Regulaciò Automàtica

Industriales # Diagrames de Block i funcions de transferència. Control linial. Domini del temps. Bode

  • Enviado por: Xinamorts
  • Idioma: catalán
  • País: España España
  • 24 páginas
publicidad

Apunts Bàsics de Regulació Automàtica

Diagrames de Block i funcions de transferència

Funcions de Transferència

G(s) = Y(s)/U(s) sortida Y(s) = L[y(t)] entrada U(s) = L[u(t)]

Normalment la funció de transferència s'obté a partir de l'equació diferencial

(sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0) Y(S) = (bmsm + bm-1sm-1 + ... + b1s + b0) U(s)

G(s) = Y(s)/U(s) = bmsm + bm-1sm-1 + ... + b1s + b0 / sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0

Propietats de la funció de transferència

  • definida solament per un sistema linial invariant amb el temps

  • Es la transformada de Laplace de la resposta a l'impuls

  • Relació entre la transformada de Laplace de la sortida i la de l'entrada

  • Totes les condicions inicials del sistema són iguals a 0

  • Es independent de l'entrada del sistema

  • S'expressa en la variable complexa s de Laplace

  • Es estrictament pròpia si n > m, pròpia si n = m i impròpia si n < m

Polinomi característic

Es defineix com la equació que s'obté al igualar el polinomi de G(s) a 0

sn + an-1sn-1 + ... + a1s + a0 = 0

Ens serveix per determinar l'estabilitat dels sistemes

Diagrames de blocks

S'utilitsen per a modelitzar sistemes. Estudiar les relacions de causa-efecte dels sistemes

Si es coneixen les lleis matemàtiques que gobernen el sistema

Els elements bàsics d'un diagrama de blocks són:

Regulaciò Automàtica

Diagrama de Blocs model en realimentació

Regulaciò Automàtica

Llaç obert

Es agafar la funció de transferència sense considerar la realimentació

G(S) = Y(S) / E(S) = Gc(s)*Gp(s)

Llaç tancat

Es considera la realimentació llavors la funció de transferència en llaç tencat és

M(S) = Y(S) = G(S)____

R(S) 1+G(S)H(S)

Simplificació de diagrames de Blocks

Normalment ens cal determinar G(s) i M(s) en un sistema de control en el qual hi ha moltes més coses: En general la funcio transferència total ens permet simplificar el sistema però perdem molta informació de com es comporta el sistema per dintre.

Totes les realimentacions es simplifiquen aixins:

M(S) = Y(S) = G(S)____

R(S) 1+G(S)H(S)

Les funcions de transferència i guanys es treuen multiplicant:

Regulaciò Automàtica

Estabilitat de Sistemes de control linial

El primer requeriment per un sistema és la ESTABILITAT

Estabilitat absoluta Simplement és saber si és o no és estable

Estabilitat relativa Si un sistema és estable saber com d'estable n'és

Relació entre arrels del polinomi característic i l'estabilitat

G(S) = L(g(t)) = " g(t)e-stdt

Si una o més arrels estàn a la part negativa del pla complexe llavors:

|e-st | < 1 Però

Si només una de les arrels està a la part positiva del pla complexe llavors:

|est | Això tendeix a ", que viola els requisits de l'estabilitat.

Per tant:

Una arrel no pot estar al semiplà dret del plà complexe o no pot tenir part real positiva.

Criteri de Hurwitz

F(S) = ans n + an-1sn-1 + ... + a1s + a0

On tots els coeficient són reals, perque no presenti arrels amb parts reals positives:

