Ingeniero Industrial
Regulaciò Automàtica
Apunts Bàsics de Regulació Automàtica
Diagrames de Block i funcions de transferència
Funcions de Transferència
G(s) = Y(s)/U(s) sortida Y(s) = L[y(t)] entrada U(s) = L[u(t)]
Normalment la funció de transferència s'obté a partir de l'equació diferencial
(sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0) Y(S) = (bmsm + bm-1sm-1 + ... + b1s + b0) U(s)
G(s) = Y(s)/U(s) = bmsm + bm-1sm-1 + ... + b1s + b0 / sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0
Propietats de la funció de transferència
-
definida solament per un sistema linial invariant amb el temps
-
Es la transformada de Laplace de la resposta a l'impuls
-
Relació entre la transformada de Laplace de la sortida i la de l'entrada
-
Totes les condicions inicials del sistema són iguals a 0
-
Es independent de l'entrada del sistema
-
S'expressa en la variable complexa s de Laplace
-
Es estrictament pròpia si n > m, pròpia si n = m i impròpia si n < m
Polinomi característic
Es defineix com la equació que s'obté al igualar el polinomi de G(s) a 0
sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 = 0
Ens serveix per determinar l'estabilitat dels sistemes
Diagrames de blocks
S'utilitsen per a modelitzar sistemes. Estudiar les relacions de causa-efecte dels sistemes
Si es coneixen les lleis matemàtiques que gobernen el sistema
Els elements bàsics d'un diagrama de blocks són:
Diagrama de Blocs model en realimentació
Llaç obert
Es agafar la funció de transferència sense considerar la realimentació
G(S) = Y(S) / E(S) = Gc(s)*Gp(s)
Llaç tancat
Es considera la realimentació llavors la funció de transferència en llaç tencat és
M(S) = Y(S) = G(S)____
R(S) 1+G(S)H(S)
Simplificació de diagrames de Blocks
Normalment ens cal determinar G(s) i M(s) en un sistema de control en el qual hi ha moltes més coses: En general la funcio transferència total ens permet simplificar el sistema però perdem molta informació de com es comporta el sistema per dintre.
Totes les realimentacions es simplifiquen aixins:
M(S) = Y(S) = G(S)____
R(S) 1+G(S)H(S)
Les funcions de transferència i guanys es treuen multiplicant:
Estabilitat de Sistemes de control linial
El primer requeriment per un sistema és la ESTABILITAT
Estabilitat absoluta Simplement és saber si és o no és estable
Estabilitat relativa Si un sistema és estable saber com d'estable n'és
Relació entre arrels del polinomi característic i l'estabilitat
G(S) = L(g(t)) = " g(t)e-stdt
Si una o més arrels estàn a la part negativa del pla complexe llavors:
|e-st | < 1 Però
Si només una de les arrels està a la part positiva del pla complexe llavors:
|est | Això tendeix a ", que viola els requisits de l'estabilitat.
Per tant:
Una arrel no pot estar al semiplà dret del plà complexe o no pot tenir part real positiva.
Criteri de Hurwitz
F(S) = ans n + an-1sn-1 + ... + a1s + a0
On tots els coeficient són reals, perque no presenti arrels amb parts reals positives:
-
Tots els coeficients han de tenir el mateix signe
-
Tots els determinants de Hurwitz han de ser positius
Els determinants de Hurwitz es formen com segueix
D1 = a n-1 D2 = |a n-1 a n-3| D3 = | a n-1 a n-3 a n-5 |
|a n a n-2| | a n a n-2 a n-4|
| 0 a n-1 a n-3 |
El criteri de Routh consisteix en arreglar aquests determinants
Tabulació de Routh Per una equació de 6è grau
F(S) = a6s 6 + a5s5 + a4s 4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0
s 6 a6 a4 a2 a0
s 5 a5 a3 a1 0
s 4 a5a 4-a 6a 3 = A a5a2 -a6a 1 = B a0 0
a5 a5
s 3 Aa 3-a 5B = C Aa1 -a5a0 = D 0 0
A A
s 2 BC - AD = E a0 0 0
C
s 1 ED - Ca0 = F 0 0 0
E
s 0 a0 0 0 0
Perque un sistema sigui estable cal que tots els coeficient de la 1era columna, o sigui
a6, a5, A, C, E, F han de ser tots positius
A més el nº de intercanvis de signe en aquests elements indica el nº d'arrels amb parts positives que té l'equació.
