Tema 3: Defectos y no estequiometría.

1.- Introducción

Las propiedades que posee un sólido y que por tanto limita sus aplicaciones son, su composición, su estructura y el enlace.

1.1.- Niveles estructurales

Dentro de la estructura en sí podemos distinguir tres niveles estructurales:

• estructura cristalina de sólidos perfectos o ideales

• estructura de defecto

• textura de sólidos policristalinos: un sólido inorgánico está constituido por granos, estos granos en su interior tienen una estructura ideal o ,mucho mas frecuente, defectuosa. Los granos son de distinto tamaño y forma, además la orientación cristalográfica difiere de la del grano adyacente. (Zona entre granos = limite de grano)

• Propiedades condicionadas por la estructura cristalina ideal; es el caso de la propiedad dureza en el carbono, C, si este tiene estructura cristalina ideal tipo diamante. En cambio si posee estructura ideal tipo grafito el carbono es blando, por lo que podemos concluir que la estructura condiciona la propiedad mecánica dureza.

• Propiedades condicionadas por la estructura real y la defectuosa; es el caso del silicio y del arseniuro de galio, AsGa. Ambas sustancias son semiconductores, esta propiedad viene determinada por la estructura cristalina ideal de ambas sustancias ( estructura tipo diamante), y por su estructura defectuosa consecuencia del dopado de estas sustancias.

• Influencia de la textura; este nivel estructural influye en la dureza, ya que cuanto mayor es el número de granos en el sólido y más pequeños sean estos granos, habrá un mayor límite de grano, por tanto ese sólido será más duro que otro con menos granos y más grandes, esto es consecuencia de la mayor zona de frenado para las dislocaciones.

La textura también condiciona propiedades electrónicas como podemos observar en el caso del cerámico titanato de bario, BaTiO3, al igual que la mayoría de los cerámicos es una sustancia aislante, al doparlo con por ejemplo La, entonces el TiBaO3 será semiconductor. A este semiconductor lo podemos encontrar de dos formas como un monocristal (un solo grano) o como policristal. Mientras que el monocristal no presenta efecto PTCR, si lo hace el policristal.

PTCR es el acrónimo de “Resistencia con coeficiente de temperatura positivo”, consiste en que el material a bajas temperaturas es semiconductor, a partir de una cierta temperatura, temperatura de Curie, pasa de ser semiconductor a ser aislante. Para el BaTiO3 policristalino, esta Tc es ~125ºC y pasa de tener una resistencia de 10 a una de 10-8 ohmios, . Además a está temperatura pasa de ferroeléctrico a paraeléctrico y pasa de estructura de perovskita tetragonal a perovskita cúbica. Este mismo cambio en la estructura y en el ferromagnetismo se da en el titanato de bario monocristal, pero sin embargo no presenta efecto PTCR, por lo que podemos deducir que el efecto PTCR se relaciona con la textura de grano, ya que en el monocristal no existe.

Esta propiedad de algunos materiales, se utiliza para impedir que se quemen los motores, ya que al sobrecalentarse los alrededores de este, el material pasaría a ser aislante y se cortaría la corriente eléctrica (secadores de pelo, batidoras,...)

1.2.- Definición de defecto, justificación de su presencia, cantidad y tipo.

Un sólido ideal es aquel que tienen todos los átomos o iones que le corresponden, que estos están en sus sitios correctos y que además están quietos, por lo que los sólidos ideales solo existen en el cero absoluto, por encima de este valor de temperatura tendremos sólidos reales debido a que ya los átomos o iones están vibrando y al vibrar puede que se pierda alguno, apareciendo vacantes o incluso que se ocupen los intersticios.

Entonces las características de un sólido cristalino ideal son la regularidad y la periodicidad.

Definimos defecto como una variación en el reordenamiento periódico y regular de los átomos o moléculas en el cristal.

