Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND

Electrónica. Diseño de Circuitos. Sistemas Electrónicos. Circuitos lógicos. Compuertas. Teoremas Boléanos. Teoremas de Morgan

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UNIVERSIDAD POLITECNICA SALESIANA

FACULTAD DE INGENIERIAS

ESCUELA DE INGENIERIA MECANICA AUTOMOTRIZ

ELECTRONICA II

Practica II

Tema: Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND

PROFESOR:

REALIZADO POR:

CURSO:

Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND

1) Objetivos:

  • Utilizar los teoremas del algebra Booleana para simplificar expresiones lógicas.

  • Implementar el circuito base, el circuito simplificado y el circuito solo con NAND comprobando así que los tres son equivalentes.

2) Materiales:

  • 4 resistencias 1k ½ w

  • 4 Diodos LED (ILED=15mA)

  • Transistor NPN 2N3904

  • 1 Deep switch

  • Compuertas lógicas: NOT, OR, AND, y NAND

  • Cable para circuitos, pinza, corta frío.

  • Fuente de 5Vcc

3) Marco Teórico:

Teoremas Boléanos:

Son un conjunto de reglas que nos pueden ayudar a simplificar las expresiones y los circuitos lógicos.

A continuación se muestran dichos teoremas.

En el teorema (1) se enuncia que si cualquier variable se opera con AND y con un 0 el resu1táo debe ser 0. Esto es fácil de recordar porque la operación AND es igual que la multiplicación común, en donde cualquier número que se multiplica por 0 es 0. Asimismo, se sabe que la salida de una compuerta AND será 0 siempre que cualquier salida sea 0, sin importar el nivel de la otra entrada.

'Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND'

El teorema (2) también es obvio en comparación con la multiplicación común.

El teorema (3) puede ser demostrado ensayando cada caso. Si x=0, entonces 0.0 = 0; si x = 1, entonces 1.1 = 1. Por lo tanto, x . x = x.

El teorema (4) se puede demostrar en la misma forma. Sin embargo, también se puede razonar que en cualquier momento x o su inversoøx tiene que estar en el nivel 0 y por ende su producto AND siempre debe ser 0.

El teorema (5) es directo, ya que 0 sumado a cualquier número no afecta su valor, ya sea en la suma regular ó en una suma OR.

El teorema (6) estipula que si cualquier variable se opera con OR con 1, el resultado siempre será 1. Si verificamos esto para ambos valores de x; 0 + 1 = 1 y 1 + 1=1. De manera equivalente se puede recordar que la salida de una compuerta OR será 1 cuando cualquier entrada sea 1, independientemente del valor de la otra entrada.

El teorema (7) se puede demostrar verificando ambos valores de x; 0 + 0 = 0 y 1 + 1 = 1.

El teorema (8) se puede demostrar de forma similar, o simplemente podemos razonar que en cualquier momento x oøx debe estar en el nivel 1, de manera que siempre se opere con OR un 0 y un 1, lo cual da como resultado 1.

Teoremas con variables múltiples.

Los teoremas que se presentan a continuación implican más de una variable.

Los teoremas (9) y (10) se llaman leyes conmutativas. Estas leyes indican que no importa el orden en que se operen dos variables con OR o con AND, el resultado es el mismo.

9) x + y = y + x

10) x . y = y . x

Los teoremas (11) y (12) son las leyes asociativas, las cuales afirman que se pueden agrupar las variables en una expresión AND o en una OR en cualquier forma que se desee.

11) x + (y + z) = (x + y) +z = x + y + z

12) x(yz) = (xy)z = xyz

El teorema (13) es la ley distributiva, la cual estipula que una expresión se puede desarrollar multiplicando término por término, como en el álgebra común.

13a) x(y + z) = xy + xz

13b) (w + x)(y + z) = wy + xy + wz + xz

Los teoremas anteriores son simple de entender pues obedecen al algebra común a diferencia de los que se muestran a continuación:

14) x + xy = x

15a) x +øxy = x + y

15b) øx + xy =øx + y

Teoremas de DeMorgan

Estos teoremas son de gran utilidad para simplificar expresiones en las que se invierte un producto o una suma de variables. Los teoremas son:

16) )

17) )

Implicaciones del teorema de DeMorgan.

Considerando el teorema 16

)

El lado izquierdo de la ecuación se puede tomar como la salida de una compuerta NOR cuyas entradas son x y . Por otra parte, el lado derecho de la ecuación es el resultado de primero invertir x y  y luego pasarlas a través de una compuerta AND. Estas representaciones son equivalentes como se ilustra en las figuras.

Ahora consideramos el teorema 17

)

El lado izquierdo de la ecuación se puede implementar con una compuerta NAND con entradas x y . El lado derecho de la ecuación se puede llevar a cabo invirtiendo primero las entradas x y , y luego pasándolas a través de una compuerta OR, estas representaciones son equivalentes y se muestran a continuación:

Universalidad de las compuertas NAND y NOR.

Estas compuertas se dicen que son "universales" puesto que con cada una de las dos familias podemos realizar todas las funciones lógicas.

En la tabla a continuación se muestran los operadores lógicos en función de solo compuertas NOR y solo compuertas NAND.

'Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND'

Representaciones alternas de compuertas lógicas.

Se han introducido las cinco compuertas lógicas básicas (ANO, OR, INVERSOR, NAND y NOR) y los símbolos lógicos estándar que se usan para representarlas en diagramas de circuitos lógicos.

'Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND'

En el lado izquierdo de la ilustración se muestra el símbolo estándar para cada compuerta lógica y en el lado derecho, el símbolo alterno, El símbolo alterno para cada una, puerta se obtiene a partir del símbolo estándar llevando a cabo lo siguiente:

1. Se invierte cada entrada y salida del símbolo estándar. Esto se hace agregando burbujas (círculos pequeños) en las líneas de entrada y salida que no tengan burbujas, y se remueven las que se encuentren allí.

2. Se cambia el símbolo de la operación de AND a OR, o de OR a NAND). (En el caso especial del INVERSOR, el símbolo de la operación no se cambia.)

Se deben destacar varios puntos con respecto a las equivalencias de los símbolos lógicos:

1. Las equivalencias se pueden extender a compuertas con cualquier número de entradas.

2. Ninguno de los símbolos estándar tiene burbujas en sus entradas, pero sí todos los símbolos alternos.

3. Los símbolos estándar y alternos para cada compuerta representan al mismo circuito físico: no hay diferencia en los circuitos que representan los dos símbolos,

4. Las compuertas NAND y NOR son compuertas de inversión, y por lo tanto, los símbolos estándar y alternos para cada una tendrán una burbuja, ya sea en la entrada o en la salida. Las compuertas AND y OR son compuertas no inverso- ras, por lo cual los símbolos alternos para cada una tendrán burbujas en las entradas y en la salida.

4) Procedimiento:

a) Armar el siguiente circuito utilizando solamente compuertas NOT, OR, AND, y comprobar su tabla de verdad. Utilizar LED en cada ingreso y en la salida para visualizar los estados.

Expresión lógica: x= ABC + AB(AC)

Circuito completo:

'Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND'

Tabla de verdad

Entradas

Salida

A

B

C

Estado Lógico

V. Medido

Estado del LED

0

0

0

0

0.27

Apagado

0

0

1

0

0.26

Apagado

0

1

0

0

0.26

Apagado

0

1

1

0

0.27

Apagado

1

0

0

1

2.36

Encendido

1

0

1

1

2.37

Encendido

1

1

0

0

0.26

Apagado

1

1

1

1

2.37

Encendido

b) Ahora simplificamos la expresión lógica dada: x = ABC + AB(AC)

x = ABC + AB(A+C)

x = ABC + AAB + ABC

x = ABC + AB + ABC

x = ABC + AB(1 + C)

x = ABC + AB

x = A(BC + B)

x = A(B + C)

x = AB + AC

Expresión lógica simplificada (suma de productos): x = AB + AC

Circuito simplificado:

Tabla de verdad.

Entradas

Salida

A

B

C

Estado Lógico

V. Medido

Estado del LED

0

0

0

0

0.25

Apagado

0

0

1

0

0.24

Apagado

0

1

0

0

0.25

Apagado

0

1

1

0

0.28

Apagado

1

0

0

1

2.56

Encendido

1

0

1

1

2.57

Encendido

1

1

0

0

0.24

Apagado

1

1

1

1

2.57

Encendido

c) pasar la expresión logica simplificada a compuertas NAND e implemente el circuito utilizando solo ese tipo de compuerta (7400)

Expresión lógica simplificada: x = AB + AC

Proceso algebraico para NAND:

x = AB + AC

x = (AB)(AC)

Expresión lógica solo con NAND: x = (AB)(AC)

Circuito solo NAND:

Tabla de verdad:

Entradas

Salida

A

B

C

Estado Lógico

V. Medido

Estado del LED

0

0

0

0

0.24

Apagado

0

0

1

0

0.26

Apagado

0

1

0

0

0.27

Apagado

0

1

1

0

0.26

Apagado

1

0

0

1

2.58

Encendido

1

0

1

1

2.57

Encendido

1

1

0

0

0.25

Apagado

1

1

1

1

2.57

Encendido

d) Diagrama de estados:

Circuito con la expresión original:

'Simplificación de circuitos lógicos y universalidad de compuertas NAND'

Circuito Simplificado

Circuito solo NAND

Simulación del circuito solo con NAND:

Entradas

Salida

A

B

C

Estado Lógico

V. Medido

Estado del LED

0

0

0

0

0.24

Apagado

Entradas

Salida

A

B

C

Estado Lógico

V. Medido

Estado del LED

0

0

1

0

0.26

Apagado

Entradas

Salida

A

B

C

Estado Lógico

V. Medido

Estado del LED

0

1

1

0

0.26

Apagado

Entradas

Salida

A

B

C

Estado Lógico

V. Medido

Estado del LED

1

0

0

1

2.58

Encendido

Entradas

Salida

A

B

C

Estado Lógico

V. Medido

Estado del LED

1

1

0

0

0.25

Apagado

Entradas

Salida

A

B

C

Estado Lógico

V. Medido

Estado del LED

1

1

1

1

2.58

Encendido

5) Conclusiones:

  • Utilizamos los teoremas del algebra Booleana para simplificar expresiones complejas en mas sencillas de manejar.

  • Comprobamos la equivalencia entre el circuito original y el simplificado.

  • Transformamos la expresión simplificada en una expresión para ser implementada solo con NAND.

  • Comprobamos la equivalencia entre los tres circuitos, quedando así también demostrada la universalidad de compuertas NAND.

6) Bibliografía.

  • RONALD TOCCI; Sistemas digitales.

  • http://buscador.hispavista.es/logica--algebra-de-boole

  • http://www.ncc.up.pt/~zp/aulas/9899/me/trabalhos/ alunos/circuitos_logicos/algboole.html