Regulación automática

Industriales. Temperatura: control # Grafiques. Sistema realimentànt. Diagrames de Block i funcions de transferència

  • Enviado por: Xinamorts
  • Idioma: catalán
  • País: España España
  • 115 páginas
publicidad

CONTROL DE LA TEMPERATURA EN 1 DIPÒSIT

Gràfiques del Bescanviador de calor

Q = 12 m/s (constant)

Regulación automática
Gràfiques del Dipòsit d'aigua

Les variables són

CP = 4180 KJ/KgK, Densitat aigua = 1000 kg/m3, Tambient = 298ºK

Cabal primari = 25 l/s, Cabal secundari = 12 l/s, constant dissipació = 7000

Volum dipòsit = 20000 l, Temperatura aigua entrada = 353ºK

El cabal és constant (després es farà per un cabal que no és constant)

Regulación automática
Gràfica amb un control del procés, la temperatura de consigna de 323ºK, el controlador utilitzat té la següent expressió:

k*(Tdipòsit-Tconsigna) la k es calcula perquè el cabal de la bomba no

Tdipòsit2 ens superi els 25 l/s (màxim possible) k=35000 per temperatura inicial de 500ºK i consigna de 323ºK

Regulación automática

El controlador d'abans només serveix per temperatures entre les temperatures ambient i a uns 420ºK aproximadament, a més baixes hi ha un moment en què la temperatura esdevé constant i no s'aproxima a la de consigna. Això és degut a les pròpies lleis de la termodinàmica.

Ara es fa la mateixa gràfica per una temperatura de consigna de 296ºK, menor que la ambiental

La k s'ha calculat aproximadament per no sobrepassar el cabal de la bomba

I és de 30600 (això s'aconsegueix amb un dàrlington) per una temperatura inicial de 500ºK.

Com es pot apreciar no s'aconsegueix una temperatura de 296ºK sinó que és d'uns 302ºK al cap d'uns 2000 increments de temps (a la taula es mostren només 400 increments de temps)

Regulación automática

JUSTIFICACIÓ DE LES GRAFIQUES

Les gràfiques han estat obtingudes a partir de les següents taules de valors de l'excel: les dades són les següents...

Constants i dades de partida:

Densitat de l'aigua (suposada constant) = 1000 kg/m3

Calor específic aigua (suposat constant) = 4180 KJ/Kg°K

Temperatura ambient (T3) = 298°K (25°C)

Temperatura circuit primari bescanviador (T4) = 353°K (80°C)

Cabal del circuit primari bescanviador (Q3) = 25 l/s

Cabal del circuit secundari bescanviador (Q4) = 12 l/s

Constant de dissipació k = 7000 W/K

Volum del dipòsit = 20000 litres

BESCANVIADOR DE CALOR

L'equació que regeix el bescanviador de calor és:

W3 + W4 = W1 + W2

Q3(T3-T2) = Q4(T2-T4) d'on s'ha d'aïllar T2 (Temperatura entrada)

DIPOSIT

L'equació que regeix la temperatura de sortida és:

cV(dT4/dt) = cQ2T2 - cQ2T4 - k(T4-Ta)

llavors canviant la derivada per T(t+(t1-t0)) = T(t) + (t1-t0)*dT/dt

Les taules que han sortit, per 100 increments de temps de 3 unitats són:

La temperatura de consigna en aquest cas es de 333°K

Resta es el cabal que s'introdueix en la realimentació

t

i

Q4

T2

T4 (K)

Resta

*

3

1

25

325,5

500

24,78

6

2

24,78

325,378

498,702

24,7265

9

3

24,73

325,349

496,773

24,6453

12

4

24,65

325,304

494,237

24,5355

15

5

24,54

325,242

491,127

24,396

18

6

24,4

325,164

487,483

24,2253

21

7

24,23

325,067

483,351

24,0223

24

8

24,02

324,952

478,785

23,7855

27

9

23,79

324,815

473,84

23,5137

30

10

23,51

324,658

468,578

23,206

33

11

23,21

324,477

463,06

22,8616

36

12

22,86

324,271

457,348

22,4805

39

13

22,48

324,041

451,504

22,0628

42

14

22,06

323,784

445,586

21,6095

45

15

21,61

323,5

439,649

21,1221

48

16

21,12

323,188

433,745

20,6026

51

17

20,6

322,848

427,918

20,0538

54

18

20,05

322,481

422,209

19,4788

57

19

19,48

322,086

416,65

18,8813

60

20

18,88

321,665

411,269

18,2652

63

21

18,27

321,219

406,087

17,6345

66

22

17,63

320,749

401,12

16,9935

69

23

16,99

320,257

396,379

16,3463

72

24

16,35

319,744

391,869

15,6967

75

25

15,7

319,213

387,591

15,0486

78

26

15,05

318,667

383,546

14,4051

81

27

14,41

318,106

379,727

13,7695

84

28

13,77

317,534

376,13

13,1441

87

29

13,14

316,953

372,746

12,5314

90

30

12,53

316,364

369,566

11,9331

93

31

11,93

315,77

366,58

11,3506

96

32

11,35

315,174

363,779

10,7852

99

33

10,79

314,576

361,152

10,2377

102

34

10,24

313,979

358,688

9,70862

105

35

9,709

313,384

356,378

9,19838

108

36

9,198

312,793

354,213

8,70712

111

37

8,707

312,207

352,183

8,23485

114

38

8,235

311,628

350,278

7,78146

117

39

7,781

311,056

348,492

7,34671

120

40

7,347

310,492

346,817

6,93031

123

41

6,93

309,937

345,245

6,53187

126

42

6,532

309,393

343,769

6,15099

129

43

6,151

308,86

342,383

5,78722

132

44

5,787

308,339

341,082

5,44009

135

45

5,44

307,829

339,861

5,10911

138

46

5,109

307,333

338,714

4,7938

141

47

4,794

306,849

337,636

4,49367

144

48

4,494

306,38

336,625

4,20822

147

49

4,208

305,924

335,674

3,93697

150

50

3,937

305,483

334,783

3,67944

153

51

3,679

305,056

333,945

3,43516

156

52

3,435

304,644

333,16

3,20366

159

53

3,204

304,247

332,423

2,9845

162

54

2,985

303,866

331,732

2,77723

165

55

2,777

303,499

331,085

2,58141

168

56

2,581

303,148

330,479

2,39661

171

57

2,397

302,811

329,911

2,2224

174

58

2,222

302,49

329,38

2,05838

177

59

2,058

302,184

328,885

1,90413

180

60

1,904

301,893

328,422

1,75925

183

61

1,759

301,616

327,99

1,62335

186

62

1,623

301,354

327,587

1,49604

189

63

1,496

301,105

327,212

1,37693

192

64

1,377

300,871

326,863

1,26565

195

65

1,266

300,65

326,54

1,16183

198

66

1,162

300,443

326,239

1,06511

201

67

1,065

300,247

325,96

0,97512

204

68

0,975

300,065

325,702

0,89153

207

69

0,892

299,894

325,464

0,81399

210

70

0,814

299,734

325,243

0,74218

213

71

0,742

299,586

325,04

0,67576

216

72

0,676

299,448

324,853

0,61443

219

73

0,614

299,319

324,68

0,55788

222

74

0,558

299,201

324,522

0,50583

225

75

0,506

299,091

324,377

0,45798

228

76

0,458

298,989

324,244

0,41406

231

77

0,414

298,896

324,122

0,37381

234

78

0,374

298,81

324,011

0,33699

237

79

0,337

298,732

323,909

0,30336

240

80

0,303

298,659

323,817

0,27267

243

81

0,273

298,593

323,733

0,24473

246

82

0,245

298,533

323,656

0,21933

249

83

0,219

298,478

323,587

0,19626

252

84

0,196

298,428

323,524

0,17535

255

85

0,175

298,383

323,468

0,15643

258

86

0,156

298,342

323,416

0,13933

261

87

0,139

298,305

323,37

0,1239

264

88

0,124

298,271

323,329

0,11

267

89

0,11

298,241

323,291

0,0975

270

90

0,097

298,214

323,258

0,08627

273

91

0,086

298,189

323,227

0,07621

276

92

0,076

298,167

323,201

0,06719

279

93

0,067

298,147

323,176

0,05914

282

94

0,059

298,13

323,155

0,05195

285

95

0,052

298,114

323,136

0,04554

288

96

0,046

298,1

323,119

0,03984

291

97

0,04

298,087

323,104

0,03477

294

98

0,035

298,076

323,09

0,03028

297

99

0,03

298,067

323,078

0,0263

300

100

0,026

298,058

323,068

0,02278

303

101

0,023

298,05

323,059

0,01967

306

102

0,02

298,043

323,05

0,01693

309

103

0,017

298,037

323,043

0,01452

Pràctica de regulació automática

Circuit electric

El circuit electric d'aquesta figura és el de la práctica:

Regulación automática

Regulación automática

ESTUDI D'UN SISTEMA REALIMENTAT

  • OBJECTIU

  • Els objectius de la pràctica són:

    • Familiaritzar-se amb el Matlab

    • Utilitzar les eines per l'anàlisis freqüencial i temporal de sistemes linials

    • Aplicar aquestes eines a l'anàlisis d'un sistema realimentat.

  • INTRODUCCIÓ TEÒRICA

  • Les característiques dinàmiques d'un sistema realimentat (anell tancat) es poden obtindre a partir de l'estudi d'aquest sistema en anell obert

  • ESTUDI PREVI

  • Repassar els següents temes:

    • resposta temporal

    • Funcions de Transferència de sistemes lineals

    • Llaç tancat / Llaç obert

    • Diagrames de blocs

    • Sistemes 1 entrada-1 sortida, sistemes multivariables

    • Funcions de transferència de sistemes discrets

    • Estabilitat

    • Determinants de Hurwitz

    Aquests determinants són un mètode algebraic per determinar si un sistema és o no és estable mitjançant el seu polinomi característic. Són la base del criteri de Routh-Hurwitz

    • Tabulació de Routh-Hurwitz

    Mètode algebraic que proporciona informació sobre l'estabilitat absoluta d'un sistema linial i invariant amb el temps que té una equació característica amb coeficients constants. El criteri proba si les arrels de l'equació característica està en el semiplà dret s. També indica el nº d'arrels que estàn sobre l'eix jW i en el semiplà dret. Es basa en tabular els supindexs de les potències

    • Criteri de Nyquist

    Es un métode semigràfic que proveix informació sobre la diferència entre el nº de pols i zeros de la funció de transferència en llaç tancat que estàn en el semiplà dret del pla s mediant la observació del comportament de la gràfica de Nyquist de la funció de trasnferència en llaç tencat.

    • Diagrama de Bode

    Aquest diagrama és una gràfica de la magnitud de la funció de transferència en llaç G(jW)H(jW) en dB i de la fase G(jW)H(jW) en graus, en funció de la freqüència Wm la estabilitat del sistema en llaç tancat es pot determinar observant el comportament d'aquestes gràfiques

    • Solució de les arrels del polinomi característic

    Solucionar les arrels del polinomi característic obtenim el valor exacte d'aquestes arrels, si tenen la part real positiva el sistema és inestable i si son totes a la part negativa real el sistema és estable. També hi ha els marginalment estables que són els integradors

    • Precisió

    • resposta a un esglaó (error de posició)

    R(t) = K*Us(t) R(S) = K/s

    Kp = lím G(S)H(S) per s0 Ess = 1/1+Kp

    • resposta a una rampa (error de velocitat)

    R(t) = Kt*Us(t) R(S) = K/s2

    Kv = lím S*G(S)H(S) per s0 Ess = 1/Kv

    • resposta a una paràbola (error d'acceleració)

    R(t) = Kt2*Us(t) R(S) = K/S3

    Ka = lím S2*G(S)H(S) per s0 Ess = 1/Ka

  • REALITZACIÓ

  • MATERIAL NECESSARI

  • Matlab amb Control System Toolbox

  • ÚS DEL MATLAB

  • Per fer la pràctica cal saber utilitzar les principals funcions de control. Estudiarem un sistema d'exemple. La funció de transferència a considerar serà:

    H(s) = num = 2s2 + 5s +1

    den s2 +2s + 3

    4.2.1 STEP I IMPULSE

    Resposta a un esglaó de sistemes lineals continus en el temps.

    STEP(A,B,C,D,IU) dibuixa la resposta temporal del sistema lineal

    x = Ax + Bu

    y = Cx + Du

    A un esglaó aplicat a l'entrada IU, T permet dir l'espai de temps a considerar

    [Y,X] = STEP(A,B,C,D,IU,T) ó [Y.X,T] = STEP(A,B,C,D,IU) retorna

    la sortida i l'estat de la resposta a les matrius Y i X respectivament

    T serveix per determinar el nº de temps.

    [Y,X] = STEP(NUM,DEN,T) ó [Y,X,T] = STEP(NUM,DEN) calcula la resposta

    temporal de la funcio de transferència: G(S) = NUM(s)/DEN(s)

    on NUM i DEN contenen els coeficient dels polinomis de s

    per definir el vector de Temps ho fem de la següent manera:

    t = temps inicial: increments de temps: temps final ex: t = 0:0:1:10;

    4.2.2 LSIM

    Simulació de sistemes lineals continus en el temps a entrades arbitràries LSIM(A,B,C,D,U,T) dibuixa la resposta temporal del sistema lineal:

    x = Ax + Bu

    y = Cx + Du

    a l'entrada U. La Matriu U ha de tenir tantes columnes com les entrades. Cada fila de U correspon a un nou punt de temps i U ha de tenir la llargada de (T) files.
    LSIM(A,B,C,D,U,T,X0) pot utilitzar-se si existeixen condicions inicials

    LSIM(NUM,DEN,U,T) dibuixa la resposta temporal de la funció de transferència: G(s) = NUM(s)/DEN(s)

    Per definir una rampa:

    T = 0:0.1:10; (variació en l'espai de temps i llavors)

    U = k*t (rampa); U = k*t2 (paràbola); U = f(t) (qualsevol cosa)

    4.2.3 BODE

    Diagramade Bode (resposta freqüencial) del sistemes lineals continus en el temps

    BODE(A,B,C,D,IU) fa el diagrama de Bode a l'entrada IU a totes les sortides dels estats del sistema (A,B,C,D).

    IU representa l'indexs de les entrades del sistema i especifica quina entrada s'usa per la resposta freqüencial. Les freqüències són escollides automàticament

    BODE(NUM,DEN) dibuixa el diagrama de Bode de la funció de transferència: G(s) = NUM(s)/DEN(s)

    BODE(NUM,DEN,W) utilitza un vector de freqüències donat en rad/s on s'avaluarà el diagrama de Bode.

    W =0:0.1:10 per freqüències entre 0-10 amb increment 0.1

    W = LOGSPACE (-2,2) Marge de frequències entre -100 i 100 rad/ss

    4.2.4 ALTRES FUNCIONS

    RLOCUS (num,den)

    Calcula i dibuixa les localitzacions de les arrels de:

    H(S) = 1 + K* num (s) = 0

    Den (s)

    Per una selecció de guanys K per dibuixar una funció però es possible especificar el vector K fent Rlocus (num,dem,k)

    PZMAP (num,den)

    Dibuixa el diagrama de pols-zeros de sistemes lineals continus en el temps.

    En aquest cas computa els pols i zeros de la funció de transferència G(S) = num/den

    Si el sistema té més d'una entrada, llavors els 0s de trasmissió són computats

    [R,K] = RLOCFIND(NUM,DEN)

    S'utilitza per seleccionar un punt de la localització d'arrels de la funció de transferència G(s) = num(s)/den(s). La funció ens serveix per trobar els guanys de localitzacions d'arrels per una sèrie d'arrels donades

    [num,dem] = SERIES(num1,den1,num2,den2)

    Determina el polinomi que s'obté quan es connecten dues funcions de transferència Gi(s) = numi/deni quan estan connectats en sèrie

    [num,dem] = PARALLEL(num1,den1,num2,den2)

    Determina el polinomi que s'obté quan es connecten dues funcions de transferència Gi(s) = numi/deni quan estan connectats en paral.lel

    CLOOP (num,den,func)

    Produeix la funció de transferència en llaç tencat d'un sistema amb realimentació. La funció H(s) = func i G(S) = num/den. Per fer una realimentació unitària cal que func sigui -1.

    4.3. ESTUDI D'UN SISTEMA REALIMENTAT

    Regulación automática

    El procés realimentat que es proposa té la següent estructura de dalt:

    El Guany és un paràmetre K que cal determinar perquè el sistema sigui estable.

    La funció de transferència del procés a controlar és de tercer ordre:

    G(s) = 0'5 _

    (s+10) (s2 + 0'1789s + 0'05)

    4.3.1 DOMINIS FREQUENCIALS I TEMPORALS

    Representeu gràficament la localització dels pols i els zeros de G(s) mitjançant la funció PZMAP. En base a això determineu si hi ha dominància d'un parell de pols respecte el tercer pol i valoreu la possibilitat de reduir l'ordre del sistema.

    Per fer el producte de polinomis hem fet:

    Num1 = 1; num2 = 0'5; den1 = [1 10]; den2 = [1 0.1789 0.05] i llavors

    [num,den] = Series (num1,den1,num2,den2)

    La funció que transferència que hem obtingut és:

    G(s) = 0.5____________

    1s3 +10.1789s2 +1.839s + 0.5

    >> PZMAP (num,den)

    Regulación automática

    Aquí podem veure que els 2 pols imaginaris estàn molt a la vora de 0 encanvi el pol real està molt lluny, per tant podem considerar que el pol a s+10 és recessiu i per tant, podem simplificar la funció de transferència a una de 2on ordre

    Segons el que s'ha exposat abans podem simplificar la funció de transferència sempre hi quan tinguem en compte que el valor final de la simplificació ha de ser el mateix que el de la funció original sinó no seria una simplificació vàlida:

    G(s) = 0.5____________ Simplificant el pol s+10 ens queda:

    1s3 +10.1789s2 +1.839s + 0.5

    Lím G(s) = 0'5 = 1

    s->0 0'5

    Gp(s) = 0.05______

    s2 + 0.1789s + 0.05

    Comproveu que és possible la reducció comparant les respostes a un esglaó del sistema original i del sistema reduït

    Amb num = [0.5] i den = [1 10.1789 1.839 0.5] fem:

    >> STEP (num,den) i ens queda la següent resposta:

    Regulación automática

    I fem el mateix pel sistema reduït; num = [0.05], den = [1 0.1789 0.05]

    Regulación automática

    Representeu també el diagrama de Bode del sistema original. Compareu-lo amb l'anterior i indiqueu en quin marge de freqüències és vàlida la reducció de l'ordre del sistema.

