Radicales

Matemáticas. Exponentes. Monomios. Polinomios. Ecuaciones. Progresiones aritméticas. Logaritmos

  • Enviado por: Djorge
  • Idioma: castellano
  • País: Ecuador Ecuador
  • 28 páginas
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TEORÍA DE EXPONENTES Y RADICALES

TEORÍA DE RADICALES

'Radicales'
Signo del radical

INDICE Cantidad subradicalo

RADICANDO

'Radicales'
LEYES

  • 'Radicales'
    -

  • 'Radicales'
    -

  • 'Radicales'
    -

  • -

  • 'Radicales'

  • 'Radicales'
    -

  • -

  • EJERCICIOS

    Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    CALCULAR: la raíz cuadrada y cúbica de los siguientes números.

    'Radicales'

    'Radicales'

    Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones o simplifíquela.

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    EJERCICIOS

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    EXTRACCIONES DE FACTORES DE UN RADICAL

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    Si el radicando contiene uno o más factores que sean potencias de exponente igual al índice del radical, estos factores pueden extraerse del radical (como factores) las bases de dichas potencias.

    SIMPLIFICANDO LAS SIGUIENTES RADICALES

    POR EXTRACCIÓN DE FACTORES

    'Radicales'

    'Radicales'
    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    RACIONALIZACIÓN

    Sin un radical afecta a una expresión fraccionaria o, si en el denominador de una fracción hay algún radical se llama: RACIONALIZACIÓN de una expresión al procedimiento mediante el cual se logra que no este afectado por radical alguno.

    'Radicales'
    EJEMPLOS

    ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES

    Que son radicales semejantes:

    2 términos que contengan cada uno un radical como factor, se dicen semejantes, cuando estas radicales tienen el mismo índice y el mismo radical.

    La semejanza de los monomios se establecen atendiendo al radical que contienen y presidiendo del carácter de los demás factores.

    ADICIÓN

    Una suma algebraica de términos que contengan radicales puede reducirse aun monomio siempre que se trate de términos semejantes; pues hasta entonces se aplica la propiedad distributiva sacando factor común el radical.

    Como coeficiente de la suma resultará la correspondiente sima algebraica de los factores exteriores a los radicales en los diversos términos.

    'Radicales'
    Ejercicios

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    REDUCCIÓN DE RADICALES A OTROS EQUIVALENTES

    REDUCCIÓN DE RADICALES A UN ÍNDICE COMÚN

    Teniendo en cuenta que es fácil reducir varios radicales a otros que tengan el mismo índice pues hasta multiplicar cada índice y el exponente de la cantidad subrradical por el número apropiado.

    La reducción de radicales de un índice común es utilizar en la multiplicación y en la división de expresiones con radicales; también se aplica esta operación cuando se trata de comparar numéricamente varios radicales sin hacer las correspondientes extracciones de raíces. Reducir los radicales siguientes a otros equivalentes del mismo índice.

    'Radicales'

    m. c. i.= 12

    'Radicales'

    MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

    MONOMIOS

    Si las expresiones dadas contienen radicales del mismo índice, se halla el producto de los coeficientes; en la forma usual y para multiplicar los radicales se tiene en cuenta que el producto de dos radicales del mismo índice es otro radical de igual índice cuyo radicando es el producto de los radicandos de los factores.

    'Radicales'
    'Radicales'

    'Radicales'

    Polinomios

    Para multiplicar dos expresiones polinómicas que contengan radicales, se produce como en la multiplicación de dos polinomios cualquiera.

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    División de radicales

    Monomios

    'Radicales'
    Si las expresiones dadas contienen radicales del mismo índice dividen los coeficientes de los radicales en forma usual.

    'Radicales'

    Polinomios. - el coeficiente de dos expresiones polinómicas, cuyos términos contengan radicales, pueden expresarse en forma entera, con respecto a los radicales mediante la racionalización del denominador.

