Radiación y radiocomunicación

Ingeniería de Telecomunicaciones. Radiación. Radiocomunicación. Energía. Ondas electromagnéticas. Campos radiados

  • Enviado por: Victor Alfonso Romero
  • Idioma: castellano
  • País: Colombia Colombia
  • 24 páginas
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PARAMETROS DE UNA ANTENA TIPO

DIPOLO DE LONGITUD FINITA

Resumen

Definición del problema

El problema al que se le desea dar solución en el siguiente articulo científico consiste en realizar los cálculos de los parámetros de las antenas tipo dipolo de longitud finita, como es el caso de las graficas del campo radiado normalizado, la densidad de potencia radiada, intensidad de potencia radiada, potencia radiada, directividad máxima, área efectiva y resistencia de radiación, para esto se va a demostrar y sustentar conceptualmente todos los pasos que llevan a las expresiones analíticas utilizadas para los cálculos de los mismos.

Metodología usada para la solución del problema

La metodología que vamos emplear para la solución de dicho problema es la creación de un programa realizado en matlab el cual nos realice los cálculos de los parámetros de las antenas tipo dipolo de longitud finita y nos muestre las graficas del campo de radiación normalizado para lo cual se debe ubicar el dipolo en cualquier punto del plano XY [es decir para los z = 0], con dirección paralela al eje X. Para esto se debe primero de obtener analíticamente las ecuaciones correspondientes a los distintos parámetros.

Resultados obtenidos

Al obtener analíticamente las formulas necesarias, pudimos elaborar el programa requerido en este articulo científico para calcular los distintos parámetros de una antena tipo dipolo de longitud finita, pudiendo obtener así las graficas requeridas para analizar el campo radiado por el dipolo.

Conclusiones

Los valores hallados con el programa de matlab que hicimos para los distintos parámetros de antenas requeridos de análisis en este articulo, no son muy distinto de lo esperado, pero las graficas tienen unas pequeñas modificaciones respecto a las estudiadas en las distintas bibliografías mencionadas al final del articulo.

Introducción

Definición del problema

El problema al que se le desea dar solución en el siguiente articulo científico consiste en realizar los cálculos de los parámetros de las antenas tipo dipolo de longitud finita, como es el caso de las graficas del campo radiado normalizado, la densidad de potencia radiada, intensidad de potencia radiada, potencia radiada, directividad máxima, área efectiva y resistencia de radiación, para esto se va a demostrar y sustentar conceptualmente todos los pasos que llevan a las expresiones analíticas utilizadas para los cálculos de los mismos.

Enlaces con conocimientos previos

Campo de radiación de una antena

El campo eléctrico, magnético o la densidad de potencia radiada son magnitudes vectoriales que se pueden representar con el módulo o la fase de sus componentes.

'Radiación y Radiocomunicación'

Las formas de representación pueden ser tridimensionales o bidimensionales, en escalas lineal o logarítmica.

Dada la dificultad de representar gráficamente el diagrama tridimensional se opta por representar cortes del diagrama en coordenadas polares o cartesianas. Los cortes corresponden a la intersección del diagrama 3D con planos.

Para hallar el campo de radiación de una antena consideremos primero las características de radiación de un alambre conductor muy corto (comparado con la longitud de onda de operación) y fino, de longitud , por el que circula una corriente con una dependencia armónica con el tiempo:

Para determinar el campo electromagnético de un dipolo elemental se siguen los siguientes tres pasos:

1. Determinar el potencial Magnético A de una distribución de corriente J

siendo J una distribución de corriente conocida o supuesta en la antena.

2. Encontrar el campo magnético H a partir de A

3. Encontrar el campo eléctrico a partir de H

Donde

Donde

Este potencial magnético A se debe pasar a coordenadas esféricas:

Después de hallado el potencial magnético podemos hallar el campo magnético:

Después de hallado el campo magnético podemos hallar el campo eléctrico:

Estas ecuaciones de campo magnético y campo eléctrico corresponden a un dipolo de longitud finita. Estas expresiones son bastante complicadas, sin embargo en los problemas de antenas lo que mas nos interesa son los campos a distancias muy lejanas de la antena, es decir, regiones donde R >> o . En estas circunstancias (en las zonas lejanas) podemos despreciar los términos y ya que tienden a cero, así que podemos escribir el campo lejano, o campo de radiación del dipolo elemental como:

También se pueden despreciar las otras componentes del campo.