  • Tots els coeficients han de tenir el mateix signe

  • Tots els determinants de Hurwitz han de ser positius

Els determinants de Hurwitz es formen com segueix

D1 = a n-1 D2 = |a n-1 a n-3| D3 = | a n-1 a n-3 a n-5 |

|a n a n-2| | a n a n-2 a n-4|

| 0 a n-1 a n-3 |

El criteri de Routh consisteix en arreglar aquests determinants

Tabulació de Routh Per una equació de 6è grau

F(S) = a6s 6 + a5s5 + a4s 4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0

s 6 a6 a4 a2 a0

s 5 a5 a3 a1 0

s 4 a5a 4-a 6a 3 = A a5a2 -a6a 1 = B a0 0

a5 a5

s 3 Aa 3-a 5B = C Aa1 -a5a0 = D 0 0

A A

s 2 BC - AD = E a0 0 0

C

s 1 ED - Ca0 = F 0 0 0

E

s 0 a0 0 0 0

Perque un sistema sigui estable cal que tots els coeficient de la 1era columna, o sigui

a6, a5, A, C, E, F han de ser tots positius

A més el nº de intercanvis de signe en aquests elements indica el nº d'arrels amb parts positives que té l'equació.

Casos especials en la tabulació de Routh

Es poden presentar les següents dificultats aplicant la tabulació de Routh:

  • El primer element de qualsevol dels renglons de la taula de Routh és 0

  • Tots els elements d'una fila de la taula de routh són 0

En el primer cas es reemplaça el 0 per un numero petit arbitrari 

Exemple:

S4 1 2 3

S3 1 2 0

S2 0 3 En aquí reemplaçem el 0 pel nº arbitrari 

S2  3

S1 2-3 /  = -3/ 0  es comporta com si fos un 0 al numerador

S0 3

El segon cas es dona si una o vàries d'aquestes condicions poden existir

  • L'equació té almenys 2 arrels d'igual magnitud i signes contraris

  • L'equació té un o més parells d'arrels imaginàries

  • L'equació té parells d'arrels complexes simètriques amb el punt (0,0)

Per arreglar-ho es fa el següent:

  • A(s) = 0 utilitzant els coeficients de la fila que es troba dalt de la renglera de 0s

  • Agafar la derivada dA(s)/ds = 0

  • Reemplaçar la renglera de 0s pels coeficients de dA(s)/ds = 0

Exemple 2on Cás

S5 1 8 7

S4 4 8 4

S3 6 6 0

S2 4 4 0

S1 0 0 A(s) = 4s2 + 4s

dA(s)/ds = 8s

S1 8 0 Son els coeficients de dA(s9/ds

S0 4

L'us de la taula de Routh s'utilitza per determinar la Klím d'estabilitat tractant la K com si fós un paràmetre

També s'utilitza per determinar el valor critic de paràmetres perque un sistema sigui estable, quan nosaltres desconeixem alguns dels paràmetres.

Anàlisis de sistemes de Control en el domini del temps

Errors en l'estat estacionari, precisió

  • resposta a un esglaó (error de posició)

R(t) = K*Us(t) R(S) = K/s

Kp = lím G(S)H(S) per s0 Ess = 1/1+Kp

  • resposta a una rampa (error de velocitat)

R(t) = Kt*Us(t) R(S) = K/s2

Kv = lím S*G(S)H(S) per s0 Ess = 1/Kv

  • resposta a una paràbola (error d'acceleració)

R(t) = Kt2*Us(t) R(S) = K/S3

Ka = lím S2*G(S)H(S) per s0 Ess = 1/Ka

Tipus

Error Posicio

Error Veloc.

Error Accel.

O

R/(1+Kp)

Infinit

Infinit

I

No en te

R/Kv

Infinit

II

No en te

No en te

R/Ka

III

No en te

No en te

No en te

R = Magnitud de l'entrada RU(s) en cas d'un esglaó

El tipus del sistema el determina el nº d'integradors que té el sistema.