    El diagrama de Bode del sistema original és:

    Regulación automática

    I el diagrama de Bode del sistema simplificat és:

    Regulación automática

    Veient els diagrames de Bode podem dir que la simplificació és vàlida per totes les freqüències compreses entre 10 i -10 Hz, i també per totes les altres freqüències:

    En el sistema realimentat, però, aquest sistema simplificat ja no ens serà vàlid.4.3.2 ANALISI DE L'ESTABILITAT

    Cal calcular amb el controlador en llaç obert. Aneu variant el guany de K del controlador i determinar el guany crític Klim pel qual el marge de guany es 0 (Bode) i el marge de fase és 0.

    També es possible fer-ho amb Rlocus o RlocFind

    Primerament s'introdueix el numerador i denominador i llavors per tencar l'anell es fa servir la ordre Cloop.

    Per K = k, obtenim la següent Y(S)/R(S) = M(S)

    M(S) = 0.5k_______________

    S3 + 10.1789s2 + 1.839s + (0.5+0.5k)

    Ara caldria analitzar del polinomi carácterístic quin valor de k fa que els 2 pols complexes tinguin part real 0, es quan el sistema comença a inestabilitzar-se

    Fent Rlocus amb el sistema en anell tancat obtenim

    Regulación automática

    Hauriem de trobar el punt on els 2 pols complexes tenen part real 0, podem fer-ho amb:

    [r,k] = rlocus (num,den) i mirant la matriu podríem obtenir el resultat desitjat.

    R C1 C2

    -10.0769 -0.0510 + 0.8992i -0.0510 - 0.8992i

    -10.1912 0.0062 + 1.4016i 0.0062 - 1.4016i

    Aproximant més obtenim els següents valors:

    -10.1787 -0.0001 - 1.3554i -0.0001 + 1.3554i

    -10.1792 0.0001 - 1.3572i 0.0001 + 1.3572i

    Ja sabem ara que perquè sigui estable el polinomi ha de ser el producte d'això:

    (s+10'179) (s2+1'8393) = s3 + 10'1789s2 + 1'839s + 18'722

    la k, per tant serà:

    k = 18'222*2 = 36'45 Aproximadament

    Localitzeu els pols introduint el controlador en anell obert, aneu variant el guany de K del controlador i determinar el guany crític Klim per al qual el marge de guany és 0 dB i el marge de fase és 0. Mirar els diagrames de Bode

    Per k = 1, els guanys són els següents ; 0.5/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 1)

    Per 0dB freq = 0.2 Hz ;phase deg = -125º (aprox)

    Per k = 5, els guanys són els següents ; 2.5/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 3)

    Per 0dB freq = 0.55 Hz, phase deg = -160º (aprox)

    Per k = 10, els guanys són els següents ; 5/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 5'5)

    Per 0dB freq = 0.72 Hz, phase deg = -166º (aprox)

    Per k = 15, els guanys són els següents ; 7'5/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 8)

    Per 0dB freq = 0.91 Hz, phase deg = -173º (aprox)

    Per k = 20, els guanys són els següents ; 10/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 10'5)

    Per 0dB freq = 1.05 Hz, phase deg = -175º (aprox)

    Per k = 30, els guanys són els següents ; 15/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 15'5)

    Per 0dB freq = 1.2 Hz, phase deg = -177º (aprox)

    Per k = 40, els guanys són els següents ; 20/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 20'5)

    Per 0dB freq = 1.4 Hz, phase deg = -181º (aprox)

    Per k = 35, els guanys són els següents ; 17'5/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 18)

    Per 0dB freq = 1.3 Hz, phase deg = -179º (aprox)

    Veient això podem establir que la k està entre 35-40, podem afinar més fent un bode entre les frequències de 1.3 Hz i 1.4 Hz i intentar trobar el punt exacte on el guany és 0dB i la fase són -180º perquè si la fase és més petita llavors vol dir que hem entrat en els semiplans positius i que el sistema és inestable.

    Fent W = 1.3:0.001:1.4 i un diagrama de Bode podem determinar el valor de Wn

    Fent això obtenim una freqüència Wn de 1.3565 rad/s (aprox)

    A partir de la freqüència natural podem trobar el valor de k com abans, tot hi que per fer-ho estem aproximant a un sistema de 2on grau com abans, però ho podem fer perquè el pol a s+10 és recessiu enfront els 2 pols complexes molt pròxims a 0.

    Wn2 = 0.5 + 0.5k 18'4 = 0.05 + 0.05 k k " 36'6

    COMPROVACIÓ DEL VALOR DE K

    Per comprovar el valor de K s'ha fer la tabulació de Routh-Hurwitz del sistema realimentant:

    M(S) = 0.5k_______________

    S3 + 10.1789s2 + 1.839s + (0.5+0.5k)

    S3 1 1.839

    S2 10.1789 0.5+0.5k

    S1 -0.5-0.5k + 18.719

    10.1789

    S0 0.5 + 0.5 k

    Estabilitat, tots els elements 1era columna han de ser positius

    0.5 +0.5k > 0 k > -1 se suposa que el guany és positiu!!

    18.219-0.5k > 0 k < 36.26

    Comprovar que la resposta temporal en anell tancat per a guanys K<Klim és estable i que per a guanys K>Klim és inestable. Per tancar l'anell s'utilitza CLOOP. Representeu gràficament els pols i els zeros del sistema realimentat. Relacioneu la seva posició amb l'estabilitat

    S'han agafat 3 valors de k

    K = 25 la funció de transferència és 12.5/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 13)

    Regulación automática

    K = 36.4 la funció de transferència és 18.2/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 18.72)

    Regulación automática

    Per la k = 36'25 més o menys el sistema va oscil.lant des de 0 a 2 tot el temps sense esmorteïr-se gens ni mica la senyalK = 50 la funció de transferència és 25/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 30)

    Regulación automática

    Com es pot veure en imatge, el sistema és inestable perquè creix contínuament fins a llegar a oscil.lar del +" al -"

    Representació dels pols i zeros del sisema realimentat

    Per fer-ho es fa servir la funció RLOCUS

    Regulación automática

    Això és la representació dels pols del polinomi característic, el sistema serà estable sempre hi quan els pols estiguin a la part negativa del semiplà complexe.

    4.3.3. ESTUDI DEL RÈGIM ESTACIONARI

    Amb el sistema amb enell tancat i un guany K<Klim observeu la resposta tem-poral a un esglaó, una rampa i a una paràbola. Comproveu que els errors de po-sició, velocitat i desplaçament es corresponen amb els d'un sistema de tipus 0.

    Per fer-ho s'ha de fer servir la ordre LSIM i definir les funcions

    Per un esglaó utilitzem la funció STEP (num,den) amb k = 20

    M(s) = 10/(s3 + 10.1789s2 + 1.839s + 10'5) llaç tancat

    Regulación automática

    La rampa no és unitaria en la resposta sinó que s'estabilitza a 0.97, hi ha un error constant en la resposta.

    Per definir una rampa hem de crear el vector t de temps i llavors un altre vector u que sigui una funció de 1er ordre de t, la rampa nostra serà u = t

    LSIM (num,den,u,t)

    Regulación automática

    Com es pot veure aquí, l'error de velocitat en estat estacionari és infinit, perquè el sistema no se'ns accosta a la forma d'una rampa i a cada punt l'error es va fent cada cop més gran.

    Per definir una paràbola hem de crear el vector t de temps i llavors un altre vector u que sigui una funció de 2on ordre de t, la rampa nostra serà u = t.*t

    LSIM (num,den,u,t)

    Regulación automática

    Com es veu a la gràfica, l'error d'acceleració per aquest sistema se'ns fa més gran cada cop que anem incrementant l'espai temporal, per tant, l'error és infinit, cosa que ens mostra que és un sistema de tipus 0 ja que els errors de velocitat i acceleració per aquest sistema son infinit i el de posició és una constant.

    Afegiu al sistema un integrador. Busqueu la nova Klim i torneu a comprovar que els erros de posició, velocitat i acceleració es corresponen amb els d'un sistema de tipus I.

    Utilitzeu la funció PZMAP per veuree com canvien de posició els pols i els zeros del sistema realimentat.

    M(s) = 0'5k/s4 + 10.1789s3 + 1.839s2 + 0.5s + 0.5k llaç tancat

    Regulación automática

    A partir d'aquí podem determinar la Klim pel sistema de 4t ordre.

    Després d'haver examinar els vectors que ens ha proporcionat la funció RLOCUS hem pogut determinar quan els 4 pols estàn tots al semiplà negatiu i, per tant, el sistema és estable. Els resultats són:

    -10.0000 -0.0344 + 0.2019i -0.0344 - 0.2019i -0.1102

    -9.9999 0.0064 + 0.2268i 0.0064 - 0.2268i -0.1918

    Interpolant:

    (s+10)*(s2+0.0484)*(s+0.175) Calculant el terme independent i igualant:

    Klim " 2*10*0.0484*0.175 " 0.168

    Així si K>0.168 el sistema se'ns torna inestable.

    ERRORS EN ESTAT ESTACIONARI

    Per un sistema qualsevol hem agafat un valor de k de 0.1

    La seva funció de transferència en llaç tencat és la següent:

    M(s) = 0'05/s4 + 10.1789s3 + 1.839s2 + 0.5s + 0.05

    Hem comprovat l'error de posició per una entrada de graó, la gràfica que ens surt de la resposta temporal per una entrada esglaó és la següent:

    Regulación automática

    Es veu que l'error en aquest sistema és 0 ja que per una rampa unitària s'ens estabilitaza al valor de 1 que és el valor de la rampa unitària.

    Per una entrada en forma de rampa, la resposta temporal és la següent:

    Regulación automática

    Com es pot veure l'error en la funció rampa és constant i és d'unes 10 unitats, això vol dir que la constant d'error és 0.1 més o menys. Per una funció paràbola, si el sistema és de tipus I, hi hauria d'haver un error infinit, cosa que es pot comprovar mirant la gràfica de la resposta temporal a una paràbola.

    Regulación automática

    Mirant aquesta gràfica podem apreciar que l'error a mesura que aumenta el temps s'ens va fent més gran, cosa que indica que l'error d'acceleració és infinit.

    Per tant: Es un sistema d'ordre I

    Amb els resultats obtinguts a l'apartat 4.2.1 i 4.2.2 comproveu que es compleixen els teoremes del valor inicial i final per entrades d'impuls, graó i rampa.

    La funció de transferència pels apartats de STEP, IMPULSE i LSIM és

    2s2+5s+1/ s2+2s+3 A impulsos, graons i rampes la resposta és:

    Teorema valor inicial a esglaos

    Per un sistema estable qualsevol es compleix que

    Valor inicial lím s*R(S)*M(s) = Valor inicial On R(S) = Entrada

    Esglaó s->" M(S) = Funcio de transferència

    Teorema Valor Final

    Per un sistema estable qualsevol es compleix que:

    Valor final lím s*R(S)*M(s) = Valor final On R(S) = Entrada

    Esglaó s->0 M(S) = Funció de transferència

    VALORS INICIALS I FINALS A UN IMPULS

    R(S) = 1 M(S) = 2s2+5s+1/ s2+2s+3

    V.I. = Lím s*(2s2+5s+1) = "

    s->" s2+2s+3

    V.F. = Lím s*(2s2+5s+1) = 0

    s->0 s2+2s+3

    Regulación automática

    VALORS INICIALS I FINALS A UN ESGLAÓ

    R(S) = 1/s M(S) = 2s2+5s+1/ s2+2s+3

    V.I. = Lím (2s2+5s+1)_ = 2

    s->" s2+2s+3

    V.F. = Lím (2s2+5s+1) = 1

    s->0 s2+2s+3 3

    Regulación automática

    VALORS INICIALS I FINALS A UN A RAMPA

    R(S) = 1/s2 M(S) = 2s2+5s+1/ s2+2s+3

    V.I. = Lím (2s2+5s+1)_ = 0

    s->" s*(s2+2s+3)

    V.F. = Lím (2s2+5s+1) = "

    s->0 s*(s2+2s+3)

    Regulación automática

    PRÀCTIQUES DE REGULACIÓ AUTOMÀTICA (EI)

    DISSENY DE SISTEMES DE CONTROL

  • OBJECTIU

  • Els objectius de la pràctica són:

    • Obtenir el model d'un sistema a partir de característiques de la seva resposta

    temporal

    • Obtenir un controlador de tipus K per a un sistema de forma que la resposta

    temporal del sistema controlat obeeixi uns paràmetres determinats

    • Veure que no és assolible qualsevol conjunt d'aquest paràmetres

  • INTRODUCCIÓ TEÒRICA

  • Donat un sistema de segon ordre qualsevol, si es té el seu model podem saber algunes de les característiques de la seva resposta a un esglaó. De la mateixa forma, si coneixem aquestes característiques, podem obtenir el model del sistema.

    Des del punt de vista de servosistema, ens interessa que un controlador posat sobre un sistema faci que aquest segueixi la consigna mantenint uns paràmetres de precisió, velocitat, estabilitat, etc. A més, ens interessa que aquests paràmetres es mantinguin davant de perturbacions, variacions de càrrega, etc. Aquest és el punt de vista del regulador.

  • ESTUDI PREVI

  • MODEL DEL SISTEMA

  • Regulación automática

    Un sistema G(s) desconegut es controla actualment de la forma indicada a la figura I. Sabem que davant un esglaó unitari u(t) = us(t), la sortida del sistema controlat, que estava estabilitzada a 0, comença a augmentar, passa de 10 al cap de 0.55 s, arriba a un màxim de 12 i finalment s'estabilitza a 10. Suposant que la funció Y/R (n=0) és de segon ordre (pendent inicial de 0º), es demana:

    • Trobar aquesta funció de transferència

    • Trobar la funció de transferència en llaç obert

    Sabem que un sistema genèric de 2on ordre té la següent funció de transferència:

    M(s) = k*n2 _

    s2+2ns+n2

    M'estàn demanant un sistema que tingui un sobrepic de 20% i d'un temps de retard (aproximadament) de 0.55s, aplicant les fórmules podem treure ,

    Sobrepic

    Regulación automática

    1.6094 = 3.1416/"1-2 elevant al quadrat 2.59 = 9.872/1-2

    (9.87 + 2.59) 2 = 2.59  = (2.59/12.46) 1/2 = 0.456

    Temps de retard

    Tr = 1-0.4167+2.9172 = 1-0.4167*0.456+2.917*0.4562 = 1.4165

    n n n

    0.55 = 1.4165 n = 2.575

    n

    l'equació del sistema en llaç tancat és:

    s2+2ns+n2 = s2 + 2*0.456*2.575s + 2.5752 = s2 + 2.348s + 6.63

    és G/(s2 + 2.348s + 6.63) si el guany és 10 G = 66.3

    Per calcular el llaç obert cal fer la següent operació

    M(S) = K*G(S) / 1+K*G(S)H(S) on K = 10; H(S) = 0.1

    M(S) = 10G(S) M(S)+M(S)G(S) = 10G(S) G(S) = M(S)__

    1+G(S) 10-M(S)

    G(S) = 66.3/(s2 + 2.348s + 6.63) __ = __6.63 _

    10-66.3/(s2 + 2.348s + 6.63) s2 + 2.348s

    Aquí hem obtingut la funció de transferència del llaç obert.

    Per demostrar que la funció M(S) es bona, aquí es dona la seva gràfica.

    Regulación automática
    3.2.Disseny del sistema de control

    Es proposa com a nova estructura de control la de la figura 2, en la que el controlador és unicament un guany K (controlador P)

    Regulación automática

    3.2.1 Trieu el valor de K de forma que la resposta a un esglaó unitari el sobrepic sigui menor o igual al 5%

    Regulación automática

    3 = 3.1416/"1-2 elevant al quadrat 9 = 9.872/1-2

    (9.87 + 9) 2 = 9  = (9/18.87) 1/2 = 0.691

    evidentment, si volem ser mes barroers, podem agafar =0.707 (4'3% sobrepic)

     = cos   = arccos 0.691 = 46.29º

    cotg  = cotg 46.29 = 0.956

    Ara es pot obtenir utilitzant la funció RLOCUS per intentar trobar la K que correspon a aquest angle:

    Regulación automática

    Podem trobar la K necessària si examinem les matrius que ens dóna la funció rlocus, a partir d'aquí podrem determinar la K.