Vamos a justificar la presencia de defectos en los sólidos cristalinos, viendo que pasaría al introducir una vacante catiónica en un cristal donde hay un mol de cationes, es decir 1023 sitios con cationes. Para crear una vacante tenemos que quitar un catión para ello debemos suministrar una energía al cristal, la entalpia de formación de la vacante (H), en el momento en que creamos la vacante en el cristal se genera desorden y por tanto entropía que trae como consecuencia la emisión de esta energía por el cristal.

La entropía tiene distintos componentes:

- entropía de configuración: es la entropía resultante del hecho de que la vacante puede estar en 1023 sitios distintos.

- entropía de cambio: entropía consecuencia de la distorsión producida en la red a causa del hueco ( todo el entorno de este hueco esta perturbado).

Estás entropías hacen que la energía emitida por el sistema, -TS (termino entrópico), sea mayor que la energía que nosotros hemos suministrado, con lo cual disminuirá la energía libre, G, del sistema , lo que hará que el sistema se estabilice. Por tanto si la creación de un defecto estabiliza, se deduce que todos los sólidos orgánicos e inorgánicos serán imperfectos.

El sistema solo se estabiliza con los primeros defectos, a partir de un cierto número de defectos, la creación de nuevos, hace aumentar G ya que para introducir ese defecto es necesario administrar gran cantidad de entalpía debido a que ahora la vacante tiene menos sitio para colocarse y el término entrópico es menos negativo y por tanto aumenta la energía libre.

El limite máximo de defectos que hace mínima la energía libre depende de:

• La temperatura: supongamos que la temperatura no influye en los valores de H ni de S, por tanto si hacemos el cálculo de la energía libre para dos temperaturas, T1 baja y T2 alta, obtenemos que la entalpía es común para los dos casos; la entropía también sería la misma para los dos casos, pero no el término entálpico, que depende de la temperatura. Cuando calculamos la energía libre obtenemos una curva para cada caso. La cantidad de defectos admisibles es mayor en T2 que en T1. Por tanto un aumento de la temperatura determina que aumente la concentración de defectos que hacen mínima la energía del sistema.

• Tipo de defecto: aquel defecto que sea fácil de formar y cree mucho desorden existirá en mayor proporción en el sistema que aquel que sea necesario suministrarle mucha energía y no cree tanto desorden. Por ejemplo en el NaCl un defecto que está muy presente es el defecto Schottky mientras que en el AgCl es el defecto FrenKel

2.- Clasificación de los defectos

• Según su extensión afectada, es decir, el tamaño y la forma:

Vacante

Defecto autointersticial

Defecto intersticial

Defecto sustitucional

Defecto de Schottky

Puntuales Defecto Frenkel

Centros de color

Vacantes e intersticios en cristales no estequiomé. por dopada

Desorden antiestructural

Compuestos con redes incompletas

Arista, borde, cuña o Taylor

Lineales: Dislocaciones Helice, tornillo o Buergers

Mixta o Bucle

Superficies externas

Frontera de grano, GB

Frontera de subgrano

Estructural Desorden de apilamiento

Plano de macla

Frontera de antifase, APB

Extensos o

Planares

Planos de cizalladura cristalogr, CSP

Composicionales

Planos de macla química,CTP

• Atendiendo a su origen:

• Intrínsecos: inherentes al estado sólido

• Extrínsecos: se aportan artificialmente al sólido

• Por la variación en la composición:

• Defc. No estequiométrico: afectan a la composición, la relación entre átomos son números enteros.

• Defc. Estequiométrico

3.- Defectos puntuales.

Los defectos puntuales involucran uno o varios átomos o iones.

• 
  Vacante: hueco que aparece en una red covalente o metálica, estas vacantes pueden ser intrínsecas o extrínsecas y son siempre no estequiométricas. Las vacantes intrínsecas se producen siempre durante la solidificación, mientras que las extrínsecas se producen a altas temperaturas al ser procesado el sólido. A T ambiente hay menos vacantes que a altas temperaturas, por tanto podemos decir que la formación de vacantes es un fenómeno térmicamente activado, con lo que se ajustará a una ecuación de Arrenius, donde H es la energía que suministramos para crear el hueco.

