Probabilidad

Estadística. Probabilidades conjunta y condicional. Bayes. Variable aleatoria discreta. Momentos. Distribución binomial, geométrica, Pascal, Poisson

  • Enviado por: Oz
  • Idioma: castellano
  • País: México México
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TRABAJO 1

PROBABILIDAD

  • CONCEPTOS BÁSICOS

  • Probabilidad. Es el estudio de los fenómenos de los que no estamos seguros de su ocurrencia.

    Fenómeno. Es la ocurrencia de un hecho o suceso.

    Experimento. Es un fenómeno observable perfectamente definido.

    Los fenómenos observables se pueden clasificar en:

  • Deterministicos. Se puede predecir el resultado.

  • Aleatorios. No se puede predecir el resultado.

  • Espacio Muestral (Resultados). Es el conjunto de todos los posibles resultados que hay en un fenómeno aleatorio. El espacio muestral se clasifica en:

  • Espacio muestral Discreto. Es aquel donde se puede contar el número de posibles resultados.

  • Espacio muestral Continuo. No se puede enumerar los posibles resultados, debido a que, el espacio muestral continuo esta definido sobre la recta de los números reales.

  • Evento. Es un conjunto de resultados que tiene cierta característica común. Los eventos pueden ser:

  • Evento seguro. Es aquel que tiene todos los posibles resultados.

  • Evento imposible. Es aquel que no tiene un posible resultado.

  • Evento complementario. Es aquel evento que esta compuesto por los eventos que no están en este evento.

  • Eventos mutuamente excluyentes. Para que un evento sea mutuamente excluyente debe cumplirse que A"B=Ø.

  • Evento colectivamente exhaustivo. Un conjuntos de eventos E1, E2,...En son colectivamente exhaustivos cuando E1U E2.... UEn= S, donde S es el espacio muestral.

  • TÉCNICAS DE CONTEO

    Principio fundamental del conteo.

    Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes y si continuo con el procedimiento n2 maneras diferentes y si después de efectuados estos, n3 otro procedimiento de maneras diferentes y así sucesivamente, entonces el número de formas o maneras en los que los eventos pueden realizarse en el orden indicado es el producto de n1·n2 · n3··· nr =nT.

    El número total (nT) de formas o maneras en que puede realizarse un evento es

    n1·n2 · n3··· nr =nT

    Diagrama de árbol

    Es un dibujo que se usa para numerar los resultados de un experimento, cuento con los siguientes elementos:

    • Nodo inicial. Puede o no representar un evento.

    • Nodos finales o terminales. Son el número de alternativas.

    • Ramas. Une a dos nodos.

    PERMUTACIONES

    Es un arreglo en orden particular que forma un conjunto.

    El número de permutaciones de r objetos escogidos de un conjunto de n objetos distintos es

    o, en forma factorial

    donde:

    n = tamaño de la población

    r = tamaño de la muestra

    • Permutaciones con repetición

    COMBINACIONES

    Una combinación es una selección de objetos en donde no importa el orden sino la pertenencia al grupo.

    El número de formas en que r objetos pueden elegirse de un conjunto de n objetos distintos es

    TEOREMA DEL BINOMIO

  • FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

  • PROBABILIDAD CLÁSICA

    Sea un experimento un espacio de resultados (S), con n resultados igualmente posibles en el cual define un evento A con nA resultados posibles en él, entonces

    PROBABILIDAD FRECUENTISTA

    Repetición de un experimento bajo las mismas condiciones muchas veces y repetirlo casi hasta que llegue a la probabilidad clásica, entonces

    PROBABILIDAD SUBJETIVA

    Un punto de vista alternativo que actualmente ha tenido popularidad es interpretar las probabilidades como evaluaciones personales o subjetivas. Tales probabilidades expresan una creencia sobre las incertidumbres involucradas, y se aplican especialmente cuando poca o ninguna evidencia; así que no hay otra opción que considerar evidencias paralelas (indirectas), conjeturas fundamentadas y quizás intuición u otros factores subjetivos.

    Entonces

    Probabilidad = O !! el evento no ocurrirá

    Probabilidad = 1 !! seguro el evento ocurre

    AXIOMAS Y TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD

    Axiomas

  • P(A) " 0

  • P(S) = 1

  • Si A"B = Ø entonces, P(AUB)=P(A) + P(B)

  • Teoremas

  • 0 " P(A) "1

  • P(Ø) = 0

  • P(A') = 1-P(A)

  • P(A) " P(B)

  • P(AUB)=P(A) +P(B) - P(A"B)

  • PROBABILIDAD CONJUNTA

    PROBABILIDAD CONDICIONAL

    Probabilidad condicional es la probabilidad de un evento dado que ocurrió otro.

