TRABAJO 1
PROBABILIDAD
CONCEPTOS BÁSICOS
Probabilidad. Es el estudio de los fenómenos de los que no estamos seguros de su ocurrencia.
Fenómeno. Es la ocurrencia de un hecho o suceso.
Experimento. Es un fenómeno observable perfectamente definido.
Los fenómenos observables se pueden clasificar en:
Deterministicos. Se puede predecir el resultado.
Aleatorios. No se puede predecir el resultado.
Espacio Muestral (Resultados). Es el conjunto de todos los posibles resultados que hay en un fenómeno aleatorio. El espacio muestral se clasifica en:
Espacio muestral Discreto. Es aquel donde se puede contar el número de posibles resultados.
Espacio muestral Continuo. No se puede enumerar los posibles resultados, debido a que, el espacio muestral continuo esta definido sobre la recta de los números reales.
Evento. Es un conjunto de resultados que tiene cierta característica común. Los eventos pueden ser:
Evento seguro. Es aquel que tiene todos los posibles resultados.
Evento imposible. Es aquel que no tiene un posible resultado.
Evento complementario. Es aquel evento que esta compuesto por los eventos que no están en este evento.
Eventos mutuamente excluyentes. Para que un evento sea mutuamente excluyente debe cumplirse que A"B=Ø.
Evento colectivamente exhaustivo. Un conjuntos de eventos E1, E2,...En son colectivamente exhaustivos cuando E1U E2.... UEn= S, donde S es el espacio muestral.
TÉCNICAS DE CONTEO
Principio fundamental del conteo.
Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes y si continuo con el procedimiento n2 maneras diferentes y si después de efectuados estos, n3 otro procedimiento de maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de formas o maneras en los que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1·n2 · n3··· nr =nT.
El número total (nT) de formas o maneras en que puede realizarse un evento es
n1·n2 · n3··· nr =nT
Diagrama de árbol
Es un dibujo que se usa para numerar los resultados de un experimento, cuento con los siguientes elementos:
PERMUTACIONES
Es un arreglo en orden particular que forma un conjunto.
El número de permutaciones de r objetos escogidos de un conjunto de n objetos distintos es
o, en forma factorial
donde:
n = tamaño de la población
r = tamaño de la muestra
COMBINACIONES
Una combinación es una selección de objetos en donde no importa el orden sino la pertenencia al grupo.
El número de formas en que r objetos pueden elegirse de un conjunto de n objetos distintos es
TEOREMA DEL BINOMIO
FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
PROBABILIDAD CLÁSICA
Sea un experimento un espacio de resultados (S), con n resultados igualmente posibles en el cual define un evento A con nA resultados posibles en él, entonces
PROBABILIDAD FRECUENTISTA
Repetición de un experimento bajo las mismas condiciones muchas veces y repetirlo casi hasta que llegue a la probabilidad clásica, entonces
PROBABILIDAD SUBJETIVA
Un punto de vista alternativo que actualmente ha tenido popularidad es interpretar las probabilidades como evaluaciones personales o subjetivas. Tales probabilidades expresan una creencia sobre las incertidumbres involucradas, y se aplican especialmente cuando poca o ninguna evidencia; así que no hay otra opción que considerar evidencias paralelas (indirectas), conjeturas fundamentadas y quizás intuición u otros factores subjetivos.
Entonces
Probabilidad = O !! el evento no ocurrirá
Probabilidad = 1 !! seguro el evento ocurre
AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD
Axiomas
P(A) " 0
P(S) = 1
Si A"B = Ø entonces, P(AUB)=P(A) + P(B)
Teoremas
0 " P(A) "1
P(Ø) = 0
P(A') = 1-P(A)
P(A) " P(B)
P(AUB)=P(A) +P(B) - P(A"B)
PROBABILIDAD CONJUNTA
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Probabilidad condicional es la probabilidad de un evento dado que ocurrió otro.
Ahora
a lo anterior se le conoce como propiedad multiplicativa de ocurrencia conjunta.
EVENTOS INDEPENDIENTES
A y B son independientes sí y sólo sí cumplen con las siguientes condiciones
P(A/B) = P(A)
P(A"B) = P(A)P(B)
PROBABILIDAD TOTAL
Si B1,B2, B3, ...Bn, son eventos mutuamente excluyentes, uno de los cuales debe ocurrir, entonces
TEOREMA DE BAYES
VARIABLES ALEATORIAS
Una variable aleatoria es una función que va a relacionar cada uno de los resultados de los experimentos con los números reales. Las variables aleatorias se clasifican
Variables aleatorias discretas. Se puede contar el número de resultados posibles
Variables aleatorias continuas. No se puede saber el número de resultados posibles, ya que esta dentro de la recta de los números reales.
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Una función de probabilidad es una función que asigna un número P(x) a cada valor posible de x.
Propiedades:
P(xi) = 1
P(xi) " 0;
Propiedades:
0 " F(xi) " 1
F(xi) " F(xj) V xi " xj
P(x>x) = 1 - F(x)
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
La función densidad debe cumplir:
f(x) "0
P(a" x"b)=
Propiedades:
0" F(xi)"1
P(a" x"b)= F(b) - F(a)
VALOR ESPERADO
E(x) = xP(x)
E(x) =
Propiedades:
E(c) = cte
E(cx) = cE (x)
La esperanza de una suma = la suma de las esperanzas
Esperanza de una función de variable aleatoria
Sea g(x) una función de x
E[g(x)] = g(x)P(x)
E[g(x)] =
Variancia
MOMENTOS
Momentos con respecto al origen (')
'= xr P(x)
' =
Momentos con respecto a la media
VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS
VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS DISCRETAS
Propiedades:
P(x,y) "0
Px(x) =Pxy(x,y) ; Vy
P(x/y)=Px(x) ; V x,y
P(x,y)= Px(x)Py(y)
VARIABLE ALEATORIA CONJUNTA CONTINUA
Propiedades:
f(x,y) "0
f(x,y) dxdy =1
P(a1"x1"b1, a2"y2"b2) =
f(x/y)=fx(x)
F(x,y) = fx(x)fy(y)
MODELOS ANALÍTICOS DE FENÓMENOS ALEATORIOS CONTINUOS
PROCESO DE BERNULLI
P(éxito) = P
P(fracaso)= q= 1 -P
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
¿Cuántos éxitos en n intentos?
E(x) =x = nP
2x =nPq
DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
P(x;P) = Pqx-1
E(x) = 1/P
2= q/p2
DISTRIBUCIÓN DE PASCAL
* si k = 1 , entonces es Dist. Geométrica
E(x) = k/p
2x =qk/p2
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
¿Cuántos éxitos en n intentos?
=
2x =
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
E(x) =
2=
= t= frecuencia media
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
Es la distribución de probabilidad en el tiempo, espacio o distancia en la que ocurre el primer evento.
=
DISTRIBUCIÓN NORMAL (DE GAUSS)
DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA
BIBLIOGRAFÍA
M.I. Marina esastigue R.
Apuntes de probabilidad (semstre 2000-3)
UNAM-FI
México, 20000
Probabilidad
Probabilidad
Probabilidad