• 
  Defectos intersticiales y autointersticiales: aparecen en redes metálicas o covalentes, y se producen al insertar un átomo propio o extraño en un intersticio de la red, debido al pequeño tamaño del intersticio al ser ocupado por un átomo la red se distorsiona. Al igual que en el caso de las vacantes al aumentar la T, también lo hace el número de defectos pero en este caso no se ve afectado tanto por la T, por lo que no sigue una ecuación de Arrenius. (extrínseco)

• Def. sustitucional: (en redes metálicas y covalentes) un átomo de la red es sustituido por otro átomo, es un proceso relativamente independiente de la T. En algunas ocasiones es de tipo intrínseco.

• Def. Schottky: afecta a cristales iónicos, fundamentalmente a haluros alcalinos como el NaCl. Es un defecto de tipo intrínseco, que consiste en la aparición de una vacante aniónica y otra catiónica, pudiendo estar estas juntas o separadas, para que se formen las vacantes mencionadas tanto como el catión como el anión deben irse a la superficie del sólido.

La presencia de los pares vacantes crean inestabilidad en la red, ya que son huecos tanto + como - y atraen a los iones de su alrededor distorsionando la red, los desplazamientos creados alrededor de las vacantes son del orden de 0.2Å.

Estos defectos condicionan propiedades de tipo óptico y electrónico, pudiendo afectar también a propiedades mecánicas en menor medida.

Podemos detectar este tipo de defecto por microscopia electrónica de alta resolución HREM.

• Def. Frenkel: afecta a cristales iónicos. Es un defecto de tipo intrínseco, donde un ion se mueve desde su posición en la red hasta un intersticio, ese ion puede ser tanto anión como catión. Por ejemplo en el AgCl, se mueve el Ag+, mientras que en el CaF2 el que se mueve es el F-.

El paso de un ion de la red a un intersticio puede hacerse de dos lormas, que el ion se vaya directamente, o que un ion empuje al que migra y este se desplace al intersticio, donde se encontrará octacoordinado a 4 iones y 4 cationes.

Este tipo de defecto se da en el AgCl y no en el NaCl ya que la plata es menos electropositiva que el sodio, y puede producir interacciones de tipo covalente ( entre la plata y los cloruros de alrededor), que estabilizan el defecto en el AgCl.

Ver ampliación 3: Calculo termodinámica de defectos Schottky y Frenkel

• Centros de color: son defectos extrínsecos, no estequiométricos que aparecen sobre todo en haluros, se puede producir de dos formas:

La técnica usada para detectar centros de color es la espectroscopia por resonancia de spin electrónico, ESR, esta técnica detecta electrones desarrapados, ya que estos al tener sin desarrapado tienen un momento magnético que interacciona con los de los iones sodio que hay alrededor.

3.1.- Interés de los defectos puntuales.

Estos defectos condicionan las propiedades físicas del sólido donde se encuentra, como son la conductividad tanto en su aspecto electrónico como ionico y el color. También actúan aumentando la reactivadad de los sólidos y condicionando las propiedades mecánicas fundamentales en metales y cerámicos, esto es debido a que distorsionan la red y esta distorsión impide el movimiento de dislocaciones.

4.- Defectos lineales: Dislocaciones.

Se llaman defectos lineales ya que algunos se ven en el cristal como una línea en alguna de sus caras, pero realmente el defecto se extiende por toda su profundidad. Estos efectos fueron propuestos en 1930 para explicar una serie de hechos que tenían lugar en los sólidos como son:

• Propiedades mecánicas de metales y cerámicos: en primer lugar sé veía que los metales eran más blandos (más fáciles de deformar) de lo que en principio se deducía de cálculos teóricos, se supuso entonces que en los sólidos había uniones débiles que facilitaban la deformación asociándose estas uniones débiles a la presencia de deformaciones. Del mismo modo explicaban el hecho de que los metales fueran dúctiles y maleables, y de que al trabajar un metal este se endureciera.

