Regresión con mínimos cuadrados

Estadística. Métodos numéricos. Ecuaciones

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Regresión con Mínimos Cuadrados.

Cuando se asocia un error sustancial a los datos, la interpolación polinomial es inapropiada y puede llevar a resultados no satisfactorios cuando se usa para predecir valores intermedios. Los datos experimentales a menudo son de ese tipo. Una estrategia mas apropiada en estos casos es la de obtener una función aproximada que ajuste “adecuadamente” el comportamiento o la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente con cada punto en particular. Una línea recta puede usarse en la caracterización de la tendencia de los datos sin pasar cobre ningún punto en particular. Una manera de determinar la línea, es inspeccionar de manera visual los datos graficados y luego trazar la “mejor” línea a través de los puntos. Aunque este enfoque recurre al sentido común y es valido para cálculos a “simple vista” es deficiente ya que es arbitrario. Es decir, a menos que los puntos definan una línea recta perfecta (en cuyo caso la interpolación seria apropiada), cada analista trazara rectas diferentes.

La manera de quitar esta subjetividad es considerar un criterio que cuantifique la suficiencia del ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la diferencia entre los datos y la curva y el método para llevar a cabo este objetivo es al que se le llama regresión con mínimos cuadrados.

Regresión Lineal

El ejemplo mas simple de una aproximación por mínimos cuadrados es el ajuste de una línea recta a un conjunto de parejas de datos observadas: (x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn). La expresión matemática de una línea recta es:

(1)

en donde a0 y a1 son coeficientes que representan la intersección con el eje de las abscisas y la pendiente, respectivamente y E es el error o residuo entre el modelo y las observaciones, que se puede representar reordenando la ecuación (1) como:

(2)

Por lo tanto, el error o residuo es la diferencia entre el valor real de y y el valor aproximado, a0+a1x, predicho por la ecuación lineal.

Criterio para un “mejor” ajuste

Una estrategia que obtiene la “mejor” línea a través de los puntos debe minimizar la suma de los errores residuales, como en:

Otro criterio seria minimizar la suma de los valores absolutos de las diferencias, esto es:

Una tercera estrategia en el ajuste de una línea optima es el criterio de mínimas. En este método, la línea se escoge de tal manera que minimice la distancia máxima a la que se encuentra un punto de la línea recta. Esta estrategia esta mal condicionada para regresión ya que influye de manera indebida sobre un punto externo, aislado, cuyo error es muy grande. Se debe notar que el criterio mínimas algunas veces esta bien condicionado para ajustar una función simple a una función complicada.

Una estrategia que ignora las restricciones anteriores es la de minimizar la suma de los cuadrados de los residuos, Sr, de la siguiente manera:

(3)

Este criterio tiene muchas ventajas, incluyendo el que ajusta una línea única a un conjunto dado de datos. Antes de analizar estas propiedades, se muestra un método que determina los valores de a0 y a1 que minimizan la ecuación (3).

Ajuste de una recta utilizando Mínimos Cuadrados.

Para determinar los valores de las constantes a0 y a1, se deriva la ecuación (3) con respecto a cada uno de los coeficientes:

Nótese que se han simplificado los símbolos de la sumatoria; a menos que otra cosa se indique, todas las sumatorias van desde i=1 hasta n. Igualando estas derivadas a cero, se genera un mínimo Sr. Si se hace así, las ecuaciones anteriores se expresaran como:

Ahora considerando que Regresión con mínimos cuadrados
= n, las ecuaciones se pueden expresar como un conjunto de dos ecuaciones lineales simultaneas con dos incógnitas (a0 y a1):

(4)

(5)

A estas ecuaciones se les conoce como ecuaciones normales. Se pueden resolver simultáneamente y obtener:

(6)

Este resultado se puede usar junto con la ecuación (4) para obtener:

(7)

en donde son la media de y y x, respectivamente, quedándonos entonces la siguiente ecuación para a0:

(8)

Bibliografía:

Métodos Numéricos para Ingenieros

Steven Chapra

Mc Graw-Hill

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