    Per fer hem de trobar les matrius R i K de la funció RLOCUS

    [R,K] = rlocus (num,den) d'aquí podem determinar el valor de K

    per fer-ho hem obtingut la cotg  = 0.956 = part real/part imaginària

    Alguns dels resultats que obtenim són :

    Arrels

    K

    Cotg

    -1.1740 + 0.1522i -1.1740 - 0.1522i

    0,2114

    7,71

    -1.1740 + 0.2785i -1.1740 - 0.2785i

    0,2196

    4,22

    -1.1740 + 0.3662i -1.1740 - 0.3662i

    0,2281

    3,49

    -1.1740 + 0.4391i -1.1740 - 0.4391i

    0,2370

    2,67

    -1.1740 + 0.5038i -1.1740 - 0.5038i

    0,2462

    2,33

    -1.1740 + 0.5632i -1.1740 - 0.5632i

    0,2557

    2,08

    -1.1740 + 0.6189i -1.1740 - 0.6189i

    0,2657

    1,90

    -1.1740 + 0.6719i -1.1740 - 0.6719i

    0,2760

    1,70

    -1.1740 + 0.7228i -1.1740 - 0.7228i

    0,2867

    1,62

    -1.1740 + 0.7722i -1.1740 - 0.7722i

    0,2978

    1,52

    -1.1740 + 0.8203i -1.1740 - 0.8203i

    0,3094

    1,43

    -1.1740 + 0.8675i -1.1740 - 0.8675i

    0,3214

    1,35

    -1.1740 + 0.9139i -1.1740 - 0.9139i

    0,3339

    1,28

    -1.1740 + 0.9598i -1.1740 - 0.9598i

    0,3468

    1,22

    -1.1740 + 1.0052i -1.1740 - 1.0052i

    0,3603

    1,17

    -1.1740 + 1.0504i -1.1740 - 1.0504i

    0,3743

    1,12

    -1.1740 + 1.0953i -1.1740 - 1.0953i

    0,3888

    1,07

    -1.1740 + 1.1401i -1.1740 - 1.1401i

    0,4039

    1,03

    -1.1740 + 1.1848i -1.1740 - 1.1848i

    0,4196

    0,99

    -1.1740 + 1.2295i -1.1740 - 1.2295i

    0,4359

    0,97

    -1.1740 + 1.2743i -1.1740 - 1.2743i

    0,4528

    0,93

    -1.1740 + 1.3193i -1.1740 - 1.3193i

    0,4704

    0,90

    -1.1740 + 1.3644i -1.1740 - 1.3644i

    0,4887

    0,87

    -1.1740 + 1.3985i -1.1740 - 1.3985i

    0,5029

    0,83

    -1.1740 + 1.4967i -1.1740 - 1.4967i

    0,5458

    0,78

    -1.1740 + 1.7602i -1.1740 - 1.7602i

    0,6752

    0,67

    -1.1740 + 2.3850i -1.1740 - 2.3850i

    1,0658

    0,49

    -1.1740 + 3.6750i -1.1740 - 3.6750i

    2,2449

    0,32

    -1.1740 + 6.0910i -1.1740 - 6.0910i

    5,8037

    0,19

    Mirant la taula determinem que:

    K = 0'436

    llavors la funció G(S) ens queda: 6'63K = 3.05______

    s2 + 2.384s + 6'63K s2+2.384s + 3.05

    Les arrels d'aquest sistema són:

    -1.1920 + 1.2764i

    -1.1920 - 1.2764i

    3.2.2. Trieu el valor de K de forma que es compleixe l'especificació de sobrepic de l'apartat 3.2.1. i que el temps d'estabilització dins una banda del 2% al voltant del valor d'equilibri sigui menor o igual que 2.15s

    segons l'equació del temps d'assentament a una banda del 2%:

    nts = -1*ln(0.02*(1-2) 1/2) sabem que ts = 2.15s, llavors aïllem n

    

    n =-__ 1 _*ln(0.02*(1-0.6912) 1/2) = -0.643*ln(0.02*0.723) = 2.72 rad/s

    0.691*ts

     = n*(1-0.6912) 1/2 = 2.72*0.723 = 1.97i (de part imaginària)

    Per lo de l'esmorteïment, la K ha d'ésser més petita que 0.449, que és el valor màxim, per sobrepics més petits l'esmorteïment ha d'ésser més gran i la K més petita.

    Però, per pulsacions, quan més gran és la pulsació del sistema més petit és el temps d'establiment, per un temps d'establiment de 2.15s tenim una pulsació, de 2.72 rad/s

    -1.1740 + 1.7602i -1.1740 - 1.7602i

    0,6752

    -1.1740 + 2.3850i -1.1740 - 2.3850i

    1,0658

    Interpolant obtenim una K = 0.675 + (1.97-1.76)*(1.066-0.675) >= 0.806

    2.39-1.76

    Per tant, no és assolible el que ens proposem

    3.2.3. La figura 3 incorpora un determinat tipus de pertorbació al sistema. Trobeu la funció de transferència Y/P quan no tenim en consideració l'entrada del sistema u. Aquesta funció de transferència ens representa la resposta del sistema a les perturbacions. És el punt de vista del regulador.

    Regulación automática

    Mirant el sistema per una entrada r=0, tenim el següent:

    Regulación automática

    Y/P = G(S) = 6.63________

    1+KG(S) s2+2.348s+6.63K

    4. REALITZACIÓ DE LA PRÀCTICA

    4.2. Estudi del sistema sense controlar

    Observeu la resposta de G(s) en anell obert a l'aplicar-li un esglaó i al aplicar-li un impuls.

    Tenim que G(s) en anell obert és 6.63___

    s2+2.348s

    Al aplicar-hi un esglaó obtenim la següent resposta:

    Regulación automática

    I al aplicar-li un impuls unitari obtenim la següent resposta:

    Regulación automática

    4.3. Estudi de l'estabilitat

    Estudieu l'estabilitat del sistema, utilitzant els diagrames de bode amb g(s)

    A partir dels diagrames deduïu quin és el guany Klim a partir del qual el sistema realimentat es torna inestable.

    Tenim que G(s) en anell tancat és ___6.63K____

    s2+2.348s+6.63K

    Trazant el diagrama de Bode d'aquest sistema tenim:

    Regulación automática

    Representeu gràficament els pols i els zeros del sistema realimentat. Relacioneu la seva posició amb l'estabilitat.

    Regulación automática

    Aquí es pot veure que per Ks positives el sistema mai és inestable perquè les arrels sempre estàn a la part real negativa.

    4.4. ESTUDI DEL SISTEMA REALIMENTAT

    4.4.1. Comproveu que controlant el sistema amb el guany que heu obtingut a l'apartat 3.2.1. es compleix l'especificació de control SP<=5%

    El guany que s'ha obtingut es k = 0.436, aplicant un glaó al sistema amb el guany especificat s'ha obtingut la següent resposta temporal:

    Regulación automática

    El valor final és 1, i el sobrepic mirant el gràfic és 1.05 aproximadament, per tant es compleix l'especificació que ens han posat.

    4.4.2. Comproveu que controlant el sistema amb el guany que heu obtingut a l'apartat 3.2.2. es compleixen les especificacions de control SP<=5% i t<=2.15 s, Si no es poden complir les 2 simultàniament, busqueu una solució de compromís. És a dir un guany K que faci que ens acostem el màxim possible a les especificacions de control encara que no arriben a assolir-les.

    Segons lo de l'apartat 3.2.2., els resultats que tenim són:

    Per complir SP<=5% K < 0.449

    Per complir ts <=2.15s, K > 0.806 (aprox)

    Veiem que no podem complir les 2 especificacions que ens hem proposat, el que hem de fer és intentar acomplir les 2 quan més poguem.

    Especificacions a conseguir:

     > 0.707; n > 2.72  > 1.923

    Especificacions que podem obtenir:

     > 0.707; n < 2.72 Arrels (-1.1920 + 1.2764i,-1.1920 - 1.2764i) =1.192

    Podem intentar buscar el que s'acosti més a les nostres especificacions.

    No posarem les arrels reals perquè ens apareixerien pols costats de 0 que serien dominants i molt més lents

    La millor serà que tingui un esmorteïment el més pròxim al 5%, així la omega serà més gran. Posarem =0.691 (límit obtindrem  més gran)

    Per aconseguir-ho fem =1, llavors obtenim n=1.192/0.691 = 1.725 rad/s

    La K per aquesta funció és 1.7252/6.63 = 0.4488

    4.4.3. Observeu la resposta de Y quan apliquem al sistema controlat una perturbació en forma d'esglaó unitari. Per fer-ho utilitzar la funció de transferència que heu obtingut a l'apartat 3.2.3. tenint en compte el valor de K que heu escollit a l'apartat 4.4.2. Fixeu-vos en el pic que ens apareix en aquesta resposta.

    Y/P = G(S) = ___ 6.63________

    1+KG(S) s2+2.348s+6.63*0.214

    La resposta d'aquest sistema a un esglaó unitari és la següent:

    Regulación automática

    4.4.4. Escolliu un nou valor de K que ens faci que aquest pic sigui menor o igual a 2.25 i es segueixin complint tant com sigui possible les especificacions anteriors.

    El sobrepic que ens apareix al 4.4.1 per k = 0.436 és una mica superior a 2.25, per intentar que es rebaixi a 2.25 hem de disminuir el valor de K ja que el valor final:

    Vfinal de funció transfer perturbació = 6.63_ fent el limit

    6.63*K

    El sobrepic es calcula amb la fórmula ja donada a l'apartat 3.2.1.

    Cal relacionar el valor final amb el sobrepic

    Regulación automática

    1 + SP =2.25 aproximem dient que SP=5%, llavors obtenim la següent equació:

    K 100*K

    1 + 0.05 = 2.25 Obtenim K = 0.47

    K K

    Per aquesta constant K obtenim amb la perturbació (entrada 0), aquesta resposta:

    Regulación automática

    La resposta del sistema amb perturbacions = 0, ens donarà un sobrepic una mica més gran de 5% i un temps de retard més proper a 2.15s que abans. No podem aconseguir acostar-nos més a les especificacions.

    4.4.5. Utilitzeu el simulink per veure la resposta del sistema de la figura 3 quan tenum un esglaó unitari de consigna per t=1 s i un esglaó de pertorbació quan t=5s

    Sense perturbació:

    Regulación automática

    Regulación automática

    Amb perturbació:

    Regulación automática

    Regulación automática

    5.2.

    Expliqueu en aquest informe per què a l'apartat 4.4.5. la resposta del sistema no es torna a estabilitzar a y=1 després de l'esglaó de pertorbació. Es tornaria a estabilitzar a y=1 si hi poséssim un controlador PI?

    Això ens passa perquè a l'apartat 4.4.5. la pertorbació ens afecta el sistema i ens canvia el seu comportament.

    Podem demostrar-ho aplicant el teorema de superposició:

    Y/R = 6.63K Y/N = 6.63______ (en llaç tencat)

    s2+2.384s+6.63K s2+2.384s+6.63K

    la k que hem posat és 0.

    Aplicant el valor final per esglaons

    Lím Y/R = 1 Lím Y/N = 6.63 = 1_

    s->0 s->0 6.63*K K

    Sumant:

    Vfinal = 1+1/K = (K+1)/K (si K=0.436) 1.436/0.436 = 3.29

    Per això la resposta no se'ns estabilitza a y=1

    Un controlador PI (Proporcional Integratiu) el que ens fa és reduir-nos l'error del sistema (en el cas del nostre sistema, l'error que tenim en una rampa ens desapareixerà i el sistema podrà seguir-nos, però amb error, entrades de tipus paràbolic. Un controlador PI ens actua afegint un integrador i un zeroLa nova

    Suposem que el zero no ens afecta, llavors amb un integrador la funció de transferència Y/N és

    Y/P = G(S) = ___ 6.63s____

    1+KG(S) s2+3.348s+6.63K

    El seu valor final per esglaons és

    Lím s->0 Y/P = 0/6.63K = 0

    La funció

    Y/R = 6.63K El seu valor final és 1 (abans calculat)

    s2+3.348s+6.63K

    Aplicant el teorema de Superposició, el valor final que obtenim és:

    Vfinal = 0 +1 = 1

    Per tant se'ns estabilitza el sistema a 1, amb el controlador PI hem aconseguit eliminar els efectes de la perturbació.

    Disseny de Sistemes de Control fent servir

    el Lloc d'Arrels

    5.1. Anunciat del problema

    En aquesta pràctica aprendrem a dissenyar controladors del tipus PI, PD i PID fent servir la tècnica del lloc d'arrels. El sistema que es desitja controlar és un motor de corrent continu del qual se li vol controlar la posició del seu eix. L'esquema del sistema de control seria el següent:

    Regulación automática

    S'ha arribat a què el model d'un motor de corrent continu és el següent:

    Gp(s) = _ 1____ H(s) = 1 (sensor)

    s(s2+4s+5)

    Les especificacions de disseny que s'han fixat per la resposta temporal del sistema controlat són les següent:

    • La resposta del sistema controlat ha de presentar una resposta amb un sobrepic inferior al 5%

    • L'instant en què es produeix el sobrepic ha d'ésser igual a 2 s

    • L'error estacionari davant d'una consigna rampa ha d'esser inferior a 1

    5.2. Relació entre el lloc d'arrels i la resposta temporal

    El lloc d'arrels mostra l'evolució dels pols del sistema controlat en el plà complexe en funció d'un paràmetre de la funció de transferència en llaç obert, normalment el guany de l controlador. Si a partir del lloc d'arrels arribem a determinar els pols dominants del sistema controlat podrem predir quina serà la seva resposta temporal.

    Així, per exemple, si suposem que el sistema té 2 pols dominants:

    s = -n±j(1-2) 1/2*n =  ± d

    Llavors la seva resposta temporal davant d'una entrada graó unitari serà:

    Y(t) = 1- 1 *e-nt cos (dt - arcsin())

    (1-2) 1/2

    Sobre la qual es defineixen les següents característiques

    Temps de Pic: Tp = ___

    (1-2) 1/2*n

    Màxim Sobrepic: SP = 100*exp(__-__)

    (1-2) 1/2

    Temps establiment (2%) = 4/n

    5.3. Disseny de controladors P usant el lloc d'arrels

    Determineu el guany d'un controlador P (guany)

    Gp(s) = Kp

    Que proporcioni al sistema una resposta temporal amb un sobrepic inferior al 5%

    100*exp(__-__) = 5 solucionant s'obté >0.691

    (1-2) 1/2

    Pel temps d'establiment n=4/*ts = 2.83 rad/sec

    Per facilitat agafem =0.707 sabem que =cos 

     = arccos(0.707) = 45º tg  = part imaginària/part real, per tant:

    part real/part imaginària = cotg  = cotg 45 = 1

    Gp(s) = _ K____ H(s) = 1 (sensor)

    s(s2+4s+5)

    Pel lloc d'arrels

    1+KG(s)H(s) = 0 G(s)H(s) = 1/s(s2+4s+5)

    fem RLOCUS (num,den) i obtenim:

    Regulación automática

    Hem d'agafar l'area on es compleixi que >0.691 i obtenir una K

    Mirant les matrius que ens dona la funció RLOCUS veiem que:

    R1 R2 R3 K

    -0.7833 + 0.7578i -0.7833 - 0.7578i -2.4334 2.8905

    -0.7695 + 0.7876i -0.7695 - 0.7876i -2.4610 2.9840

    A partir d'aquí obtenim Kp = 2.97 (aproximadament)

    5.4. Disseny de controladors PI usant el lloc d'arrels

    La funció de transferència d'un controlador PI és:

    Gp(s) = Kp + Ki/s = K(s+a)/s

    El procediment de disseny de controladors PI fent servir el lloc d'arrels consta dels següents passos:

    • Determinar el guany Kp del sistema només amb el controlador P

    El guany del controlador P s'ha trobar a l'apartat 5.3. i es Kp = 2.97

    • Determinar  i n dels pols dominants del sistema sense controlar

    Això s'obté fent damp (den) obtenim  i n

    Eigenvalue Damping Freq. (rad/sec)

    0 -1.0000 0

    -2.0000 + 1.0000i 0.8944 2.2361

    -2.0000 - 1.0000i 0.8944 2.2361

    L'esmorteïment és 0.8944 i la frequència són 2.236 rad/sec

    • Per un sistema tipus I, escollirem inicialment:

    K = Kp a = 2 * n(1-82)

    • 9

    K = 2.97; a = 0.666*0.8944*2.236(1-0.888*0.89442) = 0.3852

    Si fós de tipus 0 escolliríem K = Kp a'= a*[(Ko+1)/ko]

    • Examinar el lloc d'arrels en funció del paràmetre a. Determinar un valor de a que ens proporcioni la màxima estabilitat relativa, o sigui, un factor d'esmorteïment de 0.7 pels pols dominants del sistema realimentat

    El lloc d'arrels ens calcula:

    NUM(s)

    H(s) = 1 + k ---------- = 0 on n(s)/d(s) = Gp(s)

    DEN(s)

    En el nostre càs hem de fer-ho variar amb el paràmetre a. Llavors:

    H(S) = 1 + K*H(s)G(s) = 1 + K(s+a)* 1____

    S s(s2+4s+5)

    Si ens donem compte ho estem variant amb el paràmetre K, llavors ho hem de transformar perquè ens variï amb el paràmetre a

    1+KGp(s)s + KGp(s)a = 1+KGp(s)+kGp(s)a = (sabent que K=2.97)

    s s s

    1+2.97Gp(s) + 2.97Gp(s)a = 1+2.97aGp(s)_ = 1+a*Ga(s)

    s s(1+2.97Gp)

    Calculant Ga(s):

    Ga(s) = __2.97*/(s3+4s2+5s) = 2.97

    s(1+2.97/s3+4s2+5s) s4+4s3+5s2+2.97s

    A partir d'aquesta funció que s'ha obtingut es dibuixa el lloc de les arrels i es troba la K per la qual obtinguem un esmorteïment de 0.7

    Regulación automática

    Examinant els vectors que ens dóna la funció rlocus podem determinar el paràmetre a del controlador PI, sabent que el seu esmorteïment ha d'ésser 0.7

    Com hem determinat abans, la relació entre part real i imaginària ha d'esser d'1

    R1 R2 R3 R4 K

    -0.0059 -0.7696 + 0.7782i -0.7696 - 0.7782i -2.4549 0

    -0.0183 -0.7655 + 0.7675i -0.7655 - 0.7675i -2.4507 0

    Davant la impossibilitat de trobar la K d'aquesta manera s'ha utilitzat la funció RLOCFIND per aproximar més el valor de K, s'ha trobat el següent:

    Punt seleccionat: -0.6995 + 0.6908i (molt pròxim a 45º)

    ans = 0.0076

    o sigui, la nostra a ens val 0.0076

    Per comprovar que és un valor adequat es dibuixa la resposta temporal del sistema amb el controlador PI a un esglaó i a una rampa

    La nostra funció de transferència en llaç tancat és:

    2.97(s+0.0076) _ _ = 2.97s+0.0226___

    s4+4s3+5s2+2.97s+0.076*2.97 s4+4s3+5s2+2.97s+0.023

    I les respostes a un esglaó i una rampa són:

    Regulación automática

    Regulación automática

    Com es pot veure, el sistema ens compleix 2 requeriments: no te error per una rampa i l'esmorteiment és <5%, però el temps de pic és >1 sec. Els PI van molt bé per disminuir l'eror dels sistemes (incrementar el tipus del sistemes) però com a contrapartida ens alenteixen els sistemes, aquests tenen un temps d'establiment major.

    5.5. Disseny de controladors PD usant el lloc d'arrels

    La funció de transferència d'un controlador PD és:

    Gp(s) = Kp + Kds = K(1+As)

    El procediment de disseny de controladors PD fent servir el lloc d'arrels consta dels següents passos:

    • Determinar el guany Kp del sistema només amb el controlador P que proporciona màxima estabilitat relativa, o sigui, un factor d'esmorteïment  = 0.7 pels pols dominants del sistema realimentat.