• Crecimiento cristalino: vemos en cristales no perfectos unas disposiciones helicoidales en alguna de sus caras, la presencia de estas espirales, solo se explica con la presencia de dislocaciones, además estas explicaban un crecimiento de cristales más rápido de lo esperado.

• Reactividad en sólidos: los sólidos presentan una reactividad diferente en unas zonas que en otras, en las zonas más reactivas debería de haber dislocaciones que debilitarán los enlaces y por tanto en estás zonas la reactividad es mayor.

4.1.- Tipos de dislocaciones

• Dislocación de borde (cuña, Taylor): es un medio plano extra en el cristal a consecuencia de este medio plano los planos laterales son paralelos en un principio hasta llegar a una zona donde se da el desplazamiento de los planos perdiendo su paralelismo, esta zona es el núcleo de la dislocación. Llamamos línea de dislocación a la línea central del cristal donde se produce la dislocación y que se extiende hasta la cara opuesta. Donde hay más distorsión es en el núcleo y a lo largo de los átomos que están por encima y por debajo del plano de deslizamiento.

Para ver el efecto de esta dislocación en las propiedades mecánicas de un cristal, aplicaremos una tensión de corte o cizalladura (que produce deformación por deslizamiento de planos), debido a esta tensión la zona superior del cristal, se desplaza sobre la parte inferior, pero esta tensión es bastante más pequeña de lo que en principio se calcularía que se debe aplicar, ya que el desplazamiento se produce de forma progresiva, en primer lugar se rompe el enlace 3-6 y se forma el 2-6, con lo que el medio plano extra pasa a otra posición por rotura de un solo enlace y formación de otro, con lo que al final conseguimos el desplazamiento completo del plano, al llegar al final del cristal se produce un escalón de deslizamiento, para que sea visible este escalón a simple vista se deben de desplazar miles de dislocaciones.

Este movimiento de la dislocación se denomina deslizamiento, la dislocación se mueve sobre el plano imaginario, plano de deslizamiento, formado por la línea de dislocación y la dirección de desplazamiento. Si el medio plano extra está por encima del plano de deslizamiento la dislocación es positiva, y se representa con %, mientras que si está por debajo es negativo y se representa con %. El número de dislocaciones positivas y negativas en un cristal siempre es el mismo.

La dislocación de borde se representa mediante un vector, el vector de Burgers, que se simboliza como b (b minúscula y negrita), el valor de este vector se calcula construyendo en la zona perfecta del cristal un circuito en el mismo sentido en el que hemos hecho la tensión de corte y la llevamos a la zona distorsionada por la dislocación, y volvemos ha completar el circuito en esta zona encontrándonos que con este mismo camino no se llega a cerrar el circuito, el segmento que lo cierra es el vector de Burgers. Por tanto es una medida de la distorsión que produce la dislocación, además nos aporta la dirección y el sentido en el que se mueve la dislocación y la distancia más corta que hay entre dos átomos de la red. Es paralelo al plano de deslizamiento y a la dirección de deslizamiento y perpendicular a la línea de dislocación.

• Dislocación helicoidal (de tornillo o Burgers): Se produce al cortar un cristal por la mitad pero solo hasta una cierta profundidad, produciéndose a continuación un desplazamiento de la parte superior sobre la inferior. Se llama helicoidal ya que al iniciar un camino en la primera de las hileras al volver a esa misma cara estaremos en la segunda de las hileras y así sucesivamente describiendo una hélice.

La línea de dislocación esta situada justo donde acaba el corte y se representa por la línea S-S´. En esta dislocación los planos cristalinos están en posición helicoidal respecto a la línea de dislocación.

