Probabilidad

Estadística. Técnicas de conteo. Factoriales. Permutaciones. Combinaciones. Sucesos

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PROBABILIDAD

Diariamente en nuestro planeta esta lleno de incertidumbre y esta incertidumbre o duda varía desde los mas simples juegos de azar como barajas y dados a otro tipo de problemas que se presentan en distintos campos como medicina ingeniería, industrias ciencias sociales, seguros, etcétera. Los problemas representativos en estas áreas predican la predicción de lo que sucederá en circunstancias donde se incluye elementos conocidos (o mesurables) y aleatorios

Ph = h # de fracasos o # de éxitos

N espacio muestra o resultados posibles

Moneda Dado Baraja inglesa Baraja española

1 1 1 1

2 5 52 40

En algunos problemas se puede contar exactamente las formas diferentes en las cuales u evento o resultado dado puede o no suceder y suponer que todas las formas posibles ocurrirán sobre bases igualmente probables. La probabilidad obtenida bajo tales circunstancias y supuesto se denomina probabilidad matemática de aquí que se considere que un evento (A) puede suceder en (h) formas de un total de (N) elementos.

P(A) = h

N

Ej.- Cual es la probabilidad que al lanzar una moneda 30 veces caiga sello?

Águila = 14 14/30 (100) = 46.66%

Sello = 16 16/30 (100) = 53.33%

Técnicas de conteo

Las técnicas de conteo para encontrar el numero de arreglos posibles de objetos en un conjunto o conjuntos son esenciales en el estudio de la probabilidad. Al contar los arreglos se puede enlistar o representar todos en forma ramificada es decir esta representación se hace en la forma de un árbol denominado diagrama de árbol.

Ej.- Un contador tiene dos sacos negro y beige y 4 camisas: celeste, café, blanca y azul de cuantas manera puede combinarse y representar con un diagrama de árbol.

Contador

Saco

Negro

Beige

2 x

Camisas

Celeste

Café

Blanco

Azul

Celeste

Café

Blanco

Azul

4 =

Posibles arreglos:

Negro-celeste

Negro-café

Negro-blanco

Negro-azul

Beige-celeste

Beige-café

Beige-blanco

Beige-azul

8

Principio Fundamental del Proceso de Contar

De la sección anterior se puede establecer una manera eficiente de contar considerando el principio de multiplicación, el cual llamaremos: Principio fundamental del proceso de contar quedando explícitamente de la siguiente manera: Si en una primera decisión se puede hacer de “n” formas diferentes y una segunda decisión en “m” formas diferentes entonces las dos decisiones se pueden hacer en “n” por “m” o sea “nm” formas diferentes en el orden dado.

Ej.- Cuantas palabras de 4 letras (sin significado) se puede formar con las letras de la palabra verónica, sin usar mas de una vez cada una de las letras,

8 x 7 x 6 x 5 = 1680

Ej.- Cuantos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 6,7,8,9 si :

a) no deben repetirse los dígitos 4 x 3 x 2 = 24

b) deben repetirse los dígitos. 4 x 4 x 4 = 64

Compruébalo

a)

678

679

687

689

697

698

768

769

786

789

796

798

867

869

876

879

896

897

967

968

976

978

986

987

b)

666

667

668

669

676

677

678

679

686

687

688

689

696

697

698

699

766

767

768

769

776

777

778

779

786

787

788

789

796

797

798

799

866

867

868

869

876

877

878

879

886

887

888

889

896

897

898

899

966

967

968

969

976

977

978

979

986

987

988

989

996

997

998

999

Ej.- cuántos números de cuatro dígitos de pueden formar con los dígitos del 0-9 si:

a) los dígitos pueden repetirse 9 x 10 x 10 x 10 = 9000

b) los dígitos no pueden repetirse 9 x 9 x 8 x 7 = 4536

c) el ultimo digito debe ser ocho y no pueden repetirse 8 x 8 x 7 x 1 = 448

Ej.- Cuántos juegos de placas para autos que contengan tres letras seguidas de tres dígitos utilizando para ello las 27 letras del alfabeto y los números del 0-9 si:

a) las letras y dígitos no deben repetirse

27 x 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 12636000

b) las letras y dígitos pueden repetirse

27 x 27 x 27 x 10 x 10 x 10 = 19683000

c) debe iniciar con la letra R

1 x 26 x 25 x 10 x 10 x 10 = 650000

1 x 26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

650000 + 468000 = 1118000

Ej.- Se tienen seis hombres y cinco mujeres y se quieren acomodar en una hilera de butacas de tal manera que las mujeres ocupen los lugares pares , en cuantas formas se pueden acomodar?