    Aquest valor de Kp ja ha estat calculat a l'apartat 5.3 i és: Kp = 2.97

    • Determinar el factor d'esmorteïment  i la frequència natural  del sistema sense controlar

    Això s'obté fent damp (den) obtenim  i n

    Eigenvalue Damping Freq. (rad/sec)

    0 -1.0000 0

    -2.0000 + 1.0000i 0.8944 2.2361

    -2.0000 - 1.0000i 0.8944 2.2361

    L'esmorteïment és 0.8944 i la frequència són 2.236 rad/sec

    • Escollir K/Kp > 1 fins a aconseguir un error estacionari raonable (menor que 0.1 davant d'un graó si el sistema sense controlar es de tipus 0, o bé, davant una rampa si el sistema sense controlar és de tipus 1

    L'error en estat estacionari per una rampa en el sistema amb controlador PD és:

    G(s) = Kp+KdS

    s(s2+4s+5)

    Kv = Lím s*(Kp+Kds) = Kp

    s->0 s(s2+4s+5) 5

    Ess = 1/Kv = 5/Kp en el problema ens diu que l'error ha de ser menor que 1: aixins:

    Tenim que Kp = 5, aquesta es la K que hauríem de posar perquè el sistema ens donés un error menor de 1.

    • Examinar el lloc d'arrels en funció del paràmetre A. Determinar el valor de A que ens proporcioni la màxima estabilitat relativa, o sigui, un factor d'esmorteiment de 0.7 pels pols dominants del sistema realimentat.

    El lloc d'arrels ens calcula:

    NUM(s)

    H(s) = 1 + k ---------- = 0 on n(s)/d(s) = Gp(s)

    DEN(s)

    En el nostre càs hem de fer-ho variar amb el paràmetre A. Llavors:

    H(S) = 1 + K*H(s)G(s) = 1 + K(1+As)* 1____

    s(s2+4s+5)

    Si ens donem compte ho estem variant amb el paràmetre K, llavors ho hem de transformar perquè ens variï amb el paràmetre a

    1+KGp(s) + KGp(s)As = 1+KGp(s)+kAsGp(s) = (sabent que K=2.97)

    1+2.97Gp(s) + 2.97Gp(s)As = 1+2.97AGp(s)s_ = 1+A*Ga(s)

    (1+2.97Gp)

    Calculant Ga(s):

    Ga(s) = 2.97s*/(s3+4s2+2.97s)_ = 2.97s____

    (1+2.97/s3+4s2+2.97s) s3+4s2+5s+2.97

    A partir d'aquesta funció que s'ha obtingut es dibuixa el lloc de les arrels i es troba la A per la qual obtinguem un esmorteïment de 0.7

    Regulación automática

    Examinant els vectors que ens dóna la funció rlocus podem determinar el paràmetre a del controlador PI, sabent que el seu esmorteïment ha d'ésser 0.7 aprox

    Com hem determinat abans, la relació entre part real i imaginària ha d'esser de 0.95

    R1 R2 R3 A

    -0.6124 -1.6938 + 1.4074i -1.6938 - 1.4074i 0.6479

    -0.5005 -1.7498 + 1.6950i -1.7498 - 1.6950i 0.9044

    La A aproximadament, interpolant ens ha de valdre

    Llavors s'agafa A = 0.875

    Un cop determinada la A, amb la K que s'ha aconseguit abans el controlador és:

    K(1+As) = 5(1+5*0.875s) = 2.97 + 2.6s

    La funció de transferència del sistema en llaç obert ens queda:

    5 + 2.31s en llaç tancat: 2.97+2.6s__

    s3+4s2+5s s3+4s2+7.6s+2.6

    Examinant el sistema per un graó i una rampa amb el controlador PD:

    Regulación automática

    Regulación automática

    Com es pot veure estem complint només 1 especificació: la de que el sobrepic no sigui superior al 5%. Això és degut a què el pol real ens afecta molt al sistema perquè es molt proper al 0. Tot hi aixó si miren les arrels del polinomi característic:

    Eigenvalue Damping Freq. (rad/sec)

    -0.5104 1.0000 0.5104

    -1.7448 + 1.6657i 0.7233 2.4122

    -1.7448 - 1.6657i 0.7233 2.4122

    Veiem que sense el pol real compliríem 2 especificacionsDISSENY DE CONTROLADORS PID USANT EL LLOC D'ARRELS

    La funció de transferència d'un controlador PID (Proporcionar integrador-derivador) és:

    Gc(s) = Kp + Kds + Ki/s = K(s+a)/s + Kas

    El procediment de disseny de controladors PID fent servir el lloc d'arrels consta dels següents passos:

    • Ajust del controlador PI amb A=0

    • Determinar el guany Kp del sistema només amb el controlador P que proporcioni un  de 0.7 pels pols dominants del sistema realimentat.

    Ja ha estat calculat a l'apartat 5.3 i és de: Kp = 2.97

    • Determinar  i n dels pols dominants del sistema sense controlar

    Això ha estat determinat a l'apartat 5.4 i els valors són:

     = 0.8944

    n = 2.236 rad/sec

    • Per un sistema tipus I, escollirem inicialment:

    K = Kp a = 2 * n(1-82)

    • 9

    Ha estat determinat a l'apartat 5.4 i el valor de a és:

    a = 0.3852

    Si fós de tipus 0 escolliríem K = Kp a'= a*[(Ko+1)/ko]

    • Examinar el lloc d'arrels en funció del paràmetre a. Determinar un valor de a que ens proporcioni la màxima estabilitat relativa, o sigui, un factor d'esmorteïment de 0.7 pels pols dominants del sistema realimentat

    Això ja ha estat determinar a l'apartat 5.4 i la funcio de transferència del controlador PI ens ha donat que era la següent:

    GPI = 2.97(s+0.0076)

    s

    Ajust del controlador PD amb a=0

    • Escollir K/Kp > 1 fins a aconseguir un error estacionari raonable

    Això ja ha estat determinat a l'apartat 5.5 i la Kp ha resultat ésser >=5

    • Examinar el lloc d'arrels segons el paràmetre A. Determinar un valor de A que ens proporcioni un =0.7 pels pols dominants del sistema realimentat

    Això ha estat calcular a l'apartat 5.5 i els valors són:

    A = 0.875

    GPD = 2.97(0.875s+1)

    • Ajust final del controlador PID

    La funció de transferència del PID segons els valors de A,a i K que hem obtingut és:

    Gc = Ki+Kp + Kds = 0.0226/s + 2.97+2.6s

    S

    La funció de transferència del sistema en llaç obert és:

    2.6s2 + 5s + 0.0226

    s2(s2+4s+5)

    Hem mirat les arrels del sistema i ens ha donat el següent:

    Eigenvalue Damping Freq. (rad/sec)

    -0.0078 1.0000 0.0078

    -0.5000 1.0000 0.5000

    -1.7461 + 1.6655i 0.7236 2.4131

    -1.7461 - 1.6655i 0.7236 2.4131

    Com que els 2 pols són molt pròxims al 0 ens alenteixen molt el sistema i el controlador no ens compleix totes les especificacions.

    Com que el sistema no tenia les prestacions desitjades s'ha anat variant els valors de K i A fins a aconseguir que es complissin les prestacions del sistema controlat

    Hauriem de trobar algun controlador que ens anulés l'efecte d'aquests pols reals.

    A partir d'aquí hem construit el lloc d'arrels; Pensant que si tenim una freqüència natural mes alta podem cancelar l'efecte dels pols reals i que el sistema ens compleixi totes les especificacions.

    Damping < 0.7

    Kv > 1

    Freqüència natural > 2.828

    Regulación automática

    Agafant un punt de freqüència mes alta obtenim:

    Hem agafat un punt que ens fes que la K > 5 (per complir l'error)

    Multiplicant tot pel factor 3 obtenim la següent funció transferència:

    Gp(s) = 7.8s2 + 8.91s + 0.0678_____

    s4 + 4s3 + 12.8s2 + 8.91s + 0.0678

    Les gràfiques de la resposta temporal per un esglaó i una rampa són:

    Regulación automática

    Regulación automática

    Així que el sistema ens compleix les 3 especificacions que li demanàvem.

    Disseny de Sistemes de Control fent servir

    Els diagrames de Bode

    6.1. Anunciat del problema

    En aquesta pràctica aprendrem a dissenyar controladors del tipus PI, PD i PID fent servir la tècnica dels diagrames de Bode. El sistema que es desitja controlar és un motor de corrent continu del qual se li vol controlar la posició del seu eix. L'esquema del sistema de control seria el següent:

    Regulación automática

    S'ha arribat a què el model d'un motor de corrent continu és el següent:

    Gp(s) = _ 1____ H(s) = 1 (sensor)

    s(s2+4s+5)

    Les especificacions de disseny que s'han fixat per la resposta temporal del sistema controlat són les següent:

    • La resposta del sistema controlat ha de presentar una resposta amb un sobrepic inferior al 5%

    • L'instant en què es produeix el sobrepic ha d'ésser igual a 2 s

    • L'error estacionari davant d'una consigna rampa ha d'esser inferior a 1

    De la pràctica anterior havíem deduït que:

    Per complir aquests 3 requisits els valors que hem de complir són:

    n > 2.828 (complir que ts<2 sec)

     > 0.691 (complir que el SP<5%)

    Kv > 1 (per complir l'error en estat estacionari d'una rampa)

    6.2. Relació entre les especificacions temporals i freqüencials

    A partir del diagrama de Bode del sistema a controlar es pot predir en molts casos la resposta temporal del sistema realimentat (pel cas de realimentació unitària). Així es pot demostrar que per un sistema controlat amb dos pols dominants:

    S = -n ± j(1-2) 1/2 n

    La freqüència de tall obtinguda a partir del diagrama de Bode del sistema sense controlar és aproximadament igual a la freqüència natural del sistema controlat:

    Per altra banda, a partir del marge de fase obtingut a partir del diagrama de Bode del sistema sense controlar es pot predir quin serà el valor del factor d'esmorteïment del sistema controlat:

     = 0.01*MF

    6.3. Disseny de controladors P fent servir el diagrama de Bode

    Determineu el guany d'un controlador de proporcional:

    Gp(s) = Kp

    Que proporcioni al sistema controlat una resposta temporal amb SP < 5%

  • Sabem que  = 0.01*MF llavors el MF = 70º pel sistema amb SP < 5%

  • Primerament hem de fer el diagrama de Bode de Gb(s) = G(S)*H(S)

    Gb(s) = _ _1____ (cal fer el diagrama de Bode d'això)

    s(s2+4s+5)

    Per obtenir els marges de fase i de guany del sistema necessitem utilitzar la funció MARGIN (num,den) on num,den són el numerador i denominador de la funció

    G(s)*H(s) i estan amb la variable s de Laplace.

    Regulación automática

    MG = 20; MF = 80.88º

    Hem d'aconseguir reduir el MF de 80.88º a uns 70º, sabem que hem d'obtenir el guany per un marge de fase de 70º i restar-lo del de 80.88º per obtenir el guany en dB que serà la K que hem de posar.

    De les matrius de Bode hem obtingut el següent

    MAG DB PHASE W

    0.452 (-6.89) -109.7879 0.3511

    0.362 (-8.83) -114.3574 0.4329

    Interpolant entre els valors de la taula anterior, obtenim que per una PHASE de 70º, el guany en dBs ha d'ésser de -7 dB

    Sabent que la K inicial fóra 1, llavors hem d'obtenir la nova K per la qual el guany ens puja 7 dB perquè el marge de fase ens sigui de 70º

    K = 7dB = 2.238

    Ara s'ha tornat a dibuixar el diagrama de Bode per comprobar la validesa de la K

    G(S)H(S) = _ _K____ (on K = 2.24) Fem el diagrama de Bode d'aquesta funció

    s(s2+4s+5)

    Regulación automática

    S'ha fet margin per obtenir els marges de fase i guany del sistema

    Regulación automática

    Per tant es pot veure que complim l'especificació que el marge de fase sigui menor de 70.

    Regulación automática

    Com veiem l'esmorteïment és molt inferior al 5%, això es degut a què la formula que hem utilitzat és molt aproximada.

    6.4. DISSENY CONTROLADORS PI USANT DIAGRAMA DE BODE

    La funció de transferència en el domini freqüencial d'un controlador PI és:

    Gc(j) = K(1+ j/a)

    j/a

    El disseny de controladors PI consisteix en determinar els paràmetres K i a del controlador fins aconseguir que el sistema controlat funcioni amb les prestacions desitjades.

    El procediment de disseny de controladors PI amb els diagrames de Bode consta dels següents passos:

    • Obtenir el diagrama de Bode de KGp(s) per al sistema sense controlar prenent K=Kp, essent Kp el gyuany del controlador proporcional calculat a l'apartat 6.3

    Regulación automática

    • Determinar la freqüència del marge de fase , el marge de fase  i el coeficient d'error del sistema controlat per un controlador P, a partir del diagrama de Bode de l'apartat anterior.

    Regulación automática

    d'aquí obtenim les següent dades:

     = 0.436 rad/sec; MF = 70º; Kv = 5/2.238 = 2.234

    • Escollir a = 0.1 per tal de mantenir el marge de fase del sistema controlat al volar fixat mitjançant el controlador P

    a = 0.1 = 0.436*0.1 = 0.0436 rad/sec

    • Escollir K=Kp

    K = Kp = 2.238

    • Obtenir el diagrama de Bode de G'c( j)Gp(j) on G'c(s) és la funció de transferència del controlador PI sense el factor K

    G'c*Gp = (1+a/s) = s+a . (Fer el diagrama de Bode d'aquesta funció)

    s(s2+4s+5) s2(s2+4s+5)

    Regulación automática

    • Determinar el nou marge de fase tenint en compte que la nova freqüència de tall  és la freqüència a la qual:

    |G'c( j)Gp(j)| = 1/k

    Regulación automática

    d'aquí obtenim el marge de fase que són 68º i la freqüència de tall és 0.2035

    • Variar els paràmetres K i a fins aconseguir les prestacions de disseny establertes

    Amb el que hem trobat a l'apartat anterior veiem que el marge de fase és 68º, per tant se'ns compleix que més o menys l'esmorteïment es 0.7. La freqüència de tall és

    |G'c( j)Gp(j)| = 1/k

    1/k = 0.2035/0.436 = 0.47 d'aquí obtenim que la K = 2.13

    Hem obtingut: a = 0.0436; K = 2.13, per verificar que es compleixen les especificacions grafiam les respostes a una rampa i a un esglaó.

    La funció de transferència a considerar serà

    Gc = K(1+a/s) = 2.13(1+0.0436/s)

    Gp = 1/ s(s2+4s+5)

    GcGp = 2.13(1+0.0436/s) = 2.13s+0.0929

    s(s2+4s+5) s2(s2+4s+5)

    I la funció en llaç tancat és:

    M(s) = GcGp = _____2.13s+0.0929_____

    1+GcGp s4+4s3+5s2+2.13s+0.0929

    Les arrels del polinomi característic son:

    Eigenvalue Damping Freq. (rad/sec)

    -0.0490 1.0000 0.0490

    -0.9385 + 0.1804i 0.9820 0.9557 (el sistema s'ens ha alentit molt)

    -0.9385 - 0.1804i 0.9820 0.9557 (Hi ha pols dominants reals)

    -2.0739 1.0000 2.0739

    Les respostes a una rampa i un esglaó del sistema són:

    Regulación automática

    Això es degut a l'efecte que el 0 ens produeix, hem de mirar de triar una altra a per minimitzar l'efecte d'aquest 0 sobre el nostre sistema.

    S'ha variat la a fins a fi de baixar l'esmorteiment per intentar disminuir el sobrepic

    La nova funció de transferència és: S'ha establer a = 0.0167

    M(s) = GcGp = ______2.13s+0.05______ (es un sistema de tipus II)

    1+GcGp s4+4s3+5s2+2.13s+0.05

    Regulación automática

    Els valors finals del controlador PI són

    K = 2.13, a = 0.0167

    Ens compleix: esmorteïment menor de 5% i l'error en entrada rampa ja que

    Degut a l'integrador aquest error és 0 (el nostre sistema és ara de tipus II)

    6.5. DISSENY CONTROLADORS PD USANT DIAGRAMA DE BODE

    La funció de transferència d'un controlador PD en el domini freqüencial és:

    Gc(j) = K(A j+1)

    El disseny de controladors PD consisteix en determinar K i A del controlador fins aconseguir que el sistema controlat funcioni amb les prestacions desitjades.

    El procediment de disseny de controladors PF fent servir el diagrama de Bode consta dels següents passos:

    • Obtenir el diagrama de Bode de KGp(s) per al sistema sense controlar prenent K=Kp, essent Kp el gyuany del controlador proporcional calculat a l'apartat 6.3

    Regulación automática

    • Determinar la freqüència del marge de fase , el marge de fase  i el coeficient d'error del sistema controlat per un controlador P, a partir del diagrama de Bode de l'apartat anterior.

    Regulación automática

    d'aquí obtenim les següent dades:

     = 0.436 rad/sec; MF = 70º; Kv = 5/2.238 = 2.234

    • Obtenir el diagrama de Bode de KAsGp(s) fins a determinar el valor del producte KA que proporcioni la freqüència de tall i el marge de fase adequat

    Hem d'obtenir el diagrama de Bode de la següent funció:

    KAsGp(s) = 2.238*As (el diagrama de Bode d'aquesta funció és

    s(s2+4s+5)

    per K = 2.23 A =1

    Regulación automática

    No presenta ni marge de fase ni marge de guany

    Per K = 2.23; A =3

    Regulación automática

    no presenta marge de guany i el marge de fase és: 111º

    per K = 2.23, A =5

    Regulación automática

    No presenta marge de guany i el marge de fase és 76º

    Per K = 2.23; A = 6

    Regulación automática

    No presenta marge de guany i el marge de fase és 68.4º

    S'ha interpolat entre A = 5 i A =6 i s'ha establert una A = 5.8 per obtenir més o menys un marge de fase de 70º; s'ha obtingut que: KA = 2.238*5.8 = 12.98

    • Obtenir el diagrama de Bode KA(s+1/A)Gp(s) per a diversos valors de K i A = KA/K. Escollir els valors adequats de K i A per tal d'obtenir un coeficient d'error estacionari, una freqüència de tall i un marge de fase desitjat

    A l'anterior pràctica vam deduir que perquè complíssim l'espeficicació de l'error necessitàvem una K>5, llavors agafem el cas limit: K = 5; A = 12.98/5 = 2.6

    I en fem el diagrama de Bode de 12.98(s+0.385) = 12.98s + 5

    s(s2+4s+5) s(s2+4s+5)

    Regulación automática

    MF = 63º,  = 3.03 rad/sec

    Es creuen aquests valors correctes pel compliment de les nostres especificacions.