Esta dislocación viene caracterizada por su vector de Burgers, para calcularlo en una zona de cristal perfecto, dibujamos el circuito por tramos en sentido contrario a la tensión que actúa para producir la dislocación. Ahora llevamos el circuito a la zona del cristal donde está la dislocación y el segmento necesario para completar el circuito será el vector b, que es paralelo a la línea de dislocación y al plano de deslizamiento y perpendicular a la dirección de deslizamiento.

En este caso con la ruptura de enlaces locales conseguimos desplazar grupos enteros de átomos, esto explica que la dureza de la materia sea inferior al valor teórico.

Ver ampliación 4: Deslizamiento de la dislocación helicoidal

• Dislocación mixta o de Bucle: es por una parte una dislocación de borde y por otra una de tornillo, es el resultado del cambio de carácter de una dislocación dentro de un cristal, debido a ello en una de las caras aparece como una de borde y en la cara contigua de tornillo. Si miramos la cara con dislocación helicoidal vemos un escalón, sin embargo el escalón que cabría esperar en la cara opuesta no aparece. Al observar la cara con dislocación de borde, encontramos el medio plano extra pero este no llega a la cara opuesta del cristal.

Todas las dislocaciones al entrar en un cristal deben salir por la cara opuesta, pero este fenómeno no lo observaremos en la mixta por que dentro del cristal cambia el carácter de la dislocación, entrando como helicoidal y saliendo como cuña o al contrario. Esta dislocación que entra de una forma y sale de otra, tiene una línea de dislocación en forma de bucle, el vector b, para este caso se calcula en el máximo de curvatura del bucle y es un vector compatible con las dos dislocaciones.

Si seguimos aplicando tensión ambas dislocaciones siguen avanzando, de forma que el escalón helicoidal se completa y el plano extra llega hasta la cara opuesta, con lo cual tendremos el escalón correspondiente en una cara y en la opuesta. La velocidad de desplazamiento del plano extra es mayor que la del avance del escalón por lo tanto la línea de dislocación mixta avanza de una forma asimétrica.

La dislocación mixta es la más frecuente en los cristales, dos razones explican este hecho; la primera que la acumulación de vacantes en una zona del cristal produce un colapso y la contracción de la estructura, y la segunda es que al producirse una mella, muesca... en el borde del cristal esta va avanzando y creando un bucle.

4.2.- dislocaciones y endurecimiento.

En su uso normal y cotidiano un material esta sometido a pequeñas tensiones, estas generan muescas, mellas..., esto da lugar a dislocaciones, siendo las mixtas las más frecuentes, como las dislocaciones facilitan el ablandamiento del material, al ser usados durante un largo tiempo, cada vez hay más dislocaciones y cada vez está más blando el material produciéndose fallos catastróficos, por eso debemos seleccionar un material capaz de contrarrestar el gran numero de dislocaciones generadas por las muchas tensiones de uso, uno de estos materiales es el acero, hierro con distintas proporciones de C siempre por debajo del 2%, este carbono esta disuelto en el hierro de forma intersticial, al estar el C en los intersticios supone una gran distorsión en la red. Además el carbono puede estar en forma de carburo de hierro (cementita) y tanto en un caso como en otro impide el libre movimiento de las dislocaciones, endureciendo el material por endurecimiento por disolución.

Aparte de este endurecimiento existe otro, el endurecimiento por trabajo, en este caso endurecemos el material sometiéndolo a grandes tensiones (en su elaboración y no en su uso), generando gran cantidad de dislocaciones, que empezarán a moverse encontrándose con un freno muy efectivo, los limites de grano, acumulándose las dislocaciones en una zona concreta. En este movimiento las dislocaciones tienden a irse a la superficie deformándolo, esta deformación actúa sobre el grano colindante dificultando el movimiento de la dislocación. Además las dislocaciones ejercen acciones repulsivas entre ellas, impidiendo su libre movimiento. Por tanto cuando sometemos a un material a latas tensiones por uno de estos tres efectos se produce un endurecimiento del material por trabajo.