6 x 5 x 5 x 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 86400

Factorial de “n”

El factorial de “n” o n factorial se representa por el símbolo n! Y se define por un producto continuado en forma descendente y en el cual el cero factorial es igual a uno. Y se representa por:

N! = n(n-1) (n-2) (n-3)...

4! = 4(4-1) (4-2) (4-3)

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

6! = 6(6-1) (6-2) (6-3) (6-4) (6-5)

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Operaciones fundamentales:

a) 4! + 2! = (4 x 3 x 2 x 1) + (2 x 1) = 24 + 2 = 26

b) 4! - 2! = (4 x 3 x 2 x 1) - (2 x 1) = 24 - 2 = 22

c) (4!) (2!) = (4 x 3 x 2 x 1) * (2 x 1) = 24 * 2 = 48

d) 4! / 2! = (4 x 3 x 2 x 1) / (2 x 1) = 24 / 2 = 12

Permutaciones

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. En cambio para un solo conjunto de objetos las formulas desarrolladas para permutaciones y combinaciones son mas convenientes para contar el numero de posibles arreglos.

Una permutación de un número de objetos es un arreglo de todas o una parte de los objetos en un orden definido.

a) Permutaciones lineales.

Permutaciones de diferentes objetos tomados todos a la vez. El total de permutaciones de un conjunto de objetos tomados todos a la vez, se obtiene razonando en forma similar del principio fundamental de contar.

NPn = n!

Ej.- TRI

3 x 2 x 1 = 6 nPn = n! ........ 3 x 2 x 1 = 6

Ej .- Cuantas palabras de cinco letras se pueden formar con la palabra libro aplique permutaciones.

5P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

b) Permutaciones de objetos diferentes tomados parte al vez o de r en r.

Una permutación de “n” objetos diferentes tomados de “r” en “r” es tambien una ordenación de “r” entre los “n “ objetos.

NPr = n!

(n-r)!

Ej.- Cuantas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra libro.

N = 5 5P3 = 5! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 60

R = 3 (5-3)! 2! 2 x 1

Ej.- Cuantos números de dos dígitos se pueden formar con los dígitos 4,6,9 y cuales son, sin repetirse los dígitos?

N = 3 3P2 = 3! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 46, 49, 64, 69, 94, 96.

R = 2 (3-2)! 1! 2!

Ej.- Del grupo de 5G de contabilidad de 47 alumnos , se quiere escoger un presidente, secretario, y tesorero. Cuantas maneras se puede ordenar?

N = 47 41P3 = 47! = 47! = 47 x 46 x 45 x 44! = 97290

R = 3 (47-3)! 44! 44!

c) Permutaciones formado de grupos

De los que n1 son iguales, n2 son iguales, n3 son iguales, etc. Tomados todos a la vez.

. n! .

n1!n2!n3!

Ej.- El 25 de diciembre se quiere hacer una repartición de regalos que consiste en cuatro bicis iguales, tres pelotas iguales, dos muñecas iguales, ¿de cuantas maneras se pueden repartir estos regalos?

9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 9 x 4 x 7 x 5 = 1260

4! 3! 2! 4 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1

Ej,- Cuantas palabras se puede formar con la palabra TENNESSE

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8 x 7 x 6 x 5 = 1680

1! 3! 2! 2! 1 x 1 x 3 x 2 x 1 x2 x 1 x 2 x 1

d)Permutación cíclica o alrededor de.

Una permutación cíclica o alrededor de es una ordenación de “n” objetos de un circulo o cualquier otra curva simple cerrada en donde siempre uno de los objetos tiene una posición fija y se define por la siguiente expresión: P = (n-1)!

Ej.- Se quieren acomodar alrededor de una mesa Carlos, Petra, Juana y Maria, de cuantas maneras se pueden acomodar? Demuéstralo.

P = (n-1)! C C C C C C

P = (4-1)!