Casos especials en la tabulació de Routh
Es poden presentar les següents dificultats aplicant la tabulació de Routh:
-
El primer element de qualsevol dels renglons de la taula de Routh és 0
-
Tots els elements d'una fila de la taula de routh són 0
En el primer cas es reemplaça el 0 per un numero petit arbitrari
Exemple:
S4 1 2 3
S3 1 2 0
S2 0 3 En aquí reemplaçem el 0 pel nº arbitrari
S2 3
S1 2-3 / = -3/ 0 es comporta com si fos un 0 al numerador
S0 3
El segon cas es dona si una o vàries d'aquestes condicions poden existir
-
L'equació té almenys 2 arrels d'igual magnitud i signes contraris
-
L'equació té un o més parells d'arrels imaginàries
-
L'equació té parells d'arrels complexes simètriques amb el punt (0,0)
Per arreglar-ho es fa el següent:
-
A(s) = 0 utilitzant els coeficients de la fila que es troba dalt de la renglera de 0s
-
Agafar la derivada dA(s)/ds = 0
-
Reemplaçar la renglera de 0s pels coeficients de dA(s)/ds = 0
Exemple 2on Cás
S5 1 8 7
S4 4 8 4
S3 6 6 0
S2 4 4 0
S1 0 0 A(s) = 4s2 + 4s
dA(s)/ds = 8s
S1 8 0 Son els coeficients de dA(s9/ds
S0 4
L'us de la taula de Routh s'utilitza per determinar la Klím d'estabilitat tractant la K com si fós un paràmetre
També s'utilitza per determinar el valor critic de paràmetres perque un sistema sigui estable, quan nosaltres desconeixem alguns dels paràmetres.
Anàlisis de sistemes de Control en el domini del temps
Errors en l'estat estacionari, precisió
-
resposta a un esglaó (error de posició)
R(t) = K*Us(t) R(S) = K/s
Kp = lím G(S)H(S) per s0 Ess = 1/1+Kp
-
resposta a una rampa (error de velocitat)
R(t) = Kt*Us(t) R(S) = K/s2
Kv = lím S*G(S)H(S) per s0 Ess = 1/Kv
-
resposta a una paràbola (error d'acceleració)
R(t) = Kt2*Us(t) R(S) = K/S3
Ka = lím S2*G(S)H(S) per s0 Ess = 1/Ka
Tipus | Error Posicio | Error Veloc. | Error Accel. |
O | R/(1+Kp) | Infinit | Infinit |
I | No en te | R/Kv | Infinit |
II | No en te | No en te | R/Ka |
III | No en te | No en te | No en te |
R = Magnitud de l'entrada RU(s) en cas d'un esglaó
El tipus del sistema el determina el nº d'integradors que té el sistema.
Especificacions en el domini del temps
-
Sobrepic màxim Yss - Ymàx en %
-
Temps de retard Td, es el temps que tarda a aconseguir el 50% del valor final
-
Temps d'alçament Tr, temps que tarda d'anar al 10% - 90% del valor final
-
Temps d'assentament Ts, temps de permanència a una banda del X %
Normalment s'agafa un 5% o un 2%
Resposta d'un sistema prototipus de 2on ordre
G(S) = n2_______
s2 + 2n + n2
La solució d'aquest sistema ens dóna les arrels que són:
= n ± jn*(1-2) ½ = ± jd on d = freqüència esmorteïda
-
n = Distància radial de les arrels a l'origen del pla s
-
= La part real de les arrels
-
d = La part imaginària de les arrels
-
= Cosinus de l'angle entre la linea radial de les arrels i l'eix negatiu
= cos
Tipus de sistemes segons el paràmetre
-
subesmorteït 0<<1 s1,s2 = -n ± jn(1-2) 1/2
-
Críticament esmorteït =1 s1,s2 = -n
-
Sobreesmorteït >1 s1,s2 = -n ± jn(2-1) 1/2
-
No esmorteït =0 s1,s2 = ± jn
-
Subesmorteïment negatiu -1<<0 s1,s2 = -n ± jn(1-2) ½ n>0
-
Sobreesmorteïment negatiu <-1 s1,s2 = -n ± jn(2-1) ½ n>0
Calcul de les especifiacions en el domini del temps
Sobrepic màxim i temps de pic
Tpic = _____ temps quan es presenta el sobrepic
n*(1-2) 1/2
SP = 100*exp[-/(1-2) 1/2] SP = ymàx - yss
-
Si reduim l'esmorteïment, reduïm el soprepic
