Problemas de optimización

Área. Volumen. Máximos y mínimos

  • Enviado por: Kylis
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PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

1.- Con un alambre de 1 m queremos construir el borde de un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones hay que dar al rectángulo?

2.- Calcular dos números reales cuya suma sea 5 y su producto sea el mayor posible. Razonar la respuesta.

3.- Indica cuál es el triángulo de área máxima de entre todos los isósceles de perímetro 30 cm.

4.- Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 500 m3 de capacidad que tenga un revestimiento de coste mínimo.

5.-Se considera una ventana rectangular rematada en la parte superior un triángulo. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de 6.6 m. hallar sus dimensiones para que su superfície sea máxima.

6.- Una ventana “normanda” consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. Encontrar las dimensiones de la ventana de área máxima si su perímetro es de 10 m.

7.- En una oficina de correos, solo se admiten paquetes con forma de paralelepípedo rectangular, tales que la anchura sea igual a la altura y además, la suma de ancho, alto y largo debe ser de 72 cm. Hallar las dimensiones del paralelepípedo para que el volumen sea máximo.

8.- Una hoja de papel debe contener 18 cm2 de texto impreso. Los márgenes superior e inferior deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcular las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea el mínimo.

9.- Un jardinero desea construir un parterre con forma de sector circular. Si dispone de 20 m de alambre para rodearlo, ¿qué radio debe tener el sector para que el parterre tenga la mayor superfície posible?

10.- Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro circular recto de área total 150 cm2 y volumen máximo. Determinar su generatriz y su radio.

11.- Hallar el radio de la base y la altura de un cilindro inscrito en una esfera de radio R en cada uno de los casos siguientes:

a) El volumen del cilindro es máximo

b) El área lateral del cilindro es máxima.

12.- Un triángulo isósceles de perímetro 10 m gira alrededor de la altura relativa al lado no igual y, como todo triángulo que se precie y tal haga, engendra un cono. Hallar sus lados para que el cono tenga volumen máximo.

13.- Los barriles que se utilizan para almacenar petróleo tienen forma cilíndrica y una capacidad de 160 l. Hallar las dimensiones del cilindro para que la chapa empleada en su construcción sea mínima.

14.- Determinar la distancia mínima del origen a la curva xy = 1.

15.- Hallar los puntos de la curva y2 = 6x cuya distancia al punto P(4, 0) sea mínima.

16.- Hallar el punto de la parábola y = x2 + x que está mas cerca del punto A(1, 0).

17.- ¿Cuál es la mayor área que puede tener un rectángulo de lados paralelos a los ejes de cordenadas inscrito en la elipse de ecuación y = 4x2 + y2 = 1 ?

18.- Los márgenes de un río tienen por ecuaciones: x - y = 2, x - y = -2. Dos pueblos A(-3, 2) y B(4, 0), se van a unir por una línea de ferrocarril que cruzará el río perpendicularmente. ¿En qué puntos de ambas orillas se construirá el puente para que el trayecto sea mínimo?

19.- Una piedra preciosa pesa 12 g. Sabiendo que el valor de una piedra preciosa es proporcional al cuadrado de su peso y que su valor es de 144000 PTA, calcular, cuando dicha piedra se divide en dos trozos, el valor de cada uno de ellos cuando la depreciación sea máxima.

20.- En una carrera a través del desierto un automobil debe ir desde la ciudad A hasta el oasis P situado a 500 km de distancia de A. Puede aprovechar para ello una carretera recta que une las ciudades A Y B y que le permite ir a una velocidad de 100 km/h, mientras que por el desierto la velocidad es de 60 km/h. Sabiendo que la distancia más corta de P a la carretera que une las ciudades A y B es de 300 km, determinar la ruta que deberá usar para ir desde A a P en el menor tiempo posible.

21.- A 10 km de tu casa te acuerdas de que te has ejado el agua corriendo, lo que te cuesta 10 PTA la hora. Volver a casa a una velocidad (constante) de x km/h te cuesta en combustible 9+(x/10) PTA por km.

a) ¿Cuánto te cuesta volver a casa a x km/h (en combustible)?

b) ¿Cuánto tiempo tardas en llegar a casa si viajas a esa velocidad?

c) ¿Cuánto te cuesta el consumo de agua mientras regresas a casa?

d) ¿A qué velocidad debes regresar a casa para que el coste total de consumo de agua y combustible sea mínimo?

22.- Una fábrica situada a 12 km de la orilla de un río rectilíneo, ha de transportar sus productos a una ciudad situada en la orilla del río y a 80 km del punto de éste más próximo de la fábrica. El transporte de mercancías en camión cuesta 130 PTA por tonelada y km y el transporte en gabarra por el río cuesta 50 PTA por tonelada y km. ¿En qué punto de la orilla se debería cargar la mercancía en gabarras para que el coste total de transporte sea mínimo?

23.- Un granjero compra una ternera de 270 kg por 18000 pta.

Alimentar al animal cuesta 15 pta al día y la ternera aumenta de peso 0.45 kg cada día. Por otro lado, cada día que pasa, el valor del animal en el mercado disminuye, de modo que el valor al cabo de t días, dependiendo del peso del animal, es (100-(t/18)) pta por kilo. Calcular:

  • Peso de la ternera al cabo de t días.

  • Valor total de la ternera en el mercado al cabo de t dias.

  • Coste total invertido en esos t días, incluyendo la compra y la alimentación.

  • Ganancia obtenida por el granjero si vende la ternera a los t días (la ganancia será el valor de la ternera en ese instante menos los costes invertidos).

  • ¿Cuándo deben vender la ternera para obtener la máxima ganancia?

  • 24.- Se prentende fabricar una lata de conservas cilíndrica (con tapa) de 1 l de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo de metal posible?

    25.- Una fábrica elabora un producto de dos calidades distintas: x toneladas de baja calidad e y toneladas de alta calidad, siendo y = (18-5x)/(10-x). Hallar la cantidad de toneladas del producto de baja calidad que ha de producir para obtener ingresos máximos si el precio por tonelada de éste es la mitad que el de alta calidad.

    26.- Un triángulo isósceles tiene su lado desigual de longitud 12 cm y la altura sobre dicho lado es 5 cm. Determina los puntos sobre esa altura tales que la suma de sus distancias a los tres vértices sea máxima y mínima respectivamente.

    27.- Si de un disco metálico quitamos un sector circular podemos construir un vaso cónico. Determinar el sector circular que debemos quitar para que el volumen del vaso sea máximo.

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