Pero cuando se trata de analizar los parámetros de un dipolo lineal de longitud finita se siguen los mismos pasos que para el dipolo elemental. Si se conoce la distribución de corriente por la antena, podemos hallar su campo de radiación debido a un dipolo elemental sobre toda la longitud de la antena. La determinación de la distribución de la corriente en esta configuración geométrica que parece tan sencilla es sin embargo, es un problema muy difícil de valor en la frontera. Para nuestros fines asumiremos una distribución de corriente con una variación espacial senoidal en un dipolo recto y muy delgado. Esta distribución de corriente que constituye una especie de onda estacionaria en el dipolo como puede verse en la siguiente figura:

'Radiación y Radiocomunicación'

Como el dipolo se alimenta en el centro, las corrientes en las dos mitades son simétricas y se anulan en los extremos. Escribimos el factor de corriente como:

Solo nos interesan los campos lejanos. La contribución al campo lejano del elemento de corriente diferencial es, a partir de las ecuaciones del campo eléctrico y del campo magnético del dipolo elemental:

R' en la ecuación anterior es un poco distinto de R medida al origen de las coordenadas esféricas, que coinciden con el centro dl dipolo. R>>h en la zona lejana

La diferencia en magnitud entre es insignificante, pero hay q conservar la relación aproximada de la ecuación anterior en el termino de la fase. Por lo que en definitiva la ecuación del campo eléctrico de un dipolo lineal de longitud finita va a ser:

El integrando en la ecuación anterior es el producto de una función par de z, y , donde es una función par de z. Al integrar entre límites simétricos -h y h, sabemos que únicamente la parte del integrando que contiene el producto de dos funciones pares de z, , se genera un valor distinto de cero, entonces la ecuación del campo eléctrico se reduce a:

El factor de configuración es la función de configuración en el plano E de una antena dipolar lineal. La forma exacta del diagrama de radiación representado por en la ecuación anterior depende del valor de = y puede variar bastante para distintas longitudes de antenas. No obstante, el diagrama de radiación siempre es simétrico con respecto al plano .

Estas ultimas expresiones para campo eléctrico y campo magnético son validas solo cuando el vector corriente se encuentra en dirección del eje z, pero el problema que se nos da a resolver en este laboratorio es cuando esa distribución de corriente se encuentra en el eje x, es decir que tiene coordenadas [x,0,0]. Para darle solución ha este problema solo debemos cambiar la expresión para el ángulo , ya que es la única magnitud que varia cuando hacemos la traslación del vector corriente, puesto que este ángulo es el que se encuentra entre el vector corriente y el vector radio, o sea que este ángulo se puede hallar con un producto punto. Cuando la corriente se encuentra en el eje z:

y

'Radiación y Radiocomunicación'

Pero como la corriente se encuentra en el eje x la expresión para quedara como:

'Radiación y Radiocomunicación'

De aquí en adelante cuando utilicemos este ángulo en las formulas generales, para poder hacer los cálculos respectivos, debemos reemplazar por el valor hallado en la ecuación anterior.

