Relación entre magnitudes

Análisis de gráficos. Funciones lineales. Ecuación punto. Recta. Relación inversa. Magnitudes. Relación entre variables. Regresión lineal

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LABORATORIO # 1

RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

2002

LABORATORIO Nº 1

RELACIÓN ENTRE MAGNITUDES

Programa: Ing. Electrónica I Semestre

UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANA

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

NEIVA

2002

INTRODUCCIÓN

Conociendo la importancia del análisis de graficas y funciones lineales para la solución de los actuales problemas de nuestra sociedad en el campo científico, siendo este unos de los fundamentos de la física, la cual es aplicada a menudo en nuestra vida cotidiana.

Se realizara un trabajo de manera teórica, y por medio de ejercicios se hará una practica valiéndose de las cifras significativas que nos ayudan a lograr una mayor exactitud en nuestros resultados.

OBJETIVOS

Objetivo General

Establecer la relación existente entre dos variables, teniendo en cuenta tablas de datos y analizando sus respectivas graficas.

Objetivos Específicos

  • Determinar la escala, para representar gráficamente partiendo de datos dados.

  • Poner en práctica los conocimientos sobre cifras significativas, con el fin de obtener resultados más exactos en nuestra practica.

  • Utilizar adecuadamente el concepto de relación lineal y relación inversa.

  • Aplicar los conocimientos de la ecuación punto - pendiente.

  • Explicar la ecuación general de una recta en el plano.

  • ORIENTACIÓN TEÓRICA

  • MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES E INVERSAMENTE PROPORCIONALES

        • Magnitudes Directamente Proporcionales

    Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al cambiar el valor de una de las magnitudes, los valores de la otra también cambian en la misma proporción. Es decir, si duplicamos el valor de la magnitud independiente, también causamos el mismo efecto en la magnitud dependiente.

    Al realizar la grafica cartesiana de la magnitud directamente proporcional se obtiene una línea recta que pasa por el origen, el cociente entre los valores de las magnitudes es siempre constante y recibe el nombre de constante de proporcionalidad.

        • Magnitudes Inversamente Proporcionales

    Dos magnitudes son inversamente proporcionales, cuando el valor de la magnitud independiente es creciente, el valor de la magnitud dependiente es decreciente en la misma magnitud. El producto de dos magnitudes inversas es constante.

    x . y = cte

  • RELACIÓN LINEAL ENTRE DOS VARIABLES

  • Se presenta una relación lineal entre dos variables cuando al graficarlas, la unión de los puntos determinados por estas, tanto en el eje “x” como en el eje “y” forman una línea


    recta. Lo cual nos representa que existe una relación directamente proporcional en donde “y” es dependiente de la variable “x”.

    El modelo matemático que describe una relación lineal cuando se estima el valor de y en función de x esta dada así:

     = bx + c o  = Bx + c ó  = ß1x + ß0

    En las anteriores ecuaciones encontramos que:

     es la variable que se va a estimar en función de otra variable (x) que se supone conocida. Se le denomina también como variable dependiente, explicada o predictando.

    X es la variable cuyo valor supuestamente se conoce. Se le denomina variable independiente, predictor o explicativa.

    b = B = ß1 es la pendiente o sea la que determina el ángulo de inclinación de la recta. Denominada como coeficiente angular, cuantificado la cantidad que aumenta o decrece  por cada unidad que aumente o disminuya la variable independiente x o explicativa.

    El coeficiente angular puede ser representado así:

    Figura 1. Representación del coeficiente angular o pendiente


    Si b es un valor mayor que cero, es decir positivo, nos indicara que la recta es ascendente; si b es menor que cero la recta será descendente y si b es igual a cero será una paralela al eje horizontal.

    A = C = a = ß0 corresponde al coeficiente de posición u origen en la ordenada. Es un punto en ele eje de la ordenada, factor constante que se incluye en la ecuación, siendo igual a  cuando x = 0. el coeficiente posición puede ser mayor, menor o igual a cero.

    Figura 2. Ubicación del coeficiente de posición

    En el primer caso será un punto por encima del origen, en el segundo pasara por el origen y en el tercero estará por debajo del origen.

  • GRAFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL 1

  • Cuando realizamos experimentos y diferentes observaciones, hacemos uso de la tabulación de una función, que es la representación en forma de tabla de sus respectivos valores funcionales. (Cuadro 1)

    Cuadro 1. Valores funcionales.

