Respuesta en frecuencia

Teoría de control. Electrónica. Óptica. Funciones de transferencia. Transformadas de respuesta y señal. Coordenadas rectangulares y polares

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Respuesta en Frecuencia.

La respuesta en frecuencia, se refiere a la respuesta en estado estable de un sistema sujeto a una señal senosiodal de amplitud fija, pero con una frecuencia que varía con cierto rango.

El procedimiento analítico para determinar la respuesta en frecuencia, es relativamente sencillo y consta de cuatro pasos :

1.- Se obtienen las funciones de transferencia para el elemento ó combinación de elementos que haya, es decir O(s)/ I(s) = F(s), donde O(s) e I(s) son las transformadas de la respuesta y la señal, respectivamente. Todas las condiciones iniciales se desprecian porque estas no afectan la respuesta en el estado estable.

2.- En la función de transferencia, se sustituye cada s por j.

3.- Para varios valores de la frecuencia , se determina la relación de magnitud M y el ángulo de fase .

4.- Se grafican los resultados en coordenadas rectangulares ó polares.

Justificación de la sustitución de s por j.

En el paso 2, se menciona que hay que sustituir a s por j en la función de transferencia. El procedimiento será trabajar con una función de transferencia general, obteniendo primero la respuesta en el estado estable a una señal senosoidal usando las transformadas de Laplace y depués haciendo dicho cambio.

Si las respuestas resultan idénticas, la sustitución puede considerarse válida.

Supongase una función de transferencia general como numerador N(s) y un denominador D(s), entonces :

O(s) / I(s) = F(s) = N(s) / D(s).

Sea la señal, una senosiodal con una amplitud unitaria (sent). La transformada de la señal I(s), es

/(s2 + 2). Por lo tanto :

O(s) =  I(s) =  = N(s) .

2 +s2 D(s) (s+j)(s-j) D(s)

Recordando que todas las condiciones iniciales pueden despreciarse, ya que estas no afectan a ala respuesta en el estado estable.

Desarrollando en fracciones parciales:

C1 . + C2 C3 + …. Cn .

s+j s-j s+r1 s+rn-2

donde s+r1,…, son factores de D(s). Para un sistema estable los transistorios desaparecen [las transformadas inversas de C3/(s+r1),..., se anulan conforme t!"], y la repuesta en el estado estable es :

oss(t)= C1e-jt + C2ejt.

Donde

C1 = - 1 .N(-j)

2j D(-j)

C2 = 1 .N(-j)

2j D(-j)

Como alternativa, la fracción N(j)/ D(j) se puede expresar en la siguiente forma :

N(j) =A() + jB()

D(j)

N(-j) =A() - jB()

D(-j)

Donde A() y B() son números reales y son función de la frecuencia.

Por lo tanto :

C1 = - 1 [A() - jB()] y C2 = 1 . [A() + jB()]

2j 2j

Sustituyendo y desarrollando, se obtiene :

A() sen t + B() cos t.

La respuesta en el estado estable se aprecia que está compuesta de la suma de una senoide y de una cosenoide, la suma de estas dos ondas se lleva a cabo por adición vectorial, como se muestra en la siguiente figura:

Respuesta en frecuencia

aquí un vector o fasor de magnitud A(), seconsidera que está girando en sentido contrario al de las manecillas de un reloj con una frecuencia . La proyección de este vector sobre el eje imaginario produce la senoide requerida . Un fasor de magnitud B(), se muestra adelantado 90° con respecto al primer fasor, su proyección sobre el eje imaginario, produce la cosenoide requerida.

Los dos vectores pueden reemplazarce pór un solo vector de magnitud [A2() + B2()]ð sen(t+),

donde:

 = arctan B()/A().

La grafica polar.

Considerando el sistema mostrado a continuación:

Respuesta en frecuencia

La ecuación diferencial:

c . dy + y = x(t)

k dt

y cuya función de transferencia es : Y(s) = 1 .

X(s) s + 1

donde la constante de tiempo  = c/k. Haciendo la sustitución s por j y suponiendo que =0.1 seg, queda :

Y(j) = 1 .

X(j) 1 + j0.1

Ahora se muestra una tabla que relaciona la magnitud con la fase, para varios valores de .

(rad/seg)

M()

()°

0

1.00

0.0

2

0.98

-11.3

5

0.89

-26.6

10

0.71

-45.0

20

0.45

-63.4

40

0.24

-76.0

Los datos de esta tabla se muestran en la figura b).

La gráfica rectangular.

La relación de magnitud y fase, se grafican contra la gfrecuencia. Se acostumbra y es conveniente hacer las gráficas contra log10 .

En el caso de los ángulos de fase, se usa una escala lineal, de manera que la gráfica se hace en papel semilogarítmico.

La relación de magnitud puede graficarse como log10 M(), en cuyo caso puede graficarse en papel logarítmico, ó puede expresarse en decibeles, y queda expresada como : ødbø= 20 log10 M.

Tomando la tabla ántes mostrada su gráfica en coordenadas rectangulares, se expresa en la siguiente figura :

Respuesta en frecuencia

Respuesta en frecuencia

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