Restos cuadráticos

Potencias. Restos cuadráticos. Restos cúbicos

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EJERCICIOS DE RESTOS CUADRATICOS

1.- El número 839.243 es igual a 977 x 859 . Calcular el cuadrado que genera como res-

to cuadrático “R” , sabiendo que R ≡ 591 (módulo 859 ) y R ≡ 598 ( mód. 977 ).

2.-Sabiendo que el resto , R(x) = 304 , y que el resto R(x+10) = 536 , encontrar otro

resto cuadrático , R(y) , que multiplicado por R(x) , nos dé R(x+10) , módulo 1037.

3.-Igualmente,sabiendo que R(x) = 304, y que R(x+10) = 536, hallar el resto cuadrático

R(z) en el que R(x) / R(z) ≡ R(x+10) ( módulo 1037 ).

4.-Dado un número , N= 22257 = 61 x 37 , y un resto cúbico R(3) 2246, hallar el cubo

que lo genera.

5.-Partiendo de N = 1591 = 43 x 37 ,determinar los cuadrados que generan “1” como

resto cuadrático.

6.-Se trata de un número compuesto,N= 714.641 = 983 x 727 . Hallar los cuadrados que

tiene como residuo cuadrático las bases de dichos cuadrados.

7.-Calcular el cuadrado que para módulo 47 ,tiene de resto 37 ,sabiendo que 37 elevado

elevado al cubo es congruente 9 ² , módulo 47.

8.-Hallar el cuadrado que genera como resto, 933 , módulo 1063.-Sabemos que 933 ele-

vado al cubo es congruente 735 ² , para módulo 1063.

9.-Dado el resto cuadrático , R(x) = 78 , de N = 83 , determinar dos restos cuadráticos

cuyo producto tenga como resto cuadrático R(x).

10.-Los cuadrados, 396.221 ² y 17.413.260 ² generan ambos como resto 138.343, para

un módulo de 49.090.351.-Hallar los factores de dicho número .

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SOLUCIONES

Ejercicio 1

N = 977 x 859 = 839.243 ; n ² ≡ R ( mód. 839243 )

R ≡ 591 ( módulo 859 ) R ≡ 598 ( módulo 977 )

591 + 859 a = 598 + 977 b

859 a = 977 ( b + 1) - 970 a = 505 b = 444

591 + (505 x 859 ) = 434.386 R = 434.386

297 ² ≡ 591 ( mód.859 ) 368 ² ≡ 598 ( mód.977 )

297 + 859 a = 368 + 977 b

859 a = 977 ( b + 1 ) - 906

( 822 x 927 ) + 368 = 803.462

803.462 ² 434.386 ( módulo 839.343 )

y también,

368 ─ 297 = 71 859 a = 977 b - 71 a = 42

( 42 x 859 ) ─ 297 = 35781 ² ≡ 434.386 ( módulo 839.243 )

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Ejercicio 2

304 a = 1037 b -536 R(x) . R(y) = R (x+10) x + y - 1 = x + 10

y = 11 R(y) = R(11) 304 a = 1037 b - 536 ; a = 353

1037 ─ 353 = 684 R(11) = 684

304 x 684 ≡ 536 ( módulo 1037 )

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Ejercicio 3

( x-z+1) = x + 1 z = - 11

R(x) / R(z) ≡ R(x+10) ( módulo 1037) ; R(x) ≡ R(x+10) . R(-9) ( módulo 1037 )

R(x) ≡ R(x) ( módulo 1037 ) R(11) = 684 R(-11) = 47

684 x 47 ≡ 1 ( módulo 1037 )

R(11)R(-11) = R(1) ≡ 1 ( módulo 1037 )

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Ejercicio 4

N = 22257 = 61 x 37 Resto cúbico = 2246

2246 ≡ 26 ( módulo 37 ) 2246 ≡ 50 ( módulo 61 )

9 ³ ≡ 26 ( módulo 37 ) 11 ³ ≡ 50 ( módulo 61 )

9 + 37 a = 11 + 61 b 37 a = 61 ( b+1) - 59 a = 5

5 x 37 = 185 185 + 9 = 194

194 ³ ≡ 2246 ( módulo 2257 )

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Ejercicio 5

1591 = 43 x 37 37 a = 43 b ─ 2

a = 29 29 x 37 = 1073

1073 + 1 = 1074

1074 ² ≡ 1 ( módulo 1591 )

1074 = ( 29 x 37 ) + 1 1074 = ( 25 x 43 ) + 1

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Ejercicio 6

N = 983 x 727 = 714.641 927 a = 983 b - 2 a = 192

192 x 727 = 139.584 139.584 + 1= 139.585

139.585 ² ≡ 1 ( módulo 714.641 ) ; 575.056 ² ≡ 1 ( módulo 714.641 )

(575.056 + 714.641 + 1) / 2 = 644.849

644.849 ² ≡ 644.849 ( módulo 714.641 )

el otro cuadrado será ,

714.641 + 1 -644.849 = 69.703

69.793 ² ≡ 69.793 ( módulo 714.641 )

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Ejercicio 7

Partiendo del multiplicador “37” , hallar el otro multiplicador que genera el resto 9 ,

37 a = 47 b - 9 a = 15 47 - 15 = 32

32 x 37 = 1184 ≡ 9 ( módulo 47 )

32 ² ≡ 37 ( módulo 47 )

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Ejercicio 8

Habrá que calcular el segundo multiplicador que genera el “735” , módulo 1063.

933 a = 1063 b - 735 a = 946

1063 - 946 = 117

117 ² ≡ 933 ( módulo 1063 )

Ejercicio 9

N = 83 R(x) = 78

Tomamos un resto cuadrático cualquiera , por ejemplo el 77 ,

83─ 78 = 5 77 a = 83 ( b + 1) - 5

a = 70

70 x 77 ≡ 78 ( módulo 83 )

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Ejercicio 10

396.221 ² ≡ 138.343 ( módulo 49.090.351 )

17.413.260 ² ≡ 138.343 ( módulo 49.090.351 )

a x + 396.221 = 17.413.260 b x + 17.413.260 = 49-486.572

x . y = 49.090.351

a x = 17.017.029 b x = 32.073.312

34.034.078 ─ 32.073.312 = 1.960.766

9 x 1.960.766 = 17.646.894

17.646.894 ─ 17.017.039 = 629.855

  • : 5 = 125.971 1.960.766 - ( 15 x 125.971 ) = 71.201

  • 125.971 - 71,201 = 54.770 54.770 : 10 = 5.477

    N = 49.090.351 = 5.477 x 8963

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