Especificacions en el domini del temps

  • Sobrepic màxim Yss - Ymàx en %

  • Temps de retard Td, es el temps que tarda a aconseguir el 50% del valor final

  • Temps d'alçament Tr, temps que tarda d'anar al 10% - 90% del valor final

  • Temps d'assentament Ts, temps de permanència a una banda del X %

Normalment s'agafa un 5% o un 2%

Regulaciò Automàtica

Resposta d'un sistema prototipus de 2on ordre

G(S) = n2_______

s2 + 2n + n2

La solució d'aquest sistema ens dóna les arrels que són:

 = n ± jn*(1-2) ½ =  ± jd on d = freqüència esmorteïda

  • n = Distància radial de les arrels a l'origen del pla s

  •  = La part real de les arrels

  • d = La part imaginària de les arrels

  •  = Cosinus de l'angle entre la linea radial de les arrels i l'eix negatiu

 = cos 

Regulaciò Automàtica

Tipus de sistemes segons el paràmetre 

  • subesmorteït 0<<1 s1,s2 = -n ± jn(1-2) 1/2

  • Críticament esmorteït =1 s1,s2 = -n

  • Sobreesmorteït >1 s1,s2 = -n ± jn(2-1) 1/2

  • No esmorteït =0 s1,s2 = ± jn

  • Subesmorteïment negatiu -1<<0 s1,s2 = -n ± jn(1-2) ½ n>0

  • Sobreesmorteïment negatiu <-1 s1,s2 = -n ± jn(2-1) ½ n>0

Calcul de les especifiacions en el domini del temps

Sobrepic màxim i temps de pic

Tpic = _____ temps quan es presenta el sobrepic

n*(1-2) 1/2

SP = 100*exp[-/(1-2) 1/2] SP = ymàx - yss

  • Si reduim l'esmorteïment, reduïm el soprepic

Temps de retard i temps d'aixecament

n*td = 1+0.7 (td = temps retard = temps que assolim el 50% del valor)

n*td = 1.1 + 0.125 + 0.4692

n*tr = 0.8+2.5 (tr = temps d'aixecament = temps que passem del 10 a 90% del valor)

n*tr = 1 - 0.4167 + 2.9172

  • tr i td proporcionals a  i inversament a n

  • Si disminuim n augmentarem tr i td

Temps d'assentament

n*ts = -1* ln[0.05(1-2) 1/2] temps d'assentament a una banda del 5%



  • té una discontinuitat per =0.691 (sobrepic del 5%)

  • Per >0.691 ts és inversament proporcional a  i n

  • Per <0.691 ts és proporcional a  i inversament proporcional a n

Efecte d'afegir un pol a la funció de transferència (llaç obert)

G(S) = n2______ Afegint un pol a la funció de transferència:

s2 + 2n + n2

G(S) = n2_________ Afegint un pol a la funció de transferència:

(Ts+1)s2 + 2n + n2

Regulaciò Automàtica

L'adició del pol ens afecta de la següent manera:

  • Generalment: Augment del sobrepic i temps de pic

  • Augment del temps d'establiment

  • Inestabilització del sistema

Efecte d'afedir un zero a la funció de transferència (llaç obert)

G(S) = n2______ Afegint un pol a la funció de transferència:

s2 + 2n + n2

G(S) = (Ts+1)n2___ Afegint un pol a la funció de transferència:

s2 + 2n + n2

Regulaciò Automàtica

  • Disminueix el temps d'aixecament

  • Augmenta el sobrepic màxim

  • Té l'efecte oposat del d'adició d'un pol

Els zeros i pols molt pròxims tenen afectes contraposats i es poden menystenir els seus efectes.

Pols dominants de les funcions de transferència

Pol dominant Es aquell que te un efecte molt significatiu en la resposta transitòria

Pol insignificant No tenen pes especific en la resposta transitòria

Els pols que estan vora l'origen fan creixer ala resposta transitoria i decauran molt lentament en canvi que els pols que estan lluny cauen molt ràpidament.

Regulaciò Automàtica

Entre les 2 regions : Insignificants i dominants hi ha una distància D

D = Magnitud real 5 a 10 vegades major que els pols dominants.

