Determinación de la altura de equilibrio

Introducción

El objetivo de la presente práctica es el estudio del comportamiento de un sistema hidráulico y la comparación de este con las predicciones que se pueden hacer a partir de la aplicación de diferentes ecuaciones y principios de la dinámica de fluidos.

ecuación de Bernouilli

ecuación de Fanny para pérdidas de energía mecánica por rozamiento

ecuación para las pérdidas menores

Balances de materia en estado estacionario y no estacionario

El sistema hidráulico a estudiar, consiste en un cilindro con una conducción en

la base, de tal manera que tenemos un caudal de entrada en el punto (1) y un caudal de salida en el punto (2).

(1)

(2)

Fundamento teórico

• Ecuación de Bernouilli

La ecuación de Bernouilli se puede deducir a partir del balance macroscópico de energía, para un sistema estacionario, isotermo y de composición constante.

Para un sistema físico real, por lo tanto irreversible, la transformación de unas formas de energía a otras tiene lugar mediante mecanismos en los que aparecen rozamientos y pérdidas mecánicas. El paso de una cantidad dada de calor a otra cantidad de trabajo, que en el caso de una transformación reversible viene dada por el trabajo reversible calculado por el ciclo de Carnot. En una transformación irreversible de la menor cantidad de trabajo. De aquí que en las ecuaciones de energía mecánica aparezca un término Ev cuyo significado físico es la energía que se ha disipado a forma calorífica, que ha sido necesaria para vencer los rozamientos del sistema. Con el objeto de poner de manifiesto las pérdidas mecánicas en el balance de energía, se realizará un balance de entropía en un sistema abierto real. Dicho balance tendrá la forma general:

A = (E-S) +G

S1 T1 S2 T2

Q

El término de acumulación de entropía será:

El término de entrada neta de entropía tiene dos partes: la asociada a la materia, y la entropía molecular, debida al intercambio de calor con el exterior. Este segundo sumando será, a su vez, la suma de elementos diferenciales de calor divididos por la temperatura a la cual se intercambian.

Teniendo en cuenta el segundo principio de la termodinámica, y puesto que el sistema es real (recuérdese que la entropía es fusión de estado, y el calor intercambiado no, sólo el calor intercambiado reversiblemente es función de estado), en el balance de entropía aparecerá un término de generación de entropía (Si).

El balance de entropía queda:

(
mm) + + Si

En condiciones isotermas este balance puede escribirse en la forma:

(T
mm) ++ TSi

en donde,

Si a esta ecuación le restamos el balance macroscópico de energía:

(
+
+
)mm + + W
" entalpía

E = U +
+

" energía cinética

" energía potencial

U " energía interna

se obtiene:

d(
+
+ U - TS)/dt =[(
+
+
- TS)mm] + W - Ev

Si se considera, para simplificar, que el sistema tiene una entrada y una salida, y denotando como  al operador diferencia entre el valor de salida y el de entrada de la magnitud correspondiente, la ecuación anterior en estado estacionario sería:

(
+
+
) -
+
v = 0

ya que 1 = 2

Dado que para un fluido de composición constante, d
= -
dT + Vdp, en condiciones isotermas:


=VdP

El término cinético puede ponerse en función de las velocidades medias mediante la relación:


= 

siendo  un coeficiente que depende del régimen de circulación y cuyo valor se discutirá más tarde.

El término potencial será en la mayor parte de los casos gravitatorio, por lo que


= gz, siendo Z la altura de la conducción respecto a un nivel de referencia arbitrario. Queda entonces:

 + gz +Vdp -
+
v = 0

expresión que se conoce con el nombre de ecuación de Bernoulli

• Valor de 

Considérese un elemento de superficie dS en una sección transversal de una conducción. La energía cinética que lo atraviesa por unidad de tiempo es:

y la energía cinética que lo atraviesa por unidad de tiempo es:

El caudal másico que atraviesa dS es d =vdS y el que atraviesa S será:.

Así pues, la energía cinética, por unidad de masa que atraviesa la superficie S será:

En régimen laminar teniendo en cuenta que el perfil de velocidad viene dado por:

integrando se llega a:

En régimen turbulento habría que considerar que . Sin embargo, el efecto de las fluctuaciones turbulentas suele ser comparativamente pequeño y , dada su difícil estimación, no se tiene en cuenta. Así pues, como a lo largo de S la energía cinética por unidad de masa es:

En general se escribe:

 = 1 Régimen turbulento

 = 0.5 Régimen laminar

0.5 "  " 1 Régimen de transición

• Pérdida de carga en conducciones. Ecuación de Fanny

Sea un fluido incomprensible que circula en régimen estacionario por una conducción recta de sección constante. Si el fluido está en movimiento existe una fuerza de rozamiento en la pared Fr; y una pérdida de carga, Ev. Si el fluido está en reposo, Fr=0 y Ev=0. Así pues ambas magnitudes están relacionadas con el comportamiento cinético del sistema.

