Producto de matrices

Química. Matemáticas. Tabla de Cayley. Moléculas. Multiplicación de matrices

  • Enviado por: Gerardo Cano Ferrero
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 6 páginas
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Lo primero que voy a hacer es pintar la molécula y mirar a qué grupo pertenece:

Vista alzado: Vista planta:

N H H

H H N

H

H

La clasificamos:

  • ¿Es lineal? No

  • ¿Tiene simetría especial? No

  • ¿Tiene un eje de orden máximo? Si, un C3 que pasa por el átomo de Nitrógeno.

  • ¿Contiene un eje impropio S2n , sólo o con i? No

  • ¿Contiene n ejes C2 perpendiculares a Cn? No

  • ¿Contiene plano horizontal? No

  • ¿Contiene n planos verticales? Si, tres.

  • Por lo que podemos decir que la molécula de Amoniaco (NH3), pertenece al grupo C3v.

    Genera las siguientes operaciones:

    • La identidad. (E)

    • C3.

    • C3 dos veces.

    • Plano que pasa por H1.

    • Plano que pasa por H2.

    • Plano que pasa por H3.

    Hacemos las matrices asociadas a esas operaciones de simetría y las nombramos para simplificar la tabla.

    1 0 0 0 0 1 0 1 0

    E = 0 1 0 C3 = 1 0 0 C3 dos veces = 0 0 1

    0 0 1 0 1 0 1 0 0

    1 0 0 0 0 1 0 1 0

    Plano 1 = 0 0 1 Plano 2 = 0 1 0 Plano 3 = 1 0 0

    0 1 0 1 0 0 0 0 1

    Esta es la colección de matrices del grupo C3v, en este caso en particular las del amoniaco referidas a los H del NH3.

    Y las nombramos, por este orden, E = E ; C3 = A ; C3 dos veces = B ; Plano que pasa por H1 = C ; Plano que pasa por H2 = D ; Plano que pasa por H3 = F.

    Hacemos una tabla de Cayley poniendo las matrices es la parte superior y lateral de dicha tabla, así:

    E

    A

    B

    C

    D

    F

    E

    A

    B

    C

    D

    F

    Ahora hacemos todas las multiplicaciones:

  • Todas las matrices multiplicadas por la identidad, se quedan igual, luego...

  • E

    A

    B

    C

    D

    F

    E

    E

    A

    B

    C

    D

    F

    A

    A

    B

    B

    C

    C

    D

    D

    F

    F

  • Hacemos AxA, AxB, AxC, AxD y AxF

  • 0 0 1 0 0 1 0 1 0

    1 0 0 x 1 0 0 = 0 0 1 Y así sucesivamente.

    0 1 0 0 1 0 1 0 0

  • Haciendo todas las multiplicaciones de matrices asociadas a las operaciones de simetría queda una tabla como esta:

  • Nota: adjunto hoja con las matrices hechas.

    E

    A

    B

    C

    D

    F

    E

    E

    A

    B

    C

    D

    F

    A

    A

    B

    E

    D

    F

    C

    B

    B

    E

    A

    F

    C

    D

    C

    C

    F

    D

    E

    B

    A

    D

    D

    C

    F

    A

    E

    B

    F

    F

    D

    C

    B

    A

    E

    0 0 1 0 0 1 0 1 0

    AxA=B 1 0 0 x 1 0 0 = 0 0 1

    0 1 0 0 1 0 1 0 0

    0 0 1 0 1 0 1 0 0

    AxB=E 1 0 0 x 0 0 1 = 0 1 0

    0 1 0 1 0 0 1 0 0

    0 0 1 1 0 0 0 1 0

    AxC=F 1 0 0 x 0 0 1 = 1 0 0

    0 1 0 0 1 0 0 0 1

    0 0 1 0 0 1 1 0 0

    AxD=C 1 0 0 x 0 1 0 = 0 0 1

    0 1 0 1 0 0 0 1 0

    AxF=D No hace falta hacerla porque como no se pueden repetir en una misma columna dos matrices iguales, deducimos que ha de ser D.

    0 1 0 0 0 1 1 0 0

    BxA=E 0 0 1 x 1 0 0 = 0 1 0

    1 0 0 0 1 0 0 0 1

    0 1 0 0 1 0 0 0 1

    BxB=A 0 0 1 x 0 0 1 = 1 0 0

    1 0 0 1 0 0 0 1 0

    0 1 0 1 0 0 0 0 1

    BxC=D 0 0 1 x 0 0 1 = 0 1 0

    1 0 0 0 1 0 1 0 0

    0 1 0 0 0 1 0 1 0

    BxD=F 0 0 1 x 0 1 0 = 1 0 0

    1 0 0 1 0 0 0 0 1

    BxF=C Deducimos que tiene que ser C, no hay otra posibilidad.

    1 0 0 0 0 1 0 0 1

    CxA=D 0 0 1 x 1 0 0 = 0 1 0

    0 1 0 0 1 0 1 0 0

    1 0 0 0 1 0 0 1 0

    CxB=F 0 0 1 x 0 0 1 = 1 0 0

    0 1 0 1 0 0 0 0 1

    1 0 0 1 0 0 1 0 0

    CxC=E 0 0 1 x 0 0 1 = 0 1 0

    0 1 0 0 1 0 0 0 1

    1 0 0 0 0 1 0 0 1

    CxD=A 0 0 1 x 0 1 0 = 1 0 0

    0 1 0 1 0 0 0 1 0

    CxF=B Deducimos que es B.

    0 0 1 0 0 1 0 1 0

    DxA=F 0 1 0 x 1 0 0 = 1 0 0

    1 0 0 0 1 0 0 0 1

    0 0 1 0 1 0 1 0 0

    DxB=C 0 1 0 x 0 0 1 = 0 0 1

    1 0 0 1 0 0 0 1 0

    0 0 1 1 0 0 0 1 0

    DxC=B 0 1 0 x 0 0 1 = 0 0 1

    1 0 0 0 1 0 1 0 0

    0 0 1 0 0 1 1 0 0

    DxD=E 0 1 0 x 0 1 0 = 0 1 0

    1 0 0 1 0 0 0 0 1

    DxF=A Deducimos que es A.

    FxA=C La deducimos porque en la fila de la matriz A, es la única que falta por darse y si se diese otra, estaría repetida y hemos dicho que no puede ser.

    De esta forma deducimos todos los demás productos de matrices:

    FxB=D

    FxC=A

    FxD=B

    FxF=E