Esmorteïment relatiu

Un sistema de 3er ordre o més que té pols dominants exemple:

M(S) = Y(S) = 20_____ Té 2 pols dominants a 1±j =0.707

R(S) (s+10)(s2+2s+2) El pol real es a 10 D = 10

Es pot dir que r=0.707 (esmorteiment relatiu)

Per despreciar el pol insignificant cal tenir em compte:

  • El valor final Yss ha de ser el mateix que el del sistema simplificat

M(S) = Y(S) = 20_____ = 20________ = 20____

R(S) (s+10)(s2+2s+2) 10(s/10 + 1)(s2+2s+2) 10(s2+2s+2)

Simplificació de sistemes

Es desitjable en sistemes d'ordre alt poder-los simplificar a un ordre més baix que la seva resposta transistòria sigui similar.

MH(s) = Sistema d'ordre superior = K (1+b1s+b2s2+ .... + bmsm)

1+a1s+a2s2+ ....+ ansn

ML(s) = Sistema ordre inferior = K (1+c1s+c2s2+ .... + cqsq)

1+d1s+d2s2+ ....+ dpsp

K es la mateixa per assegurar que es mantingui el valor final en el sistema d'ordre baix

Càlcul de ML(s)

MH(s) = 1+m1s+m2s2+ .... + musu

ML(s) 1+l1s+l2s2+ .... + lvsv

MH(j)2 = 1+e2s2+e4s4 +e6s6+...+e2us2u = 1

ML(j)2 1+f2s2+f4s4 +f6s6+...+e2vs2v

Per la condició que hem expressat a dalt:

f2 = e2, f4 = e4 ,.... -> El que resta es l'error que cometem

Igualant-ho obtenim que:

e2 = 2m2 - m12

e4 = 2m4 - 2m1m3 + m22

e6 = 2m6 - 2m1m5 + 2m2m4 - m32

e8 = 2m8 - 2m1m7 + 2m2m6 - 2m3m5 + m42

f2 = 2l2 - l12 = e2 = 2m2 - m12

f4 = 2l4 - 2l1l3 + l22 = e4 = 2m4 - 2m1m3 + m22

f6 = 2l6 - 2l1l5 + 2l2l4 - l32 = e6

f8 = 2l8 - 2l1l7 + 2l2l6 - 2l3l5 + l42 = e8 etc.

Exemple: Simplificació sistema 3er grau a 2on grau

M(S) = Y(S) = 8_____ = 1_________

R(S) s3+6s2+12s+8 0.125s3+0.75s2+1.5s+1

Els pols están tots a s+2

ML(S) = 1____

1+d1s+d2s2

M(S) = 1+d1s+d2s2 = 1+m1s+m2s2_

ML(S) 0.125s3+0.75s2+1.5s+1 1+l1s+l2s2+l3s3

L1 =1.5, L2 = 0.75, L3 = 0.125

f2 = 2l2 - l12 = e2 = 2m2 - m12 1.5-1.52 = -075 = 2d2 - d12

f4 = - 2l1l3 + l22 = e4 = m22 0.1875 = d22

f6 = -0.156 = Error que cometem

Tenim que: d2 = 0.433; d1 = 1.271

ML(S) = 1____ = 1_______ = 2.31______

1+d1s+d2s2 1+1.271s+0.433s2 s2 + 2.936s + 2.31

Comparació de les respostes dels 2 sistemes

Regulaciò Automàtica

L'aproximació es tan mes bona quanta més dominància de pols hi hagi.

Construcció de diagrames de Bode

En els diagrames de Bode ens podem trobar aquests cinc tipus de factors simples:

  • factors Constants K

  • Pols i Zeros en el origen: 1/s ó s, integradors i derivadors

  • Pols i Zeros a s = -a: Factors (s+a)

  • Polts i zeros complexes: (1 + 2n + n2)

  • Retards purs e-Tds

Constant real K

Totes les K's son positives, per tant; KdB = 20*log K

El seu diagrama de Bóde és el següent:

Regulaciò Automàtica

Pols i zeros a l'origen, 1/s i s Integradors i derivadors

Integradors

El seu pendent és de -20 dB/dec i passen per 0 dB quan =1

El seu defasatge és de -90º

Derivadors

El seu pendent és de 20 dB/dec i passen per 0 dB quan =1

El seu defasatge és de -90º

El diagrama de Bóde per un integrador és:

Regulaciò Automàtica

Pol Simple

La funció del pol simple és 1/(Ts+1)

Guany

Asíntotes | per <1/T el guany és 0 dB

| per >1/T Té un pendent de -20 dB/dec

Podem calcular-ho més acuradament si

Guany = 20*log (1+2T2) 1/2

Defasatge

| per <1/10T el defasatge és 0º

Asíntotes | per >10/T el defasatge és -90º

| passa per -45º quan  = 1/T

Podem calcular-ho més acuradament

Defasatge = arctg (T)

El seu diagrama de Bóde és el següent:

Regulaciò Automàtica

Regulaciò Automàtica

Els zeros simples són iguals tret que els pendents són positius i defasatges també.

Pols Complexes

La funció de transferència és:

n2 / s2 + 2n + n2

Tenim les següents característiques que hem de calcular

Freqüència Ressonància: r = n(1-22)1/2

Magnitud Pic : Mr = 1 / [2(1-2)1/2]

Ampla de Banda : BW = n[(1-22) + (4-42 + 2) 1/2] 1/2

Guany

Asíntotes | per <1/T el guany és 0 dB

| per >1/T Té un pendent de -40 dB/dec

Ressonancia | Si  < 0'707 Mr = 1 / [2(1-2)1/2]; r = n(1-22)1/2

| Si  > 0'707 No presenta pic de ressonància

Defasatge

| per <n/10 el defasatge és 0º

Asíntotes | per >10*n el defasatge és -180º

| passa per -90º quan  = n

El diagrama de Bóde (Canviant esmorteïments) són els següents:

Regulaciò Automàtica

Regulaciò Automàtica

Diagrama de Bode d'un pol complexe amb ressonància

Regulaciò Automàtica

Retard Pur e-Tds

El seu guany és 0 i el seu defasatge és aquest:

Regulaciò Automàtica

a Td/10 (-5'3º), a Td (-53º) a 10Td (-530º)

Construcció del lloc geomètric de les arrels (Conceptes Bàsics)

F(s) = P(s) + KQ(s) = 0 K entre (-",+")

P(s) = Sn + an-1sn-1 + ... + a 1s + a 0

Q(s) = Sm + b m-1sm-1m-1 +...+b1s + b 0 n i m = Enters positius.

Propietats Bàsiques:

En sistemes de Control

Y(S) = G(S) = __ G(S)____

R(S) 1+G(S)H(S) 1+KG(S)H(S)

Condició de magnitud

G(S)H(S) = -1/K K entre (-",+")

Condicions d'angle

G(S)H(S) = (2i + 1) per K>0 (no es contemplen K's negatives)

Construcció del lloc d'arrels

G(S)H(S) = K(s+Z1)(s+Z2) ... (s+Zm)

(s+P1)(s+P2) .... (S+Pn)

Punts on K=0 i K="

K = 0 Solucionar el denominador característic (s+P1)(s+P2) .... (S+Pn)

K = " Solucionar el numerador (s+Z1)(s+Z2) ... (s+Zm)

Aixi els pols són quan K = 0 i els Zeros quan K = "

Exemple K(s+1)/s(s+2)(s+3)

Regulaciò Automàtica

Angles de les asíntotes per K's positives

M = Ordre del numerador

N = Ordre del denominador: llavors:

Hi haurà [N-M] asintotes que descriuen el comportament del lloc d'arrels per s="

Per valors grans de s, els angles de les asíntotes seràn:

i = 2i + 1 * 180º

|N-M| on i va des de 0 a |N-M-1|

Intersecció de les asíntotes (centroide)

La intersecció de les |N-M| asíntotes del lloc d'arrels la dóna la següent equació:

i = parts reals dels pols de G(S)H(S) - parts reals dels zeros de G(S)H(S)

N - M

Exemples:

