Sistemas de ecuaciones lineales

Álgebra. Matrices. Matriz inversa. Gauss Jordan. Cramer. Método iterativo Jacobi. Seidel. Sistema lineal homogéneo

  • Enviado por: Clara Laynes
  • Idioma: castellano
  • País: México México
  • 12 páginas

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Unidad 3 Sistemas de ecuaciones lineales

3.1 Introducción.

3.2 Método de matriz inversa.

3.3 Método de solución de Gauss y de Gauss-Jordan.

3.4 Regla de Cramer.

3.5 Sistemas lineales homogéneos.

3.6 Método iterativo de Jacobi.

3.7 Método iterativo de Gauss-Seidel.

  • Método de la matriz inversa

  • Para obtener la inversa de una matriz, se apoya de la siguiente forma:

    A-1 = 1 a22 -a12 a11 -a12

    det A -a21 a11 -a21 a22

    Ejemplos:

    A = 12 4 (12)(1) - (3)(4) = 12-12 =0

    3 1 No tiene Inversa

    1 1 1

    A = 4 1 4

    2 2 5

    Se aumenta en la parte derecha una matriz identidad y posterior mente se iguala la matriz inicial a una matriz identidad.

    1 1 1 1 0 0 (-4) (-2)

    4 -4 1 -4 4-4 0 -4 1 0

    2 -2 2 -2 5 -2 0 -2 0 1

    1 1 1 1 0 0

    0 -3 /-3 0/-3 -4/-3 1/-3 0/-3 / (-3)

    0 0 3 -2 0 1

    1 1-1 1 1-4/3 0+1/3 0

    0 1 0 4/3 -1/3 0 (-1)

    0 0 3 -2 0 1 / 3

    1 0 1 -1/3+2/3 1/3 0-1/3

    0 1 0 4/3 -1/3 0

    0 0 1 -2/3 0 1/3 (-1)

    1 0 1 1/3 1/3 -1/3

    0 1 0 4/3 -1/3 0

    0 0 1 -4/3 -1/3 1/3

    A-1 = 1/3 1/3 -1/3 X = b / A 9

    4/3 -1/3 0 b = 27

    4/3 -1/3 1/3 X = A-1 b 30

    1/3 1/3 -1/3 9 9/3 + 27/3 - 30/30

    4/3 -1/3 0 27 = 36/3 - 27/3 + 0

    4/3 -1/3 1/3 30 - 18/3 + 0 + 30/3

    X1 2

    X2 = 3

    X3 4

    Comprobación:

    Sustitución de los valores X1,X2 y X3 en las ecuaciones 1,2 y3.

    Ecua. 1 1 X1 + 1X2 + 1X3 = 9

    1(2) + 1(3) + 1(4) = 9

    2 + 3 + 4 = 9

    9 = 9

    Ecua. 2 4 X1 + 1X2 + 4X3 = 27

    4(2) +1(3) + 4(4) = 27

    8 + 3 + 16 =27

    27 = 27

    Ecua. 3 2 X1 + 2X2 + 5X3 = 30

    2(2) +2(3 ) +5(4) = 30

    4 + 6 + 20 = 30

    30 = 30

    3.3 Método de solución de Gauss y Gauss Jordan.

    Consiste en hacer una diagonal con uno y debajo de esta se deben convertir en ceros, mientras que el resultado del termino común,se utiliza para despejar la incógnita y se encuentra así su valor de la ultima incógnita, que permite encontrar el valor de las demás.

    Ejemplo:

    2X1 + 4X2 + 6X3 = 18

    4X1 + 5X2 + 6X3 = 24

    3X1 + 1X2 - 2X3 = 4

    2 4 6 18 /2

    4 5 6 24

    3 1 -2 4

    1 2 3 9 (-4) (-3)

    4-4 5-8 6-12 24-36

    3-3 1-6 -2-9 4-27

    1 2 3 9

    0 -3 -6 -12 /(-3)

    0 -5 -11 -23

    1 2 3 9

    0 1 2 4 (5)

    0 -5 +5 -11+10 -23+20

    1 2 3 9

    0 1 2 4

    0 0 -1 -3 / (-1)

    X1 X2 X3 R

    1 2 3 9 Ecuación 2

    0 1 2 4 Ecuación 2

    0 0 1 3 Ecuación 2

    Matriz escalonada

    Se sustituye el valor de X3 = -3 en la ecuaciones de la matriz obtenida.