Temps de retard i temps d'aixecament
n*td = 1+0.7 (td = temps retard = temps que assolim el 50% del valor)
n*td = 1.1 + 0.125 + 0.4692
n*tr = 0.8+2.5 (tr = temps d'aixecament = temps que passem del 10 a 90% del valor)
n*tr = 1 - 0.4167 + 2.9172
-
tr i td proporcionals a i inversament a n
-
Si disminuim n augmentarem tr i td
Temps d'assentament
n*ts = -1* ln[0.05(1-2) 1/2] temps d'assentament a una banda del 5%
-
té una discontinuitat per =0.691 (sobrepic del 5%)
-
Per >0.691 ts és inversament proporcional a i n
-
Per <0.691 ts és proporcional a i inversament proporcional a n
Efecte d'afegir un pol a la funció de transferència (llaç obert)
G(S) = n2______ Afegint un pol a la funció de transferència:
s2 + 2n + n2
G(S) = n2_________ Afegint un pol a la funció de transferència:
(Ts+1)s2 + 2n + n2
L'adició del pol ens afecta de la següent manera:
-
Generalment: Augment del sobrepic i temps de pic
-
Augment del temps d'establiment
-
Inestabilització del sistema
Efecte d'afedir un zero a la funció de transferència (llaç obert)
G(S) = n2______ Afegint un pol a la funció de transferència:
s2 + 2n + n2
G(S) = (Ts+1)n2___ Afegint un pol a la funció de transferència:
s2 + 2n + n2
-
Disminueix el temps d'aixecament
-
Augmenta el sobrepic màxim
-
Té l'efecte oposat del d'adició d'un pol
Els zeros i pols molt pròxims tenen afectes contraposats i es poden menystenir els seus efectes.
Pols dominants de les funcions de transferència
Pol dominant Es aquell que te un efecte molt significatiu en la resposta transitòria
Pol insignificant No tenen pes especific en la resposta transitòria
Els pols que estan vora l'origen fan creixer ala resposta transitoria i decauran molt lentament en canvi que els pols que estan lluny cauen molt ràpidament.
Entre les 2 regions : Insignificants i dominants hi ha una distància D
D = Magnitud real 5 a 10 vegades major que els pols dominants.
Esmorteïment relatiu
Un sistema de 3er ordre o més que té pols dominants exemple:
M(S) = Y(S) = 20_____ Té 2 pols dominants a 1±j =0.707
R(S) (s+10)(s2+2s+2) El pol real es a 10 D = 10
Es pot dir que r=0.707 (esmorteiment relatiu)
Per despreciar el pol insignificant cal tenir em compte:
-
El valor final Yss ha de ser el mateix que el del sistema simplificat
M(S) = Y(S) = 20_____ = 20________ = 20____
R(S) (s+10)(s2+2s+2) 10(s/10 + 1)(s2+2s+2) 10(s2+2s+2)
Simplificació de sistemes
Es desitjable en sistemes d'ordre alt poder-los simplificar a un ordre més baix que la seva resposta transistòria sigui similar.
MH(s) = Sistema d'ordre superior = K (1+b1s+b2s2+ .... + bmsm)
1+a1s+a2s2+ ....+ ansn
ML(s) = Sistema ordre inferior = K (1+c1s+c2s2+ .... + cqsq)
1+d1s+d2s2+ ....+ dpsp
K es la mateixa per assegurar que es mantingui el valor final en el sistema d'ordre baix
Càlcul de ML(s)
MH(s) = 1+m1s+m2s2+ .... + musu
ML(s) 1+l1s+l2s2+ .... + lvsv
MH(j)2 = 1+e2s2+e4s4 +e6s6+...+e2us2u = 1
ML(j)2 1+f2s2+f4s4 +f6s6+...+e2vs2v
Per la condició que hem expressat a dalt:
f2 = e2, f4 = e4 ,.... -> El que resta es l'error que cometem
Igualant-ho obtenim que:
e2 = 2m2 - m12
e4 = 2m4 - 2m1m3 + m22
e6 = 2m6 - 2m1m5 + 2m2m4 - m32
e8 = 2m8 - 2m1m7 + 2m2m6 - 2m3m5 + m42
f2 = 2l2 - l12 = e2 = 2m2 - m12
f4 = 2l4 - 2l1l3 + l22 = e4 = 2m4 - 2m1m3 + m22
f6 = 2l6 - 2l1l5 + 2l2l4 - l32 = e6
f8 = 2l8 - 2l1l7 + 2l2l6 - 2l3l5 + l42 = e8 etc.