Nº zeros = 0; Nº pols = 2; asintotes à 90 i 270º

Regulaciò Automàtica

Nº zeros = 0; Nº pols = 3; asintotes à 60, 180 i 300º

Regulaciò Automàtica

Nº zeros = 0; Nº pols = 4; asintotes à 45, 135 ,225 i 315º

Regulaciò Automàtica

Anàlisi de l'estabilitat relativa amb el Diagrama de Bóde

Marge de Guany i Marge de Fase

En el domini de la freq. es quantifica l'estabilitat amb el MG i MF

Marge de Guany

Un creuament de fase és quan la traza de Bode intersecta a -180º

p = Freq on hi ha el creuament de fase

<L(jp) = 180º

El MG es la quantitat de guany en dB que es poden afegir al llaç abans que el sistema es torni inestable:

KLím = MG MG = 20log (1/L(jp)

Si no hi ha creuament de fase llavors MG = "

Marge de Fase

Un creuament de guany és quan la traza de Bode intersecta a 0dB ó L(j)=1

g = Freq on hi ha el creuament de guany

|L(jg)| = 1

el MP es l'angle en graus que la traza s'ha de girar al voltant de l'origen perquè el creuament de fase passi per -180º

Llavors MP = <L(jg) -180º

Si no hi ha creuament de fase llavors MG = "

Regulaciò Automàtica

Si hi ha retards purs cal recordar que e-Tds " 1-tds/2

1+tds/2

O que quan  = td l'angle es 53º, a  = td/10 l'angle és 5'3º

* Estabilitat: Klím (en dB) = MG

Un sistema es inestable si MG > 0dB o MP<0ºTIPUS DE CONTROLADORS

Controlador PI

Gc(s) = Kp + Ki/s = Kp(1+(Ki/Kp)s)/s

En el domini temporal:

Gc(t) = Kp*e(t) + Ki*"e(t)dt

Com podem veure té un 0 a -Kp/Ki i un pol a l'origen

Aventatges i desventatges del controlador PI

Resposta a una entrada graó d'un PI

Regulaciò Automàtica

Regulaciò Automàtica

  • Ens augmenta el tipus del sistema en 1 (redueix l'error)

  • Ens alenteix la resposta (Baixa BW, Pugen Tr,Tp,Ts)

  • Si no es sintonitza bé pot inestabilitzar el sistema

  • Es pot saturar a baixes freqüències (es filtre passa-baixos)

  • Ens augmenta el sobrepic de la resposta (MP disminueix)

Controlador PD

Gc(s) = Kp + Kds = Kp[1+(Kd/Kp)s]

En el domini temporal:

Gc(t) = Kp*e(t) + Kd*de(t)/dt

Com podem veure té un zero a -Kp/Kd i cap pol

Aventatges i desventatges del controlador PI

Regulaciò Automàtica

Resposta a una entrada rampa d'un PD

Regulaciò Automàtica

  • Redueix l'esmorteiment i el sobrepic

  • Reduiex temps d'aixecament i establiment, acelera el sistema

  • Millora MG, MF i incrementa l'ampla de Banda

  • Es pot saturar per altes freqüències (es un filtre passa alts)

  • No funciona per sistemes poc esmorteïts o inicialment inestables

  • No ens corregeix l'error (ens deixa el tipus del sistema tal qual)

Controlador PID

Es com una combinació d'un PI i un PD

Gc(s) = Kp + Ki/s + Kds = Kp(1 + (Ki/Kp)/s + (Kd/Kp)s)

Veiem que té:

  • 2 zeros (Poden ser reals o bé complexes)

  • 1 pol a l'origen

Es com un entremig entre el PI i Pd, té els següents avantatges i incombenients:

  • Pot ajustar 3 especificacions al mateix temps: 3 paràmetres: Kp,Ki,Kd

  • Es pot saturar a altes i baixes freqüències

  • Augmenta en 1 el tipus d'un sistema però no l'alenteix

  • Podem triar amb ell la posició del pol real perque sigui insignificant

  • Costa mes de sintonitzar que un PI o un PD

La seva resposta freqüencial per Kp = 1, Kd = 0.2, Ki = 0.6 és aquesta:

Regulaciò Automàtica

A baixes freq ens disminueix MP (augmenta SP) i a altes es al reves

Podem fer moltes combinacions amb MP,MG i BW depenenet d'on col.loquem els paràmetres.

