Resolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

Ecuación. Sustitución. Igualación. Reducción

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Resolución de sistemas de ecuaciones con dos incognitas.

Un sistema está formado por dos semiecuaciones (arriba y abajo), que siempre debemos ordenar de forma que delante del igual siempre haya las dos letras y detrás del igual esté el término independiente. Si ello no ocurre se hace la transposición de términos. Si aparecen fracciones se resuelven por el método del mínimo común múltiplo.

2 x + 3 y = 7[A semiecuación de arriba].

4 x - 5 y = 3[B semiecuación de abajo]

Sustitución

Pasos a seguir:

  • Se despeja la x de la semiecuación de arriba (siempre positiva)

  • 7-3y

    X=

    2

  • El valor de la x despejada de la semiecuación de arriba se sustituye en la x de la semiecuación de abajo.

  • 7-3y

    4 - 5y = 3

    2

  • Se resuelve la semiecuación de abajo como una ecuación de 1er grado cuya incógnita es y.

  • 4 ( 7-3y )

    • 5y = 3

    2

    4 ( 7-3y ) - 10y = 6

    28 - 12y - 10 y = 6

    -12y - 10y = 6 - 28

    -22y = -22

    -22

    y =

    -22

    y = 1

  • El valor de la y obtenida se sustituye por la y de la semiecuación de arriba.

  • 2x + 3y = 7

    2x + 3 ( 1 ) = 7

    2x + 3 = 7

    2x = 7 - 3

    2x = 4

    4

    X=

    2

    x= 2

    Igualación

    Pasos a seguir:

  • Se despeja la x o la y de las dos semiecuaciones (siempre positivas).

  • 7 - 3y

    1ª Ecuación; x=

    2

    3 + 5y

    2ª Ecuación; x=

    4

  • Como las x despejadas son las mismas se igualan los valores.

  • 7 - 3y 3 + 5y

    =

    2 4

  • Se resuelve la ecuación de 1er grado cuya incógnita es y que queda multiplicando en cruz para suprimir los denominadores..

  • 7 - 3y 3 + 5y

    =

    • 4

    4 ( 7 - 3y ) = 2 ( 3 + 5y )

    28 - 12y = 6 + 10y

    -12y - 10 y = 6 - 28

    -22y = -22

    -22

    y =

    -22

    y = 1

  • El valor de la y obtenida se sustituye en las dos x despejadas al principio y que por tanto tendrán el mismo valor.

  • 7 - 3y

    x=

    2

    7 - 3 ( 1 )

    x=

    2

    7 - 3

    x =

    2

    4

    x =

    2

    x = 2

    Reducción

    Pasos a seguir:

  • Se multiplica el coeficiente (número de delante) de la x de la semiecuación de abajo por toda la semiecuación de arriba sin el signo y el coeficiente de la x de arriba por toda la semiecuación de abajo sin el signo.

  • 2 x + 3 y = 7[A semiecuación de arriba]

    4 x - 5 y = 3[B semiecuación de abajo]

    4 ( 2 x + 3 y = 7 )

    2 ( 4 x - 5 y = 3 )

  • Quitamos paréntesis mediante la propiedad distributiva.

  • 8x + 12y = 28

    8x - 10y = 6

  • Cambiamos los signos a conveniencia para poder tachar en caso de estar cambiados los signos pudiendo tachar se deja tal y como estaba.

  • En este caso se le cambia el signo, por ejemplo a la primera ecuación, aunque se le podría cambiar el signo a la segunda. Ojo que se le cambia el signo a todo, incluido lo que hay detrás del signo igual.

    - 8x - 12y = - 28

    8x - 10y = 6

  • Se tachan las x y se suman miembro a miembro las y, que se despeja y hallamos su valor

  • - 8x - 12y = - 28

    + 8x - 10y = 6

    - 22y = -22

    -22

    y =

    -22

    y = 1

  • Para hallar el valor de la x se repiten los pasos con los coeficientes de las y.

  • 7 - 3y

    x=

    2

    7 - 3 ( 1 )

    x=

    2

    7 - 3

    x =

    2

    4

    x =

    2

    x = 2

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