En particular, la fuerza de rozamiento es experimentalmente función de:

• energía cinética por unidad de volumen

• superficie mojada (área característica).

y se puede expresar arbitrariamente como:

Fr = f A (
)

“f” es un factor de proporcionalidad llamado factor de fricción. Para una conducción cilíndrica (la de nuestra práctica), la ecuación anterior toma la forma:

Fr = f(DL)

A partir del balance macroscópico de cantidad de movimiento:

aplicándolo a un fluido que circula en las condiciones antes mencionadas se tiene:

y la fuerza de rozamiento por descomposición de fuerzas:

Por otra parte, a partir de la ecuación de Bernoulli, en las condiciones antges citadas se obtiene:

y como (por razones de simetría)

v=

multiplicando por S

vS = S(p1-p2)-Lcos

Fr= S(p1-p2)+ Lcos

Igualando se obtiene:

Fr=
vS

de donde

vS

v=

que es la llamada Ecuación de Fanny, que expresa que las pérdidas de carga por unidad de masa son proporcionales a la relación y a la energía cinética por unidad de masa.

En el caso de régimen laminar, el coeficiente 4.f puede calcularse teóricamente. De la ecuación de Hagen-Poiseville

R " radio de la conducción

 " viscosidad

p1" presión en el punto 1

p2 " presión en el punto 2

L " longitud de la conducción

y ya que S = R2, se obtiene:

y teniendo en cuenta que (P1-P2) = (p1-p2) + Lcos se obtiene:

v=

y comparándolo con la Ecuación de Fanny:

Para régimen turbulento como no una ecuación equivalente a la de Hagen-Poiseville, 4f se calcula a partir de relaciones empíricas como por ejemplo el diagrama de Moody. Es una gráfica en la que se aprecia como es 4f en función de las condiciones fluido dinámicas (Re) y la naturaleza de la pared: rugosidad relativa, . El parámetro de la rugosidad, , tiene la dimensión de una longitud, y engloba el efecto de la altura y de la forma de as rugosidades de la pared en la fricción entre ésta y el fluido.

Expresiones analíticas empíricas como la ecuación de Colebrook

Re"3000

y la ecuación de Blasius:

Re>3000 y tubos lisos

Si la conducción no es totalmente recta, se puede usar la ecuación de Fanny, pero al valor de L se le añada un Leq, longitud equivalente, que es la longitud del tubo que daría lugar a una pérdida de carga igual a la que originan los accidentes (codos, válvulas, bombas) En nuestro caso no tenemos ninguno de estos accesorios con lo que usaremos la ecuación de Fanny como:

v=

• Pérdidas menores

Las pérdidas de energía por rozamiento hasta ahora consideradas son debidas al rozamiento superficial del fluido sobre las paredes internas del tubo cilíndrico recto. Los sistemas circulatorios presentan una serie de accidentes o elementos como ensanchamientos, estrechamientos y curvaturas de las tuberías, uniones y codos tés para ramificaciones, válvulas, etc. Estos accidentes provocan variaciones de magnitud o dirección de las velocidades de los fluidos que los atraviesan. Son muchas las veces en las que se producen rozamientos de forma, a causa de la separación de las capas límite, con la consiguiente formación de vórtices y torbellinos que incrementan la turbulencia del flujo y con ella una mayor disipación de energía mecánica útil en calor.

Estas pérdidas energéticas se denominan menores a causa de que la debida a cada uno de ellos por separado suele ser pequeña comparada con el rozamiento en las paredes de las conducciones en que están localizados. Sin embargo, la suma de todas las pérdidas menores puede adquirir importancia y suponer incluso una fracción apreciable de la pérdida total.

Como la estimación es inviable y todas las pérdidas menores son consecuencia de fenómenos en los que la inercia del fluido, i.e, su masa y velocidad, desempeñan el papel más importante, sin tenerlos apenas su viscosidad, suelen expresarse empíricamente las mismas como función de la energía cinética que corresponde a la unidad de masa del fluido

expresión general en la que la constante K, tiene distintos valores para cada accidente.

