X Y Z.

    X=2

    Y=5

    Z=9

    2- Construir un sistema de ecuación sin la igualdad.

    2x+6y-5z=

    5x-8y+8z=

    7x+6y+9z=

    3- Ahora como tenemos nuestro sistema de ecuación hecho, sustituimos las letras por los valores asignados y multiplicamos y sumamos o restamos según los signos.

    2x+6y-5z=

    2(2)+6(5)-5(9)=

    4+30-49= -14

    5x-8y+8z=

    5(2)-8(5)+8(9)=

    10-40+432= 402

    7x+6y+9z=

    7(2)+6(5)+9(9)=

    14+30+81= 125

    4- Ahora ponemos el resultado de lo hecho anteriormente en el sistema de ecuación hecho. Ya tenemos nuestro sistema hecho.

    2x+6y-5z= -14

    5x-8y+8z= 402

    7x+6y+9z= 125

    Historia de las Ecuaciones

    Rama de la matemática que estudia las raíces de Ecuaciones Polinomicas y los métodos de búsqueda de dicha raíces.

    Hasta el siglo XVII la teoría de la ecuación estuvo limitada pues los matemáticos no fueron capaces de aceptar que los números negativos y complejos podrían ser erices de ecuaciones.

    Solos los antiguos indios como Brabmagupta, conocían las raíces negativas, pero fuera de China e India no se trabajaba con coeficiente negativa en los polinomios, envés de un solo tipo de ecuación de segundo grado de ecuaciones.

    Otros importantes descubrimientos del modo antiguo que se puede encontrar en los escritos del siglo I del científico matemático Heron de Alejandrina, es un método de aproximación como 3/2 para calcular una mezcla nueva [3/2+2/5/2)]/2 esta aproximidades y cálculos repetidos se denomina interacciones.

    Conceptos

    Sistema de ecuación: Conjunto de dos o más ecuaciones cuya solución es común a todas ellas.

    Ecuación: Igualdad que contiene una o más incógnitas.

    Incógnita: Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación o en un problema para resolverlos.

    Variable: Magnitud que puede tener un valor cualquiera de los comprendidos en un conjunto.

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