    Per corroborar-ho obtindrem les respostes temporals del sistema amb el controlador enfront una rampa i d'un esglaó:

    El sistema en llaç tancat és GpGc = 12.98s + 5___

    1+GpGc s3+4s2+17.98s+5

    Regulación automática

    I enfront una rampa la seva resposta temporal és:

    Regulación automática

    Com es pot veure l'error es 1, per tant el sistema també ens compleix aquesta

    Especificació

    Mirarem perquè la gràfica de la resposta temporal ens dona tan rara:

    Les arrels del polinomi característic són:

    Eigenvalue Damping Freq. (rad/sec)

    -0.2962 1.0000 0.2962

    -1.8519 + 3.6679i 0.4507 4.1089

    -1.8519 - 3.6679i 0.4507 4.1089

    Veiem que tenim un pol dominant real i que , per tant, la funció se'ns aproxima a una de 1er ordre, per això el sistema té aquesta resposta tan rara. Tot hi això aquest sistema ens compleix les especificacions desitjades.

    6.6. DISSENY DEL CONTROLADOR PID

    La funció de transferència del controlador PID en domini freqüencial és:

    Gc(j) = K(j+a) + KA j

    j

    El procediment de disseny de controladors PID en el domini freqüencial es pot expressar com la combinació d'un PI més un PD.

    • ajust del controlador PI, fent A = 0

    • Obtenir el diagrama de Bode de KGp(s) per al sistema sense controlar prenent K = Kp, essent Kp el guany determinar a l'apartat 6.3

    • Determinar la freqüència de marge fase, el marge de fase i el coef. Error del sistema controlat per un controlador P, a partir del diagrama de Bode

    Això s'ha fer a l'apartat 6.4. i els resultats han estat els següents:

     = 0.436 rad/sec; MF = 70º; Kv = 5/2.238 = 2.234

    • Escollir a = 0.1

    Aa = 0.1 = 0.436*0.1 = 0.0436

    • ajust del controlador PD, fent a = 0

    • escollir K = Kp

    la Kp l'hem trobada a l'apartat 3 i és 2.238

    • Obtenir el diagrama de Bode de KAsGp(s) fins a determinar el valor del producte KA que proporcioni la freqüència de tall i el marge de fase desitjat.

    El producte KA s'ha determinat a l'apartat 6.5 i és 12.98

    • Obtenir el diagrama de Bode de KA(1+1/A)Gp(s) per a valors de K i A=KA/K. Escollir els valors adequats de K i A per tal d'obtenir un coeficient d'error estacionari, una freqüència de tall i un marge de fase desitjat

    Aquestos valors de K i A=KA/K s'han trobat a l'apartat 6.5 i són

    K = 5; A = 2.6

    • ajust del controlador PID

    • Escollir K i A obtinguts a l'ajust del PD i a de l'ajust del PI

    A= 2.6, K = 5, a = 0.0436

    • Obtenir el diagrama de Bode de G'c(j)Gp(j) on Gc'(s) és la funció de transferència del controlador sense el factor K

    G'c(s) = (s+a) + As = As2+s+a

    s s

    GpGc'(s) = s2+As+a = 2.6s2+s+0.0436

    s2(s2+4s+5s) s2(s2+4s+5s)

    Hem de fer el diagrama de Bode d'aquesta funció, que es aquest:

    Regulación automática

    • determinar el nou marge de fase tenint en compte que la nova freqüència de tall es la freqüència per la qual

    |Gc'(j)*Gp(j)| = 1/k

    No presenta marge de guany i el marge de fase és: 99,5º, la freq de tall és 0.21 rad/sec

    Com que aquest marge que hem obtingut no ens val, intentarem buscar la K que ens faci complir les especificacions establertes.

    PHASE MAG W

    -109.2050 0.2422 2.613

    -110.0909 0.2374 2.656

    Per un MF de 70º obtenim K = 4.23 i W = 2.651

    K = 4.23, A = 2.6, a = 0.0436

    S'ha mirat la resposta temporal per un esglaó amb aquest PID

    G(s) = 4'23(2'6s2+s+0.0436) i s'ha obtingut que:

    s2(s2+4s+5)

    Regulación automática

    Com es pot veure, la resposta temporal és molt rara, mirem els pols i zeros de la funció

    Eigenvalue Damping Freq. (rad/sec)

    -0.0548 1.0000 0.0548

    -0.2252 1.0000 0.2252

    -1.8600 + 3.3889i 0.4811 3.8658

    -1.8600 - 3.3889i 0.4811 3.8658

    Els pols reals ens afecten molt a la resposta, ens l'alenteixen i per això tenen aquesta forma tan rara, hauríem d'intentar aconseguir reduir una mica el seu efecte variant la a

    S'ha agafat la a obtinguda a l'apartat 6.3 ; a=0.1, llavors hem obtingut la següent resposta:

    Regulación automática

    Finalment s'ha determinat quina K ens donaria un sobrepic més pròxim al 5%, s'han anat probant diferents valors de K i finalment s'ha obtingut que una K de 6.5 ens donaba una resposta temporal com aquesta:

    Regulación automática

    I per una rampa

    Regulación automática

    Es compleix el requisit de la rampa i el requisit de l'esmorteiment, el del sobrepic es compleix tot hi que després el sistema ens fa coses rares degut als pols reals, per intentar millorar el sistema es podria utlitzat un muntatge en cascada amb el controlador PID i el sistema i abans un filtre que aconseguis baixar l'efecte d'aquests pols reals que tenim tan a prop de l'origen

    DISSENY D'UN SISTEMA DE CONTROL REAL (I)

  • Objectius

  • Amb aquesta pràctica es pretén realitzar la indentificació d'un procés físic real, amb característiques d'una forta no-linealitat i de difícil modelatge amb la finalitat d'obtenir un model matemàtic discret que descrigui la seva dinàmica. El sistema sobre el qual farem la identificació es troba representat en la figura 1.

    Regulación automática

    2. Descripció del sistema

    Es tracta d'un motor de corrent contínua amb una hèlix que impulsa el vent cap una placa lleugera i rígida (de porexpan), disposada verticalment en estat de repós i que per acció del vent impulsat, pot moure's entorn de l'eix horitzontal a la qual està fixada, describint un cert angle respecte la vertical.

    L'entrada del sistema serà la tensió aplicada al motor i la sortida, la tensió que ens dóna un potènciometre.

    El sistema es pot desglossar en diversos subsistemes connectats en sèrie, de manera que la funció de transferència global la podrem obtenir multiplicant les funcions de transferència parcials. Fent això s'obté la següent definició del sistema global:

    G(s) = Vpotenciòmetre

    Vmotor

    Els subsistemes presents en aquest procés són el motor de CC, les hélices, el pèndol amb la planxa de porexpan i el potenciómetre. Podent-los esquemetitzar de la forma que mostra la figura 2

    Regulación automática

    • Motor CC: respòn a un sistema de primer ordre

    • Hélices: Es consideren que tenen un comportament proporcional

    • Pèndol: La pressió de l'aire que provoquen les hélices, provoca un moment sobre el centre màssic de la planxa, provocant el balanceig. El tipus de comportament d'aquest subsistema vindrà donat pel conjunt de moments que actuen sobre la planxa.

    • Potenciòmetre: Es un amplificador operacional i té un comportament linial.

  • Fonaments

  • És molt important obtenir els models dels processos ja que la majoria de tècniques de control digital avançat estan basades en un model del procés a controlar. Les tècniques d'obtenció dels models dels processos, en general, segueixen dos camins:

    • Si la dinàmica de model pot ser raonablement modelada mediant equacions diferencials, podem obtenir un model continu del procés en el que, habitualment, faltarà determinar certs paràmetres. Per obtenir aquests ens serà suficient conèixer la resposta temporal a una entrada graó unitari o obtenir diagrames de Bode

    • Si la dinàmica del model és molt difícil de modelar en termes d'equacions diferencials, podem optar per determinar directament el model del procés. Per fer-ho un primer pas seria establir una primera estimació dels ordres i del retard del nostre model i, posteriorment, aplicar alguna tècnica d'estimació paramètrica per obtenir els paràmetres concrets del model.

    Nosaltres ens trobem en el primer cas, per tant, el que farem serà trobar les equacions físiques del sistema.

  • Modelat del sistema amb equacions físiques

  • A partir del següent diagrama de forces plantejarem les equacions dels moments que actuen en el subsistema Pèndol+Planxa de porexpan:

    Regulación automática

    Les lleis de la mecànica ens diuen, pel principi d'Alembert:

    o Moments - I* = 0

    En aquest cas, segons el diagrama de la pàgina anterior, els moments que actuen són:

    Mpes = m*g*Rcm* sin 

    Mfr = f*

    Maire = Fa*cos *Rcm

    Substituint ens queda que:

    m*g*Rcm* sin  + f* - Fa*cos *Rcm + I* = 0 (EQ-1)

    Sabem que el moment d'inèrcia d'una barra és

    I = m*Rcm2/12

    Per tant substituint I a l'expressió ens queda l'equació que modelitza el sistema

    m*g*Rcm* sin  + f* - Fa*cos *Rcm + *m*Rcm2/12 (EQ-2)

    On:

    Rcm Radi del centre de masses (en m)

    g Acceleració de la gravetat (m/s2)

    I Moment d'inèrcia d'una barra (kg*m2)

    Fa Força de l'aire (N)

    f Força de Rossament (N)

     Acceleració angular de la barra (rad/ s2)

    m Massa de la planxa porexpan (Kg)

    Tenim els següens valors:

    g = 9'81 m/ s2

    m = 22 g = 0'022 Kg

    • Problema: No coneixem els paràmetres f,Fa i Rcm.

    En general en quansevol sistema que volguem identificar ens trobarem amb una sèrie de paràmetres desconeguts. Aquests poden ser classificats en 2 grups:

    • Paràmetres que són fàcilment mesurables, en el nostre cas Rcm

    • Paràmetres que són més dificils o impossibles de mesurar, ja sigui perquè la seva mesura només es pot fer amb aparells sofisticats o simplement, no podem accedir-hi, en el nostre cas Fa i f.

    Per tal de poder fer la identificació dels paràmetres desconeguts es farà el següent

    • Trobar el model lineal a partir de l'equacio (EQ - 2) que ens defineix el model no linial.

    • Fer porces en el laboratori per tal de determinar paràmetres d'un sistema de segon ordre (n, , K)

    5. Linealització del model

  • Donada l'equació diferencial (EQ - 2) que modelitza el sistema planxa-pèndol, es demana linealitzar-la per angles petits (al voltant de zero). Aquesta imposició ens permet donar com a vàlida l'aproximació sin  =  i cos  = 1

  • m*g*Rcm* sin  + f* - Fa*cos *Rcm + *m*Rcm2/12 = 0 fent les substitucions:

    m*g*Rcm* + f* - Fa*Rcm + *m*Rcm2/12 = 0

    • Determinar la funció de transferència a llaç obert (s) / Fa(s) a partir del model lineal.

    L'expressió que s'obté serà l'equació EQ-3. Completeu-la

    m*g*Rcm* + f* - Fa*Rcm + *m*Rcm2/12 = 0 (fent transformades de Laplace)

    m*g*Rcm*(s)+ f*s(s) - Fa(s)*Rcm + s2(s)*m*Rcm2/12 = 0

    (s) = Rcm______________

    Fa(s) s2*m*Rcm2/12 + f*s + m*g*Rcm

    (s) = 12/(Rcm*m)_______

    Fa(s) s2 + (12*f/m*Rcm2)s+ 12g/r

    • Observeu que la funció de transferència obtinguda es correspon amb un sistema de segon ordre del tipus:

    Y(S) = K*n2_____

    R(S) s2 + 2n*s+ n2

    • Així doncs, si arribem a identificar els paràmetres del sistema (n, K, ) podem trobar els paràmetres físics desconeguts i per tant acabarem obtenint l'expressió del model del sistema.

    A partir d'aquesta equació podem relacionar els paràmetres del sistema de segon ordre i relacionar-los amb els paràmetres físics

    n2 = 12g/r n = (12g/r) 1/2

    2n* = 12*f/m*Rcm2  = 6*f/(m*Rcm2(12g/r) 1/2)

    Kn2 = 12/(Rcm*m) K =1/mg

    6. Determinació dels paràmetres del model mitjançant tècniques d'identificació de Sistemes

    Un cop trobat el model lineal del subsistema del pèndol, el que volem ara és determinar els paràmetres que no coneixem (f,Fa,Rcm). Per fer-ho hem vist que primer ens cal trobar els valors (n, , K). Sabem que aquests valors els podem trobar coneixent algunes de les característiques de la resposta temporal del sistema a un esglaó.

    Per tal de trobar aquesta informació s'han fet probes sobre el sistema físic global (tots els subsistemes).

    • Hem aplicat a t=0.5 s, una tensió graó de 4 V, a l'entrada del motor, obtenint a la sortida del potenciòmetre la resposta que mostra la figura 4 (NO REPRODUÏDA AQUÍ)

    Observacions: Sobre el sistema físic nosaltres només podem obtenir la sortida del potenciómetre quan li entren una tensió al motor. Per tant estem obtenint la resposta del sistema global que correspon a la fig.2, en canvi a nosaltres ens interessa identificar els paràmetres a partir del subsistema del qual he obtingut el model linear, el subsistema “pèndol + planxa”. En aquest subsistema hi entra una força (la força de l'aire Fa) i s'obté com a sortida un angle . Aixi doncs, l'esquema de la figura 4 és la resposta a:

    Vpotenc = Fa *  * Vpotenc

    Vmotor Vmotor Fa 

    Segons les especificacions donades a l'apartat 2 sobre el comportament de cada un dels subsistemes, podem expressar:

    Vpotenc = K1e-Tds * _K2*K3* n2__

    Vmotor Ts+1 s2+2ns +n2

    Per tal de no complicar la identificació del sistema considerarem que la dinàmica del motor és molt més ràpida que la de la planxa de porexpan, el qual significa que els dos pols complexes són dominants. Fent aquesta consideració l'expressió anterior ens queda de la forma:

    Vpotenc = K1K2*K3* n2__ * e-Tds

    Vmotor s2+2ns +n2

    • K3 és la constant que ens relaciona l'angle (en rad) amb la tensió i que mesurant-la en el laboratori ens ha donat un valor de K3 = 6,37

    • K1 i K2 les trobarem a partir de l'estudi de la resposta de la figura4

    En el nostre sistema global l'expressió de (EQ-4) seria substituida per l'expressió de (EQ-5)

    Nota: Com aclariment direm que tot i veure a partir de la figura 4 que tenim un sistema de tercer ordre, per la forma de la resposta, nosaltres l'aproximarem a un sistema de 2on, segons pols dominants ja que són els sistemes que millor coneixem.

    Identificació: Sobre la resposta de la fig.4 veiem que podem extreure els valors dels següents paràmetres:

    Tpic = 1'1 sec Temps de pic

    Mpic = 4'12 V Magnitud del sobrepic

    Td = 0'25 sec Temps de retard

    La sortida del sistema controlat se'ns estabilitza a 4'1 V (aprox)

    Com es pot observar el sobrepic és molt baix, de l'ordre del 3%. Quan ens trobem amb aquests casos el paràmetre de sobrepic i temps de pic no ens serveixen per identificar el sistema. La identificació serà molt més bona si utilitzem el paràmetre temps de pujada, que podem extreure de la figura 4 i que té un valor de:

    Tpj = 0'12 sec Temps de pujada (del 10% al 90%)

    La fòrmula per obtenir el temps de pujada és

    Tpj*n = 1-0'4167+2'9172

  • A partir dels valors anteriors extrets del gràfic de la resposta temporal de la fig.4 trobar els paràmetres (n, , K) Corresponent a la funció de transferència de 2 ordre(EQ-5).

  • K = K1K2K3. Podeu utilitzar les fórmules del temps de pujada per trobar n i el sobrepic per calcular l'esmorteïment

    • A partir del sobrepic determinarem l'esmorteïment del sistema

    SP = exp(-/(1-2))

    0'03 = exp(-/(1-2) 1/2) ln 0'03 = -/(1-2) 1/2

    2*ln 0'03 = -22/(1-2) Operant

    0.7106 = 2/(1-2)

    1.71062 = 1  = 0.765 (Esmorteïment del sistema)

    Cal tenir en compte que la  que hem trobat no és la real, s'hauria d'utilitzar algun altre paràmetre que no el sobrepic. L'esmorteiment real del sistema s'acostarà molt més a 1. A partir del temps de pujada determinarem la freqüència del sistema

    Tpj*n = 1-0'4167+2'9172

    0'12*n = 1-0'4167+2'9172 = 1-0'4167*0.765 + 2'917*0.7652

    0'12*n = 2.387 n = 19.89 rad/sec

    • la K total la obtindrem comparant valor final de sortida i valor d'entrada

    K = Vout = 4'1 = 1.025

    Vin 4

  • A partir dels paràmetres anteriors i la funcio de transferència trobada (EQ-3) identificar els paràmetres K1,K2,f,Rcm

    • A partir del que hem trobat abans sabem:

    n = (12g/r) ½ n = 19'89 rad/sec

     = 6*f/(m*Rcm2(12g/r) 1/2)  = 0'765

    K2 =1/mg

    • Substituint determinem tots els paràmetres que no sabem

    19'89 = (12g/r) ½

    395.6 = (117.7/Rcm) Rcm = 0.298 m

    K2 =1/mg = 1/0.022*9.81 K2 = 4.633

    K1K2K3 = 1.025

    K1*4.633*6.37 = 1.025 K1 = 0.0347

    0.765 = 6*f/(m*Rcm2(12g/r) 1/2)

    0.585 = 36*f2/(m2*Rcm4*12g/r)

    0.585 = 36*f2/(0.02220.2984*395.56)

    f2 = 2.4387e-005 f = 0.0049

  • Donar l'expressió de la funció de transferència (EQ-3) amb els valors dels paràmetres

  • (s) = 12/(Rcm*m)_______ = 1833_______

    Fa(s) s2 + (12*f/m*Rcm2)s+ 12g/r s2 + 30.41s + 395.6

  • Donar l'expressió de la funció de transferència (EQ-5)

  • Vpotenc = K1K2*K3* n2__ * e-Tds = 405.5_______* e-0'25s

    Vmotor s2+2ns +n2 s2 + 30.41s + 395.6

    7- Simulació del model lineal obtingut mitjançant SIMULINK

    Arribats a aquest punt ja tenim el model del sistema físic real. Per tal de veure si el model calculat es comporta d'igual forma que el físic caldrà entrar en una fase de testeig del model.