    Si el denominador fuese de forma a-b se racionalizaran entonces multiplicando por la suma a+b

    'Radicales'
    'Radicales'

    'Radicales'

    ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

    'Radicales'
    Se llaman ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones cuadráticas.

    ECUACIONES INCOMPLETAS DE SEGUNDO GRADO

    ECUACIÓN DE LA FORMA ax2 +c

    ECUACIÓN DE LA FORMA x2 = 2x

    ECUACIÓN DE LA FORMA ax2+bx=0

    ECUACIÓN DE LA FORMA AX2= 0

    'Radicales'
    'Radicales'

    Sabemos que una ecuación incompleta de la forma ax2+bx = 0 se resuelve sacando x como factor común cuando se tiene una ecuación incompleta de la forma ax2+bx+c=0 y el trinomio que forma el primer miembro de la ecuación puede descomponerse por algunos métodos estudiados anteriormente, la resolución de la ecuación de segundo grado queda reducida así a la resolución de 2 ecuaciones simples de 1er grado.

    Ejercicios

    'Radicales'
    'Radicales'

    Solución

    RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO DE COMPLETAR UN CUADRADO PERFECTO

    Puesto que:

    'Radicales'

    A un binomio de la forma x2+mx con m positivo o negativo le falta el cuadrado de la mitad de m, o sea el término:

    'Radicales'

    Para ser un cuadrado perfecto por ejemplo ax2+8x falta agregable

    'Radicales'

    'Radicales'

    Sumando el 9 en ambos miembros tenemos:

    X2 +6x + 9= 7+5

    Si extraemos la raíz cuadrada en ambos miembros tenemos:

    'Radicales'

    PROGRESIONES ARITMÉTICAS

    Término n-s+ mo de una progresión aritmética a, a+d, a dd, a+3d…. a+(n-1)d

    Un= a + (n-1)d

    N= K

    UK= a+(k-d)d

    Sumando d en ambos miembros

    Uk+d= a+(k-1)d+d

    Uk+d= a+kd-d+d

    Uk+d=a+kd

    Ésta formula es válida para nk+1 para n=k-1 se obtiene en una progresión.

    a= 4

    d= 3

    U7= 4+(7-1)3

    U7= 22 es el séptimo término

    EJERCICIOS

    'Radicales'
    'Radicales'

    8 Término

    'Radicales'
    Una progresión aritmética se compone de 50 términos si el 1er es 9 su diferencia es -3.

    'Radicales'

    Una progresión aritmética se compone de 20 términos la diferencia es -0.75 cual será 1er término.

    'Radicales'
    'Radicales'

    MEDIOS ARITMÉTICOS

    'Radicales'

    INTERPOLAR

    'Radicales'
    18, 15, 12, 9, 6, 3, 0, -3, -6, -9

    'Radicales'

  • seis medios aritméticos entre 3 y 8

  • Interpolar 3 y 8

    3, 8, 13, 18, 23, 28, 33…………

    'Radicales'
    'Radicales'

    Ejercicios

    'Radicales'
    9° Término de 7, 10, 13

    25° Término de -6, -3

    'Radicales'

    PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

    Es una progresión cuyos términos son tales que van a cualquiera de ellos, después de el 1ro, es igual al término anterior multiplicando por un número fijo que le puede hallar dividendo cualquier término de la progresión y se representa por la letra r.

    Ejemplos

    2, 6, 18…..

    Es una progresión creciente cuya razón es r = 3

    8, -4,2

    Es una progresión decreciente cuya razón es r = ½

    LOGARITMOS

    El logaritmo de un número es el exponente a que hay que elevar una base positiva y distinta a la unidad. Para obtener una potencia igual al número dado.

    El logaritmo es, por tanto, una de las operaciones inversas de la potenciación. Por la definición de logaritmo vemos que la base puede ser cualquier número positivo diferente de la unidad pero en la practica se han elegido 2 bases debido a la simplificación de cálculos que su elección lleva consigo, estas son la base de 10 y la base.