    Ahora

    a lo anterior se le conoce como propiedad multiplicativa de ocurrencia conjunta.

    EVENTOS INDEPENDIENTES

    A y B son independientes sí y sólo sí cumplen con las siguientes condiciones

    P(A/B) = P(A)

    P(A"B) = P(A)P(B)

    PROBABILIDAD TOTAL

    Si B1,B2, B3, ...Bn, son eventos mutuamente excluyentes, uno de los cuales debe ocurrir, entonces

    TEOREMA DE BAYES

  • VARIABLES ALEATORIAS

  • Una variable aleatoria es una función que va a relacionar cada uno de los resultados de los experimentos con los números reales. Las variables aleatorias se clasifican

  • Variables aleatorias discretas. Se puede contar el número de resultados posibles

  • Variables aleatorias continuas. No se puede saber el número de resultados posibles, ya que esta dentro de la recta de los números reales.

  • VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

    • Función o distribución de probabilidad

    Una función de probabilidad es una función que asigna un número P(x) a cada valor posible de x.

    Propiedades:

  • P(xi) = 1

  • P(xi) " 0;

    • Función de probabilidad acumulada

    Propiedades:

  • 0 " F(xi) " 1

  • F(xi) " F(xj) V xi " xj

  • P(x>x) = 1 - F(x)

  • VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

    • Función densidad de probabilidad

    La función densidad debe cumplir:

  • f(x) "0

  • P(a" x"b)=

    • Función de distribución acumulada

    Propiedades:

  • 0" F(xi)"1

  • P(a" x"b)= F(b) - F(a)

  • VALOR ESPERADO

    • Caso discreto

    E(x) = xP(x)

    • Caso continuo

    E(x) =

    Propiedades:

  • E(c) = cte

  • E(cx) = cE (x)

  • La esperanza de una suma = la suma de las esperanzas

  • Esperanza de una función de variable aleatoria

    Sea g(x) una función de x

    • Caso discreto

    E[g(x)] = g(x)P(x)

    • Caso continuo

    E[g(x)] =

    Variancia

    • Caso discreto

    • Caso Continuo

    MOMENTOS

  • Momentos con respecto al origen (')

    • Caso discreto

    '= xr P(x)

    • Caso continuo

    ' =Probabilidad

  • Momentos con respecto a la media

    • Caso discreto

    • Caso continuo

  • VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS

  • VARIABLES ALEATORIAS CONJUNTAS DISCRETAS

    • Función de probabilidad conjunta

    Propiedades:

  • P(x,y) "0

    • Función de distribución acumulativa conjunta

    • Funciones marginales de probabilidad

    Px(x) =Pxy(x,y) ; Vy

    • Esperanza

    • Covarianza

    • Coeficiente de correlación

    • Distribución de probabilidad condicional

    • Independencia estadística

    P(x/y)=Px(x) ; V x,y

    P(x,y)= Px(x)Py(y)

    VARIABLE ALEATORIA CONJUNTA CONTINUA

    • Función de densidad acumulativa conjunta

    Propiedades:

  • f(x,y) "0

  • f(x,y) dxdy =1

  • P(a1"x1"b1, a2"y2"b2) =

    • Función de distribución acumulativa conjunta

    • Funciones marginales de probabilidad

    • Esperanza

    • Variancia

    • Covarianza

    • Coeficiente de correlación

    • Independencia estadística

    f(x/y)=fx(x)

    F(x,y) = fx(x)fy(y)

    • Distribución de probabilidad condicional

  • MODELOS ANALÍTICOS DE FENÓMENOS ALEATORIOS CONTINUOS

  • PROCESO DE BERNULLI

    P(éxito) = P

    P(fracaso)= q= 1 -P

    DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

    ¿Cuántos éxitos en n intentos?

    E(x) =x = nP

    2x =nPq

    DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

    P(x;P) = Pqx-1

    E(x) = 1/P

    2= q/p2

    DISTRIBUCIÓN DE PASCAL

    * si k = 1 , entonces es Dist. Geométrica

    E(x) = k/p

    2x =qk/p2

    DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

    ¿Cuántos éxitos en n intentos?

    =

    2x =

    DISTRIBUCIÓN DE POISSON

    E(x) =

    2= 

    = t= frecuencia media

    DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

    Es la distribución de probabilidad en el tiempo, espacio o distancia en la que ocurre el primer evento.

    =

    DISTRIBUCIÓN NORMAL (DE GAUSS)

    DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA

    BIBLIOGRAFÍA

    M.I. Marina esastigue R.

    Apuntes de probabilidad (semstre 2000-3)

    UNAM-FI

    México, 20000

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