    Com a comprovació de que el model lineal obtingut és vàlid es demana fer una simulació del sistema obtingut amb SIMULINK. Representeu la sortida del sistema per una entrada graó de 4V i comproveu si es correspon amb la resposta temporal de la fig 4

    Regulación automática

    Per una entrada de 4V graó unitari la resposta ha estat de:

    Regulación automática

    Comparant aquesta gràfica amb la que ens donen a l'apartat 4 veiem que són força semblants tot hi que a la de la fig-4 hi ha moltes discontinuitats. Es pot veure que l'instant en que es produiex el sobrepic és a 0.97 s, i ens havien dit que apareixia a 1.1 s això es l'error que hi ha al agafar la linialització dels paràmetres i a utilitzar la formula del sobrepic, que es molt inexacte perque el que ens apareix es molt petit.

    La senyal s'estabilitza a 4'1 V a més o menys 1.2 sec en canvi en l'altre hi ha certes oscilacions i s'estabilitza pels volts d'1.6 sec.

    8- Simulació del model no linealitzat i comparació amb el model linealitzat

    de la mateixa manera que abans hem simulat el model lineal per SIMULINK, ara es demana simular amb aquest paquet el model no lineal.

  • Implementar el model no lineal en blocs SIMULINK a partir de l'equació diferencial no lineal.

  • m*g*Rcm* sin  + f* - Fa*cos *Rcm + *m*Rcm2/12 = 0

    valors obtinguts: m = 0.022 kg, Rcm = 0.2976 m, f = 0.0049, g = 9.81 m/s2

    Substituint queda:

    0.0642* sin  + 0.0049* + 0.00016237* = 0.2976*Fa*cos  arreglant-ho

     + 30.18 + 395.15 sin  = 1833*Fa* cos 

    Aquesta es la funció que tenim per introduirla en el SIMULINK

    En el simulink es fa la simulació del sistema següent:

    Regulación automática

    Regulación automática

    No es correspon exactament amb el model trobar a l'apartat lineal, en aquest el sobrepic és quasi nul, es pot dir que l'esmorteïment del sistema és de 1 aproximadament.

    Tot hi aixó es considera que el model lineal és vàlid per angles petits

  • A partir del diagrama en SIMULINK que heu representat, trobar quines tensions cal aplicar al motor per tal d'obtenir els següents angles de sortida

  • Sabem que la constant del potenciòmetre és 6.37 per tant podem comparar amb voltatges

    out Vpot

    Vin

    10

    1.57

    1.32

    20

    3.14

    2.87

    30

    4.71

    4.85

    45

    7.07

    10.9

    25

    3.93

    3.85

    Utilitzant el model no lineal els resultats aproximats són aquests, es pot veure que el Vin a 45º es separa moltíssim del de 30º

  • Comparar les respostes temporals entre el model lineal i el no-lineal. Per fer-ho es demana que prenent els Vin trobats de la taula sobre el model no lineal s'apliquin aquests valors com a entrada graó del sistema SIMULINK del model lineal. Comparar les sortides dels angles i les respostes gràfiques

  • Ara s'ha agafat el model no lineal i s'han obtingut els angles a partir del voltatge

    out Vpot

    Vin (no Lin) Vin (Linear)

    10

    1.57

    1.32

    1.53

    20

    3.14

    2.87

    3.06

    30

    4.71

    4.85

    4.59

    45

    7.07

    10.9

    6.89

    S'han comparat les gràfiques del sistema linial i del no-linear per tots els valors de la taula

    Angle 10º

    Regulación automática

    Angle 20º

    Regulación automática

    Angle 30º

    Regulación automática

    angle 45º

    Regulación automática

  • A partir dels resultats anteriors, dir a partir de quins angles el sistema deixa de ser lineal

  • Veient els resultats podem apreciar que a una franja entre 30º - 45º el sistema ens deixa de ser lineal. Podem intentar averiguar més punts per determinar més exactament on hem de deixar el sistema lineal.

    out Vpot

    Vin (no Lin) Vin (Linear)

    30

    4.71

    4.85

    4.59

    31.5

    4.95

    5.23

    4.83

    33

    5.18

    5.75

    5.05

    35

    5.5

    6.42

    5.37

    A partir dels 32º Aproximadament el sistema deixa de ser lineal i el nostre model lineal ja no ens he serveix. Això es degut a què les simplificacions ja no ens funcionen:

    Cos 32 0.85 cos 0 = 1 (aproximació ja molt dolenta)

    Sin 32 0.53  = 0.56

    DISSENY D'UN SISTEMA DE CONTROL REAL (II)

  • - Enunciat del problema de control

  • En aquesta pràctica dissenyarem un sistema de control per tal de controlar la posició de l'eix del sistema format per la planxa i el ventilador presentat en la pràctica anterior..

    Regulación automática

  • Donar l'expressió de la funció de transferència (EQ-5)

  • Vpotenc = K1K2*K3* n2__ * e-Tds = 405.5_______* e-0'25s

    Vmotor s2+2ns +n2 s2 + 30.41s + 395.6

    A partir de la funció de transferència que varem obtenir de la pràctica 7

    Regulación automática

    Les especidicacions de disseny que s'han fixat per la resposta temporal del sistema controlat són les següents:

    • La resposta del sistema controlat ha de presentar un sobrepic inferior al 5%

    • L'instant en què es produeix el sobrepic ha d'ésser igual a 0.1 sec.

    • El sistema dominant presenta 2 pols dominants

    • L'error estacionari davant una consigna graó ha d'ésser igual a 0

    Es demana

  • Determinar quina ha d'ésser la posició dels pols del sistema controlar per tal de complir les especificacions de disseny

  • Determinar quin és l'ordre del sistema i el seu error estacionari davant d'una entrada en forma de graó i en forma de rampa.

  • a)

    Per les quatre condicions següents ens imposen els seguents requeriments:

    • SP < 5% d'altres pràctiques sabem que  > 0.692

    • Tp < 0.1 sec

    Tp =  n =  =  > 44'43

    n*(1-2)1/2 Tp*(1-2)1/2 0.1*0.707

    • El sistema presenta 2 pols dominants

    Podem muntar l'equació del sistema de 2on ordre a partir de n i 

    K1K2*K3* n2__ = __ 1.025*44'442_____ = 2024_____

    s2+2ns +n2 s2 + 2*0.7*44'44s + 44'42 s2 + 62'2s + 1975

    Solucionant el denominador veiem que els pols dominants són:

    31'1 + 31'75j | Sabem que perquè un pol sigui recessiu cal que estigui almenys a una

    31'1 - 31'75j | distància de 10 respecte els pols dominants

    300 Establim el pol a una distància més o menys 10 vegades els pols dominants

    • L'error estacionari davant un graó 0

    Per satisfer-ho cal que el tipus del sistema sigui I, que presenti 1 integrador en la seva funció de transferència en llaç obert.

    b)

    Per determinar-ho podem entretenir-nos a fer el límit o a utilitzar la susodicha taula dels errors en funció del tipus del sistema

    Graó : Per un sistema de tipus 0, l'error és 1/1+Kp

    En el nostre sistema:

    Kp = Lím Gp(s) = K = 1'025

    s->0

    Ess = 1/1+Kp = 1/2.025 = 0.49

    Rampa: Per un sistema de tipus 0, l'error és infinit, no ens acostem mai a la rampa.

    8.2. Disseny del controlador PID fent servir el mètode d'assignació de pols

    El controlador que es proposa utilitzar per a aconseguir controlar la inclinació de la planza és un controlador PID

    Gc(s) = Kp + Ki/s + Kds

    L'ajuste d'aquest controlador es farà fent servir el mètode d'assignació de pols simple

    El disseny de controladors mitjançant el mètode d'assignació de pols simple consisteix en determinar el controlador a partir de la condició de què el sistema controlat tingui els pols en el lloc desitjat, sigui:

    Gc(s) = Nc(s) / Dc(s)

    La funció de transferència del controlador i sigui:

    Gp(s) = Np(s) / Dp(s)

    La funció de transferència del procés a controlar, llavors la funció de transferència del sistema controlat suposant que la realimentació és unitària valdrà:

    T(S) = Nc(s)*Np(s)______

    Dc(s)Dp(s) + Nc(s)Np(s)

    A partir de les especificacions de disseny determinarem la posició dels pols del sistema controlat i per tant el polinomi denominador P(s) de la funció de transferència del sistema en llaç tancat T(s). Igualment el polinomi desitjat amb el polinomi a ajustar determinarem els paràmetres del controlador

    Aquesta equació s'anomena equació diofàntica.

    Es demana determinar:

  • Determinar l'expressió de l'equació diofàntica prenent com a controlador un controlador PID i com a model del sistema “ventilador + planxa” obtingut de la pràctica anterior. (nota: per al disseny del controlador no tindrem en compte el retard pur que s'observa que presenta el sistema, ja el considerarem més endavant).

  • Determinar quina és l'expressió del denominador desitjat P(s) a partir de les especificacions de disseny del problema i tenint en compte que el sistema controlat presenta dos pols complexes conjugats dominants

  • Plantegeu els equacions de disseny que se'n deriven

  • Resoleu el sistema d'equacions obtingut per a determinar els valors dels paràmetres del controlador PID: Kp, Ki i Kd

  • a)

    De les funcions de transferència anteriors:

    Gc(s) = Kp + Ki/s + Kds = (Kds2 + Kps + Ki) / s

    Gp(s) = 405'5/(s2+30.3s+395.6)

    Gd(s) = Gc(s)*Gp(s) = 405'5(Kds2 + Kps + Ki)/( s3+30.3s2+395.6s)

    A partir d'aquí obtenim la funció de transferència en llaç tancat:

    T(S) = Nc(s)*Np(s) = 405'5(Kds2+Kps+Ki)______________

    Dc(s)Dp(s)+Nc(s)Np(s) s3+(30'3+405'5Kd)s2+(395'6+405'5Kp)s+405'5Ki

    b)

    A partir del polinomi que hem obtingut a l'apartat 8.1:

    Multipliquem els pols complexe conjugats dominants i el pol real recessiu.

    P(s) = (s+300)*(s2 + 62'2s + 1975) = s3 + 362'5s2 + 20635s + 592500

    El pol està a una distància d'aproximadament 10 dels complexes, per tant és recessiu.

    c)

    Igualant els polinomis P(S) i el denominador de T(S) obtenim l'equació diofàntica:

    s3 + 362'5s2 + 20635s + 592500 = s3+(30'3+405'5Kd)s2+(395'6+405'5Kp)s+405'5Ki

    D'aquí en deriven 3 equacions independents:

    362'5 = 30'3+405'5Kd

    20635 = 395'6+405'5Kp

    592500 = 405'5Ki

    d)

    Resolent les 4 equacions obtenim els següents valors dels paràmetres del controlador PID

    Kd = 332'2/405'5 = 0'82

    Kp = 20239'4/405'5 = 49'9

    Ki = 592500/405'5 = 1461

    8.3. Simulació del sistema controlat amb el SIMULINK

    Una vegada dissenyat el controlador es demana comprovar el seu funcionament en simulació. Per això es proposa utilitzar el simulador SIMULINK

  • Simular el funcionament del sistema de control fent servir com a model de simulació de la planta el model “ventilador-planxa” lineal obtingut en la pràctica anterior. Es compleixen les especificacions de disseny?

  • Regulación automática

    La gràfica de la resposta temporal és la següent:

    Regulación automática

    Com podem apreciar la resposta no compleix les especificacions de disseny perquè te un sobrepic molt superior al 5%, això es degut als 0s que tenim en el denominador.

    Simular el funcionament del sistema de control utilitzant el model no lineal obtingut en la pràctica anterior. Qué s'observa? Proveu el comportament del sistema de control per diferents valors de consigna. Per a quin rank de consignes funciona millor el sistema de control, perquè?

    Regulación automática

    S'han fet les proves per diferents consignes i el sistema ens ha sortit inestable per a totes les consignes que hem donat. Per tant, el controlador que hem obtingut pel model lineal no ens funciona pel model no lineal.

    Això es degut a què el model lineal no s'ajusta totalment al no-linial. Les simplificacions que hem fet i el fet d'utilitzar el sobrepic per determinar la funció de transferència del sistema ens fa que els pols no estiguin al lloc adequat i per tant, el sistema se'ns torni inestable: Segurament el pol que hem suposat a S+300 està situat en la regió inestable.

    El controlador no funciona per a cap rang de consignes

    8.4. Implementació del controlador PID

    Suposem que ara volem implementar el controlador PID físicament per a controlar el ventilador. Tenim dues opcions:

    • Implementació analògica del controlador PID

    La implementació analògica del sistema consisteix en determinar un circuit electrònic que tingui una funció de transferència com la del PID. L'ajust del PID consisteix en l'ajust dels paràmetres dels components del circuit electrònic. En aquesta pràctica es proposa el circuit electrònic de la figura per a implementar el PID:

    Regulación automática

    Obtenció de la funció de transferència d'aquest circuit

    Amp.Op 1: G1(s) = -R5/R6 Proporcional

    Amp.Op 2: G2(s) = -1/C1R7s Integrador

    Amp.Op 3: G3(s) = -R8C2s Derivador

    Amp.Op 4: Gt(s) = -R1*G1(s) - R1*G2(s) - R1*G3(s)

    R2 R3 R4

    Gc(s) = R5R1 + R1 + R1R8C2s

    R2 R6 C1R7R3s R4

    El nostre controlador PID té la següent funció de transferència:

    Gc(s) = 0'82s + 49'9 + 1461/s

    Suposicions:

    1- C1 = 1nF, C2 = 1F (condensadors físicament possibles)

  • R2 = R3 = R4 = R1 = 330 K

  • Llavors obtenim els següents paràmetres:

    0'82 = R8/10000000 R8 = 820 K

    1461 = 109/ R7 R7 = 685 K Aprox. 680 K

    49'9 = R5/R6 R5 = 1 M; R6 = 20K

    Aquestes resistències pertanyen a la sèrie E-12, per tant es poden trobar en un laboratori d'electrònica. La seva tolerància és d'un 10%.

    Implementació analògica del controlador PID

    En l'actualitat resulta més fàcil implementar el PID usant un ordinador. Ens fa falta una tarjeta d'adquisició de dades que ens faci la conversió analògic-digital i digital analògic i el programa que ha d'executar l'ordinador per comportar-se com un PID, tal com s'indica a la figura

    • Equació discreta del PID

    La funció de transferencia d'un PID en el temps continuu es descriu com:

    G(s) = Kp + Kds + Ki/s

    Kp Es un guany constant Kp, no es pot realitzar una resolució infinita

    Kd aproximem la derivada de la següent manera:

    df(t) = 1 * [f(KT) - f((K-1)T)]

    d(t) T

    Aplicant la transformada z ens queda:

    Gd(s) = Kd (z-1)/Tz

    Ki Aproximem la integral utilitzant la regla dels trapezis

    "f(Kt) = "f((K-1)t) + 0'5T [ f(KT) + f((K-1)T)]

    Aplicant la transformada z ens queda:

    Gi(z) = Ki*T(z+1)/2(z-1)

    La funció de transferència total del PID discret ens queda:

    Gc(z) = (Kp + TKi/2 + Kd/T)z2 + (Tki/2 - Kp - 2Kd/T)z + Kd/T

    z(z-1)

    T = temps de mostreig

    Kp = Constant proporcional PID en domini continu

    Kd = Constant derivativa PID en domini continu

    Ki = Constant integral PID en domini continu

    • Determinació dels paràmetres del PID digital

    Substituim pels nostres paràmetres:

    Kp = 49.9; Kd = 0.82; Ki = 1463

    Obtenim:

    Gc(z) = (49.9 + 731.5T + 0.82/T)z2 + (731.5T - 49.9 - 1.64/T)z + 0.82/T

    z(z-1)

    Aquest controlador seria marginalment estable perquè les arrels del polinomi característic estàn a dins del cercle unitari |z| = 1 , però n'hi ha una a (z-1)

    8.5. Efecte dels zeros del controlador: Assignació de pols completa

    Si observem la funció de transferència del sistema controlat obtinguda a l'apartat 8.2 podem veure que si bé el denominador és aquell que nosaltres haguem fixat per disseny P(S) el numerador ha canviat Respecte a funció de transferència del sistema sense controlar, per tant si obserbessim la resposta del sistema controlat veuríem que no es correspon exactament amb la resposta desitjada. Això es deu a que hem afegit al numerador del sistema controlat un zero respecte a la funció del sistema sense controlar. Per evitar aquesta addició d'un zero que fa que la resposta no es correspongui exactament amb la desitjada hem de variar lleugerament l'estructura del sistema de control. Simplement restructurant la posició del controlador dins del sistema de control tal com s'indica es pot comprovar que si recalculem la funció de transferència del sistema controlat s'obté:

    T(S) = ____Np(s) _ = ________ 405'5__________________

    Dc(s)Dp(s)+Nc(s)Np(s) s3+(30'3+405'5Kd)s2+(395'6+405'5Kp)s+405'5Ki

    Aquest tipu de controlador s'anomena d'assignació de pols completa, perque només modifica el denominador del procés sense fer variar el numerador.

    Regulación automática

    Regulación automática

    Regulación automática

    8.6. Efecte del inestabilitzador del retard

    Si tenum en compte el retard present en el model del sistema observarem al simular el sistema controlat que el seu efecte és el desestabilitzar el sistema.

    Regulación automática

    Si determinem la funció de transferència del sistema realimentat veurem que el retard apareix com un terme més del denominador. Normalment l'efecte d'aquest terme és desestabilitzar el sistema realimentat.

    T(S) = Gp(s) * e-std _

    1+Gp(s)*e-std

    Per a poder estudiar l'efecte inestabilitzador del retard del sistema utilitzarem els diagrames de Bode. Es demana:

  • Fent ús del diagrama de Bode determinar el marge de fase del sistema sense tenir en compte el retard i fent ús del lloc d'arrels determineu la Klímit per aquest sístema.

  • Fent us del diagrama de Bode determinar el marge de fase del sistema si tenim en compte el retard i fent us del lloc d'arrels determineu la Klímit per aquest sistema.

  • Veient els resultats dels apartats anteriors què podem afirmar sobre l'estabilitat del sistema de control d'un sistema amb retard.