    Los logaritmos de base 10 se conocen como decimales o vulgares y los logaritmos de base e se conocen como NEPERIANOS

    PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

  • La función exponencial es siempre más para todos los valores de x es decir, el gráfico se mantiene siempre x arriba del eje horizontal.

  • A cad valor de x corresponde a un solo valore de (y) y cda coordenada corresponde al valor de x.

  • Cualquiera que sea la base a = o, la función toma un valor 1 para x= 0. Esto es todos los gráficos pasan por el punto (0,1)

  • Si > 1 la función exponencial es creciente, es decir, las ordenadas, crecen al crecer las obscisas por lo contrario si o<a<1 la función es decreciente.

  • CÁLCULO CON POTENCIA DE 10

    Los números decimales se pueden expresar en notación científica mediante el uso de potencias de 10 con exponentes enteros. Ej.

    Si en vez de expresar parcialmente los # como potencias de 10 los expresaremos completamente en esa forma mediante tablas que se han construido expresamente con ese objeto.

    Por tanto: (5, 24, 10) (3,5. 103)= 101, 7, 9 3 9 3 X 10359407

    =105 2 6 3 4 8

    = 100 2 6 3 4 0 X 105

    Haciendo de nuevo uso de la tabla para encontrar el valor de 100126340, hablamos 1834

    Luego en definitivo

    Logaritmos

    Dando Como base un # a + y diferente de 1 se llama logaritmo de un número real y + n, con respecto a dicha base, al exponente x al cual se debe elevar la base a para obtener el número N.

    Esto es si

    ax = N

    Diremos que x es el logaritmo de N en base a y con respecto a la base, lo cual se debe elevar la base a para obtener el # N

    Esto es si

    Ax=N

    Diremos que x es el logaritmo de N en base

    x= loga N

    Ejemplo

    1. Puesto que 43= 64, diremos que el logaritmo de 64 en base 4 es 3

    log4 64 = 3

    PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

    Además de las propiedades generales mencionadas apartado anterior, los logaritmos poseen otras propiedades importantes que sirven de base al cálculo con logaritmos.

    Como estas propiedades son consecuencias de leyes de los exponentes y son ciertas cualquiera sea la base.

    Ejemplo

    - El logaritmo de la base es siempre 1

    - El logaritmo de 1 es siempre 0, cualquiera que sea la base

    a2= 1 loga 1=0

    - El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

    - Esta igualdad demuestra que m + n es el logaritmo en base a del producto MN loga MN= m+n= loga M+loga N

    - El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y el logaritmo del divisor.

    - El logaritmo es una potencia es = al producto del exponente por el logaritmo de la base de la potencia

    loga mk = k loga M.

    - El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice del radical.

    'Radicales'

    No existen reglas simples que expresan

    Si M y N toman valores numéricos para calcular (MIN) se compensará por ejecutar la suma o diferencia M=N

    ESTADÍSTICA

    Problemas fundamentales. - se llama estadística a la recopilación ordenado de datos numéricos sobre asuntos determinados.

    Por ejemplo:

    Cuando hablamos de la población del país al determinar el número de habitantes por: provincia, sexo, edad, nivel académico, nivel socioeconómico, etc.

    OBJETIVOS DE LA ESTADÍSTICA

    Tienen los siguientes.

    Clasificar, reordenar y representar gráficamente el conjunto de los datos obtenidos, en una forma fácil y precisa los hechos más importantes significativos la estadística moderna va más allá de este proceso de reducción, análisis y representación apropiada de los datos coleccionados.

  • Predecir las condiciones futuras mediante el conocimiento de las condiciones pasadas y presentes.

  • lograr información sobre una gran masa de hechos.

  • DISTRIBUCIONES

    Es analizar si los datos se disponen en orden de magnitud numérica e indicando el número de valores que caen en ciertas categorías o clases, se obtiene una distribución de una frecuencia.