Podem ajustar-los amb regim temporal o amb el diagrama de Bode

DISSENY DE CONTROLADORS

Disseny de controladors fent servir el mètode d'assignació de pols

El controlador que es proposa utilitzar per a aconseguir controlar el nostre procés pot ser un controlador PID,PI,PD o P

En el cas d'un PID

Gc(s) = Kp + Ki/s + Kds

L'ajuste d'aquest controlador es farà fent servir el mètode d'assignació de pols simple

El disseny de controladors mitjançant el mètode d'assignació de pols simple consisteix en determinar el controlador a partir de la condició de què el sistema controlat tingui els pols en el lloc desitjat, sigui:

Gc(s) = Nc(s) / Dc(s)

La funció de transferència del controlador i sigui:

Gp(s) = Np(s) / Dp(s)

La funció de transferència del procés a controlar, llavors la funció de transferència del sistema controlat suposant que la realimentació és unitària valdrà:

T(S) = Nc(s)*Np(s)______

Dc(s)Dp(s) + Nc(s)Np(s)

A partir de les especificacions de disseny determinarem la posició dels pols del sistema controlat i per tant el polinomi denominador P(s) de la funció de transferència del sistema en llaç tancat T(s). Igualment el polinomi desitjat amb el polinomi a ajustar determinarem els paràmetres del controlador

Dc(s)DP(s) + Nc(s)Np(s) = P(S) que es el polinomi desitjat

Aquesta equació s'anomena equació diofàntica.

Exemple amb un controlador PD

G(S) = 1000 M(S) = 1000____

s(s+100) s2+10s+1000

Especificacions:

  • SP < 5%  = 0.707

  • Tr = 0.05sec Tr = 0.8 + 2.5 / n n = 51'35.

Pols del nostre sistema: Pols Sistema controlat (especificacions)

s2+10s+1000 s2 + 0.707*51'35s + 51'352 = s2+36.3s+2638

Per un PD:

Gc(s) = Kp+Kds GcGp = 1000(Kp+Kds) M(S) = _____1000(Kp+Kds)_____

s(s+100) s2+(10+1000Kd)s+1000Kp

P(S) = s2+36.3s+2638 = s2+(10+1000Kd)s+1000Kp

Kd = 26.3/1000 = 0.0263; Kp = 2638/1000 = 2.638

La funció de transferència total ens queda:

M(S) = 2638+26.3s el zero està a s=-100

s2+36.3s+2638

Efecte inestabilitzador del retard

Si tenim en compte que els sistemes normalment tenen un retard present en el model del sistema observarem al simular el sistema controlat que el seu efecte és el desestabilitzar el sistema.

Regulaciò Automàtica

Si determinem la funció de transferència del sistema realimentat veurem que el retard apareix com un terme més del denominador. Normalment l'efecte d'aquest terme és desestabilitzar el sistema realimentat.

T(S) = Gp(s) * e-std _

1+Gp(s)*e-std

Per a poder estudiar l'efecte inestabilitzador del retard del sistema utilitzarem cal utilitzar els diagrames de Bode, el que fa el retard es canviar-nos el marge de Fase.

Disseny de controladors empíricament: Ziegler-Nichols

Hi ha metodes empirics que ens permeten ajustar controladors: Ziegler-Nichols.