    Valores de X

    X1

    X2

    X3

    ...

    Xn

    Valores de Y

    Y1

    Y2

    Y3

    ...

    Yn

    Se determina el valor de la fx que es el mismo valor de x, el cual está formado por parejas de valores (x1, y1); (x2 y2), cada una de estas parejas pertenece a un punto en particular del plano cartesiano R2, y por lo tanto el conjunto de todas las parejas dadas, forman una representación gráfica en el plano.

    Al darles diferentes valores a x (variable independiente) podemos obtener los valores correspondientes de y (variable dependiente). Representando los valores de x como abscisas y los de y como ordenadas, obtendremos una serie de puntos que forman la gráfica. (Figura 3).

    y Punto 1

    0 x

    Punto 2 Figura 3.

    Por lo tanto para obtener la gráfica de una función de primer grado solo se deben determinar dos puntos, y luego unirlos por medio de una línea recta.

  • ECUACIÓN DE LA LÍNEA RECTA DE LA FIGURA

  • Se sabe que dos puntos distintos determinan una recta, y si conocemos las coordenadas de dos puntos podremos encontrar su pendiente en términos de las coordenadas de estos puntos. En efecto sean A (x1, y1) y B (x2, y2), dos puntos diferentes en el plano cartesiano, que están sobre la recta L definida por la ecuación y = mx+b

    La pendiente de la recta L es: m = Relación entre magnitudes

    (Ver figura 4)

    5

    4

    3

    2

    1

    0 2 4 6 8

    Tiempo

    Tomando los valores se tiene: (Ver cuadro 2)

    Cuadro 2. Fabulación de la Gráfica 2.

    x

    0

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    y

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    0.5

    • A = (0,0.1) y B = (0.4,0.5)

    • Hallando la pendiente m:

    m = 1

    • Hallando la ecuación de la recta:

    y2 - y1 = m (x2 - x1)

    y2 - 0.1 = 1 (x2 - 0)

    y2 - 0.1 = x

    y2 = x + 1

  • REGRESIÓN LINEAL

  • Abordaremos en este punto las distribuciones bidimensionales. Las observaciones se dispondrán en dos columnas, de modo que en cada fila figuren las abscisas x y su correspondiente ordenada y. la importancia de las distribuciones bidimensionales radica en investigar como influye una variable sobre otra. Esta puede ser una dependencia causa efecto, por ejemplo, la cantidad de lluvia (causa), da lugar a un aumento de la producción agrícola (efecto). O bien, el aumento del precio de un bien, da lugar a una disminución de la cantidad demandada del mismo.

    Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar la distribución bidimensional, obtendremos un conjunto de puntos conocido con el diagrama de dispersión, cuyo análisis permite estudiar cualitativamente, la relación entre ambas variables tal como se ve en la figura 5. El siguiente paso, es la determinación de la dependencia funcional entre las dos variables x e y que mejor ajusta a la distribución bidimensional. Se denomina regresión lineal cuando la función es lineal, es decir, requiere la determinación de dos parámetros: la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de regresión, y = ax + b.

    La regresión nos permite además, determinar el grado de dependencia de las series de valores X e Y, prediciendo el valor estimado que se obtendría para un valor x que no este en la distribución.

    y

    + + +

    + + +

    + + +

    + +

    Vamos a determinar la ecuación de la recta que mejor ajusta a los datos representados en la figura. Se denomina error ei a la diferencia yi- y, entre el valor observado entre el valor observado yi, y el valor ajustado y = axi + b, tal como se ve en la figura inferior. El criterio de ajuste se toma como aquel en el que la desviación cuadrática media sea mínima, es decir, debe ser mínima la suma.

    y

    yi

    y

    x

    el extremo de una función: máximo o mínimo se obtiene cuando las derivadas de s respecto de a y de b sean nulas. Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas del que se despeja a y b.

    El coeficiente de correlación es otra técnica de estudiar, la distribución bidimensional, que nos indica la intensidad o grado de dependencia entre las variables X e Y. el coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la formula:

    El numerador es el producto de las desviaciones de los valores X e Y respecto de sus valores medios. En el denominador tenemos las desviaciones cuadráticas medias de X y de Y.

    El coeficiente de correlación puede valer cualquier numero comprendido entre -1 y 1.