Podemos también endurecer un material disminuyendo el tamaño de grano, ya que cuanto más pequeño sea este, mayor será la superficie de grano y habrá más zonas que se pueden deformar.

Las durezas producidas tanto por trabajo como por endurecimiento de grano pueden paliarse mediante tratamiento térmico donde se alcanzan altas temperaturas y se permite la difusión y reorganización de átomos, en esta reorganización pueden eliminarse dislocaciones y además disminuyen las deformaciones en la red a consecuencia de las tensiones que habíamos aplicado.

4.4.- Observación de dislocaciones.

La técnica utilizada para detectar una dislocación es la microscopía electrónica de alta resolución, previo ataque del material.

El primer material que se estudio fue el LiF ( no se usaron los metales ya que es prácticamente imposible obtener un metal sin dislocaciones). El LiF es inerte al agua oxigenada pero cuando en el LiF hay una dislocación aumenta la reactividad del cristal en las proximidades de la dislocación. En la práctica la zona atacada es muy grande, es una técnica muy destructiva ya que el efecto de la dislocación se extiende.

Con esta técnica se detectan tanto cualitativamente como cuantitativamente las dislocaciones, pero además podemos detectar el movimiento de estas dislocaciones.

El ataque se vería aproximadamente como en la figura, donde la línea discontinua representa la situación de la dislocación:

Si hay muchas dislocaciones juntas, veríamos algo así:

4.5.- Dislocaciones, estructura cristalina y deformación.

Gracias al deslizamiento de las dislocaciones se produce la deformación del cristal, es conveniente que en estos deslizamientos y deformaciones se gaste la mínima energía posible. La energía es proporcional a la tensión aplicada y a la deformación producida, a su vez la tensión aplicada a la dislocación para moverla es proporcional a su vector de Burger, la deformación producida también es proporcional a b, por tanto la energía para deformar un cristal es proporcional al cuadrado del vector de Burger.

Los parámetros que influyen en el valor del vector de Burger son:

• Dirección en la que se desplaza la dislocación.

Su energía asociada sería pues:

• Tipo de planos de deslizamiento: en el empaquetamiento compacto aparecerán planos de deslizamiento compacto, en este caso la distancia entre el centro del átomo de la hilera inferior y el centro del átomo de la hilera superior es d1; en el caso del empaquetamiento no compacto la distancia sería d2, siendo d2 más pequeña que d1.

A la vista de esto se deduce que el deslizamiento será más fácil en el caso del empaquetamiento compacto, ya que habrá menos rozamiento. (Figura 14)

De forma resumida el movimiento de las dislocaciones en direcciones compactas y sobre planos de deslizamiento compacto tiene una menor energía asociada. El conjunto de un plano compacto y direcciones compactas, es a lo que se denomina sistema de deslizamiento, también se llama así a planos no compactos y direcciones compactas (en este caso hay una mayor energía asociada).

A la vista de esto, elementos con estructura CCC como el Ni, Pt, Cu, Ag, Au, Al; serán más fáciles de deformar que los elementos con estructura CCB (V, Cr, Mo, W, Fe). También serán más fáciles de deformar las CCC que las hexagonales compactas, aunque siempre hay excepciones lo que nos lleva a pensar que los sistemas de deslizamiento no son el único parámetro a tener en cuenta.

• En la estructura cúbica centrada en las caras hay cuatro familias de planos compactos, astas familias pueden visualizarse teniendo en cuenta que son planos perpendiculares a las cuatro diagonales del cubo ( Figura 15 a) y se hallan cogiendo cada uno de los vértices de la cara superior y uniéndolo a esta diagonal. Dentro de cada uno de estos planos existen tres direcciones compactas que coinciden con las diagonales de las caras. Los planos compactos son de la familia {111}, y las direcciones de 110 . Por tanto en la estructura CCC hay 12 sistemas de deslizamiento.