Exemple: Simplificació sistema 3er grau a 2on grau
M(S) = Y(S) = 8_____ = 1_________
R(S) s3+6s2+12s+8 0.125s3+0.75s2+1.5s+1
Els pols están tots a s+2
ML(S) = 1____
1+d1s+d2s2
M(S) = 1+d1s+d2s2 = 1+m1s+m2s2_
ML(S) 0.125s3+0.75s2+1.5s+1 1+l1s+l2s2+l3s3
L1 =1.5, L2 = 0.75, L3 = 0.125
f2 = 2l2 - l12 = e2 = 2m2 - m12 1.5-1.52 = -075 = 2d2 - d12
f4 = - 2l1l3 + l22 = e4 = m22 0.1875 = d22
f6 = -0.156 = Error que cometem
Tenim que: d2 = 0.433; d1 = 1.271
ML(S) = 1____ = 1_______ = 2.31______
1+d1s+d2s2 1+1.271s+0.433s2 s2 + 2.936s + 2.31
Comparació de les respostes dels 2 sistemes
L'aproximació es tan mes bona quanta més dominància de pols hi hagi.
Construcció de diagrames de Bode
En els diagrames de Bode ens podem trobar aquests cinc tipus de factors simples:
-
factors Constants K
-
Pols i Zeros en el origen: 1/s ó s, integradors i derivadors
-
Pols i Zeros a s = -a: Factors (s+a)
-
Polts i zeros complexes: (1 + 2n + n2)
-
Retards purs e-Tds
Constant real K
Totes les K's son positives, per tant; KdB = 20*log K
El seu diagrama de Bóde és el següent:
Pols i zeros a l'origen, 1/s i s Integradors i derivadors
Integradors
El seu pendent és de -20 dB/dec i passen per 0 dB quan =1
El seu defasatge és de -90º
Derivadors
El seu pendent és de 20 dB/dec i passen per 0 dB quan =1
El seu defasatge és de -90º
El diagrama de Bóde per un integrador és:
Pol Simple
La funció del pol simple és 1/(Ts+1)
Guany
Asíntotes | per <1/T el guany és 0 dB
| per >1/T Té un pendent de -20 dB/dec
Podem calcular-ho més acuradament si
Guany = 20*log (1+2T2) 1/2
Defasatge
| per <1/10T el defasatge és 0º
Asíntotes | per >10/T el defasatge és -90º
| passa per -45º quan = 1/T
Podem calcular-ho més acuradament
Defasatge = arctg (T)
El seu diagrama de Bóde és el següent:
Els zeros simples són iguals tret que els pendents són positius i defasatges també.
Pols Complexes
La funció de transferència és:
n2 / s2 + 2n + n2
Tenim les següents característiques que hem de calcular
Freqüència Ressonància: r = n(1-22)1/2
Magnitud Pic : Mr = 1 / [2(1-2)1/2]
Ampla de Banda : BW = n[(1-22) + (4-42 + 2) 1/2] 1/2
Guany
Asíntotes | per <1/T el guany és 0 dB
| per >1/T Té un pendent de -40 dB/dec
Ressonancia | Si < 0'707 Mr = 1 / [2(1-2)1/2]; r = n(1-22)1/2
| Si > 0'707 No presenta pic de ressonància
Defasatge
| per <n/10 el defasatge és 0º
Asíntotes | per >10*n el defasatge és -180º
| passa per -90º quan = n
El diagrama de Bóde (Canviant esmorteïments) són els següents:
Diagrama de Bode d'un pol complexe amb ressonància
Retard Pur e-Tds
El seu guany és 0 i el seu defasatge és aquest:
a Td/10 (-5'3º), a Td (-53º) a 10Td (-530º)
Construcció del lloc geomètric de les arrels (Conceptes Bàsics)
F(s) = P(s) + KQ(s) = 0 K entre (-",+")
P(s) = Sn + an-1sn-1 + ... + a 1s + a 0
Q(s) = Sm + b m-1sm-1m-1 +...+b1s + b 0 n i m = Enters positius.