    • Cuando r = 1, la correlación lineal es perfecta, directa.

    • Cuando r = -1, la correlación lineal es perfecta, inversa.

    • Cuando r = 0, no existe correlación alguna, intendencia total de los valores X e Y.


    • CIFRAS SIGNIFICATIVAS

    • Se considera que las cifras significativas de un número son aquellas que tienen significado real o aportan alguna información. Las cifras no significativas aparecen como resultado de los cálculos y no tienen significado alguno. Las cifras significativas de un número vienen determinadas por su error. Son cifras significativas aquellas que ocupan una posición igual o superior al orden o posición del error.

      Por ejemplo, consideremos una medida de longitud que arroja un valor de 5432,4764 m con un error de 0,8 m. El error es por tanto del orden de décimas de metro. Es evidente que todas las cifras del número que ocupan una posición menor que las décimas no aportan ninguna información. En efecto, ¿qué sentido tiene dar el número con precisión de diezmilésimas si afirmamos que el error es de casi 1 metro? Las cifras significativas en el número serán por tanto las que ocupan la posición de las décimas, unidades, decenas, etc., pero no las centésimas, milésimas y diezmilésimas.

      Cuando se expresa un número debe evitarse siempre la utilización de cifras no significativas, puesto que puede suponer una fuente de confusión. Los números deben redondearse de forma que contengan sólo cifras significativas. Se llama redondeo al proceso de eliminación de cifras no significativas de un número.

      Una última forma de expresar el error de un número consiste en afirmar que todas sus cifras son significativas. Esto significa que el error es del orden de media unidad de la última cifra que se muestra. Por ejemplo, si el resultado de una medida de longitud es de 5432,8 m, y afirmamos que todas las cifras son significativas, quiere decirse que el error es del orden de 0,5 m, puesto que la última cifra mostrada es del orden de las décimas de metro.

      ¿Cómo pueden determinarse las cifras significativas a partir del número que expresa el error?. Hay que tener siempre presente que todo error es una estimación y está por tanto sujeto a su vez a una incertidumbre, generalmente grande. Por esto no tiene sentido especificarlo con excesiva precisión. Salvo casos excepcionales, se expresará con una sola cifra significativa.

      1.6.1 Redondeo de números

      Hemos visto que todos los números resultantes de una medida tienen una cierta incertidumbre. Es necesario eliminar de estos números aquellas cifras que carecen de significado porque el error es mayor que lo que estas cifras significan. A continuación se exponen algunos ejemplos.

      El resultado de la medición de una temperatura se expresa en la forma

      Incorrecto, puesto que las dos últimas cifras (67) no tienen significado alguno, al ocupar una posición menor que el error. La forma de expresar el resultado anterior podría ser

      Aunque la forma correcta es

      Puesto que 301,267 está más cerca de 301,3 que de 301,2.

      Tampoco es correcto presentar la medida, por ejemplo de una velocidad, en la forma

      puesto que no es posible estimar un error con tanta precisión. Lo razonable es escribir:


      Pueden también expresarse los resultados anteriores en la forma

      Añadiendo que todas las cifras son significativas. No es sin embargo aconsejable, puesto que se pierde algo de información.

      Si se quieren presentar los resultados anteriores con los errores relativos, puede escribirse

      Las reglas que emplearemos en el redondeo de números son las siguientes:

      • Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina sin más.

      • Si la cifra eliminada es mayor que 5, se aumenta en una unidad la última cifra retenida.

      • Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra el número par más próximo; es decir, si la cifra retenida es par se deja, y si es impar se toma la cifra superior.

      Algunos ejemplos. Si redondeamos 3,678 a tres cifras significativas, el resultado es 3,68, que está más cerca del original que 3,67. En cambio si el número a redondear, también a tres cifras, fuera 3,673, quedaría 3,67 que es más próximo al original que 3,68. Para redondear 3,675, según la tercera regla, debemos dejar 3,68.

      Las dos primeras reglas son de sentido común. La tercera es un convenio razonable porque, si se sigue siempre, la mitad de las veces redondeamos por defecto y la mitad por exceso.