• En la hexagonal compacta, solo hay una familia de planos compactos, los planos basales {0001}, estos planos de empaquetamiento compacto tienen tres direcciones, 11-20 por lo tanto el numero de sistemas de deslizamiento es de 3. El plano {0001} solo será plano de deslizamiento cuando la relación c/a sea mayor o igual de 1.63, si esto no se cumple el plano de deslizamiento aunque no es tan compacto como el basal será el {10-11}. (c es la distancia entre planos basales y a distancia entre el centro y el plano basal)

• En la estructura cúbica centrada en el cuerpo (CCB), (Figura 15 c), no hay ningún plano de compacto, lo que si existen son direcciones compactas, estas se corresponden son las cuatro diagonales del cubo, cuyos índices de Miler son 111 . Tienen planos de cierta compacidad, en concreto son tres familias, {110}, la {112} y la {123}, a estas tres familias se podría añadir el plano de la cara{100} de cierta compacidad. Teniendo en cuenta el número de planos de deslizamiento y las direcciones compactas que hay en ellos se consiguen un total de 48 sistemas de deslizamiento. Por eso aunque son algo difícil de deformar se comprueba que estas estructuras se deforman mejor que algunas hexagonales compactas.

Otro factor a tener en cuenta para ver la facilidad con la que se deforma un cristal es la dirección en que se aplica la tensión, con respecto a las direcciones de deslizamiento y a los planos de deslizamiento. Para verlo nos fijamos en un monocristal de Mg (Figura 16), de estructura hexagonal compacta, al que aplicamos una tensión F, inicialmente esta tensión produce deformaciones plásticas (permanentes). Esto se explica ya que: la base del monocristal forma un ángulo  con el plano basal de deslizamiento, por otra parte , es el ángulo entre la dirección de la fuerza aplicada y el plano de deslizamiento.

Cuando aplicamos fuerza a una superficie tenemos una tensión, la tensión es un parámetro vectorial con dos componentes de estas dos, solo la componente paralela al plano de deslizamiento es la efectiva, a esta tensión se le llama tensión de corte o cizalladura efectiva, .

 = Fuerza en la dirección de deslizamiento/ área plano deslizamiento

Cuando el ángulo que forman la dirección en la que se aplica la tensión y el plano de deslizamiento son perpendiculares y cuando el ángulo entre el plano de deslizamiento y F es de 90º, la tensión que aplicamos es nula, ya que en el primer caso =90º y en el segundo =90º, y el coseno de 90º es igual a cero. Por tanto la situación en la que la fuerza aplicada tiene el máximo de eficacia es cuando ambos ángulos son de 45º, en este momento:  = /2.

Además de la tensión efectiva, , otro parámetro de interés es la tensión efectiva crítica, c, que es la mínima tensión que hay que realizar para que se produzca deformación en el cristal.

Dada la importancia que tiene la dirección en la que se aplica la tensión, podemos entender la gran diferencia que existe entre las tensiones de deformación de una estructura CCC y una hexagonal compacta. En el caso de las CCC como hay 12 sistemas de deslizamiento hay gran probabilidad de que la tensión que yo aplique pueda resultar efectiva. En la estructura hexagonal compacta solo hay 3 sistemas de deslizamiento y la probabilidad de aplicar la fuerza en una dirección adecuada es menor.

Otro tercer factor a tener en cuenta es el valor de la relación c/a, que se muestra en la siguiente tabla, donde podemos ver que los valores de c para CCC son pequeños y esto se debe a el elevado número de sistemas cristalinos, en el caso de la HC, podemos distinguir dos grupos, uno con valores de c/a mayores de 1.63 y con valores de Tc del orden de los de CCC ya que el deslizamiento se lleva a cabo a través de los planos basales, y un segundo grupo con valores de c mas altos y relación c/a menor de 1.63, debido a que los planos basales están muy cerca unos de otros y estos dejan de ser planos de deslizamiento y pasan a ser planos de deslizamientos unos no compactos, siendo por tanto más difícil de deformar.