Serie de Fourier y transformada de Laplace

Tema: Serie de Fourier y Transformada de Laplace Serie de Fourier generalizada

Supongamos que
es un conjunto infinito ortogonal de funciones en un intervalo [a,b]. Nos preguntamos: si y=f(x) es una función definida en el intervalo [a,b], ¿será posible determinar un conjunto de coeficientes
0, 1, 2,..., para el cual

Como en la descripción anterior, cuando determinamos los componentes de un vector, también podemos determinar los coeficientes
mediante el producto interno. Al multiplicar la ecuación anterior por
e integrar en el intervalo [a,b] se obtiene

Debido a la ortogonalidad, cada término del lado derecho de la última ecuación es cero, excepto cuando m=n. En este caso tendremos

Entonces los coeficientes que buscamos son

En otras palabras,
(1)

En la que
(2)

La ecuación 2, en notación de producto interno ( o producto punto ), es

(3)

El conjunto de funciones

(1)

es ortogonal en el intervalo [-p,p], supongamos que f es una función definida en el intervalo [-p,p] que se puede desarrollar en la serie trigonométrica

(2)

Entonces, los coeficientes
pueden determinar tal como describimos para la serie de Fourier generalizada en la sección anterior.

Al integrar ambos lados de la ecuación (2), desde -p hasta p, se obtiene

(3)

Como cada función
,
n>1, es ortogonal a 1 en el intervalo, el lado derecho de (3) se reduce a un solo término y, en consecuencia,

Al despejar
se obtiene

(4)

Ahora multipliquemos la ecuación (2) por
e integremos:

(5)

por la ortogonalidad tenemos que

y

Entonces la ecuación 5 se reduce a

Y así
(6)

Por último si multiplicamos a (2) por
, integramos y aplicamos los resultados

llegamos a
(7)

La serie de Fourier de una función definida en el intervalo (-p,p) es

(8)

(9)

(10)

(11)

Series de Fourier de cosenos y de senos

Si f es una función par en (-p,p), entonces en vista de las propiedades anteriores, los coeficientes de (9),(10) y (11) se transforman en

.

En forma parecida, cuando f es impar en el intervalo (-p,p),

, n=0,1,2,...,

Resumiendo quedaría de la siguiente manera:

en que

b) La serie de Fourier de una función impar en el intervalo (-p,p) es la serie . de senos

en donde

Transformada de Laplace

Definición básica. Si f(t) está definida cuando
, la integral impropia
se define como un límite:

Si existe un límite se dice que la integral existe o que es convergente, si no existe el límite, la integral no existe y se dice que es divergente. En general el límite anterior existe sólo para ciertos valores de la variable s. La situación
proporciona una transformación lineal muy importante:

Sea f una función definida para
. Entonces la integral

se llama transformada de Laplace de f, siempre y cuando la integral converja.

Evaluar L{1}.

Solución

L
es una transformada lineal, para una suma de funciones se puede escribir

siempre que las dos integrales converjan; por consiguiente,

Se dice que L es una transformada lineal debido a la propiedad señalada en la función anterior

Condiciones suficientes para la existencia

Si f (t) es continua por tramos en el intervalo
y de orden exponencial c para t>T, entonces L {f(t)} existe para s>c.

Demostración

La integral
existe, porque se puede expresar como una suma de integrales sobre intervalos en que
es continua. Ahora

cuando s>c. Como
converge, la integral
converge, de acuerdo con la prueba de comparación para integrales impropias. Esto a su vez, implica que
existe para s>c. La existencia de
e
implica que
existe cuando s>c.

Transformadas de algunas funciones básicas

a)
b)

c)
d)

e) f)

g)

Transformada inversa

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:

Algunas transformadas inversas

a) b)

c) d)

e) f)

g)

es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si
y
son constantes,

en donde F y G son las transformadas de las funciones f y g.

La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que
y, sin embargo,
.

Comportamiento de F(s) cuando

Si f(t) es continua por tramos en
y de orden exponencial para t>T, entonces

Demostración Dado que f(t) es continua parte por parte en
, necesariamente es acotada en el intervalo; o sea
. También
cuando t>T. Si M representa el máximo de
y c indica el máximo de
, entonces

para s>c. Cuando
, se tiene que
, de modo que
.

Teoremas de traslación

Primer teorema de traslación

Si F(s)=L{f(t)} y a es cualquier número real,

Demostración La demostración es inmediata

Segundo teorema de traslación

Si
y a>0, entonces

Demostración Expresamos a
como la suma de dos integrales:

.

Ahora igualamos v=t-a,dv=dt y entonces

Derivadas de transformadas

Si
y n=1,2,3,..., entonces

Transformada de una derivada

Si f(t), f'(t),...,
son continuas en
, son de orden exponencial, y si
es continua parte por parte
, entonces

en donde

Teorema de la convolución

Si f(t) y g(t)son continuas por tramos en
y de orden exponencial,

Demostración Sean

Y .

Al proceder formalmente obtenemos

Mantenemos fija
y escribimos
, de modo que

Transformada de una función periódica

Si f(t) es continua por tramos en
, de orden exponencial y periódica con periodo T,

(a)

Demostración Expresamos la transformada de Laplace como dos integrales:

(b)

Escribiendo t=u+T, la última de las integrales de (a) se transforma en

Por consiguiente, la ecuación (b) es

Al despejar
se llega al resultado de la ecuación (a).

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