  • a)

    Agafem la funció de transferència del ventilador solament:

    Gp(s) = 405'5______ realimentat: 405'5____

    S2+30'3s+395'6 S2+30'3s+801'1

    Fent el diagrama de Bode:

    Regulación automática

    No cal utilitzar el lloc d'arrels per determinar la K límit. Sapiguent que és un sistema amb només 2 pols i cap zero, i mirant les trazes de Bode podem veure que mai es creuarà la línia dels -180º, per tant, la klímit serà infinit.

    b)

    Per fer-ho necessitem utilitzar l'aproximació de Padé. Aquesta aproximació ens diu:

    e-std = 1 - tdS/2

    1 + tdS/2

    Llavorens la funció de transferència ens queda:

    Gp(s) = 405'5*(1 - tdS/2)____ = 405'5-202'25Tds___________

    S2+30'3s+395'6*(1 + tdS/2) ½TdS3+ (1+½Td)s2+(30'3+ 15'7Td)s+395'6

    Td = 0'5 El retardo és de 0'5 sec en el sistema

    Llavors sustituint la funció de transferència en obert ens queda:

    Gp(s) = 1622 - 404'4s___

    s3+5s2+152'6s+1583

    Per intentar trobar la Klímit, buscarem quan els 3 pols són positius amb un lloc d'arrels per intentar aproximar la Klímit:

    Regulación automática

    Advertencia La igualtat de Padé només serveix per a freqüències petites, a freqüències grans no ens serveix degut a qué es una sèrie de Taylor i a valors grans l'error que cometem es molt gran i no ens serveix. Per tant el diagrama de Bode només es valid per a baixes freqüències (entre 0'1 i 10 Hz aproximadament)

    Regulación automática

    Veiem que sempre és inestable per qualsevol K positiva. Per tant el que ens fa el retard es desestabilitzar-nos el sistema.

    8.7. EL PREDICTOR SMITH

    La funció de transferència amb el predictor Smith, és

    T(S) = Gp(s)Gc(s)*e-Tds

    1+Gp(s)Gc(s)

    Calculant-la segons els nostres valors

    Gp(s) = 405'5 __ Gc(s) = 0'82s2+49'9s+1461

    s2+30'3s+395'6 s

    T(S) = 332'5s2 + 20234s + 592450*e-0'5t

    s3 + 362.8s2 + 20630s + 592500

    Fent us del simulink amb el PID de l'apartat 8.2, comprovar que s'obté la mateixa resposta que a l'apartat 8.3 llevat d'un retard.

    Regulación automática

    Regulación automática

    Disseny del controlador PID fent servir el mètode de Ziegler Nichols

    En aquest apartat, ajustarem els paràmetres d'un controlador PID analògic que ens permeti controlar el procés seguint el procediment empíric d'ajust en llaç tancat de Ziegler-Nichols.

    El procediment consisteix inicialment en col.locar un controlador de tipus proporcional P, amb un guany petit, i obtenir la resposta del sistema controlat a una consigna de tipus graó. A continuació, augmentarem el guany del controlador i tornarem a aplicar un graó. Aquest procés s'anirà repetint fins a obtenur una resposta oscil.latòria mantinguda del sistema controlat. Una vegada aconseguida aquesta oscil.lació mantinguda, anotarem el guany crític que l'ha produïda Kpc així com el període de l'oscil.lació Tc

    Segons Ziegler-Nichols el paràmetres del controlador són:

    K

    Ti

    Td

    PID Controler

    0'6Kpc

    0'5*Tc

    0'125Tc

    PI Controler

    0'45Kpc

    Tc/1.2

    P Controler

    0'5Kpc

    On la funció de transferència el controlador PID és:

    Gc(s) = K(1+ 1/TiS + Tds)

    Es demana:

  • Fent us del simulink i del model de la planta del sistema “ventilador-planxa” i sense tenir en compte el retard determineu els paràmetres d'un controlador PID pel mètode de Ziegler-Nichols que us acabem de presentar:

  • Regulación automática

    S'han anat provant diferents valors de K i s'ha aconseguit aquesta resposta per una K de:

    K = 2

    T = 0.1 sec

  • Fent us del SIMULINK comproveu que el controlador PID aconsegueix controlar adequadament el sistema format pel “ ventilador-Planxa “.

  • El sistema controlat segons la K i el T, el PID ens queda així

    K = 1'2; Ki = 16; Kd = 0.0125

    Regulación automática

    La resposta pel sistema controlat és la següent amb el PID de Ziegler-Nichols:

    Regulación automática

    Podem veure el que el sistema controla satisfactòriament el sistema, nosaltres podríem variar els paràmetres del controlador PID per obtenir un millor controlador:

  • Si ara es te en compte el retard, fent us del que hem vist en aquesta pràctica com eleminarieu el seu efecte de forma que no haguéssiu de redissenyar el PID obtingut per Ziegler-Nichols.

  • Per fer-ho hauríem d'utilitzar el predictor d'Smith, ja que aquest ens treu el factor de retard del denominador i fa que el sistema no se'ns inestabilitzi. La nova funcio de transferència en llaç tencat seria:

    T(s) = Gp(s)*Gc(s)*e-Std

    1+Gp(s)Gc(s)

    També es podria intentar utilitzar el mètode de Ziegler-Nichols en llaç obert enlloc del que utilitzem que és en llaç tancat. Funciona si T/L > 4, en el nostre cas no funcionaria.

  • Quina avantatge creus que presenta un mètode empíric com el de Ziegler Nichols davant de mètodes algebraics com el d'assignació de pols:

  • Els avantatges són

    • No cal conèixer la funció de transferència del sistema per aplicar Ziegler-Nichols

    • Es poden utilitzar per controlar sistemes que tinguin un ordre molt més gran que 2, això ens portaria molta feina algebraicament en canvi així només es basa en fer probes al sistema i no perdre temps amb càlculs.

    • Pot utilitzar-se per programar els PIDs autoajustables, els controladors autoajustables realitzen ells mateixos les probes i llavors s'autoajusten amb els valors de Ziegler-Nichols. Llavors si volem canviar-los podem regular-los nosaltres.

    PART TEÒRICA DE L'ASSIGNATURA

    Apunts Bàsics de Regulació Automàtica

    Diagrames de Block i funcions de transferència

    Funcions de Transferència

    G(s) = Y(s)/U(s) sortida Y(s) = L[y(t)] entrada U(s) = L[u(t)]

    Normalment la funció de transferència s'obté a partir de l'equació diferencial

    (sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0) Y(S) = (bmsm + bm-1sm-1 + ... + b1s + b0) U(s)

    G(s) = Y(s)/U(s) = bmsm + bm-1sm-1 + ... + b1s + b0 / sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0

    Propietats de la funció de transferència

    • definida solament per un sistema linial invariant amb el temps

    • Es la transformada de Laplace de la resposta a l'impuls

    • Relació entre la transformada de Laplace de la sortida i la de l'entrada

    • Totes les condicions inicials del sistema són iguals a 0

    • Es independent de l'entrada del sistema

    • S'expressa en la variable complexa s de Laplace

    • Es estrictament pròpia si n > m, pròpia si n = m i impròpia si n < m

    Polinomi característic

    Es defineix com la equació que s'obté al igualar el polinomi de G(s) a 0

    sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 = 0

    Ens serveix per determinar l'estabilitat dels sistemes

    Diagrames de blocks

    S'utilitsen per a modelitzar sistemes. Estudiar les relacions de causa-efecte dels sistemes

    Si es coneixen les lleis matemàtiques que gobernen el sistema

    Els elements bàsics d'un diagrama de blocks són:

    Regulación automática

    Diagrama de Blocs model en realimentació

    Regulación automática

    Llaç obert

    Es agafar la funció de transferència sense considerar la realimentació

    G(S) = Y(S) / E(S) = Gc(s)*Gp(s)

    Llaç tancat

    Es considera la realimentació llavors la funció de transferència en llaç tencat és

    M(S) = Y(S) = G(S)____

    R(S) 1+G(S)H(S)

    Simplificació de diagrames de Blocks

    Normalment ens cal determinar G(s) i M(s) en un sistema de control en el qual hi ha moltes més coses: En general la funcio transferència total ens permet simplificar el sistema però perdem molta informació de com es comporta el sistema per dintre.

    Totes les realimentacions es simplifiquen aixins:

    M(S) = Y(S) = G(S)____

    R(S) 1+G(S)H(S)

    Les funcions de transferència i guanys es treuen multiplicant:

    Regulación automática

    Estabilitat de Sistemes de control linial

    El primer requeriment per un sistema és la ESTABILITAT

    Estabilitat absoluta Simplement és saber si és o no és estable

    Estabilitat relativa Si un sistema és estable saber com d'estable n'és

    Relació entre arrels del polinomi característic i l'estabilitat

    G(S) = L(g(t)) = " g(t)e-stdt

    Si una o més arrels estàn a la part negativa del pla complexe llavors:

    |e-st | < 1 Però

    Si només una de les arrels està a la part positiva del pla complexe llavors:

    |est | Això tendeix a ", que viola els requisits de l'estabilitat.

    Per tant:

    Una arrel no pot estar al semiplà dret del plà complexe o no pot tenir part real positiva.

    Criteri de Hurwitz

    F(S) = ans n + an-1sn-1 + ... + a1s + a0

    On tots els coeficient són reals, perque no presenti arrels amb parts reals positives:

    • Tots els coeficients han de tenir el mateix signe

    • Tots els determinants de Hurwitz han de ser positius

    Els determinants de Hurwitz es formen com segueix

    D1 = a n-1 D2 = |a n-1 a n-3| D3 = | a n-1 a n-3 a n-5 |

    |a n a n-2| | a n a n-2 a n-4|

    | 0 a n-1 a n-3 |

    El criteri de Routh consisteix en arreglar aquests determinants

    Tabulació de Routh Per una equació de 6è grau

    F(S) = a6s 6 + a5s5 + a4s 4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0

    s 6 a6 a4 a2 a0

    s 5 a5 a3 a1 0

    s 4 a5a 4-a 6a 3 = A a5a2 -a6a 1 = B a0 0

    a5 a5

    s 3 Aa 3-a 5B = C Aa1 -a5a0 = D 0 0

    A A

    s 2 BC - AD = E a0 0 0

    C

    s 1 ED - Ca0 = F 0 0 0

    E

    s 0 a0 0 0 0

    Perque un sistema sigui estable cal que tots els coeficient de la 1era columna, o sigui

    a6, a5, A, C, E, F han de ser tots positius

    A més el nº de intercanvis de signe en aquests elements indica el nº d'arrels amb parts positives que té l'equació.

    Casos especials en la tabulació de Routh

    Es poden presentar les següents dificultats aplicant la tabulació de Routh:

    • El primer element de qualsevol dels renglons de la taula de Routh és 0

    • Tots els elements d'una fila de la taula de routh són 0

    En el primer cas es reemplaça el 0 per un numero petit arbitrari 

    Exemple:

    S4 1 2 3

    S3 1 2 0

    S2 0 3 En aquí reemplaçem el 0 pel nº arbitrari 

    S2  3

    S1 2-3 /  = -3/ 0  es comporta com si fos un 0 al numerador

    S0 3

    El segon cas es dona si una o vàries d'aquestes condicions poden existir

    • L'equació té almenys 2 arrels d'igual magnitud i signes contraris

    • L'equació té un o més parells d'arrels imaginàries

    • L'equació té parells d'arrels complexes simètriques amb el punt (0,0)

    Per arreglar-ho es fa el següent:

    • A(s) = 0 utilitzant els coeficients de la fila que es troba dalt de la renglera de 0s

    • Agafar la derivada dA(s)/ds = 0

    • Reemplaçar la renglera de 0s pels coeficients de dA(s)/ds = 0

    Exemple 2on Cás

    S5 1 8 7

    S4 4 8 4

    S3 6 6 0

    S2 4 4 0

    S1 0 0 A(s) = 4s2 + 4s

    dA(s)/ds = 8s

    S1 8 0 Son els coeficients de dA(s9/ds

    S0 4

    L'us de la taula de Routh s'utilitza per determinar la Klím d'estabilitat tractant la K com si fós un paràmetre

    També s'utilitza per determinar el valor critic de paràmetres perque un sistema sigui estable, quan nosaltres desconeixem alguns dels paràmetres.

    Anàlisis de sistemes de Control en el domini del temps

    Errors en l'estat estacionari, precisió

    • resposta a un esglaó (error de posició)

    R(t) = K*Us(t) R(S) = K/s

    Kp = lím G(S)H(S) per s0 Ess = 1/1+Kp

    • resposta a una rampa (error de velocitat)

    R(t) = Kt*Us(t) R(S) = K/s2

    Kv = lím S*G(S)H(S) per s0 Ess = 1/Kv

    • resposta a una paràbola (error d'acceleració)

    R(t) = Kt2*Us(t) R(S) = K/S3

    Ka = lím S2*G(S)H(S) per s0 Ess = 1/Ka

    Tipus

    Error Posicio

    Error Veloc.

    Error Accel.

    O

    R/(1+Kp)

    Infinit

    Infinit

    I

    No en te

    R/Kv

    Infinit

    II

    No en te

    No en te

    R/Ka

    III

    No en te

    No en te

    No en te

    R = Magnitud de l'entrada RU(s) en cas d'un esglaó

    El tipus del sistema el determina el nº d'integradors que té el sistema.

    Especificacions en el domini del temps

    • Sobrepic màxim Yss - Ymàx en %

    • Temps de retard Td, es el temps que tarda a aconseguir el 50% del valor final

    • Temps d'alçament Tr, temps que tarda d'anar al 10% - 90% del valor final

    • Temps d'assentament Ts, temps de permanència a una banda del X %

    Normalment s'agafa un 5% o un 2%

    Regulación automática

    Resposta d'un sistema prototipus de 2on ordre

    G(S) = n2_______

    s2 + 2n + n2

    La solució d'aquest sistema ens dóna les arrels que són:

     = n ± jn*(1-2) ½ =  ± jd on d = freqüència esmorteïda

    • n = Distància radial de les arrels a l'origen del pla s

    •  = La part real de les arrels

    • d = La part imaginària de les arrels

    •  = Cosinus de l'angle entre la linea radial de les arrels i l'eix negatiu

     = cos 

    Regulación automática

    Tipus de sistemes segons el paràmetre 

    • subesmorteït 0<<1 s1,s2 = -n ± jn(1-2) 1/2

    • Críticament esmorteït =1 s1,s2 = -n

    • Sobreesmorteït >1 s1,s2 = -n ± jn(2-1) 1/2

    • No esmorteït =0 s1,s2 = ± jn

    • Subesmorteïment negatiu -1<<0 s1,s2 = -n ± jn(1-2) ½ n>0

    • Sobreesmorteïment negatiu <-1 s1,s2 = -n ± jn(2-1) ½ n>0

    Calcul de les especifiacions en el domini del temps

    Sobrepic màxim i temps de pic

    Tpic = _____ temps quan es presenta el sobrepic

    n*(1-2) 1/2

    SP = 100*exp[-/(1-2) 1/2] SP = ymàx - yss

    • Si reduim l'esmorteïment, reduïm el soprepic

    Temps de retard i temps d'aixecament

    n*td = 1+0.7 (td = temps retard = temps que assolim el 50% del valor)

    n*td = 1.1 + 0.125 + 0.4692

    n*tr = 0.8+2.5 (tr = temps d'aixecament = temps que passem del 10 a 90% del valor)

    n*tr = 1 - 0.4167 + 2.9172

    • tr i td proporcionals a  i inversament a n

    • Si disminuim n augmentarem tr i td

    Temps d'assentament

    n*ts = -1* ln[0.05(1-2) 1/2] temps d'assentament a una banda del 5%

    

    • té una discontinuitat per =0.691 (sobrepic del 5%)

    • Per >0.691 ts és inversament proporcional a  i n

    • Per <0.691 ts és proporcional a  i inversament proporcional a n

    Efecte d'afegir un pol a la funció de transferència (llaç obert)

    G(S) = n2______ Afegint un pol a la funció de transferència:

    s2 + 2n + n2

    G(S) = n2_________ Afegint un pol a la funció de transferència:

    (Ts+1)s2 + 2n + n2

    Regulación automática

    L'adició del pol ens afecta de la següent manera:

    • Generalment: Augment del sobrepic i temps de pic

    • Augment del temps d'establiment

    • Inestabilització del sistema

    Efecte d'afedir un zero a la funció de transferència (llaç obert)

    G(S) = n2______ Afegint un pol a la funció de transferència:

    s2 + 2n + n2

    G(S) = (Ts+1)n2___ Afegint un pol a la funció de transferència:

    s2 + 2n + n2

    Regulación automática

    • Disminueix el temps d'aixecament

    • Augmenta el sobrepic màxim

    • Té l'efecte oposat del d'adició d'un pol

    Els zeros i pols molt pròxims tenen afectes contraposats i es poden menystenir els seus efectes.

    Pols dominants de les funcions de transferència

    Pol dominant Es aquell que te un efecte molt significatiu en la resposta transitòria

    Pol insignificant No tenen pes especific en la resposta transitòria

    Els pols que estan vora l'origen fan creixer ala resposta transitoria i decauran molt lentament en canvi que els pols que estan lluny cauen molt ràpidament.

    Regulación automática

    Entre les 2 regions : Insignificants i dominants hi ha una distància D

    D = Magnitud real 5 a 10 vegades major que els pols dominants.

    Esmorteïment relatiu

    Un sistema de 3er ordre o més que té pols dominants exemple:

    M(S) = Y(S) = 20_____ Té 2 pols dominants a 1±j =0.707

    R(S) (s+10)(s2+2s+2) El pol real es a 10 D = 10

    Es pot dir que r=0.707 (esmorteiment relatiu)

    Per despreciar el pol insignificant cal tenir em compte:

    • El valor final Yss ha de ser el mateix que el del sistema simplificat

    M(S) = Y(S) = 20_____ = 20________ = 20____

    R(S) (s+10)(s2+2s+2) 10(s/10 + 1)(s2+2s+2) 10(s2+2s+2)

    Simplificació de sistemes

    Es desitjable en sistemes d'ordre alt poder-los simplificar a un ordre més baix que la seva resposta transistòria sigui similar.

