Procesos Estocásticos

Estadística. Marco teórico. Cadena de Markov. Ecuaciones: dependientes e independientes. Gato y ratón

  • Enviado por: Ingrid Ramírez
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 14 páginas
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INTRODUCCIÓN

En la actualidad el uso de sistemas metódicos y técnicas en los procesos de resultados para juegos comerciales en las empresas dedicadas a los juegos de azar se ha generalizado en muchos campos dadas las favorables condiciones en el campo. A este factor se le suma el constante uso de sistemas de probabilidad y conteo en la búsqueda de conocer el resultado final, dadas estas características es de importancia reconocer un método de reconocimiento de posibles resultados en un juego de azar logrando así mejoras en procesos, aumento en la captación de jugadores, y reducción en pagos.

Así en este trabajo queremos desarrollar el estudio de análisis de un método de reconocimiento de factibilidad en las opciones, para juegos de azar con condiciones similares a las del proyecto aplicando los conceptos particulares de la materia de procesos estocásticos en el tema de cadenas de Markov y esperanza condicional; esto dentro de un juego que aunque pequeño, tiene mucha aplicabilidad y cubre totalmente los aspectos generales de la investigación.

Buscamos que este estudio sea lo más aproximado a la realidad, de nuestro entorno y el de las empresas relacionadas con el estudio.

OBJETIVOS

  • Reconocer las variables implícitas en el proceso y lograr el desarrollo del problema propuesto.

  • La aplicación del concepto de la cadena de Markov en un proceso real, y con aplicaciones.

  • Lograr implantar un método para a partir del problema de conocer las posibles soluciones a un juego de azar, lograr decidir que camino es más útil dependiendo su objetivo.

  • Desarrollar los conceptos relacionados al problema como lo son la esperanza condicional y la probabilidad condicional.

Marco Teórico

En una variedad de sistemas intervienen factores que no se pueden pronosticar con precisión. Para el estudio de estos sistemas, es conveniente medir la incertidumbre a través del uso de la probabilidad.

El estudio de sistemas donde está presente la incertidumbre ha dado lugar a los modelos estocásticos que tratan de explicar el funcionamiento de estos sistemas usando probabilidad.

Un proceso estocástico se define sencillamente como una colección indexada de variables aleatorias { X1 }, donde el subíndice t toma valores de un conjunto T dado. Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos y X, representa una característica de interés medible en el tiempo t.

Un estudio del comportamiento de un sistema de operación durante algún periodo suele llevar al análisis de un proceso estocástico con la siguiente estructura.

En puntos específicos del tiempo t, el sistema se encuentra exactamente en una de un número finito de estados mutuamente excluyentes y exhaustivos, etiquetados 0, 1, . . , S. Los periodos en el tiempo pueden encontrarse a intervalos iguales o su esparcimiento puede depender del comportamiento general del sistema en el que se encuentra sumergido el proceso estocástico.

Aunque los estados pueden constituir una caracterización tanto cualitativa como cuantitativa del sistema, no hay pérdida de generalidad con las etiquetas numéricas 0, 1, . . , M, Así la representación matemática del sistema físico es la de un proceso estocástico {Xi}, en donde las variables aleatorias se observan en t = 0, 1, 2,. . ., y en donde cada variable aleatoria puede tomar el valor de cualquiera de los M + 1 enteros 0, 1, .. , M. Estos enteros son una caracterización de los M + 1 estados del proceso.

Definimos

Pij={tn =jø tn-1=i}

Como la probabilidad de transición de un paso de ir del estado i en tn-1 al estado j en tn y supongamos que estas probabilidades son estacionarias a través del tiempo. Las probabilidades de transición del estado Ei al estado Ej se arreglan de manera más conveniente en forma matricial como sigue:

P=

La matriz P se llama transición homogénea o matriz estocástica porque todas las probabilidades pij son fijas e independientes en el tiempo. Las probabilidades pij deben satisfacer las condiciones

"pij=1, para toda i

j

pij " 0, para toda i y j

Una matriz de transición P junto con las probabilidades iniciales {aj(0)} asociadas con los estados Ej definen completamente una cadena de Markov.

El gato y el ratón

En nuestro caso la idea es el diseño de un juego, este juego es el gato y el ratón.

El gato y el ratón se ubican diferentes cuartos, y cada uno se mueve un cuarto en una fracción de tiempo. Los cuartos se distribuyen así.

La idea del juego, es que el gato se coma al ratón, es decir que se encuentren en la misma casilla, pero ni el gato ni el ratón saben en donde esta ubicado el otro, así que es un juego totalmente al azar.

El gato y el ratón se pueden mover así

Como parte del juego siempre el gato y el ratón siempre deben moverse una casilla en una fracción de tiempo.

