Producto de matrices
Química. Matemáticas. Tabla de Cayley. Moléculas. Multiplicación de matrices
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Lo primero que voy a hacer es pintar la molécula y mirar a qué grupo pertenece:
Vista alzado: Vista planta:
N H H
H H N
H
H
La clasificamos:
¿Es lineal? No
¿Tiene simetría especial? No
¿Tiene un eje de orden máximo? Si, un C3 que pasa por el átomo de Nitrógeno.
¿Contiene un eje impropio S2n , sólo o con i? No
¿Contiene n ejes C2 perpendiculares a Cn? No
¿Contiene plano horizontal? No
¿Contiene n planos verticales? Si, tres.
Por lo que podemos decir que la molécula de Amoniaco (NH3), pertenece al grupo C3v.
Genera las siguientes operaciones:
-
La identidad. (E)
-
C3.
-
C3 dos veces.
-
Plano que pasa por H1.
-
Plano que pasa por H2.
-
Plano que pasa por H3.
Hacemos las matrices asociadas a esas operaciones de simetría y las nombramos para simplificar la tabla.
1 0 0 0 0 1 0 1 0
E = 0 1 0 C3 = 1 0 0 C3 dos veces = 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 0 1 0 1 0
Plano 1 = 0 0 1 Plano 2 = 0 1 0 Plano 3 = 1 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
Esta es la colección de matrices del grupo C3v, en este caso en particular las del amoniaco referidas a los H del NH3.
Y las nombramos, por este orden, E = E ; C3 = A ; C3 dos veces = B ; Plano que pasa por H1 = C ; Plano que pasa por H2 = D ; Plano que pasa por H3 = F.
Hacemos una tabla de Cayley poniendo las matrices es la parte superior y lateral de dicha tabla, así:
| E | A | B | C | D | F | |
| E | ||||||
| A | ||||||
| B | ||||||
| C | ||||||
| D | ||||||
| F |
Ahora hacemos todas las multiplicaciones:
Todas las matrices multiplicadas por la identidad, se quedan igual, luego...
| E | A | B | C | D | F | |
| E | E | A | B | C | D | F |
| A | A | |||||
| B | B | |||||
| C | C | |||||
| D | D | |||||
| F | F | |||||
Hacemos AxA, AxB, AxC, AxD y AxF
0 0 1 0 0 1 0 1 0
1 0 0 x 1 0 0 = 0 0 1 Y así sucesivamente.
0 1 0 0 1 0 1 0 0
Haciendo todas las multiplicaciones de matrices asociadas a las operaciones de simetría queda una tabla como esta:
Nota: adjunto hoja con las matrices hechas.
| E | A | B | C | D | F | |
| E | E | A | B | C | D | F |
| A | A | B | E | D | F | C |
| B | B | E | A | F | C | D |
| C | C | F | D | E | B | A |
| D | D | C | F | A | E | B |
| F | F | D | C | B | A | E |
0 0 1 0 0 1 0 1 0
AxA=B 1 0 0 x 1 0 0 = 0 0 1
0 1 0 0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 1 0 1 0 0
AxB=E 1 0 0 x 0 0 1 = 0 1 0
0 1 0 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 0 1 0
AxC=F 1 0 0 x 0 0 1 = 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 1 1 0 0
AxD=C 1 0 0 x 0 1 0 = 0 0 1
0 1 0 1 0 0 0 1 0
AxF=D No hace falta hacerla porque como no se pueden repetir en una misma columna dos matrices iguales, deducimos que ha de ser D.
0 1 0 0 0 1 1 0 0
BxA=E 0 0 1 x 1 0 0 = 0 1 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 0 1
BxB=A 0 0 1 x 0 0 1 = 1 0 0
1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
BxC=D 0 0 1 x 0 0 1 = 0 1 0
1 0 0 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0 0 1 0 1 0
BxD=F 0 0 1 x 0 1 0 = 1 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 1
BxF=C Deducimos que tiene que ser C, no hay otra posibilidad.
1 0 0 0 0 1 0 0 1
CxA=D 0 0 1 x 1 0 0 = 0 1 0
0 1 0 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 1 0
CxB=F 0 0 1 x 0 0 1 = 1 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
CxC=E 0 0 1 x 0 0 1 = 0 1 0
0 1 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 1
CxD=A 0 0 1 x 0 1 0 = 1 0 0
0 1 0 1 0 0 0 1 0
CxF=B Deducimos que es B.
0 0 1 0 0 1 0 1 0
DxA=F 0 1 0 x 1 0 0 = 1 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0 0
DxB=C 0 1 0 x 0 0 1 = 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 1 0
DxC=B 0 1 0 x 0 0 1 = 0 0 1
1 0 0 0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1 1 0 0
DxD=E 0 1 0 x 0 1 0 = 0 1 0
1 0 0 1 0 0 0 0 1
DxF=A Deducimos que es A.
FxA=C La deducimos porque en la fila de la matriz A, es la única que falta por darse y si se diese otra, estaría repetida y hemos dicho que no puede ser.
De esta forma deducimos todos los demás productos de matrices:
FxB=D
FxC=A
FxD=B
FxF=E