    MH(s) = Sistema d'ordre superior = K (1+b1s+b2s2+ .... + bmsm)

    1+a1s+a2s2+ ....+ ansn

    ML(s) = Sistema ordre inferior = K (1+c1s+c2s2+ .... + cqsq)

    1+d1s+d2s2+ ....+ dpsp

    K es la mateixa per assegurar que es mantingui el valor final en el sistema d'ordre baix

    Càlcul de ML(s)

    MH(s) = 1+m1s+m2s2+ .... + musu

    ML(s) 1+l1s+l2s2+ .... + lvsv

    MH(j)2 = 1+e2s2+e4s4 +e6s6+...+e2us2u = 1

    ML(j)2 1+f2s2+f4s4 +f6s6+...+e2vs2v

    Per la condició que hem expressat a dalt:

    f2 = e2, f4 = e4 ,.... -> El que resta es l'error que cometem

    Igualant-ho obtenim que:

    e2 = 2m2 - m12

    e4 = 2m4 - 2m1m3 + m22

    e6 = 2m6 - 2m1m5 + 2m2m4 - m32

    e8 = 2m8 - 2m1m7 + 2m2m6 - 2m3m5 + m42

    f2 = 2l2 - l12 = e2 = 2m2 - m12

    f4 = 2l4 - 2l1l3 + l22 = e4 = 2m4 - 2m1m3 + m22

    f6 = 2l6 - 2l1l5 + 2l2l4 - l32 = e6

    f8 = 2l8 - 2l1l7 + 2l2l6 - 2l3l5 + l42 = e8 etc.

    Exemple: Simplificació sistema 3er grau a 2on grau

    M(S) = Y(S) = 8_____ = 1_________

    R(S) s3+6s2+12s+8 0.125s3+0.75s2+1.5s+1

    Els pols están tots a s+2

    ML(S) = 1____

    1+d1s+d2s2

    M(S) = 1+d1s+d2s2 = 1+m1s+m2s2_

    ML(S) 0.125s3+0.75s2+1.5s+1 1+l1s+l2s2+l3s3

    L1 =1.5, L2 = 0.75, L3 = 0.125

    f2 = 2l2 - l12 = e2 = 2m2 - m12 1.5-1.52 = -075 = 2d2 - d12

    f4 = - 2l1l3 + l22 = e4 = m22 0.1875 = d22

    f6 = -0.156 = Error que cometem

    Tenim que: d2 = 0.433; d1 = 1.271

    ML(S) = 1____ = 1_______ = 2.31______

    1+d1s+d2s2 1+1.271s+0.433s2 s2 + 2.936s + 2.31

    Comparació de les respostes dels 2 sistemes

    Regulación automática

    L'aproximació es tan mes bona quanta més dominància de pols hi hagi.

    Construcció de diagrames de Bode

    En els diagrames de Bode ens podem trobar aquests cinc tipus de factors simples:

    • factors Constants K

    • Pols i Zeros en el origen: 1/s ó s, integradors i derivadors

    • Pols i Zeros a s = -a: Factors (s+a)

    • Polts i zeros complexes: (1 + 2n + n2)

    • Retards purs e-Tds

    Constant real K

    Totes les K's son positives, per tant; KdB = 20*log K

    El seu diagrama de Bóde és el següent:

    Regulación automática

    Pols i zeros a l'origen, 1/s i s Integradors i derivadors

    Integradors

    El seu pendent és de -20 dB/dec i passen per 0 dB quan =1

    El seu defasatge és de -90º

    Derivadors

    El seu pendent és de 20 dB/dec i passen per 0 dB quan =1

    El seu defasatge és de -90º

    El diagrama de Bóde per un integrador és:

    Regulación automática

    Pol Simple

    La funció del pol simple és 1/(Ts+1)

    Guany

    Asíntotes | per <1/T el guany és 0 dB

    | per >1/T Té un pendent de -20 dB/dec

    Podem calcular-ho més acuradament si

    Guany = 20*log (1+2T2) 1/2

    Defasatge

    | per <1/10T el defasatge és 0º

    Asíntotes | per >10/T el defasatge és -90º

    | passa per -45º quan  = 1/T

    Podem calcular-ho més acuradament

    Defasatge = arctg (T)

    El seu diagrama de Bóde és el següent:

    Regulación automática

    Regulación automática

    Els zeros simples són iguals tret que els pendents són positius i defasatges també.

    Pols Complexes

    La funció de transferència és:

    n2 / s2 + 2n + n2

    Tenim les següents característiques que hem de calcular

    Freqüència Ressonància: r = n(1-22)1/2

    Magnitud Pic : Mr = 1 / [2(1-2)1/2]

    Ampla de Banda : BW = n[(1-22) + (4-42 + 2) 1/2] 1/2

    Guany

    Asíntotes | per <1/T el guany és 0 dB

    | per >1/T Té un pendent de -40 dB/dec

    Ressonancia | Si  < 0'707 Mr = 1 / [2(1-2)1/2]; r = n(1-22)1/2

    | Si  > 0'707 No presenta pic de ressonància

    Defasatge

    | per <n/10 el defasatge és 0º

    Asíntotes | per >10*n el defasatge és -180º

    | passa per -90º quan  = n

    El diagrama de Bóde (Canviant esmorteïments) són els següents:

    Regulación automática

    Regulación automática

    Diagrama de Bode d'un pol complexe amb ressonància

    Regulación automática

    Retard Pur e-Tds

    El seu guany és 0 i el seu defasatge és aquest:

    Regulación automática

    a Td/10 (-5'3º), a Td (-53º) a 10Td (-530º)

    Construcció del lloc geomètric de les arrels (Conceptes Bàsics)

    F(s) = P(s) + KQ(s) = 0 K entre (-",+")

    P(s) = Sn + an-1sn-1 + ... + a 1s + a 0

    Q(s) = Sm + b m-1sm-1m-1 +...+b1s + b 0 n i m = Enters positius.

    Propietats Bàsiques:

    En sistemes de Control

    Y(S) = G(S) = __ G(S)____

    R(S) 1+G(S)H(S) 1+KG(S)H(S)

    Condició de magnitud

    G(S)H(S) = -1/K K entre (-",+")

    Condicions d'angle

    G(S)H(S) = (2i + 1) per K>0 (no es contemplen K's negatives)

    Construcció del lloc d'arrels

    G(S)H(S) = K(s+Z1)(s+Z2) ... (s+Zm)

    (s+P1)(s+P2) .... (S+Pn)

    Punts on K=0 i K="

    K = 0 Solucionar el denominador característic (s+P1)(s+P2) .... (S+Pn)

    K = " Solucionar el numerador (s+Z1)(s+Z2) ... (s+Zm)

    Aixi els pols són quan K = 0 i els Zeros quan K = "

    Exemple K(s+1)/s(s+2)(s+3)

    Regulación automática

    Angles de les asíntotes per K's positives

    M = Ordre del numerador

    N = Ordre del denominador: llavors:

    Hi haurà [N-M] asintotes que descriuen el comportament del lloc d'arrels per s="

    Per valors grans de s, els angles de les asíntotes seràn:

    i = 2i + 1 * 180º

    |N-M| on i va des de 0 a |N-M-1|

    Intersecció de les asíntotes (centroide)

    La intersecció de les |N-M| asíntotes del lloc d'arrels la dóna la següent equació:

    i = parts reals dels pols de G(S)H(S) - parts reals dels zeros de G(S)H(S)

    N - M

    Exemples:

    Nº zeros = 0; Nº pols = 2; asintotes à 90 i 270º

    Regulación automática

    Nº zeros = 0; Nº pols = 3; asintotes à 60, 180 i 300º

    Regulación automática

    Nº zeros = 0; Nº pols = 4; asintotes à 45, 135 ,225 i 315º

    Regulación automática

    Anàlisi de l'estabilitat relativa amb el Diagrama de Bóde

    Marge de Guany i Marge de Fase

    En el domini de la freq. es quantifica l'estabilitat amb el MG i MF

    Marge de Guany

    Un creuament de fase és quan la traza de Bode intersecta a -180º

    p = Freq on hi ha el creuament de fase

    <L(jp) = 180º

    El MG es la quantitat de guany en dB que es poden afegir al llaç abans que el sistema es torni inestable:

    KLím = MG MG = 20log (1/L(jp)

    Si no hi ha creuament de fase llavors MG = "

    Marge de Fase

    Un creuament de guany és quan la traza de Bode intersecta a 0dB ó L(j)=1

    g = Freq on hi ha el creuament de guany

    |L(jg)| = 1

    el MP es l'angle en graus que la traza s'ha de girar al voltant de l'origen perquè el creuament de fase passi per -180º

    Llavors MP = <L(jg) -180º

    Si no hi ha creuament de fase llavors MG = "

    Regulación automática

    Si hi ha retards purs cal recordar que e-Tds " 1-tds/2

    1+tds/2

    O que quan  = td l'angle es 53º, a  = td/10 l'angle és 5'3º

    * Estabilitat: Klím (en dB) = MG

    Un sistema es inestable si MG > 0dB o MP<0ºTIPUS DE CONTROLADORS

    Controlador PI

    Gc(s) = Kp + Ki/s = Kp(1+(Ki/Kp)s)/s

    En el domini temporal:

    Gc(t) = Kp*e(t) + Ki*"e(t)dt

    Com podem veure té un 0 a -Kp/Ki i un pol a l'origen

    Aventatges i desventatges del controlador PI

    Resposta a una entrada graó d'un PI

    Regulación automática

    Regulación automática

    • Ens augmenta el tipus del sistema en 1 (redueix l'error)

    • Ens alenteix la resposta (Baixa BW, Pugen Tr,Tp,Ts)

    • Si no es sintonitza bé pot inestabilitzar el sistema

    • Es pot saturar a baixes freqüències (es filtre passa-baixos)

    • Ens augmenta el sobrepic de la resposta (MP disminueix)

    Controlador PD

    Gc(s) = Kp + Kds = Kp[1+(Kd/Kp)s]

    En el domini temporal:

    Gc(t) = Kp*e(t) + Kd*de(t)/dt

    Com podem veure té un zero a -Kp/Kd i cap pol

    Aventatges i desventatges del controlador PI

    Regulación automática

    Resposta a una entrada rampa d'un PD

    Regulación automática

    • Redueix l'esmorteiment i el sobrepic

    • Reduiex temps d'aixecament i establiment, acelera el sistema

    • Millora MG, MF i incrementa l'ampla de Banda

    • Es pot saturar per altes freqüències (es un filtre passa alts)

    • No funciona per sistemes poc esmorteïts o inicialment inestables

    • No ens corregeix l'error (ens deixa el tipus del sistema tal qual)

    Controlador PID

    Es com una combinació d'un PI i un PD

    Gc(s) = Kp + Ki/s + Kds = Kp(1 + (Ki/Kp)/s + (Kd/Kp)s)

    Veiem que té:

    • 2 zeros (Poden ser reals o bé complexes)

    • 1 pol a l'origen

    Es com un entremig entre el PI i Pd, té els següents avantatges i incombenients:

    • Pot ajustar 3 especificacions al mateix temps: 3 paràmetres: Kp,Ki,Kd

    • Es pot saturar a altes i baixes freqüències

    • Augmenta en 1 el tipus d'un sistema però no l'alenteix

    • Podem triar amb ell la posició del pol real perque sigui insignificant

    • Costa mes de sintonitzar que un PI o un PD

    La seva resposta freqüencial per Kp = 1, Kd = 0.2, Ki = 0.6 és aquesta:

    Regulación automática

    A baixes freq ens disminueix MP (augmenta SP) i a altes es al reves

    Podem fer moltes combinacions amb MP,MG i BW depenenet d'on col.loquem els paràmetres.

    Podem ajustar-los amb regim temporal o amb el diagrama de Bode

    DISSENY DE CONTROLADORS

    Disseny de controladors fent servir el mètode d'assignació de pols

    El controlador que es proposa utilitzar per a aconseguir controlar el nostre procés pot ser un controlador PID,PI,PD o P

    En el cas d'un PID

    Gc(s) = Kp + Ki/s + Kds

    L'ajuste d'aquest controlador es farà fent servir el mètode d'assignació de pols simple

    El disseny de controladors mitjançant el mètode d'assignació de pols simple consisteix en determinar el controlador a partir de la condició de què el sistema controlat tingui els pols en el lloc desitjat, sigui:

    Gc(s) = Nc(s) / Dc(s)

    La funció de transferència del controlador i sigui:

    Gp(s) = Np(s) / Dp(s)

    La funció de transferència del procés a controlar, llavors la funció de transferència del sistema controlat suposant que la realimentació és unitària valdrà:

    T(S) = Nc(s)*Np(s)______

    Dc(s)Dp(s) + Nc(s)Np(s)

    A partir de les especificacions de disseny determinarem la posició dels pols del sistema controlat i per tant el polinomi denominador P(s) de la funció de transferència del sistema en llaç tancat T(s). Igualment el polinomi desitjat amb el polinomi a ajustar determinarem els paràmetres del controlador

    Dc(s)DP(s) + Nc(s)Np(s) = P(S) que es el polinomi desitjat

    Aquesta equació s'anomena equació diofàntica.

    Exemple amb un controlador PD

    G(S) = 1000 M(S) = 1000____

    s(s+100) s2+10s+1000

    Especificacions:

    • SP < 5%  = 0.707

    • Tr = 0.05sec Tr = 0.8 + 2.5 / n n = 51'35.

    Pols del nostre sistema: Pols Sistema controlat (especificacions)

    s2+10s+1000 s2 + 0.707*51'35s + 51'352 = s2+36.3s+2638

    Per un PD:

    Gc(s) = Kp+Kds GcGp = 1000(Kp+Kds) M(S) = _____1000(Kp+Kds)_____

    s(s+100) s2+(10+1000Kd)s+1000Kp

    P(S) = s2+36.3s+2638 = s2+(10+1000Kd)s+1000Kp

    Kd = 26.3/1000 = 0.0263; Kp = 2638/1000 = 2.638

    La funció de transferència total ens queda:

    M(S) = 2638+26.3s el zero està a s=-100

    s2+36.3s+2638

    Efecte inestabilitzador del retard

    Si tenim en compte que els sistemes normalment tenen un retard present en el model del sistema observarem al simular el sistema controlat que el seu efecte és el desestabilitzar el sistema.

    Regulación automática

    Si determinem la funció de transferència del sistema realimentat veurem que el retard apareix com un terme més del denominador. Normalment l'efecte d'aquest terme és desestabilitzar el sistema realimentat.

    T(S) = Gp(s) * e-std _

    1+Gp(s)*e-std

    Per a poder estudiar l'efecte inestabilitzador del retard del sistema utilitzarem cal utilitzar els diagrames de Bode, el que fa el retard es canviar-nos el marge de Fase.

    Disseny de controladors empíricament: Ziegler-Nichols

    Hi ha metodes empirics que ens permeten ajustar controladors: Ziegler-Nichols.

    Ajust en llaç tancat

    El procediment consisteix en:

    • Col.locar controlador P amb guany petit i obtenir la resposta a un esglaó

    • Augmentar la K fins a obtenir una resposta oscil.latòria mantinguda

    • Anotar guany crític (Kpc) i període d'oscil.lació Tc

    Segons Ziegler-Nichols el paràmetres del controlador són:

    K

    Ti

    Td

    PID Controler

    0'6Kpc

    0'5*Tc

    0'125Tc

    PI Controler

    0'45Kpc

    Tc/1.2

    P Controler

    0'5Kpc

    On la funció de transferència el controlador PID és:

    Gc(s) = K(1+ 1/TiS + Tds)

    Ajust en llaç obert

    El procediment s'utilitza en sistemes 1er ordre amb retard, consisteix en:

    • Obtenir la resposta en llaç obert del sistema amb retard

    • Anotar L = temps retard i T = constant de temps

    Nomes funciona si T/L >= 4 ó més. Entre 3 i 4 funciona amb reparos

    Segons Ziegler-Nichols el paràmetres del controlador seràn:

    K

    Ti

    Td

    PID Controler

    1'2T/L

    2L

    0'5L

    PI Controler

    0'9T/L

    L/0'3

    P Controler

    T/L

    Controladors d'avanç i atrasament de fase

    S'utilitzen perquè la seva resposta és fisicament real

    Gc(s) = s+Z1 = 1+aTs Presenten un pol a s+P1 i un zero a s+Z1

    s+P1 1+Ts

    Avanç de Fase P1>Z1 a < 1

    Retard de Fase P1<Z1 a > 1

    La seva resposta freqüencial és: Es sintonitzem utilitzant els diagrames de Bode

    Regulación automática

    Disseny dels controladors Avenç-Retard fase

    Per sintonitzar-los calen 2 especificacions, Normalment MP (Sobrepic) i error.

    • dibuixar Bode per K = 1 de Gp(s)

    • Mirar MP i comparar-lo amb el desitjat

    • "Gc(j) = "Gp(j) - MP

    n = 1/"a *T Freq. tall del sistema

    Si coneixem l'angle "Gc(j) = m obtenim a com:

    a = (1+sin m) / (1-sin m) m l'escollim segons els especificacions

    el guany del controlador en alta freq és: GF = 20*log a

    Cal ajustar perquè la freq. Estigui a -GF/2, llavors utilitzar la fòrmula

    n = 1/"a *T Per determinar la T

    Perquè sigui efectiu el valor de T ha de ser petit.

    Filtres de cancelació de zeros

    Normalment al dissenyar controladors PI,PD i PID cal mirar on cauen els 0s

    CASOS:

    • 0's insignificants Estàn a D > 10, el controlador funciona

    • 0's a 5<D<10 podem despreciar els efectes tot hi que afecten poc

    • 0's pròxims a pols del controlador, cancelen els afectes, cal eliminar-los

    • 0's dominants. Cal eliminar-los perquè ens afecten la resposta

    • altres casos: Cal avaluar l'efecte dels 0s

    Per eliminar els 0's hem de dissenyar filtres que permetin eliminar-los

    Assignació de pols completa

    Per evitar aquesta addició d'un zero que fa que la resposta no es correspongui exactament amb la desitjada hem de variar lleugerament l'estructura del sistema de control. Simplement restructurant la posició del controlador dins del sistema de control com es mostra ala figura la funció de transferència ens queda:

    T(S) = ____Np(s) _ Np(s) = num. Procés, Dp(s) = den.Procés

    Dc(s)Dp(s)+Nc(s)Np(s) Nc(s) = den.controlador Dp(s) = den.contr.

    Regulación automática

    Filtre de Muesca

    Una altra forma de treure els 0's és fer un controlador és utilitzar un pre-filtre a l'entrada per suavitzar la senyal i que ens ajudi a cancel.lar els 0's

    Regulación automática

    Possibles problemes a tenir en compte

    • Linealització de processos no lineals, aproximació de processos complexes

    • Errors de precisió, modelització. Estadistica dels paràmetres

    • Variacions de les propietats dinàmiques del sistema i que els pols es moguin

    • Paràmetres controlador limitats pels components físics disponibles

    • Perturbacions variables en el sistema

    ...

    Això fa que la cancelació de pols/zeros sigui pràcticament impossible