P = 3! M P J P M J P M J M P J

P = 6 J M P J P M

Ej.- Se tienen 2 libros de legislación fiscal, 3 de mate y 6 de contabilidad (todos diferentes) de cuantas maneras se pueden acomodar en un estante si:

a) no se impone ninguna restricción

11P11 = 11! = 11 x 10 x 9 x 8! ... = 39916800

b) solamente los libros de mate deben ir juntos y los de mate deben ir intercambiados

9P9 x 3P3 = 9! x 3! = (9 x 8 x 7 x 6!…) (3 x 2 x 1) = (362880) (6) = 2177280

c) los libros de legislación deben ocupar los extremos.

9P9 x 2P2 = 9! x 2! = (9 x 8 x 7 x 6!…) (2 x 1) = (362880) (2) = 725760

Combinaciones

Una combinación de un numero de objetos diferentes tomados de “r” en “r” es una selección de “r” de los “n” objetos de un conjunto sin considerar el orden de los objetos.

nCr = n! .

r! (n-r)!

Ej. Se desean formar equipos de dos personas para la exposición de un proyecto de un total de cuatro estudiantes Gabriel, Melchor, Wendy y Verónica, de cuantas maneras se pueden formar y comprobar si:

a) se pide una ordenación

nPr = n! . n = 4 4P2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12

(n-r)! r = 2 (4-2)! 2! 2 x 1

GM

GW

GV

MG

MW

MV

WG

WM

WV

VG

VM

VW

b)se pide una selección

nCr = n! n = 4 4C2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 6

r!(n-r)! r = 2 2! (4-2)! 2!(2!) 2 x 1 x 2 x 1

GM

GW

GV

WV

MW

MV

Ej.- Se requiere formar un comité representativo que lo conforman un presidente, secretario y un tesorero de un total de 15 personas ¿De cuantas maneras se puede seleccionar estas tres personas para ocupar estos puestos?

n = 15 r = 4

nCr = n! . = 15! = 15! = 15 x 14 x 13 x 12!... = 2730 = 455

r! (n-r)! 3!(15-3)! 3!(2!) 3 x 2 x 1 x 12! 6

Ej. Se quiere formar un comité de cuatro hombres, tres mujeres m dos niños y dos niñas de un total de 8 hombres , cinco mujeres, cuatro niños, y tres niñas, de cuantas maneras se puede escoger si:

a) no hay ninguna condición

b) dos hombres y una mujer debe de pertenecer al comité.

c) cuatro hombres no deben de pertenecer al comité.

nCr = n! .

r! (n-r)!

a) 8C4 = 8! = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4!... = 1680 = 70

4!(8-4)! 4!(4!) 4 x 3 x 2 x 1 x 4! 24

5C3 = 5! = 5! = 5 x 4 x 3!... = 20 = 10

3!(5-3)! 3!(2!) 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2

4C2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12 = 6

2!(4-2)! 2!(2!) 2 x 1 x 2 x 1 2

3C2 = 3! = 3! = 3 x 2 x 1 = 3 = 3

2!(3-2)! 2!(1!) 2 x 1 x 1 x 1 1

70 x 10 x 6 x 3 = 12600

b) 6C2 = 6! = 6! = 6 x 5 x 4! . = 30 = 15

2!(6-2)! 2!(4!) 2 x 1 x 4! 2

4C2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 . = 12 = 6

2!(4-2)! 2!(2!) 2 x 1 x 2 x 1 2

4C2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 . = 12 = 6

2!(4-2)! 2!(2!) 2 x 1 x 2 x 1 2

3C2 = 3! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 = 3

2!(3-2)! 2!(1!) 2 x 1 x 1 x 1 2

15 x 6 x 6 x 3 = 1620

d)4C4 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 = 1

4!(4-4)! 4!(0!) 4 x 3 x 2 x 1 24

5C3 = 5! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 20 = 10

3!(5-3)! 3!(2!) 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2

4C2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12 = 6

2!(4-2)! 2!(2!) 2 x 1 x 2 x 1 2

3C2 = 3! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 = 3

2!(3-2)! 2!(1!) 2 x 1 x 1 x 1 2

1 x 10 x 6 x 3 = 180

Ej.- Se lanza una moneda tres veces, cual es la probabilidad de que es esos tres lanzamientos caiga:

a) exactamente un sello

b) tres águilas

c) por lo menos un sello

d) dos águilas

1

2

3

4

5

6

7

8

A

A

A

S

S

S

S

A

A

A

S

A

S

S

A

S

A

S

A

A

S

A

S

S

P(A) = h / N

½ x ½ x ½ = 1/8 Espacio muestra o todos los resultados

posibles

a) P(exacto un sello) = 3/8

b) P(tres águilas) = 1/8

c) P(por lo menos un sello) = 7/8

d) P(dos águilas) = 3/8

e) P(cuatro sellos) = 0/8

Ej.- En una caja que contiene pelotas: ocho rojas, diez blancas, doce azul, 15 amarilla, 25 naranja, se hace una sola extracción, cual es la probabilidad de que en esa extracción se saque:

a) una pelota amarilla

b) una roja

c) una azul o amarilla o naranja

d) no blanca, no amarilla

total 70 pelotas

a) P(extraer una pelota amarilla) =15 / 70

b) P(una pelota roja) = 8 / 70

c) P(una azul o amarilla o naranja) = 8 / 70

d) P(no blanca, no amarilla) = 45 / 70

Sucesos Dependientes e Independientes

Si E1 y E2 son dos sucesos, la probabilidad de que ocurra E2, dado que ha ocurrido e1, se representa por P{E2 / E1} o P{E2 dado E1} y a esto se le llama probabilidad condicional de E2 dado que E1 ha ocurrido.

Si la ocurrencia o no ocurrencia de E1 no afecta a la probabilidad de ocurrencia de E2 , entonces P{E2 / E1} = P{E2} y se dice que E1 y E2 son sucesos independientes; sino ocurre esto, es decir la ocurrencia E1 afecta ala ocurrencia de E2 se dice que son dependientes.

Sucesos dependientes:

P{E1E2} = P{E1} P{E2 /E1}

P{E1E2E3} = P{E1} P{E2/E1} P{E3/E1E2}

Sucesos independientes

P{E1E2} = P{E1} P{E2}

P{E1E2E3} = P{E1} P{E2} P{E3}

Ej. Cual es la probabilidad de que caiga sello en el 15avo lanzamiento y caiga sello en el 16avo lanzamiento de una moneda bien construida.

E1 = caiga sello en el 15avo lanzamiento P{E1} =1/2

E2 = caiga sello en el 2° lanzamiento P{E2} = 1/2

P{E1E2} = P{E1} P{E2}

= (1/2) (1/2)

= 1/4

Ej. Si la probabilidad de que Escamilla escriba 30 años un 75% ¿cuál es la probabilidad de que ambos vivan 30 años?

E1 = Escamilla viva 30 años P{E1} = 80% / 100% = 4 / 5

E2 = Peimbert viva 30 años P{E2} = 75% / 100% = 3/4

P{E1E2} = P{E1} P{E2/E1}

=(4 / 5) (3 / 4)

=12 / 20

= 60%

Ej. De una caja que contiene tres billetes de a 100 y dos de 50 se extraen dos billetes ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera extracción sea un billete de a cien y que en la segunda extracción sea un billete de a 100 si las extracciones se hacen con:

a) un remplazamiento

b) sin remplazamiento

Sucesos mutuamente excluyentes

Dos o mas sucesos se dicen excluyentes si la ocurrencia de uno o cualquiera de ellos imposibilita la ocurrencia de los otros . Así si E1 y E2 son mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de suceso uno por el suceso dos es igual a cero. P{E1+E2}=0

Si E1 mas E2 representa el suceso de que ocurra E1 o E2 o ambos, entonces, la probabilidad de:

sucesos no mutuamente excluyentes

P{E1+E2}=P{E1} + P{E2} - P{E1E2}

Sucesos mutuamente excluyentes

P{E1+E2}=P{E1} + P{E2}

Ej.- Se hace una extracción de una baraja de 52 cartas ¿ cual es la probabilidad de que esn esa extracción sea un as o un rey?

E1 = extracción de as = 1/13

E2 = extracción de un rey = 1/13

P{E1+E2}=P{E1} + P{E2}

1/13 + 1/13

2/13

Ej.- se hace una extracción de una baraja de 52 cartas¿cuál es la probabilidadde que en esa extracción sea un as o una espada?

E1 = extracción de as = 1/13

E2 = extracción de espada = 13/52 = ¼

P{E1+E2}=P{E1} + P{E2} - P{E1E2}

= 1/13 + ¼ - 1/52

= 4/52 + 13/52 - 1/52

= 16/52 = 4/13

Ej. Cual es la probabilidad de que en dos lanzamientos de un dado aparezca al menos un 4?

E1 = que salga un cuatro = 1/6

E2 = que salga un cuatro = 1/6

P{E1+E2}=P{E1} + P{E2}

1/6 + 1/6

= 2/6 = 1/3