      Cuando los números a redondear sean grandes, las cifras eliminadas se sustituyen por ceros. Por ejemplo, el número 3875 redondeado a una cifra significativa resulta 4000. En este caso suele preferirse la notación exponencial, puesto que si escribimos ``4000'' puede no estar claro si los ceros son cifras significativas o no. En efecto, al escribir 4.103 queda claro que sólo la cifra ``4'' es significativa, puesto que si los ceros también lo fueran escribiríamos 4,000.103.

    • Multiplicación de cifras significativas

    • Cuando se multiplican varias cantidades, el número de cifras significativas en la respuesta final es el mismo que el número de cifras significativas en la menos precisa de las cantidades multiplicadas, donde “menos precisa” significa “tener el número menor de cifras significativas”. La misma regla se aplica a la división.

      Cuando se suman o restan números, el numero de decimales en le resultado debe ser igual al numero mas pequeños de decimales en cualquier termino de la suma.


      2. PROCEDIMIENTO

    • Con la Tabla 1 Se realiza un gráfico en papel milimetrado. (Ver anexo 1).

    • Tabla 1. Alargamiento producido por una varilla

      PESO (grf)

      ALARGAMIENTO (mm)

      163

      0.6055

      259

      0.7365

      383

      0.8980

      422

      0.9545

      546

      1.1080

      642

      1.2450

      689

      1.2830

      850

      1.4965

      943

      1.6240

      1070

      1.7835

      1109

      1.8450

    • Determinar la escala contando con 20cm en el eje Y e 12cm en el eje X. Como el peso es la variable independiente lo graficamos en el eje X:

    • Escala Variación del parámetro 1200 100

      Longitud del eje 12

      Ajustamos el numerador a 100 así cada cm vale 100, pero el gráfico quedaría ocupando solo la mitad de la hoja, entonces graficamos el peso en el eje X y el alargamiento en el Y.

      Escala Variación del parámetro 2,000 0,1

      Longitud del eje 20

      Que ajustado es

      2.1.2 En la variable de alargamiento solo pueden existir tres cifras, entonces aproximamos las cuatro cifras decimales a solo tres: (Ver tabla 1.1)

      Tabla 1.1. Aproximación del alargamiento producido por una varilla.

      PESO grf

      ALARGAMIENTO (mm)

      ALARG. APROX. (mm)

      163

      259

      383

      422

      546

      642

      689

      850

      943

      1070

      1109

      0.6055

      0.7365

      0.8980

      0.9545

      1.1080

      1.2450

      1.2830

      1.4965

      1.6240

      1.7835

      1.8450

      0.606

      0.737

      0.898

      0.955

      1.108

      1.245

      1.283

      1.497

      1.624

      1.784

      1.845

    • Con la Tabla 2 (ver tabla 2). Realizamos la escala, para x:

    • La escala para eje Y:

      La escala para x2:

      Tabla 2.

      X (cm)

      Y (cm)

      X 2 (cm) 2

      0

      0

      0

      1

      3

      1

      2

      12

      4

      3

      27

      9

      4

      48

      16

      5

      75

      25

      6

      108

      36

    • Con la Tabla 3. (Ver tabla 3) Realizamos la escala para las gráficas 3 y 4: (Ver anexo 2).

    • Escala de Y:

      Escala de X:

      La escala del eje X de la tercera gráfica (Ver anexo 3) para 1/T aproximándola y ajustándola es 5*10 -2.

      Tabla 3.

      V (m/s)

      T (s)

      1/t

      500

      2.0

      0.2

      250

      3.8

      0.263

      200

      5.1

      0.19

      150

      6.7

      0.15

      100

      10.1

      0.1

      50

      19.6

      0.05

      25

      38.6

      0.025

      20

      50.0

      0.02

      10

      100.0

      0.01


      3. ANÁLISIS DE GRAFICAS

      Tomando como referencia lo efectuado en la práctica, realizamos el siguiente análisis:

    • Entre el alargamiento y el peso hay una relación directa pero no proporcional, por que el cociente entre las dos variables no es constante. Por ejemplo:

    • (Tabla 1.). La ecuación de la recta es: P1 = (163,0.606) P2 = (1109,1.85)

      Pendiente: m = = = 1.31*10-3

      Ecuación de la recta:

      Y2 - Y1 = m (X2 - X1)

      Y2 - 0.606 = 1.31*10-3 (X2 - 163)