    Distribución de frecuencia

    Es la disposición de los datos en clase especificando el número de datos y observaciones de cada clase. Una tabla de frecuencia es una presentación en una forma tabular de un distribución de una frecuencia.

    Ejemplo. - Un biólogo mide 20 ejemplares de cierta especie de insectos y obtienen los siguientes valores (en cm)

    2,7; 3,1; 2,3; 3,4; 3,6; 2,9; 2,4; 2,8; 3,7; 3,2; 2,5; 3,3; 3,1; 2,6; 2,8; 3,0; 3,4; 3,9; 2,7.

    Los insectos tienen una longitud mayor de 2 cm. pero menos 4 cm. Si dividimos este intervalo en 4 partes, cada uno de 0,5 cm de longitud y los datos en forma creciente de magnitud y distribuidas.

    Entre 2 y 2,5 - cm.: 2,3; 2,4

    Entre 2,5 y 3 - cm.: 2,5; 2,6; 2,7; 2,8; 2,9

    Entre 3 y 3,5 - cm.: 3,0; 3,1; 3,2; 3,3; 3,4; 3,2; 3,4;

    Entre 3,5 y 4 - cm.: 3,6; 3,7; 3,9;

    Con estos datos se contribuye la siguiente tabla de frecuencia.

    Longitud

    (en Cm)

    # de insectos

    (frecuencia

    2 - 2, 5

    2,5 - 3

    3 - 3,5

    3,5 - 4

    2

    7

    8

    3

    En esta tabla se nota que el 75% de los insectos observados, su longitud es de 2,5 y 3,5 cm.

    Ejemplo

    La tabla II muestra las calificaciones de un grupo de estudiantes de álgebra, la tabla III de las estaturas de un de hombres.

    TABLA II

    CALIFICACIONES

    FRECUENCIA

    00-10

    10 - 20

    20 - 30

    30 - 40

    40 - 50

    50 - 60

    60 - 70

    70 - 80

    80 - 90

    90 - 100

    2

    3

    5

    6

    9

    11

    15

    18

    14

    8

    Calificaciones recibidas por una clase de álgebra

    Tabla III

    ESTATURA EN PULGADAS

    FRECUENCIA

    56 - 58

    58 - 60

    60 - 62

    62 - 64

    64 - 66

    66 - 68

    68 - 70

    70 - 72

    72 - 74

    74 - 76

    5

    7

    10

    18

    82

    170

    113

    60

    27

    8

    Estaturas de 500 hombres

    PROMEDIOS

    Los datos estadísticos a agruparse alrededor de un cierto valor produciendo un punto más alto que los demás en lo que corresponde a la curva de frecuencia lo cual el lector en varios de los ejemplos anteriores habrá observado.

    Todo valor que se utilice para la distribución de frecuencias y en general, una serie estadística cualquiera, recibe el nombre de promedio.

    Los promedios de dos distribuciones pueden usarse para sacar una comparación entre ellas.

    Los tipos más importantes de promedio son los siguientes: la medida aritmética, la medicina, el modo, la media geométrica y la media cuadrática

    Antes de definir estos promedios y buscar la manera de obtenerlos nos conviene recordar el uso del símbolo ( Enigma) ya introducido para indicar abreviadamente la suma de varios términos del mismo tipo. Así, por ejemplo la suma: x1+x2+x3+x4+x5+x6

    Se representa abreviadamente escribiendo

    'Radicales'

    La notación indica que el primer valor que debe darse el símbolo r es 1 y el último es 6

    Análogamente

    'Radicales'
    Significa a1+ a2+a3+a4

    'Radicales'
    En general

    X1 + x2 + x3 …….. + xn

    Sin embargo cuando se trata de sumar de términos de la forma escribiremos simplemente para representarlo, omitiendo la indicación de los valores extremos del subíndice.

    Como ejemplo y por su aplicación anterior demostraremos las dos propiedades siguientes:

    'Radicales'
    1.

    'Radicales'
    2.