    Sustitución de X3 = -3 en la ecuación 2.

    X2 + 2 X3 = 4

    X2 + 2(3) = 4

    X2 + 6 = 4

    X2 = 4-6

    X2- = -2

    X1 + 2 X2 + 3 X3 = 9

    X1 + 2 (-2) + 3 (3) = 9

    X1 - 4 + 9 = 9

    X1 = 9-9+4

    X1 = 4

    Comprobación:

    2X1 + 4X2 + 6X3 = 18

    2(4) + 4(-2) + 6(3) = 18

    8 - 8 + 18 = 18

    18 = 18

    Método de Gauss Jordan

    Consiste en encontrar una matriz identidad, y con los valores que se obtengan en el termino independiente, van a corresponder al valor de las incógnitas.

    2X1 + 4X2 + 6X3 = 18

    4X1 + 5X2 + 6X3 = 24

    3X1 + 1X2 - 2X3 = 4

    2 4 6 18 /2

    4 5 6 24

    3 1 -2 4

    1 2 3 9 (-4) (-3)

    4-4 5-8 6-12 24-36

    3-3 1-6 -2-9 4-27

    1 2 3 9

    0 -3 -6 -12 /(-3)

    0 -5 -11 -23

    1 2-2 3-4 9-8

    0 1 2 4 (-2) (5)

    0 -5 +5 -11+10 -23+20

    1 0 -1 1

    0 1 2 4

    0 0 -1 -3 / (-1)

    1 0 -1+1 1+3

    0 1 2-2 4-6

    0 0 1 3 (-2) (1)

    1 0 0 4

    0 1 0 -2

    0 0 1 3

    X1 = 4

    X2 = -2

    X3 = 3

    Sustitución de valores:

    2X1 + 4X2 + 6X3 = 18

    2(4) + 4(-2) + 6(3) = 18

    8 - 8 + 18 = 18

    18 = 18

    3.4 Regla de Cramer

    3X1 + 5X2 + 6 X3 =24

    3X1 + X2 - 2X3 =4

    2X1 + 4X2 + 6X3 =18

    2 4 6 18

    3 5 6 24

    3 1 -2 4

    Solución por el método de menores y cofactores:

    • Obtención del valor de D

    Se realiza con la matriz de los coeficientes.

    2 4 6 2 4

    D = 3 5 6 3 5

    3 1 -2 3 1

    D =-20 + 72 +18 - 90 - 12 + 24 = - 8

    • Obtención del valor de D1

    Los valores de la columna 1 se cambian por los valores del termino independiente.

    18 4 6 18 4

    D1 = 24 5 6 24 5

    4 1 -2 4 1

    D1 = - 180 + 48 + 144 - 120 - 108 + 192 = 24

    • Obtención del valor de D2

    Los valores de la columna 2 se cambian por los valores del termino independiente.

    2 18 6 18 4

    D2 = 3 24 6 24 5

    3 4 -2 4 1

    D2 = - 96 + 324 + 72 - 4 32 - 48 + 108 = - 72

    • Obtención del valor de D3

    Los valores de la columna 3 se cambian por los valores del termino independiente.

    2 4 18 2 4

    D3 = 3 5 24 3 5

    3 1 4 3 1

    D3 =40 + 288 + 54 - 270 - 48 + 48 = 14

    Sustitución de los valores

    X1= D1/D X2= D2/D X3= D3/D

    X1= -24 /(-8)= -3 X2= -72 / (-8) = 9 X3= 16 / (-8) = -2

    X1 = -24 / -8 = -3 2X1 + 4X2 + 6X3 =18

    X2 = -72 / -8 = 9 2(-3) + 4(9) + 6(-2) = 18

    X3 = 16 / -8 = -2 -6 +36 -12 = 18

    • = 18

    3.5 Sistemas Lineales Homogéneo

    Son aquellas en las que los valores del termino independiente son igual con cero.

    a11 X1 + a12 X2 + … + a1n Xn = 0

    a21 X1 + a22 X2 + … + a2n X21 = 0

    . . . .