Vector poynting

Las ondas electromagnéticas transportan energía electromagnética. La energía se transporta por el espacio a puntos receptores distantes a través de ondas electromagnéticas. Una relación entre la razón de transferencia de tal energía y las intensidades de campos eléctricos y magnéticos asociados con la onda electromagnética que se propaga se puede dar a relacionar donde la integral sobre el volumen que nos interesa viene dada por:

El primero y segundo términos del lado derecho de la ecuación anterior representan la razón de cambio temporal de la energía almacenada en los campos eléctrico y magnético, respectivamente. El ultimo termino es la potencia óhmica disipada en el volumen como resultado del flujo de la densidad de corriente de conducción en presencia de un campo eléctrico E. Podemos entonces interpretar el lado derecho de la ecuación anterior como la razón de reducción de las energías eléctrica y magnética almacenadas, menos la potencia óhmica disipada en forma de calor en el volumen V. esto debe ser igual a la potencia que sale del volumen a través de su superficie, para se consistentes con la ley de la conservación de la energía. Por consiguiente, la cantidad es un vector de densidad de potencia asociado con el campo electromagnético que representa el flujo de potencia por unidad de área.

()

Densidad de Potencia Radiada

El vector poynting equivale a la densidad instantánea de potencia que suministra una antena. Esta densidad instantánea de potencia se compone de una parte real (densidad promedio de potencia radiada) y una parte imaginaria (densidad promedio de potencia reactiva). La densidad de potencia radiada es la que efectivamente radia la antena, y corresponde al flujo de potencia que atraviesa una unidad de área esférica, mientras que la reactiva corresponde a aquella que se disipa alrededor de la antena en forma de calor. Las unidades son watios por metro cuadrado. Se puede calcular a partir de los valores eficaces de los campos como

'Radiación y Radiocomunicación'

La relación entre el módulo del campo eléctrico y el módulo del campo magnético es la impedancia característica del medio

'Radiación y Radiocomunicación'

Por lo tanto, la densidad de potencia radiada también se puede calcular a partir de las dos componentes del campo eléctrico.

'Radiación y Radiocomunicación'

Para el caso de los dipolos, en la zona lejana, los campos radiados solo tienen componentes en y y por lo tanto la densidad de potencia radiada por los dipolos finitos estaría dada por:

Donde se considero para la última expresión que y al desarrollar obtenemos:

y reemplazando en la ecuación anterior el valor dado en la ecuación de campo eléctrico para zonas lejanas, tenemos en definitiva que:

Intensidad de potencia radiada

Es la potencia radiada desde una antena por unidad de ángulo sólido en una determinada dirección. Mientras que la densidad de potencia radiada equivale a la cantidad de potencia radiada que atraviesa una unidad de área esférica, la intensidad de potencia radiada equivale a la cantidad de potencia radiada concentrada en el cono de haz de radiación por unidad de ángulo sólido. Las unidades son watios por estereorradián. Dicho parámetro es independiente de la distancia a la que se encuentre la antena emisora.

'Radiación y Radiocomunicación'

La potencia total radiada se puede calcular integrando la intensidad de radiación en todas las direcciones del espacio.

La intensidad de potencia radiada para el dipolo finito esta dada por la expresión

teniendo en cuenta que y haciendo el reemplazo en la ecuación anterior se puede graficar el patrón de radiación del dipolo finito para las diferentes longitudes eléctricas

Potencia radiada

Se puede obtener  como la integral de la densidad de potencia en una esfera que encierre a la antena.

A partir de la intensidad de potencia radiada también se puede calcular la potencia total radiada para una antena:

Teniendo en cuenta que d

Pero para una antena isotrópica U entonces:

Por lo tanto

Ahora, cuando se reemplaza el valor de en la ecuación general de potencia radiada para el dipolo finito, dado según la ecuación , en su valor de magnitud y desarrollando esta doble integral tenemos como resultado final que la potencia de radiación para este dipolo se puede expresar de la siguiente manera:

donde C=0.772 que es la constante de Euler; Si: es el seno integral de Fresnel; Ci: coseno integral de Fresnel.

Por comodidad de expresión a todo lo indicado dentro de las llaves se le denomina Q de lo cual nos queda que la potencia radiada de un dipolo finito es:

Directividad máxima

La directividad de una antena se define como la relación entre la densidad de potencia radiada en una dirección, a una distancia, y la densidad de potencia que radiaría a la misma distancia una antena isotrópica, a igualdad de potencia total radiada.