    LA MEDIA ARITMÉTICA

    Este es el promedio más conocido y más comúnmente usado. Su determinación es simple aunque puede resultar cuando los datos son numerosos. También puede ser afectada por valores extremos desusados y puede dejar de ser un valor realmente típico o representativo de la distribución.

    Cuando cada uno de los valores (extremos) con la frecuencia fr, la formula (1) se escribe

    'Radicales'

    Ejemplo

    La medida aritmética de las calificaciones de la tabla II se halla de la manera siguiente:

    Valores

    Frecuencia

    Xr fr

    5

    15

    25

    35

    45

    55

    65

    75

    85

    95

    2

    3

    5

    6

    9

    11

    15

    18

    14

    8

    10

    45

    125

    210

    405

    605

    975

    1350

    1190

    760

    Sumas

    91

    5675

    De donde

    'Radicales'

    El computo anterior se puede abreviar aún más escogiendo un origen arbitrario (llamado también promedio hipotético o supuesto) y procedimientos a calcular por medio de la formula

    'Radicales'

    En lo cual dr representa la diferencia Xr o desviaciones con respecto al promedio supuesto

    Cuando la formula (3) se aplica a una distribución de frecuencias se escribe

    'Radicales'

    Para aplicar esta formula al calculo de la media aritmética de las calificaciones de la tabla II prepararemos, eligiendo por ejemplo A= ss, la siguiente tabla

    dr

    Fr

    dr fr.

    -50

    -40

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    20

    30

    40

    2

    3

    5

    6

    9

    11

    15

    18

    14

    8

    -100

    -120

    -150

    -120

    -90

    0

    150

    360

    420

    320

    Total

    91

    670

    De donde 670: 91 = 7.4

    Luego x=55+7,4=62.4

    'Radicales'
    'Radicales'
    Se abrevia algo más los cálculos escribiendo la formula

    En donde h es la amplitud de intervalo de clase y dr.= dr/h: en algunos casos se asigna un # arbitrario Wr, llamado pese, a cada xr, se define entonces la media ponderada o barica. W de los valores x1 + x2 xn por medio de la formula.

    La Mediana

    La mediana de un conjunto de valore x1, x2, Xn dispuestos en orden creciente o decreciente es el valor equidistante de los extremos, cuando n es impar, si n es par se forma como mediana aritmética de los valores centrales.

    Ejemplo

  • La mediana de 22, 23, 25, 28, 30 es 25

  • La mediana de 40, 43, 45, 46, 48, 51, es 12=45.5

  • Si los datos se han dispuesto en forma de una distribución de frecuencias, la mediana se define como la obscisa cuyo correspondiente ordenada divide el área del histograma en 2 partes equivalentes.

    El modo

    Es el valor que se presenta con mayor frecuencia en la serie estadística cuando hay varios valores con frecuencias máximas el modo queda indeterminado.

    En la distribución de ka tabla II la clase modal es la que corresponde al intervalo o sea 75

    En la distribución de la tabla III el modo daría aproximadamente 67.

    La medida Geométrica

    La medida geométrica de n valores x1, x2……xn se define mediante la formula

    Tomando logaritmos se puede escribir en la forma

    En donde se ve que el logaritmo de la media Geométrica de n cantidades en la media aritmética de los logaritmos de estas cantidades.

    Ejemplo

    Hallar la media de 2, 3, 7 y 15

    Tenemos: Log. 2 - 0,30103

    Log. 3 - 0,47713

    Log. 7 - 0,84510

    Log. 15- 1,17609

    2,79934

    'Radicales'
    luego:

    6=5,01

    'Radicales'
    pero de B = Arm se obtiene

    y sustituyendo en [9]

    Por tanto para determinar P (dentro de la hipótesis hecha) habrá que tomar la medida geométrica de las poblaciones dadas por los dos censos.

    LA MEDIDA ARITMÉTICA

    'Radicales'
    La medida aritmética x de n valores x1, x2….xn se define

    Con la presente formula podemos calcular medias aritméticas simples.

