Proporción inversa, potencias de exponente negativo y división por cero

Magnitudes inversamente proporcionales. Definiciones. Propiedad. Ejemplos. Número infinito. Producto. Exponente natural

  • Enviado por: Sofía
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 4 páginas
publicidad

MATERIALES

UNIDAD 4

  • MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

  • DIVISIÓN POR CERO

  • POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO

  • 1. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

    Definición

    Dos magnitudes son inversamente proporcionales si existe una relación entre ellas de tal forma que al multiplicar cualquier cantidad de una de ellas por un número, el valor correspondiente de la otra queda dividido por el mismo número.

    Ejemplos

  • En el reparto de 90 discos entre un grupo de personas, el número de personas y el número de discos que le corresponde a cada una son inversamente proporcionales.

  • x 3

    x 2

    N.º personas

    1

    2

    3

    5

    6

    N.º discos

    90

    45

    30

    18

    15

    ….

    : 2

    : 3

  • En un viaje entre dos ciudades, la velocidad del vehículo y el tiempo que se tarda hacer el trayecto son inversamente proporcionales.

  • x 3

    x 2

    Velocidad (km/h)

    30

    60

    90

    120

    150

    Tiempo (h)

    12

    6

    4

    3

    2,4

    ….

    : 2

    : 3

  • En la construcción de un muro por un grupo de albañiles, el número de albañiles y el número de horas que tardan son inversamente proporcionales.

  • x 3

    x 2

    N.º albañiles

    1

    2

    3

    4

    5

    Tiempo (h)

    6

    3

    2

    1,5

    1,2

    ….

    : 2

    : 3

    Propiedad

    El producto de las cantidades correspondientes (A y B) de dos magnitudes inversamente proporcionales es constante (k).

    Es decir A·B = k

    También se puede expresar 'Proporción inversa, potencias de exponente negativo y división por cero'

    Observa que la propiedad se cumple en los ejemplos anteriores

    — Ejemplo 1:

    1 · 90 = 2 · 45 = 3 · 30 = 5 · 18 = 6 · 15 = …………. = 90 (producto constante)

    Es decir: N.º personas · N.º discos = 90

    O bien: 'Proporción inversa, potencias de exponente negativo y división por cero'

    — Ejemplo 2:

    30 · 12 = 60 · 6 = 90 · 4 = 120 · 3 = 150 · 2,4 = ………….. = 360 (producto constante)

    Es decir: Velocidad · Tiempo = 360

    O bien: 'Proporción inversa, potencias de exponente negativo y división por cero'

    — Ejemplo 3:

    1 · 6 = 2 · 3 = 3 · 2 = 4 · 1,5 = 5 · 1,2 = ………………… = 6 (producto constante)

    Es decir: N.º albañiles · Tiempo = 6

    O bien:

    2. DIVISIÓN POR CERO

    DIVISIÓN ENTRE DOS NÚMEROS a Y b DISTINTOS DE 0

    Cuando planteamos la división a/b, buscamos otro número c que multiplicado por b nos dé como resultado:

    — 15/3 15 3 15/3 = 5 porque 15 = 3 · 5

    0 5

    — 10/4 10 4 10/4 = 2,5 porque 10 = 4 · 2,5

    20 2,5

    0

    — 2/3 20 3 2/3 = 0,66666… = 'Proporción inversa, potencias de exponente negativo y división por cero'
    porque 2 = 3 · 'Proporción inversa, potencias de exponente negativo y división por cero'

    20 0,666..

    20

    ….

    En este caso al hacer la división siempre existe una solución

    DIVISIÓN ENTRE 0 Y OTRO NÚMERO b DISTINTO DE 0

    Cuando planteamos la división 0/b, buscamos otro número c que multiplicado por b nos dé como resultado 0:

    — 0/3 0 3 0/3 = 0 porque 0 = 3 · 0

    0 0

    — 0/5 0 5 0/5 = 0 porque 0 = 3 · 0

    0 0

    — 0/67 0 67 0/67 = 0 porque 0 = 67 · 0

    0 0

    En este caso al hacer la división siempre existe una solución, y siempre es 0

    DIVISIÓN ENTRE UN NÚMERO a DISTINTO DE 0 Y EL NÚMERO 0

    Cuando planteamos la división a/0, buscamos otro número c que multiplicado por 0 nos dé como resultado:

    — 3/0 3 0 Ningún número real multiplicado por 0 puede dar 3

    0 ??

    Al dividir 3 por números cada vez más pequeños observamos que:

    División

    3/1

    3/0,1

    3/0,01

    3/0,001

    3/0,0001

    3/0,00001

    ……

    3/0

    Resultado

    3

    30

    300

    3000

    30000

    300 000

    …….

    el resultado es cada vez mayor. Al final obtendríamos un número tan grande que no alcanzaríamos nunca; le denominamos infinito y lo representamos con el signo ðð

    En este caso al hacer la división no existe solución real y decimos que el resultado es ð

    3. POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO

    POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL (an)

    El resultado se obtiene multiplicando la base a por sí misma, tantas veces como indica el exponente n.

    n veces )

    Es decir: an = a · a· ………….· a

    Ejemplos:

    • 23 = 2 · 2 · 2 = 8

    • (-3)2 = (-3) · (-3) = 9

    • (-3)3 = (-3) · (-3) · (-3) = -27

    • (1/2)4 = (1/2) · (1/2) · (1/2) · (1/2) = 1/16

    POTENCIAS DE EXPONENTE 0 (a0)

    Como consecuencia de las propiedades de las potencias, el resultado es siempre 1

    a0 = 1

    Ejemplos:

    • 20 = 1

    • (-3)0 = 1

    • (1/2)0 = 1

    • 10000 = 1

    • (-54326)0 = 1

    POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO (a-n)

    Como consecuencia de las propiedades de las potencias, se transforma en una potencia de exponente natural:

    1

    a-n =

    an

    Después se desarrolla el denominador y se opera.

    Ejemplos:

    • 2-1 = 1/21 = 1/2

    • (-3)-2 = 1/(-3)2 = 1/[(-3) · (-3)] = 1/9

    • 4-4 = 1/(4 · 4 · 4 · 4) = 1/256

    • (-3)-3 = 1/[(-3) · (-3) · (-3)] = 1/(-27) = -1/27

    • (-1)-5 = 1/[(-1) · (-1) · (-1) · (-1) · (-1)] = 1/(-1) = -1

    • (-2)-3 = 1/[(-2) · (-2) · (-2)] = 1/(-8) = -1/8