Propietats Bàsiques:
En sistemes de Control
Y(S) = G(S) = __ G(S)____
R(S) 1+G(S)H(S) 1+KG(S)H(S)
Condició de magnitud
G(S)H(S) = -1/K K entre (-",+")
Condicions d'angle
G(S)H(S) = (2i + 1) per K>0 (no es contemplen K's negatives)
Construcció del lloc d'arrels
G(S)H(S) = K(s+Z1)(s+Z2) ... (s+Zm)
(s+P1)(s+P2) .... (S+Pn)
Punts on K=0 i K="
K = 0 Solucionar el denominador característic (s+P1)(s+P2) .... (S+Pn)
K = " Solucionar el numerador (s+Z1)(s+Z2) ... (s+Zm)
Aixi els pols són quan K = 0 i els Zeros quan K = "
Exemple K(s+1)/s(s+2)(s+3)
Angles de les asíntotes per K's positives
M = Ordre del numerador
N = Ordre del denominador: llavors:
Hi haurà [N-M] asintotes que descriuen el comportament del lloc d'arrels per s="
Per valors grans de s, els angles de les asíntotes seràn:
i = 2i + 1 * 180º
|N-M| on i va des de 0 a |N-M-1|
Intersecció de les asíntotes (centroide)
La intersecció de les |N-M| asíntotes del lloc d'arrels la dóna la següent equació:
i = parts reals dels pols de G(S)H(S) - parts reals dels zeros de G(S)H(S)
N - M
Exemples:
Nº zeros = 0; Nº pols = 2; asintotes à 90 i 270º
Nº zeros = 0; Nº pols = 3; asintotes à 60, 180 i 300º
Nº zeros = 0; Nº pols = 4; asintotes à 45, 135 ,225 i 315º
Anàlisi de l'estabilitat relativa amb el Diagrama de Bóde
Marge de Guany i Marge de Fase
En el domini de la freq. es quantifica l'estabilitat amb el MG i MF
Marge de Guany
Un creuament de fase és quan la traza de Bode intersecta a -180º
p = Freq on hi ha el creuament de fase
<L(jp) = 180º
El MG es la quantitat de guany en dB que es poden afegir al llaç abans que el sistema es torni inestable:
KLím = MG MG = 20log (1/L(jp)
Si no hi ha creuament de fase llavors MG = "
Marge de Fase
Un creuament de guany és quan la traza de Bode intersecta a 0dB ó L(j)=1
g = Freq on hi ha el creuament de guany
|L(jg)| = 1
el MP es l'angle en graus que la traza s'ha de girar al voltant de l'origen perquè el creuament de fase passi per -180º
Llavors MP = <L(jg) -180º
Si no hi ha creuament de fase llavors MG = "
Si hi ha retards purs cal recordar que e-Tds " 1-tds/2
1+tds/2
O que quan = td l'angle es 53º, a = td/10 l'angle és 5'3º
* Estabilitat: Klím (en dB) = MG
Un sistema es inestable si MG > 0dB o MP<0ºTIPUS DE CONTROLADORS
Controlador PI
Gc(s) = Kp + Ki/s = Kp(1+(Ki/Kp)s)/s
En el domini temporal:
Gc(t) = Kp*e(t) + Ki*"e(t)dt
Com podem veure té un 0 a -Kp/Ki i un pol a l'origen
Aventatges i desventatges del controlador PI
Resposta a una entrada graó d'un PI
-
Ens augmenta el tipus del sistema en 1 (redueix l'error)
-
Ens alenteix la resposta (Baixa BW, Pugen Tr,Tp,Ts)
-
Si no es sintonitza bé pot inestabilitzar el sistema
-
Es pot saturar a baixes freqüències (es filtre passa-baixos)
-
Ens augmenta el sobrepic de la resposta (MP disminueix)
Controlador PD
Gc(s) = Kp + Kds = Kp[1+(Kd/Kp)s]
En el domini temporal:
Gc(t) = Kp*e(t) + Kd*de(t)/dt
Com podem veure té un zero a -Kp/Kd i cap pol
Aventatges i desventatges del controlador PI
Resposta a una entrada rampa d'un PD
-
Redueix l'esmorteiment i el sobrepic
-
Reduiex temps d'aixecament i establiment, acelera el sistema
-
Millora MG, MF i incrementa l'ampla de Banda
-
Es pot saturar per altes freqüències (es un filtre passa alts)
-
No funciona per sistemes poc esmorteïts o inicialment inestables
-
No ens corregeix l'error (ens deixa el tipus del sistema tal qual)
Controlador PID
Es com una combinació d'un PI i un PD
Gc(s) = Kp + Ki/s + Kds = Kp(1 + (Ki/Kp)/s + (Kd/Kp)s)
Veiem que té:
-
2 zeros (Poden ser reals o bé complexes)
-
1 pol a l'origen
Es com un entremig entre el PI i Pd, té els següents avantatges i incombenients:
-
Pot ajustar 3 especificacions al mateix temps: 3 paràmetres: Kp,Ki,Kd
-
Es pot saturar a altes i baixes freqüències
-
Augmenta en 1 el tipus d'un sistema però no l'alenteix
-
Podem triar amb ell la posició del pol real perque sigui insignificant
-
Costa mes de sintonitzar que un PI o un PD
La seva resposta freqüencial per Kp = 1, Kd = 0.2, Ki = 0.6 és aquesta:
A baixes freq ens disminueix MP (augmenta SP) i a altes es al reves
Podem fer moltes combinacions amb MP,MG i BW depenenet d'on col.loquem els paràmetres.
