Serie de Fourier y transformada de Laplace

Matemáticas. Aritmética. Funciones. Intervalos. Trigonometría. Vectores. Integrales. Transformada inversa. Teoremas de traslación

  • Enviado por: Miguel Ángel Martínez Durán
  • Idioma: castellano
  • País: México México
  • 10 páginas
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Universidad Interamericana del Norte

Materia: Matemáticas

Alumno: Miguel Ángel Martínez Durán

Tema: Serie de Fourier y Transformada de Laplace Serie de Fourier generalizada

Supongamos que 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
0, 1, 2,..., para el cual

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

Entonces los coeficientes que buscamos son

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

En otras palabras, 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(1)

En la que 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(2)

La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(3)

El conjunto de funciones

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(1)

es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(2)

Entonces, los coeficientes 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.

Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde -p hasta p, se obtiene

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(3)

Como cada función 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
, 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

Al despejar 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
se obtiene

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(4)

Ahora multipliquemos la ecuación (2) por 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
e integremos:

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(5)

por la ortogonalidad tenemos que

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

y

Entonces la ecuación 5 se reduce a 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

Y así 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(6)

Por último si multiplicamos a (2) por 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
, integramos y aplicamos los resultados

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

llegamos a 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(7)

La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(8)

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(9)

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(10)

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
(11)

Series de Fourier de cosenos y de senos

Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

.

En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),

'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
, n=0,1,2,..., 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

Resumiendo quedaría de la siguiente manera:

  • La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos

  • 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    en que 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie . de senos

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    en donde 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Transformada de Laplace

    Definición básica. Si f(t) está definida cuando 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    , la integral impropia 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    se define como un límite:

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Si existe un límite se dice que la integral existe o que es convergente, si no existe el límite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general el límite anterior existe sólo para ciertos valores de la variable s. La situación 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    proporciona una transformación lineal muy importante:

    Sea f una función definida para 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    . Entonces la integral

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja.

    Evaluar L{1}.

    Solución 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    L 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    es una transformada lineal, para una suma de funciones se puede escribir

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente,

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad señalada en la función anterior

    Condiciones suficientes para la existencia

    Si f (t) es continua por tramos en el intervalo 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    y de orden exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe para s>c.

    Demostración 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    La integral 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    es continua. Ahora

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    cuando s>c. Como 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    converge, la integral 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. Esto a su vez, implica que 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    existe para s>c. La existencia de 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    e 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    implica que 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    existe cuando s>c.

    Transformadas de algunas funciones básicas

    a) 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    b) 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    c) 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    d) 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    e) f) 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    g) 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Transformada inversa

    Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Algunas transformadas inversas

    a) b)

    c) d)

    e) f)

    g)

    es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    y 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    son constantes,

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

    La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    y, sin embargo, 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    .

    Comportamiento de F(s) cuando 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Si f(t) es continua por tramos en 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    y de orden exponencial para t>T, entonces 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Demostración Dado que f(t) es continua parte por parte en 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    , necesariamente es acotada en el intervalo; o sea 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    . También 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    cuando t>T. Si M representa el máximo de 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    y c indica el máximo de 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    , entonces

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    para s>c. Cuando 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    ,
    se tiene que 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    , de modo que 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    .

    Teoremas de traslación

    Primer teorema de traslación

    Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Demostración La demostración es inmediata

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Segundo teorema de traslación

    Si 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    y a>0, entonces

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Demostración Expresamos a 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    como la suma de dos integrales:

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    .

    Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y entonces

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Derivadas de transformadas

    Si 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    y n=1,2,3,..., entonces

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Transformada de una derivada

    Si f(t), f'(t),..., 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    son continuas en 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    , son de orden exponencial, y si 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    es continua parte por parte 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    , entonces

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    en donde 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Teorema de la convolución

    Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    y de orden exponencial,

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Demostración Sean

    Y .

    Al proceder formalmente obtenemos

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Mantenemos fija 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    y escribimos 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    , de modo que

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Transformada de una función periódica

    Si f(t) es continua por tramos en 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    , de orden exponencial y periódica con periodo T,

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    (a)

    Demostración Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    (b)

    Escribiendo t=u+T, la última de las integrales de (a) se transforma en

    'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Por consiguiente, la ecuación (b) es 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'

    Al despejar 'Serie de Fourier y transformada de Laplace'
    se llega al resultado de la ecuación (a).

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