    Mientras que cuando uno de los valores Xr. Ocurre con la frecuencia fr, la formula es la siguiente:

    'Radicales'

    La presente formula sirve si los datos de han dispuesto en forma de distribución de frecuencia, el cálculo de la media aritmética se la hace abreviando tomando en cuenta a x r como los puntos medios de los intervalos y como fr las frecuencias correspondientes a las respectivas clases. Ejem.

    La media aritmética se las calificaciones de la tabla.

    Valores centrales

    frecuencias

    xr fr

    5

    15

    25

    35

    45

    55

    65

    75

    85

    95

    2

    3

    5

    6

    9

    11

    15

    18

    14

    8

    10

    45

    125

    210

    405

    605

    975

    1350

    1190

    760

    total

    91

    5675

    De donde 'Radicales'

    La media aritmética se calcula con los datos distribuidos uniformemente dentro de cada intervalo de clase y que en consecuencia los puntos medios de las clases son valores típicos para cada intervalo.

    Se puede abreviar esta formula tomando en cuenta el origen arbitrario y llamado también promedio hipotético y procedimiento a calcular.

    'Radicales'

    Desviaciones con respecto al promedio supuesto

    'Radicales'

    Si quieres aplicar la formula a una distribución de frecuencias se escribe de la siguiente manera

    'Radicales'

    Para aplicar esta formula. Ejemplo

    xr

    dr

    fr

    dr fr

    5

    15

    25

    35

    45

    55

    65

    75

    85

    95

    -50

    -40

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    20

    30

    40

    3

    3

    5

    6

    9

    11

    15

    18

    14

    8

    -100

    -120

    -150

    -120

    -90

    0

    150

    360

    420

    320

    Total

    91

    670

    'Radicales'
    De donde

    'Radicales'
    Luego

    La formula 4 la podemos abreviar tomando en cuenta

    'Radicales'

    n: es la amplitud del intervalo de clase

    'Radicales'
    dr: a la diferencia

    En el ejemplo anterior h es = 10

    Por otra parte puede ser probablemente afectada por valores extremos desusados y pueden dejar de ser un valor realmente típico.

    Ejemplo

    La media aritmética de las calificaciones

    La mediana

    Para determinar numéricamente el valor de la mediana se construye una tabla acumulativa de frecuencia y se halla el valor de x correspondiente a la frecuencia acumulada igual a la mitad de la frecuencia total

    n= f1 + f2 + ………..fn

    en muchos casos la mediana es un promedio más típico que otro a causa de su independencia de valores anormales que pueden ocurrir en la serie estadística.

    El modo

    El valor que se presenta con mayor frecuencia es la serie cuando hay varios valores con frecuencia en la serie estadística, cuando hay varios valores con frecuencia máxima el modo.

    Ejemplo

    Calcular la mediana de los siguientes datos de 650 personas

    Años

    fr

    fa

    M fa

    0-5

    5-10

    10-15

    15-20

    20-25

    25-30

    30-35

    35-40

    40-45

    45-50

    50-55

    55-60

    20

    25

    40

    60

    80

    10

    35

    100

    70

    50

    70

    90

    20

    45

    85

    145

    225

    235

    270

    370

    440

    490

    560

    650

    325

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    Intervalos

    fr

    fa

    M fa

    d

    100-150

    150-200

    200-250

    250-300

    300-350

    350-400

    400-450

    450-500

    500-550

    550-600

    600-650

    20

    30

    10

    40

    70

    80

    100

    75

    25

    105

    140

    20

    50

    60

    100

    19

    27

    370

    445

    470

    575

    715

    357,5

    87,5

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    Edad

    fr

    fa

    M fa

    d

    42-44

    44-46

    46-48

    48-50

    50-52

    52-54

    54-56

    56-58

    58-60

    60-62

    5

    8

    9

    11

    15

    5

    20

    10

    12

    13

    5

    13

    22

    33

    48

    51

    71

    81

    93

    106

    53

    2

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

    'Radicales'

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