El gato obtiene el puntaje según la rapidez con la que encuentre el ratón, y el ratón obtiene el puntaje si logra escaparse del gato la mayor cantidad de tiempo.

Para poder establecer una escala de puntos es necesario hallar el valor esperado (tiempo) de que el gato y el ratón se encuentren en la misma casilla, dependiendo del cuarto donde se ubiquen cada uno.

Así que para el gato el puntaje sigue la siguiente ecuación:

Y= 4x106 e-1.1513t

Donde t es el tiempo en segundos, y Y es el numero de puntos.

  • Si encuentra al ratón en un segundo tiene 1264902 puntos.

  • Si encuentra al ratón en dos segundos tiene 400000 puntos.

  • Si encuentra al ratón en tres segundos tiene 126488 puntos.

  • Si encuentra al ratón en cuatro segundos tiene 40000 puntos.

  • Y así sucesivamente.

Así que para el ratón el puntaje sigue la siguiente ecuación

Y= 3.8944 e1.1513t

Donde t es el tiempo en segundos, y Y es el numero de puntos.

  • Si el gato encuentra al ratón en un segundo; el ratón tiene 12.337 puntos.

  • Si el gato encuentra al ratón en dos segundos; el ratón tiene 39.085 puntos.

  • Si el gato encuentra al ratón en tres segundos; el ratón tiene 123.85 puntos.

  • Si el gato encuentra al ratón en cuatro segundos; el ratón tiene 392.265 puntos.

  • Y así sucesivamente.

Pero nos queda muy difícil saber cuanto tiempo se va a demorar el gato en encontrar al ratón, esto lo hacemos con la ayuda de la matriz de Markov de nuestro caso.

En nuestro caso, la matriz de trancision es una matriz de una sola clase irreducible y de estados recurrente porque todos se comunican con todos.

Nuestra Matriz es

1

2

3

4

5

6

1

0

1/2

1/2

0

0

0

2

1/2

0

0

1/2

0

0

3

1/3

0

0

1/3

1/3

0

4

0

1/3

1/3

0

0

1/3

5

0

0

1/2

0

0

1/2

6

0

0

0

1/2

1/2

0

Teniendo en cuenta la siguiente ecuación de valor esperado condicional, podemos plantear las ecuaciones del valor esperado para el caso de encontrar al ratón, condicionando sobre el cuarto adyacente a i,j y sobre el momento en que el gato y el ratón estén en el mismo cuarto de la siguiente forma:

Procesos Estocásticos

Donde:

A: Posición i,j

B: Estado D, o sea el estado donde i=j que representa que el gato encontró al ratón y se lo come.

K: Cuarto i,j adyacente a A, o sea a la posición i,j.

Del análisis de la matriz y de la posición del gato y del ratón en una unidad de tiempo tenemos que las ecuaciones resultantes son:

Ecuaciones Dependientes:

En donde por el tipo de sistema de ecuaciones las soluciones tienden a infinito, debido a la relación de las variables.

Así tenemos las siguientes ecuaciones:

ii: 0 para i= 1 ..... 6

12,D = 1 + P12,2121,D + P12,2424,D + P12,3131,D + P12,3434,D

13,D = 1 + P13,2121,D + P13,2424,D + P13,2525,D + P13,3131,D + P13,3434,D + P13,3535,D

16,D = 1 + P16,2424,D + P16,2525,D + P16,3434,D + P16,3535,D

21,D = 1 + P21,1212,D + P21,4242,D + P21,1313,D + P21,4343,D

24,D = 1 + P24,1212,D + P24,1313,D + P24,1616,D + P24,4242,D + P24,4343,D + P24,4646,D

25,D = 1 + P25,1313,D + P25,1642,D + P25,4343,D + P25,4646,D

31,D = 1 + P31,1212,D + P31,1313,D + P31,4242,D + P31,4343,D + P31,5252,D + P31,5353,D

34,D = 1 + P34,1212,D + P34,1313,D + P34,1616,D + P34,4242,D + P34,4343,D + P34,4646,D + P34,5252,D + P34,5656,D

35,D = 1 + P34,1313,D + P34,1616,D + P34,4242,D + P34,4343,D + P34,4646,D + P34,5252,D + P34,5656,D

42,D = 1 + P42,2121,D + P42,2424,D + P42,3131,D + P42,3434,D + P42,6161,D + P42,6464,D

43,D = 1 + P43,2121,D + P43,2424,D + P43,3131,D + P43,3434,D + P43,6161,D + P43,6464,D + P43,2525,D + P43,3535,D + P43,6565,D

