UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

FACULTAD DE INGENIERIAS

ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA AUTOMOTRIZ

ELECTRONICA II

Practica II

Tema: Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND

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REALIZADO POR:

CURSO:

Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND

1) Objetivos:

• Utilizar los teoremas del algebra Booleana para simplificar expresiones lógicas.

• Implementar el circuito base, el circuito simplificado y el circuito solo con NAND comprobando así que los tres son equivalentes.

2) Materiales:

• 4 resistencias 1k ½ w

• 4 Diodos LED (ILED=15mA)

• Transistor NPN 2N3904

• 1 Deep switch

• Compuertas lógicas: NOT, OR, AND, y NAND

• Cable para circuitos, pinza, corta frío.

• Fuente de 5Vcc

3) Marco Teórico:

Teoremas Boléanos:

Son un conjunto de reglas que nos pueden ayudar a simplificar las expresiones y los circuitos lógicos.

A continuación se muestran dichos teoremas.

En el teorema (1) se enuncia que si cualquier variable se opera con AND y con un 0 el resu1táo debe ser 0. Esto es fácil de recordar porque la operación AND es igual que la multiplicación común, en donde cualquier número que se multiplica por 0 es 0. Asimismo, se sabe que la salida de una compuerta AND será 0 siempre que cualquier salida sea 0, sin importar el nivel de la otra entrada.

El teorema (2) también es obvio en comparación con la multiplicación común.

El teorema (3) puede ser demostrado ensayando cada caso. Si x=0, entonces 0.0 = 0; si x = 1, entonces 1.1 = 1. Por lo tanto, x . x = x.

El teorema (4) se puede demostrar en la misma forma. Sin embargo, también se puede razonar que en cualquier momento x o su inversoøx tiene que estar en el nivel 0 y por ende su producto AND siempre debe ser 0.

El teorema (5) es directo, ya que 0 sumado a cualquier número no afecta su valor, ya sea en la suma regular ó en una suma OR.

El teorema (6) estipula que si cualquier variable se opera con OR con 1, el resultado siempre será 1. Si verificamos esto para ambos valores de x; 0 + 1 = 1 y 1 + 1=1. De manera equivalente se puede recordar que la salida de una compuerta OR será 1 cuando cualquier entrada sea 1, independientemente del valor de la otra entrada.

El teorema (7) se puede demostrar verificando ambos valores de x; 0 + 0 = 0 y 1 + 1 = 1.

El teorema (8) se puede demostrar de forma similar, o simplemente podemos razonar que en cualquier momento x oøx debe estar en el nivel 1, de manera que siempre se opere con OR un 0 y un 1, lo cual da como resultado 1.

Teoremas con variables múltiples.

Los teoremas que se presentan a continuación implican más de una variable.

Los teoremas (9) y (10) se llaman leyes conmutativas. Estas leyes indican que no importa el orden en que se operen dos variables con OR o con AND, el resultado es el mismo.

9) x + y = y + x

10) x . y = y . x

Los teoremas (11) y (12) son las leyes asociativas, las cuales afirman que se pueden agrupar las variables en una expresión AND o en una OR en cualquier forma que se desee.

11) x + (y + z) = (x + y) +z = x + y + z

12) x(yz) = (xy)z = xyz

El teorema (13) es la ley distributiva, la cual estipula que una expresión se puede desarrollar multiplicando término por término, como en el álgebra común.

13a) x(y + z) = xy + xz

13b) (w + x)(y + z) = wy + xy + wz + xz

Los teoremas anteriores son simple de entender pues obedecen al algebra común a diferencia de los que se muestran a continuación:

14) x + xy = x

15a) x +øxy = x + y

15b) øx + xy =øx + y

Teoremas de DeMorgan

Estos teoremas son de gran utilidad para simplificar expresiones en las que se invierte un producto o una suma de variables. Los teoremas son:

16) )

17) )

Implicaciones del teorema de DeMorgan.

Considerando el teorema 16

)

El lado izquierdo de la ecuación se puede tomar como la salida de una compuerta NOR cuyas entradas son x y . Por otra parte, el lado derecho de la ecuación es el resultado de primero invertir x y  y luego pasarlas a través de una compuerta AND. Estas representaciones son equivalentes como se ilustra en las figuras.

Ahora consideramos el teorema 17

)

El lado izquierdo de la ecuación se puede implementar con una compuerta NAND con entradas x y . El lado derecho de la ecuación se puede llevar a cabo invirtiendo primero las entradas x y , y luego pasándolas a través de una compuerta OR, estas representaciones son equivalentes y se muestran a continuación:

Universalidad de las compuertas NAND y NOR.

Estas compuertas se dicen que son "universales" puesto que con cada una de las dos familias podemos realizar todas las funciones lógicas.

En la tabla a continuación se muestran los operadores lógicos en función de solo compuertas NOR y solo compuertas NAND.

Representaciones alternas de compuertas lógicas.

Se han introducido las cinco compuertas lógicas básicas (ANO, OR, INVERSOR, NAND y NOR) y los símbolos lógicos estándar que se usan para representarlas en diagramas de circuitos lógicos.

