Serie de Fourier y transformada de Laplace

Funciones. Series senos y cosenos. Función par e impar. Transformadas lineales. Inversa. Traslación. Convolución. Periódicas

  • Enviado por: Miguel Ángel Martínez Durán
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 10 páginas

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Tema: Serie de Fourier y Transformada de Laplace Serie de Fourier generalizada

Supongamos que Serie de Fourier y transformada de Laplace
es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes Serie de Fourier y transformada de Laplace
0, 1, 2,..., para el cual

Serie de Fourier y transformada de Laplace

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes Serie de Fourier y transformada de Laplace
mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por Serie de Fourier y transformada de Laplace
e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene

Serie de Fourier y transformada de Laplace

Serie de Fourier y transformada de Laplace

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos

Serie de Fourier y transformada de Laplace

Entonces los coeficientes que buscamos son

Serie de Fourier y transformada de Laplace

En otras palabras, Serie de Fourier y transformada de Laplace
(1)

En la que Serie de Fourier y transformada de Laplace
(2)

La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es

Serie de Fourier y transformada de Laplace
(3)

El conjunto de funciones

Serie de Fourier y transformada de Laplace
(1)

es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica

Serie de Fourier y transformada de Laplace
(2)

Entonces, los coeficientes Serie de Fourier y transformada de Laplace
pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.

Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde -p hasta p, se obtiene

Serie de Fourier y transformada de Laplace
(3)

Como cada función Serie de Fourier y transformada de Laplace
, Serie de Fourier y transformada de Laplace
n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,

Serie de Fourier y transformada de Laplace

Al despejar Serie de Fourier y transformada de Laplace
se obtiene

Serie de Fourier y transformada de Laplace
(4)

Ahora multipliquemos la ecuación (2) por Serie de Fourier y transformada de Laplace
e integremos:

Serie de Fourier y transformada de Laplace
(5)

por la ortogonalidad tenemos que

Serie de Fourier y transformada de Laplace

Serie de Fourier y transformada de Laplace

y

Entonces la ecuación 5 se reduce a Serie de Fourier y transformada de Laplace

Y así Serie de Fourier y transformada de Laplace
(6)

Por último si multiplicamos a (2) por Serie de Fourier y transformada de Laplace
, integramos y aplicamos los resultados

Serie de Fourier y transformada de Laplace

Serie de Fourier y transformada de Laplace

Serie de Fourier y transformada de Laplace

llegamos a Serie de Fourier y transformada de Laplace
(7)

La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es

Serie de Fourier y transformada de Laplace
(8)

Serie de Fourier y transformada de Laplace
(9)

Serie de Fourier y transformada de Laplace
(10)

Serie de Fourier y transformada de Laplace
(11)

Series de Fourier de cosenos y de senos

Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en

Serie de Fourier y transformada de Laplace
Serie de Fourier y transformada de Laplace

Serie de Fourier y transformada de Laplace

.

En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),

Serie de Fourier y transformada de Laplace
, n=0,1,2,..., Serie de Fourier y transformada de Laplace

Resumiendo quedaría de la siguiente manera:

  • La serie de Fourier de una función par en el intervalo (-p,p) es la serie de cosenos

  • Serie de Fourier y transformada de Laplace

    en que Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie . de senos

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    en donde Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Transformada de Laplace

    Definición básica. Si f(t) está definida cuando Serie de Fourier y transformada de Laplace
    , la integral impropia Serie de Fourier y transformada de Laplace
    se define como un límite:

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Si existe un límite se dice que la integral existe o que es convergente, si no existe el límite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general el límite anterior existe sólo para ciertos valores de la variable s. La situación Serie de Fourier y transformada de Laplace
    proporciona una transformación lineal muy importante:

    Sea f una función definida para Serie de Fourier y transformada de Laplace
    . Entonces la integral

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja.

    Evaluar L{1}.

    Solución Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    L Serie de Fourier y transformada de Laplace
    es una transformada lineal, para una suma de funciones se puede escribir

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente,

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad señalada en la función anterior

    Condiciones suficientes para la existencia

    Si f (t) es continua por tramos en el intervalo Serie de Fourier y transformada de Laplace
    y de orden exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe para s>c.