52,D = 1 + P52,3131,D + P52,3434,D + P52,6161,D + P52,6464,D

53,D = 1 + P53,3131,D + P53,3434,D + P53,3535,D + P53,6161,D + P53,6464,D + P53,6565,D

56,D = 1 + P56,3434,D + P56,3535,D + P56,6464,D + P56,6565,D

61,D = 1 + P61,4242,D + P61,4343,D + P61,5252,D + P61,5353,D

64,D = 1 + P64,4242,D + P64,4343,D + P64,5252,D + P64,5353,D + P64,4646,D + P64,5656,D

65,D = 1 + P65,4343,D + P65,5353,D + P65,4646,D + P65,5656,D

Realizando la sustitución teniendo en cuanta la matriz de transición tenemos que:

Con

P46,24 = P46,ij = 1/6

P52,ij = P56,ij = P61,ij = P65,ij = ½ * ½ = ¼

P53,ij = P64,ij = P13,ij = P24,ij = P31,ij = P35,ij = P42,ij = ½ * 1/3 * = 1/6

P12,ij = P16,ij = P25,ij = P43,ij = ¼

P34,ij = P43,ij = 1/3 * 1/3 = 1/9

Entonces obtenemos

12 =13 =16 =21 =24 =25 =31 =34 =35 =

Como podemos notar, las soluciones a las anteriores ecuaciones tienden a infinito, con lo que podemos concluir que para estos casos de posición tanto de gato como del ratón y las condiciones de movimiento de ambos, uno después del otro podemos afirmar que según estas consideraciones, el gato no encontraría al ratón y se entraría a tener un proceso que no acaba, y el tiempo para encontrarse sería infinito.

Ecuaciones Independientes:

En donde por el tipo de sistema de ecuaciones las soluciones tienen solución, y en donde el proceso acaba, o sea que el gato encuentra al ratón, debido a la relación de las variables.

Así tenemos las siguientes ecuaciones:

14,D = 1 + P14,2323,D + P14,2626,D + P14,3232,D + P14,3636,D

15,D = 1 + P15,2323,D + P15,2626,D + P15,3636,D

23,D = 1 + P23,1414,D + P23,1515,D + P23,4141,D + P23,4545,D

26,D = 1 + P26,1414,D + P26,1515,D + P26,4545,D

32,D = 1 + P32,4141,D + P32,5151,D + P32,1414,D + P32,5454,D

36,D = 1 + P36,1414,D + P36,1515,D + P36,4545,D + P36,5454,D

41,D = 1 + P41,3232,D + P41,2323,D + P41,6262,D + P41,6363,D

45,D = 1 + P45,2323,D + P45,2626,D + P45,3636,D + P45,6363,D

51,D = 1 + P51,3232,D + P51,6262,D + P51,6363,D

54,D = 1 + P54,3232,D + P54,3636,D + P54,6262,D + P54,6363,D

62,D = 1 + P62,4141,D + P62,5151,D + P62,5454,D

63,D = 1 + P63,4141,D + P63,5151,D + P63,5454,D + P63,4545,D

Realizando la sustitución teniendo en cuanta la matriz de transición tenemos que:

Con:

P15,ij = P26,ij = P51,ij = P62,ij = ½ * ½ = ¼

P23,ij = P32,ij = P36,ij = P41,ij = P45,ij = P54,ij = P63,ij = ½ * 1/3 = 1/6

Con el planteamiento de las anteriores ecuaciones y soluciones se requiere, trabajar en el programa Excel para por medio de la matriz de ecuaciones planteada poder desarrollar la solución al tiempo que tomaría el gato y el ratón en encontrase.

Esta solución la encontramos teniendo que sacar la matriz inversa de las ecuaciones independientes, para luego obtener por medio de la multiplicación por la matriz identidad (Vector unitario), la solución al valor esperado.

Como podemos ver los tiempos esperados para que el ratón se coma al gato son:

ððð

3.428571

ððð

2.857143

ððð

3.428571

ððð

2.857143

ððð

3.428571

ððð

3.428571

ððð

3.428571

ððð

3.428571

ððð

2.857143

ððð

3.428571

ððð

2.857143

ððð

3.428571

Así que los puntajes que se espera que se tengan para el gato y el ratón son:

Tiempo Esperado

Gato

Ratón

ððð

3.42857143

77225.97

201.714

ððð

2.85714286

149100.5

104.477

ððð

3.42857143

77225.97

201.714

ððð

2.85714286

149100.5

104.477

ððð

3.42857143

77225.97

201.714

ððð

3.42857143

77225.97

201.714

ððð

3.42857143

77225.97

201.714

ððð

3.42857143

77225.97

201.714

ððð

2.85714286

149100.5

104.477

ððð

3.42857143

77225.97

201.714

ððð

2.85714286

149100.5

104.477

ððð

3.42857143

77225.97

201.714

p00 p01 p02 ....

p10 p11 p12 ....

p20 p21 p22 ....

p30 p31 p32 ....

. . .

. . .

. . .

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