En el lado izquierdo de la ilustración se muestra el símbolo estándar para cada compuerta lógica y en el lado derecho, el símbolo alterno, El símbolo alterno para cada una, puerta se obtiene a partir del símbolo estándar llevando a cabo lo siguiente:

1. Se invierte cada entrada y salida del símbolo estándar. Esto se hace agregando burbujas (círculos pequeños) en las líneas de entrada y salida que no tengan burbujas, y se remueven las que se encuentren allí.

2. Se cambia el símbolo de la operación de AND a OR, o de OR a NAND). (En el caso especial del INVERSOR, el símbolo de la operación no se cambia.)

Se deben destacar varios puntos con respecto a las equivalencias de los símbolos lógicos:

1. Las equivalencias se pueden extender a compuertas con cualquier número de entradas.

2. Ninguno de los símbolos estándar tiene burbujas en sus entradas, pero sí todos los símbolos alternos.

3. Los símbolos estándar y alternos para cada compuerta representan al mismo circuito físico: no hay diferencia en los circuitos que representan los dos símbolos,

4. Las compuertas NAND y NOR son compuertas de inversión, y por lo tanto, los símbolos estándar y alternos para cada una tendrán una burbuja, ya sea en la entrada o en la salida. Las compuertas AND y OR son compuertas no inverso- ras, por lo cual los símbolos alternos para cada una tendrán burbujas en las entradas y en la salida.

4) Procedimiento:

a) Armar el siguiente circuito utilizando solamente compuertas NOT, OR, AND, y comprobar su tabla de verdad. Utilizar LED en cada ingreso y en la salida para visualizar los estados.

Expresión lógica: x= ABC + AB(AC)

Circuito completo:

Tabla de verdad

Entradas			Salida
A	B	C	Estado Lógico	V. Medido	Estado del LED
0	0	0	0	0.27	Apagado
0	0	1	0	0.26	Apagado
0	1	0	0	0.26	Apagado
0	1	1	0	0.27	Apagado
1	0	0	1	2.36	Encendido
1	0	1	1	2.37	Encendido
1	1	0	0	0.26	Apagado
1	1	1	1	2.37	Encendido

b) Ahora simplificamos la expresión lógica dada: x = ABC + AB(AC)

x = ABC + AB(A+C)

x = ABC + AAB + ABC

x = ABC + AB + ABC

x = ABC + AB(1 + C)

x = ABC + AB

x = A(BC + B)

x = A(B + C)

x = AB + AC

Expresión lógica simplificada (suma de productos): x = AB + AC

Circuito simplificado:

Tabla de verdad.

Entradas			Salida
A	B	C	Estado Lógico	V. Medido	Estado del LED
0	0	0	0	0.25	Apagado
0	0	1	0	0.24	Apagado
0	1	0	0	0.25	Apagado
0	1	1	0	0.28	Apagado
1	0	0	1	2.56	Encendido
1	0	1	1	2.57	Encendido
1	1	0	0	0.24	Apagado
1	1	1	1	2.57	Encendido

c) pasar la expresión logica simplificada a compuertas NAND e implemente el circuito utilizando solo ese tipo de compuerta (7400)

Expresión lógica simplificada: x = AB + AC

Proceso algebraico para NAND:

x = AB + AC

x = (AB)(AC)

Expresión lógica solo con NAND: x = (AB)(AC)

Circuito solo NAND:

Tabla de verdad:

Entradas			Salida
A	B	C	Estado Lógico	V. Medido	Estado del LED
0	0	0	0	0.24	Apagado
0	0	1	0	0.26	Apagado
0	1	0	0	0.27	Apagado
0	1	1	0	0.26	Apagado
1	0	0	1	2.58	Encendido
1	0	1	1	2.57	Encendido
1	1	0	0	0.25	Apagado
1	1	1	1	2.57	Encendido

d) Diagrama de estados:

Circuito con la expresión original:

Circuito Simplificado

Circuito solo NAND

Simulación del circuito solo con NAND:

Entradas			Salida
A	B	C	Estado Lógico	V. Medido	Estado del LED
0	0	0	0	0.24	Apagado

Entradas			Salida
A	B	C	Estado Lógico	V. Medido	Estado del LED
0	0	1	0	0.26	Apagado

Entradas			Salida
A	B	C	Estado Lógico	V. Medido	Estado del LED
0	1	1	0	0.26	Apagado

Entradas			Salida
A	B	C	Estado Lógico	V. Medido	Estado del LED
1	0	0	1	2.58	Encendido

Entradas			Salida
A	B	C	Estado Lógico	V. Medido	Estado del LED
1	1	0	0	0.25	Apagado

Entradas			Salida
A	B	C	Estado Lógico	V. Medido	Estado del LED
1	1	1	1	2.58	Encendido

5) Conclusiones:

• Utilizamos los teoremas del algebra Booleana para simplificar expresiones complejas en mas sencillas de manejar.

• Comprobamos la equivalencia entre el circuito original y el simplificado.

• Transformamos la expresión simplificada en una expresión para ser implementada solo con NAND.

• Comprobamos la equivalencia entre los tres circuitos, quedando así también demostrada la universalidad de compuertas NAND.

6) Bibliografía.

• RONALD TOCCI; Sistemas digitales.

• http://buscador.hispavista.es/logica--algebra-de-boole

• http://www.ncc.up.pt/~zp/aulas/9899/me/trabalhos/ alunos/circuitos_logicos/algboole.html