Si no se especifica la dirección angular, se sobreentiende que la Directividad se refiere a la dirección de máxima radiación

La directividad se puede obtener en general a partir del diagrama de radiación de la antena

'Radiación y Radiocomunicación'

Simplificando términos, resulta

'Radiación y Radiocomunicación'

'Radiación y Radiocomunicación'
Se define como el ángulo sólido equivalente.

Para antenas directivas, con un solo lóbulo principal y lóbulos secundarios de nivel despreciable, se puede obtener una directividad aproximada considerando que se produce radiación uniforme en el ángulo sólido definido a partir de los anchos de haz a -3dB en los dos planos principales del diagrama de radiación.

'Radiación y Radiocomunicación'

Según la IEE: “Equivale a la relación entre la intensidad de radiación en una dirección dada desde la antena y la intensidad promedia radiada en todas la direcciones” expresado en formula queda así:

Como ya teníamos que

Entonces al reemplazar el valor en la directividad tenemos que

Y por ende la directividad máxima seria

Ahora partiendo de esta formula y aplicándola para un dipolo de longitud finita tenemos:

Para el dipolo de longitud finita la Potencia radiada es

Y conociendo que la intensidad de potencia radiada que es

Ahora para calcular la máxima intensidad de radiación para este caso hacemos;

Ahora reemplazamos en la formula y tenemos

Cancelando tenemos:

Área efectiva

El área efectiva de las antenas se define como la relación entre la potencia que entrega la antena a su carga y la densidad de potencia de la onda incidente.

Físicamente esta relación representa la fracción del frente de onda que la antena intercepta y drena a través de este frente toda la potencia contenida hacia la carga.

Por otra parte podemos decir que el área efectiva para una antena isotrópica esta dad por:

donde:

'Radiación y Radiocomunicación'
: longitud de onda

'Radiación y Radiocomunicación'
: directividad de la antena

'Radiación y Radiocomunicación'
: debido a que las antenas radian en todas las direcciones

Teniendo presente que para toda antena el área efectiva máxima esta dada por y reemplazando en esta expresión el valor de la directividad máxima indicada anteriormente obtenemos:

Resistencia de radiación

Es una resistencia ideal que agregada a circuito resonante equivalente a la antena, disipa la misma potencia calórica que la antena radia realmente en el espacio. Esta alcanza un valor máximo cuando el conductor es resonante. Se representa así (Rr)

Teniendo presente que para cualquier antena la potencia de radiación se puede relacionar como y comparando esta expresión con la de potencia radiada se puede despejar la resistencia de radiación para un dipolo finito:

Las ondas que son reflejadas directamente hacia arriba por la tierra al pasar por ella, inducen corriente en la antena y, de acuerdo con la altura de la misma, la relación de fase entre esta corriente inducida y la original puede ser como para reforzar en unos casos y debilitar en otros la corriente total que circula por la antena. Por lo tanto, la impedancia de la antena varía de acuerdo con la altura.

Metodología usada para la solución del problema

La metodología que vamos emplear para la solución de dicho problema es la creación de un programa realizado en matlab el cual nos realice los cálculos de los parámetros de las antenas tipo dipolo de longitud finita y nos muestre las graficas del campo de radiación normalizado para lo cual se debe ubicar el dipolo en cualquier punto del plano XY [es decir para los z = 0], con dirección paralela al eje X. Para esto se debe primero de obtener analíticamente las ecuaciones correspondientes a los distintos parámetros.

Materiales y metodología

Las ecuaciones finales resultantes son:

  • Para campo eléctrico:

  • Para campo magnético:

  • Para densidad de potencia radiada:

  • Para intensidad de potencia radiada:

  • Para potencia radiada:

  • Para directividad máxima:

  • Para área efectiva:

  • Para resistencia de radiación:

Todas estas ecuaciones se han ingresado a un programa de matlab para su fácil obtención, ya que solo es necesario saber el radio al cual se desea saber los diferentes parámetros, la longitud del dipolo y la longitud de onda. También con el mismo programa hemos podido sacar varias graficas relacionadas con el campo de radiación del dipolo de longitud finita, una en 3D y otras dos en 2D, donde estas dos últimas son los cortes polares de la grafica de 3D en diferentes planos para poder observar algunas características especiales que se pueden identificar en estos cortes.