Ajust en llaç tancat

El procediment consisteix en:

  • Col.locar controlador P amb guany petit i obtenir la resposta a un esglaó

  • Augmentar la K fins a obtenir una resposta oscil.latòria mantinguda

  • Anotar guany crític (Kpc) i període d'oscil.lació Tc

Segons Ziegler-Nichols el paràmetres del controlador són:

K

Ti

Td

PID Controler

0'6Kpc

0'5*Tc

0'125Tc

PI Controler

0'45Kpc

Tc/1.2

P Controler

0'5Kpc

On la funció de transferència el controlador PID és:

Gc(s) = K(1+ 1/TiS + Tds)

Ajust en llaç obert

El procediment s'utilitza en sistemes 1er ordre amb retard, consisteix en:

  • Obtenir la resposta en llaç obert del sistema amb retard

  • Anotar L = temps retard i T = constant de temps

Nomes funciona si T/L >= 4 ó més. Entre 3 i 4 funciona amb reparos

Segons Ziegler-Nichols el paràmetres del controlador seràn:

K

Ti

Td

PID Controler

1'2T/L

2L

0'5L

PI Controler

0'9T/L

L/0'3

P Controler

T/L

Controladors d'avanç i atrasament de fase

S'utilitzen perquè la seva resposta és fisicament real

Gc(s) = s+Z1 = 1+aTs Presenten un pol a s+P1 i un zero a s+Z1

s+P1 1+Ts

Avanç de Fase P1>Z1 a < 1

Retard de Fase P1<Z1 a > 1

La seva resposta freqüencial és: Es sintonitzem utilitzant els diagrames de Bode

Regulaciò Automàtica

Disseny dels controladors Avenç-Retard fase

Per sintonitzar-los calen 2 especificacions, Normalment MP (Sobrepic) i error.

  • dibuixar Bode per K = 1 de Gp(s)

  • Mirar MP i comparar-lo amb el desitjat

  • "Gc(j) = "Gp(j) - MP

n = 1/"a *T Freq. tall del sistema

Si coneixem l'angle "Gc(j) = m obtenim a com:

a = (1+sin m) / (1-sin m) m l'escollim segons els especificacions

el guany del controlador en alta freq és: GF = 20*log a

Cal ajustar perquè la freq. Estigui a -GF/2, llavors utilitzar la fòrmula

n = 1/"a *T Per determinar la T

Perquè sigui efectiu el valor de T ha de ser petit.

Filtres de cancelació de zeros

Normalment al dissenyar controladors PI,PD i PID cal mirar on cauen els 0s

CASOS:

  • 0's insignificants Estàn a D > 10, el controlador funciona

  • 0's a 5<D<10 podem despreciar els efectes tot hi que afecten poc

  • 0's pròxims a pols del controlador, cancelen els afectes, cal eliminar-los

  • 0's dominants. Cal eliminar-los perquè ens afecten la resposta

  • altres casos: Cal avaluar l'efecte dels 0s

Per eliminar els 0's hem de dissenyar filtres que permetin eliminar-los

Assignació de pols completa

Per evitar aquesta addició d'un zero que fa que la resposta no es correspongui exactament amb la desitjada hem de variar lleugerament l'estructura del sistema de control. Simplement restructurant la posició del controlador dins del sistema de control com es mostra ala figura la funció de transferència ens queda:

T(S) = ____Np(s) _ Np(s) = num. Procés, Dp(s) = den.Procés

Dc(s)Dp(s)+Nc(s)Np(s) Nc(s) = den.controlador Dp(s) = den.contr.

Regulaciò Automàtica

Filtre de Muesca

Una altra forma de treure els 0's és fer un controlador és utilitzar un pre-filtre a l'entrada per suavitzar la senyal i que ens ajudi a cancel.lar els 0's

Regulaciò Automàtica

Possibles problemes a tenir en compte

  • Linealització de processos no lineals, aproximació de processos complexes

  • Errors de precisió, modelització. Estadistica dels paràmetres

  • Variacions de les propietats dinàmiques del sistema i que els pols es moguin

  • Paràmetres controlador limitats pels components físics disponibles

  • Perturbacions variables en el sistema

...

Això fa que la cancelació de pols/zeros sigui pràcticament impossible