Materiales y métodos

Si desarrollamos la ecuación de Bernouilli entre los extremos (1) y (2) del sistema, considerando que la pérdida de carga por rozamiento en el cilindro es nula, pero no así en el canal de salida, y que la pérdida de energía mecánica consta de dos término uno correspondiente a las pérdidas por rozamiento (hr) y otro para las pérdidas menores (hm), donde:

obtenemos una expresión para la ecuación de Bernouilli, en la que podemos despejar la velocidad según:

Por otro lado, podemos aceptar la aproximación de considerar despreciables las pérdidas por rozamiento con lo cual:

La aplicación de un balance de materia en estado no estacionario, entre los puntos (1) y (2) nos lleva a:

donde S es la sección del cilindro y s la sección de la conducción.

Combinando las ecuaciones anteriores e integrando se obtiene:

y análogamente:

con

La metodología de trabajo consiste en introducir un caudal constante por la parte superior del cilindro (1) y esperar a que por la parte inferior salga un caudal constante e igual al de entrada, momento en el cual la altura alcanzada por el agua en el cilindro es constante, altura de equilibrio.

Este es el dibujo del montaje utilizado en la práctica. La altura que marca el líquido contenido en el rebosadero debe permanecer constante durante el experimento ya que nos indica que el caudal de entrada permanece constante.

Antes y después de cada experiencia, medimos el caudal de salida para comprobar que el caudal no vario durante la misma.

Con este montaje realizamos las medidas de alturas, (expresadas como volumen llenado de la probeta), y tiempos.

RESULTADOS EXPERIMENTALES

Los siguientes datos expresan los valores experimentales y los calculados según las fórmulas “teóricas”que nos relacionan tiempo y altura.

Q = 5.19*10-6 (m3/s)

t(s)	10	37	72	146
V(ml)	50	100	150	200

t(s)	1	2	3	4	6	9	22
h(m)	1.5E-3	2.0E-3	2.5E-3	3.0E-3	3.5E-3	4.0E-3	4.5E-3

Q = 6.22*10-6 (m3/s)

t(s)	V(ml)
8	50
25	100
43	150
53	170
69	200
79	220
102	250
118	270
152	300
180	320
221	340
241	350
279	360
317	370
394	380
509	390
593	400
660	410
714	420
764	430
815	440
859	450
922	460
972	470
1022	480
1063	490
1095	500
1140	510
1182	520
1223	530
1274	540
1349	550
1404	560
1464	570

t(s)	1	2	3	4	6	7	9	13	33
h(m)	2.0E-3	2.5E-3	3.0E-3	3.5E-3	4.0E-3	4.5E-3	5.0E-3	5.5E-3	6.5E-3

Q=4.71*10-6(m3/s)

t(s)	12	30	63	116	155	215
V(ml)	50	100	150	200	220	240

t(s)	1	2	3	4	6	11
h(m)	1.0E-3	1.5E-3	2.0E-3	2.5E-3	3.0E-3	3.5E-3

Q=6.06*10-6(m3/s)

t(s)	V(ml)
9	50
21	100
38	150
61	200
97	250
115	270
140	290
155	300
173	310
194	320
219	330
252	340
302	350
368	360
468	370
621	380
719	390
788	400
879	410
957	420
1043	430

t(s)	1	2	3	4	5	6	8	11	18
h(m)	2.0E-3	2.5E-3	3.0E-3	3.5E-3	4.0E-3	4.5E-3	5.0E-3	5.5E-3	6.0E-3

Q=4.47*10-6(m3/s)

t(s)	16	43	131	168	228	349
V(ml)	50	100	150	160	170	180

t(s)	1	2	3	5	8
h(m)	1.0E-3	1.5E-3	2.0E-3	2.5E-3	3.0E-3

No hemos usado las mismas unidades en el eje de las “y”, porqué como sabemos la altura y el volumen se relacionan directamente. En nuestro experimento se ha tenido en cuenta que: 100ml" 3.4 cm.

Como se puede ver existe una concordancia bastante aceptable entre los datos experimentales y los teóricos, i.e., el sistema se ajusta a las ecuaciones bibliográficas.

Utilizando la relación anterior entre volúmenes y alturas, se puede calcular la altura de equilibrio de cada caso estudiado, así:

Caudal(m3/s)	Volumen(ml)	Altura equilibrio (cm)
4.47E-6	180	6.12
4.71E-6	250	8.5
5.19E-6	235	7.99
6.06E-6	440	14.96
6.22E-6	585	19.89

CONCLUSIONES

Se puede concluir que los datos se ajustan bastante bien a las ecuaciones bibliográficas, con lo que es de esperar que no hemos cometido grandes errores de operación.

BIBLIOGRAFÍA

• Costa López, J. “Curso de Química Técnica”, pags.(296 a 304). ed. Reverté, Madrid (1988)

• Costa Novella, E. “Ingeniería Química. vol. 3.Flujo de Fluidos”, pags. (128 y 129), ed. Alhambra, Madrid (1985)