      Y2 - 0.606 = 1.31*10-3X - 0.21

      Y2 = 1.31*10-3X - 0.21 + 0.606

      Alargamiento = 1.31*10-3 (peso) + 0.39


    • En la Tabla 2: existe una relación directa entre x e y, pero no proporcional debido a que el cociente entre las dos variables no es constante. Por ejemplo:

    • f(2) = 3(2)2 f(3) = 3(3)2

      f(1) = 3 f(2) = 12 f(3) = 27

      Ya, que la ecuación de la parábola es y = ax2 + bx + c, obteniendo la ecuación: 3x2

      • La relación existente entre x2 e y, es una relación directamente proporcional demostrando allí la linealización de la anterior grafica, por que el cocientre entre ellas es constante. Por ejemplo.

      f(1) = 3 (1) f (4) = 3 (4) f (9) = 3 (9)

      f (1) = 3 f (4) = 12 f (9) = 27

      Hallando la pendiente: P1 (1,3) y P2 (36,108)

      M = Relación entre magnitudes
      = 3

      Hallando la ecuación de la recta:

      Y2 - 3 = 3 (X2 - 1)

      Y2 - 3 = 3X2 - 3

      Y2 = 3X2 - 3 + 3

      Y2 = 3X2


    • Teniendo la relación velocidad (m/s) contra tiempo (s), obtenemos una relación de tipo inverso, debido a que T aumenta y V disminuye, pero no de forma proporcional; la gráfica 4 corresponde a una curva.

      • La relación de velocidad (m/s) contra periodo 1/T es directamente proporcional. Como resultado, la gráfica es una recta que parte del origen y su ecuación es: P1 (0.5,500) y P2 (0.01,10)

      • Pendiente:

      M = Relación entre magnitudes
      = 1000

      • Ecuación de la recta:

      Y2 - 500 = 1000 (X2 - 0.5)

      Y2 - 500 = 1000 X2 - 500

      Y2 = 1000 X2 - 500 + 500

      Velocidad = 1000 (1/T)


      4. MARGEN DE ERROR

      El margen de error que encontramos en este laboratorio lo consideramos humano, es decir, errores en la medición, por esta razón en algunas graficas los valores representados no son los valores dados en las tablas, son aproximaciones.

      Los resultados de las mediciones efectuadas en el momento de graficar las ecuaciones son números que, por diversas causas (que van desde el propio procedimiento hasta fallos del experimentador) presentan errores y son, por tanto, números aproximados. Lo importante en una medida es encontrar el número aproximado y estimar el error que se comete al tomar ese valor.

      Otro error que tomamos en cuenta fue la precisión de un instrumento de medida, la exactitud de este elemento es la mínima variación de magnitud que puede determinar sin error. Un instrumento será tanto más preciso cuanto mayor sea el número de cifras significativas que puedan obtenerse con él. El error de una medida también puede estar motivado por los errores sistemáticos del instrumento, que pueden deberse a defectos de fabricación, variaciones de la presión, la temperatura o la humedad.

      5. CONCLUSIONES

    • Fundamental para la construcción de gráficas tiene que ser el estudio del proceso de variación de la relación.

    • Toda relación de primer grado representa una línea recta y por lo tal se llama relación lineal, y la ecuación que representa la relación se llama ecuación lineal.

    • En general la gráfica de una relación, es el conjunto de los puntos cuyas coordenadas son las parejas ordenadas que pertenecen a la relación.

    • Se puede concluir que todo lo relacionado con la física es realmente interesante, pues son cosas a la vez tan elementales y confusas, que se necesita de una gran dedicación por parte del que la estudia.

    • BIBLIOGRAFÍA

      • Serway, FISICA Tomo l cuarta edición, Mc Graw Hill, 1997.

      • AVENDAÑO, Álvaro. GUÍA GENERAL PARA LABORATORIO DE FÍSICA, Universidad Surcolombiana, 1985

      • GARCÍA, Ramón - Pelayo y Gross, ENCICLOPEDIA DE LAS CIENCIAS LAROUSSE Tomo 2 (Física), Ediciones Larousse, 1979.

      • MARTÍNEZ BERNANDINO, Ciro. Estadística y Muestreo. Ecoe Ediciones

      B > 0

      y y y

      0 x 0 x 0 x

      y y y

      0 x 0 x 0 x

      B < 0

      B = 0

      Distancia (x10-2m)

      Figura 4

      C > 0

      C = 0

      C < 0

      (Ecuación de la pendiente)

      x