Podem ajustar-los amb regim temporal o amb el diagrama de Bode
DISSENY DE CONTROLADORS
Disseny de controladors fent servir el mètode d'assignació de pols
El controlador que es proposa utilitzar per a aconseguir controlar el nostre procés pot ser un controlador PID,PI,PD o P
En el cas d'un PID
Gc(s) = Kp + Ki/s + Kds
L'ajuste d'aquest controlador es farà fent servir el mètode d'assignació de pols simple
El disseny de controladors mitjançant el mètode d'assignació de pols simple consisteix en determinar el controlador a partir de la condició de què el sistema controlat tingui els pols en el lloc desitjat, sigui:
Gc(s) = Nc(s) / Dc(s)
La funció de transferència del controlador i sigui:
Gp(s) = Np(s) / Dp(s)
La funció de transferència del procés a controlar, llavors la funció de transferència del sistema controlat suposant que la realimentació és unitària valdrà:
T(S) = Nc(s)*Np(s)______
Dc(s)Dp(s) + Nc(s)Np(s)
A partir de les especificacions de disseny determinarem la posició dels pols del sistema controlat i per tant el polinomi denominador P(s) de la funció de transferència del sistema en llaç tancat T(s). Igualment el polinomi desitjat amb el polinomi a ajustar determinarem els paràmetres del controlador
Dc(s)DP(s) + Nc(s)Np(s) = P(S) que es el polinomi desitjat
Aquesta equació s'anomena equació diofàntica.
Exemple amb un controlador PD
G(S) = 1000 M(S) = 1000____
s(s+100) s2+10s+1000
Especificacions:
-
SP < 5% = 0.707
-
Tr = 0.05sec Tr = 0.8 + 2.5 / n n = 51'35.
Pols del nostre sistema: Pols Sistema controlat (especificacions)
s2+10s+1000 s2 + 0.707*51'35s + 51'352 = s2+36.3s+2638
Per un PD:
Gc(s) = Kp+Kds GcGp = 1000(Kp+Kds) M(S) = _____1000(Kp+Kds)_____
s(s+100) s2+(10+1000Kd)s+1000Kp
P(S) = s2+36.3s+2638 = s2+(10+1000Kd)s+1000Kp
Kd = 26.3/1000 = 0.0263; Kp = 2638/1000 = 2.638
La funció de transferència total ens queda:
M(S) = 2638+26.3s el zero està a s=-100
s2+36.3s+2638
Efecte inestabilitzador del retard
Si tenim en compte que els sistemes normalment tenen un retard present en el model del sistema observarem al simular el sistema controlat que el seu efecte és el desestabilitzar el sistema.
Si determinem la funció de transferència del sistema realimentat veurem que el retard apareix com un terme més del denominador. Normalment l'efecte d'aquest terme és desestabilitzar el sistema realimentat.
T(S) = Gp(s) * e-std _
1+Gp(s)*e-std
Per a poder estudiar l'efecte inestabilitzador del retard del sistema utilitzarem cal utilitzar els diagrames de Bode, el que fa el retard es canviar-nos el marge de Fase.
Disseny de controladors empíricament: Ziegler-Nichols
Hi ha metodes empirics que ens permeten ajustar controladors: Ziegler-Nichols.