    Demostración Serie de Fourier y transformada de Laplace

    La integral Serie de Fourier y transformada de Laplace
    existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que Serie de Fourier y transformada de Laplace
    es continua. Ahora

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    cuando s>c. Como Serie de Fourier y transformada de Laplace
    converge, la integral Serie de Fourier y transformada de Laplace
    converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. Esto a su vez, implica que Serie de Fourier y transformada de Laplace
    existe para s>c. La existencia de Serie de Fourier y transformada de Laplace
    e Serie de Fourier y transformada de Laplace
    implica que Serie de Fourier y transformada de Laplace
    existe cuando s>c.

    Transformadas de algunas funciones básicas

    a) Serie de Fourier y transformada de Laplace
    b) Serie de Fourier y transformada de Laplace

    c) Serie de Fourier y transformada de Laplace
    d) Serie de Fourier y transformada de Laplace

    e) f) Serie de Fourier y transformada de Laplace

    g) Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Transformada inversa

    Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Algunas transformadas inversas

    a) b)

    c) d)

    e) f)

    g)

    es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si Serie de Fourier y transformada de Laplace
    y Serie de Fourier y transformada de Laplace
    son constantes,

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

    La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que Serie de Fourier y transformada de Laplace
    y, sin embargo, Serie de Fourier y transformada de Laplace
    .

    Comportamiento de F(s) cuando Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Si f(t) es continua por tramos en Serie de Fourier y transformada de Laplace
    y de orden exponencial para t>T, entonces Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Demostración Dado que f(t) es continua parte por parte en Serie de Fourier y transformada de Laplace
    , necesariamente es acotada en el intervalo; o sea Serie de Fourier y transformada de Laplace
    . También Serie de Fourier y transformada de Laplace
    cuando t>T. Si M representa el máximo de Serie de Fourier y transformada de Laplace
    y c indica el máximo de Serie de Fourier y transformada de Laplace
    , entonces

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    para s>c. Cuando Serie de Fourier y transformada de Laplace
    , se tiene que Serie de Fourier y transformada de Laplace
    , de modo que Serie de Fourier y transformada de Laplace
    .

    Teoremas de traslación

    Primer teorema de traslación

    Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Demostración La demostración es inmediata

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Segundo teorema de traslación

    Si Serie de Fourier y transformada de Laplace
    y a>0, entonces

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Demostración Expresamos a Serie de Fourier y transformada de Laplace
    como la suma de dos integrales:

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Serie de Fourier y transformada de Laplace
    .

    Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y entonces

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Derivadas de transformadas

    Si Serie de Fourier y transformada de Laplace
    y n=1,2,3,..., entonces

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Transformada de una derivada

    Si f(t), f'(t),..., Serie de Fourier y transformada de Laplace
    son continuas en Serie de Fourier y transformada de Laplace
    , son de orden exponencial, y si Serie de Fourier y transformada de Laplace
    es continua parte por parte Serie de Fourier y transformada de Laplace
    , entonces

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    en donde Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Teorema de la convolución

    Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en Serie de Fourier y transformada de Laplace
    y de orden exponencial,

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Demostración Sean

    Y .

    Al proceder formalmente obtenemos

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Mantenemos fija Serie de Fourier y transformada de Laplace
    y escribimos Serie de Fourier y transformada de Laplace
    , de modo que

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Transformada de una función periódica

    Si f(t) es continua por tramos en Serie de Fourier y transformada de Laplace
    , de orden exponencial y periódica con periodo T,

    Serie de Fourier y transformada de Laplace
    (a)

    Demostración Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:

    Serie de Fourier y transformada de Laplace
    (b)

    Escribiendo t=u+T, la última de las integrales de (a) se transforma en

    Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Por consiguiente, la ecuación (b) es Serie de Fourier y transformada de Laplace

    Al despejar Serie de Fourier y transformada de Laplace
    se llega al resultado de la ecuación (a).

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