    . . . .

    am1 X1 + am2 X2 + … + amn Xn = 0

    Hay dos tipos de solución:

    • La trivial = X1 = X2 = X3 = 0

    • No trivial = " De soluciones

    Ejemplo:

    Solución por el método de Gauss Jordán.

    4X1 - 1X2 = 0 4 -1 0

    7X1 + 3X2 = 0 7 3 0

    -8X1 + 6X2 = 0 -8 6 0

    4 -1 0 /4

    7 3 0

    -8 6 0

    1 -1/4 0 (-7) (8)

    7-7 3+7/4 0

    -8+8 6-2 0

    1 -1/4 0

    0 19/4 0 / (19/4)

    0 4 0

    1 -1/4+1/4 0

    0 1 0 (+1/4) (-4)

    0 4-4 0

    1 0 0 X1 = X2 = 0

    0 1 0

    0 0 0 Solución trivial

    3.6 Método Iterativo de Jacobi

    Este método consiste en despejar las variables X1, X2 , X3 … X4 por cada reglon según el numero de ecuaciones dadas, después se le asigna un valor de cero, y se sustituye en la ecuación del despeje para encontrar el valor de la primera iteración y posteriormente, estos valores se sustituyen para encontrar el valor de la segunda ecuación, y así sucesivamente hasta encontrar el valor.

    Ejemplo:

    10X1 + 1X2 = 11

    2X1 + 10X2 = 12

    Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2

    1 Iteración

    2 Iteración

    3 Iteración

    Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2.

    10X1 + 1X2 = 11

    10(1)+1 (1) = 11

    11 = 11

    3.7 Método de Iterativo de Gauss - Seidel.

    Es muy similar al anterior la diferencia es que los valores que se van obtenido desde el inicio de la sustitución, se van sustituyen a las siguiente ecuaciones (iteraciones).

    Ejemplo:

    10X1 + 1X2 = 11

    2X1 + 10X2 = 12

    Despeje de X1 en la ecuación 1 Despeje de X1 en la ecuación 2

    1 Iteración

    2 Iteración

    3 Iteración

    Sustitución de valores en la ecuación 1 y 2.

    10X1 + 1X2 = 11

    10(1)+1 (1) = 11

    11 = 11

    Error aproximado

    "a = 1.00004-1.002 * 100 = -1.959 = .1959 %

    1.00004

    Matriz de los coeficientes

    Termino independiente

    Cambia el signo y la posición

    X = A-1 b

    El valor de las incógnitas

    Convergente : Se a próxima al valor real.

    Divergente: Se aleja del valor real.

    X2 = 12 - 2 X2

    10

    X1 = 11 - 1 X2

    10

    X 1 = X2 = 0

    X2 = 12 - 2 (0) = 12/10

    10

    X1 = 11 - 1 (0) = 11/10

    10

    X2 = 12 - 2 (11/10) = .98

    10

    X1 = 11 - 1 (12/2) = .98

    10

    X2 = 12 - 2 (.98) = 1.004

    10

    X1 = 11 - 1 (.98) = 1.002

    10

    2X1 + 10X2 = 12

    2(1) +10(1) = 12

    12 = 12

    X2 = 12 - 2 X2

    10

    X1 = 11 - 1 X2

    10

    X2 = 0

    X2 = 12 - 2 (1.1) = .98

    10

    X1 = 11 - 1 (0) = 1.1

    10

    X2 = 12 - 2 (1.002) = .9996

    10

    X1 = 11 - 1 (.98) = 1.002

    10

    X2 = 12 - 2 (1.00002) = .999992

    10

    X1 = 11 - 1 (.9996) = 1.00002

    10

    2X1 + 10X2 = 12

    2(1) +10(1) = 12

    12 = 12