Ajust en llaç tancat
El procediment consisteix en:
-
Col.locar controlador P amb guany petit i obtenir la resposta a un esglaó
-
Augmentar la K fins a obtenir una resposta oscil.latòria mantinguda
-
Anotar guany crític (Kpc) i període d'oscil.lació Tc
Segons Ziegler-Nichols el paràmetres del controlador són:
K | Ti | Td | ||||
PID Controler | 0'6Kpc | 0'5*Tc | 0'125Tc | |||
PI Controler | 0'45Kpc | Tc/1.2 | ||||
P Controler | 0'5Kpc |
|
On la funció de transferència el controlador PID és:
Gc(s) = K(1+ 1/TiS + Tds)
Ajust en llaç obert
El procediment s'utilitza en sistemes 1er ordre amb retard, consisteix en:
-
Obtenir la resposta en llaç obert del sistema amb retard
-
Anotar L = temps retard i T = constant de temps
Nomes funciona si T/L >= 4 ó més. Entre 3 i 4 funciona amb reparos
Segons Ziegler-Nichols el paràmetres del controlador seràn:
K | Ti | Td | ||||
PID Controler | 1'2T/L | 2L | 0'5L | |||
PI Controler | 0'9T/L | L/0'3 | ||||
P Controler | T/L |
|
Controladors d'avanç i atrasament de fase
S'utilitzen perquè la seva resposta és fisicament real
Gc(s) = s+Z1 = 1+aTs Presenten un pol a s+P1 i un zero a s+Z1
s+P1 1+Ts
Avanç de Fase P1>Z1 a < 1
Retard de Fase P1<Z1 a > 1
La seva resposta freqüencial és: Es sintonitzem utilitzant els diagrames de Bode
Disseny dels controladors Avenç-Retard fase
Per sintonitzar-los calen 2 especificacions, Normalment MP (Sobrepic) i error.
-
dibuixar Bode per K = 1 de Gp(s)
-
Mirar MP i comparar-lo amb el desitjat
-
"Gc(j) = "Gp(j) - MP
n = 1/"a *T Freq. tall del sistema
Si coneixem l'angle "Gc(j) = m obtenim a com:
a = (1+sin m) / (1-sin m) m l'escollim segons els especificacions
el guany del controlador en alta freq és: GF = 20*log a
Cal ajustar perquè la freq. Estigui a -GF/2, llavors utilitzar la fòrmula
n = 1/"a *T Per determinar la T
Perquè sigui efectiu el valor de T ha de ser petit.
Filtres de cancelació de zeros
Normalment al dissenyar controladors PI,PD i PID cal mirar on cauen els 0s
CASOS:
-
0's insignificants Estàn a D > 10, el controlador funciona
-
0's a 5<D<10 podem despreciar els efectes tot hi que afecten poc
-
0's pròxims a pols del controlador, cancelen els afectes, cal eliminar-los
-
0's dominants. Cal eliminar-los perquè ens afecten la resposta
-
altres casos: Cal avaluar l'efecte dels 0s
Per eliminar els 0's hem de dissenyar filtres que permetin eliminar-los
Assignació de pols completa
Per evitar aquesta addició d'un zero que fa que la resposta no es correspongui exactament amb la desitjada hem de variar lleugerament l'estructura del sistema de control. Simplement restructurant la posició del controlador dins del sistema de control com es mostra ala figura la funció de transferència ens queda:
T(S) = ____Np(s) _ Np(s) = num. Procés, Dp(s) = den.Procés
Dc(s)Dp(s)+Nc(s)Np(s) Nc(s) = den.controlador Dp(s) = den.contr.
Filtre de Muesca
Una altra forma de treure els 0's és fer un controlador és utilitzar un pre-filtre a l'entrada per suavitzar la senyal i que ens ajudi a cancel.lar els 0's
Possibles problemes a tenir en compte
-
Linealització de processos no lineals, aproximació de processos complexes
-
Errors de precisió, modelització. Estadistica dels paràmetres
-
Variacions de les propietats dinàmiques del sistema i que els pols es moguin
-
Paràmetres controlador limitats pels components físics disponibles
-
Perturbacions variables en el sistema
...
Això fa que la cancelació de pols/zeros sigui pràcticament impossible
Descargar
Enviado por: | Xinamorts |
Idioma: | catalán |
País: | España |