MATERIALES

UNIDAD 4

1. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Definición

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si existe una relación entre ellas de tal forma que al multiplicar cualquier cantidad de una de ellas por un número, el valor correspondiente de la otra queda dividido por el mismo número.

Ejemplos

x 3

x 2

: 2

: 3

x 3

x 2

: 2

: 3

x 3

x 2

: 2

: 3

Propiedad

El producto de las cantidades correspondientes (A y B) de dos magnitudes inversamente proporcionales es constante (k).

Es decir A·B = k

También se puede expresar

Observa que la propiedad se cumple en los ejemplos anteriores

— Ejemplo 1:

1 · 90 = 2 · 45 = 3 · 30 = 5 · 18 = 6 · 15 = …………. = 90 (producto constante)

Es decir: N.º personas · N.º discos = 90

O bien:

— Ejemplo 2:

30 · 12 = 60 · 6 = 90 · 4 = 120 · 3 = 150 · 2,4 = ………….. = 360 (producto constante)

Es decir: Velocidad · Tiempo = 360

O bien:

— Ejemplo 3:

1 · 6 = 2 · 3 = 3 · 2 = 4 · 1,5 = 5 · 1,2 = ………………… = 6 (producto constante)

Es decir: N.º albañiles · Tiempo = 6

O bien:

2. DIVISIÓN POR CERO

DIVISIÓN ENTRE DOS NÚMEROS a Y b DISTINTOS DE 0

Cuando planteamos la división a/b, buscamos otro número c que multiplicado por b nos dé como resultado:

— 15/3 15 3 15/3 = 5 porque 15 = 3 · 5

0 5

— 10/4 10 4 10/4 = 2,5 porque 10 = 4 · 2,5

20 2,5

0

— 2/3 20 3 2/3 = 0,66666… =
porque 2 = 3 ·

20 0,666..

20

….

En este caso al hacer la división siempre existe una solución

DIVISIÓN ENTRE 0 Y OTRO NÚMERO b DISTINTO DE 0

Cuando planteamos la división 0/b, buscamos otro número c que multiplicado por b nos dé como resultado 0:

— 0/3 0 3 0/3 = 0 porque 0 = 3 · 0

0 0

— 0/5 0 5 0/5 = 0 porque 0 = 3 · 0

0 0

— 0/67 0 67 0/67 = 0 porque 0 = 67 · 0

0 0

En este caso al hacer la división siempre existe una solución, y siempre es 0

DIVISIÓN ENTRE UN NÚMERO a DISTINTO DE 0 Y EL NÚMERO 0

Cuando planteamos la división a/0, buscamos otro número c que multiplicado por 0 nos dé como resultado:

— 3/0 3 0 Ningún número real multiplicado por 0 puede dar 3

0 ??

Al dividir 3 por números cada vez más pequeños observamos que:

el resultado es cada vez mayor. Al final obtendríamos un número tan grande que no alcanzaríamos nunca; le denominamos infinito y lo representamos con el signo ðð

En este caso al hacer la división no existe solución real y decimos que el resultado es ð

3. POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO

POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL (an)

El resultado se obtiene multiplicando la base a por sí misma, tantas veces como indica el exponente n.

n veces )

Es decir: an = a · a· ………….· a

Ejemplos:

• 23 = 2 · 2 · 2 = 8

• (-3)2 = (-3) · (-3) = 9

• (-3)3 = (-3) · (-3) · (-3) = -27

• (1/2)4 = (1/2) · (1/2) · (1/2) · (1/2) = 1/16

POTENCIAS DE EXPONENTE 0 (a0)

Como consecuencia de las propiedades de las potencias, el resultado es siempre 1

a0 = 1

Ejemplos:

• 20 = 1

• (-3)0 = 1

• (1/2)0 = 1

• 10000 = 1

• (-54326)0 = 1

POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO (a-n)

Como consecuencia de las propiedades de las potencias, se transforma en una potencia de exponente natural:

1

a-n =

an

Después se desarrolla el denominador y se opera.

Ejemplos:

• 2-1 = 1/21 = 1/2

• (-3)-2 = 1/(-3)2 = 1/[(-3) · (-3)] = 1/9

• 4-4 = 1/(4 · 4 · 4 · 4) = 1/256

• (-3)-3 = 1/[(-3) · (-3) · (-3)] = 1/(-27) = -1/27

• (-1)-5 = 1/[(-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1)] = 1/(-1) = -1

• (-2)-3 = 1/[(-2) · (-2) · (-2)] = 1/(-8) = -1/8