A continuación se presenta el programa realizado:

(el programa es realizado en matlab y no se encuentra disponible en este documento)

El cual muestra como salida las graficas de campo en 3D y los cortes polares en los planos*XY y YZ respectivamente.

'Radiación y Radiocomunicación'

'Radiación y Radiocomunicación'

'Radiación y Radiocomunicación'

Resultados

Para R=0.5

'Radiación y Radiocomunicación'
'Radiación y Radiocomunicación'

'Radiación y Radiocomunicación'

Para R=5

'Radiación y Radiocomunicación'
'Radiación y Radiocomunicación'

'Radiación y Radiocomunicación'

Para R=50

'Radiación y Radiocomunicación'
'Radiación y Radiocomunicación'


Análisis de resultados

Las graficas del campo radiado, tanto la grafica en 3D como las graficas en 2D, no tienen variaciones cuando se les varía los radios, esto debido a que en el programa realizado en matlab para poder graficar el campo, primero se debe normalizar, lo que hace que aunque los valores numéricos cambien, la forma del campo no varia, es decir, que nos podemos hacer una idea de como será este a cualquier radio supuesto.

Los valores numéricos obtenidos para los distintos parámetros estudiados en este articulo, tiene relación, ya que estos se relacionan numéricamente según lo observado en las formulas obtenidas analíticamente, ya que dependen de los mismos valores.

Conclusiones

  • El campo radiado por una antena tipo dipolo de longitud finita no es uniforme n todas las direcciones ya que se hace nulo en la dirección del vector corriente, lo que hace que la grafica en 3D tenga unos espacios vacios en la dirección del eje x, esto debido a que la corriente por su naturaleza cosenoidal se anula en los extremos del dipolo.

  • Los parámetros de una antena no dependen solamente de las condiciones del medio en cual se encuentre, sino también de los valores físico (corriente, radio, longitud de onda, ubicación en el espacio) que componen la misma.

  • La variación de la longitud de onda produce unos cambios considerables en los valores de los parámetros de las antenas, en cambio al variar el radio no se producen grandes cambios.

  • Es más intensa en direcciones que se encuentran a ángulos reducidos con respecto al conductor y nulo a lo largo de la dirección del mismo.

Graficas utilizadas

Grafica 1. Intersección de los ejes utilizados en coordenadas esféricas.

Grafica 2. Dipolo lineal alimentado en el centro con distribución de corriente senoidal.

Grafica 3. Muestra del ángulo solido para hallar la intensidad de potencia radiada.

Grafica 4. Patrones de radiación de un dipolo lineal L=1.25 en tres y dos dimensiones

Grafica 5. Grafica en 3d del campo

Grafica 6. Corte polar en 2d del campo radiado en el plano

Grafica 7. Corte polar en 2d del campo radiado en el plano

Bibliografía

Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. David K. Cheng. Capitulo 10 pág. 426-438.

Antenna theory. Analysis and design. Second edition. Constantine A. Balanis. Chapter 4 pág. 151-177

Anexos entregados en la clase de Ondas y líneas de transmisión. Universidad Tecnológica de Bolívar. Agosto 2007. Ing. William Cuadrado Cano

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Grafica 1

Intersección de los ejes utilizados en coordenadas esféricas

Grafica 2

Dipolo lineal alimentado en el centro con distribución de corriente senoidal

Grafica 3

Muestra del ángulo solido para hallar la intensidad de potencia radiada

La anterior presenta los patrones planares de radiación del dipolo lineal finito para diferentes longitudes de distribución

Grafica 4

Patrones de radiación de un dipolo lineal L=1.25 en tres y dos dimensiones

Grafica 5

Grafica en 3d del campo

Grafica 6

Corte polar en 2d del campo radiado en el plano XY

Grafica 7

Corte polar en 2d del campo radiado en el plano YZ