Probabilidad

Unidad I

Conjuntos y técnicas de conteo

definición y notación de conjuntos

operaciones leyes y representaciones de diagramas de veon

análisis combinatorio principios aditivos y multicrativas (diagramas de árbol)

permutación

convinasion y teoría del binomio

Unidad II

Teoría de la probabilidad

2.1 concepto clásico y frecuente relativo

2.2 espacio muestra y eventos

2.3 axiomas y teoremas

2.4 espacio finito equipobable

2.5 probabilidad condicional e independiente

2.6 teoría de leyes

Unidad III

Estadística descritiva

3.1 instrucción notación sumatoria

3.2 datos no agrupados

3.2.1 medicas de tendencia central

3.2.2 tablas de frecuencia y graficas

3.2.3 medidas de dispersión y de posición

Unidad IV

Variables aleatorias discretas de probabilidad discreta

4.1 definición de variable aleatoria discreta

4.2 eventos equivalentes

4.3 función de probabilidad y distribución

4.4 valor esperado y momentos

4.5 distribución binomial

4.6 distribución hiperjeometrica

4.6.1 aproximación de la hiperjeometria por la binomial

4.7 distribución geométrica

4.8 distribución geométrica

4.9 distribución multinomial

4.9 distribución de poisson

4.9.1 a continuación de la binomial por la de poisson

Unidad V

Variables aleatorias y distribución de probabilidad continúa

5.1 definición de variables aleatorias continuas

5.2 función de densidad y acumulación

5.3 valor esperado

5.4 distribución normal

5.5.1 Aproximación de la binomial a la normal

5.6 teorema de chebyshey

Conjunto

Es una colección de objetos similares se encuentra como conjunto una letra mayúsculas A B C… Z y en minúsculas elementos de un conjunto y lo que se contienen { } llaves son elementos del conjunto

 es elemento de o pertenecen a

C subconjunto de

• contiene a…

U conjunto universal

Ø conjunto universal

û unión de dos conjuntos

• intersección de conjuntos

: þ tal que

N= {1, 2,3…" {

Z= {-"…,-2,-1, 0, 1,2…" {

R= {-"…-9/2,-2,…1/4…5…"}

Operación con conjunto sea AEB conjuntos arbitrarios la relación de AyB expresan por es el conjunto de el elemento que pertenece a A o a B en este caso

AûB = {X  A o x  B}

La intercepción de Ay B expresada por A n Bes el conjunto de elementos que pertenecen a y a B

A Nº {x  A y x  B}

Si A intersección con B es el conjunto vació quiere decir que no tiene elementos en común A y B son disjuntos

La diferencia de Hachón B en el complemento relativo de B con respecto con A expresado con A/B es el conjunto de elementos que pertenecen a pero no a B

A/B = { x x  A x  B }

Observe que la diferencia de A y B son distintas

A/B y B

Complemento absoluto o simplemente complemento de A expresado por AC es el conjunto de elementos que no pertenecen a ósea que el complemento de A es la diferencia del conjunto universal y el conjunto A

Ac = {x  U, x  A}

Las operaciones anteriores se ilustran por medio de diagramas de Venn los que consisten en superficie planas y el conjunto universal

Sea A= {1, 2, 3,4}

B= {3, 4, 5, 6,7}

C= {1, 2,3…}

Calcular AEB la diferencia y el complemento Ay A unión B

Abú ={ 1,2,3,4,5,6,7} b) A n B = {3,4}

C) A / B = {1,2} d) Ac = {5, 6,7…"}

Sea U = de los {1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9}

A = {1,2,3,4}

B = {2,4,6,8}

C = { 3,4,5,6}

a)Ac = {5,6,8,9} b) A n C ={3,4}

(Inc.)c ={3,4} d) A u B {2,4,1,4}

B/C ={3,4}

Leyes de aljebra de conjuntos y de potencia

A u A = A

A n A = A

Leyes asociativas

(Abú)uC = a.C.(BuC)

(AMB)uC =a.C.(Inc.)

Leyes comutativas

(AuB)=(BuA)

(AnB)=(BnA)

Leyes distributivas

Au(BnC)=(AuB)n(AuC)

An (BuC)= (AnB) u (AnC)

Leyes de identidad

Auø =A AnU=A

AuU=U Anø= ø

Leyes de complemento

AuAc=U AnAc= ø

(Ac)c= A Uc = ø

Leyes de Morgan

Conjuntos finitos y contables

Los conjuntos pueden se infinitos o finitos es finito si esta vasio o si consta exactamente de n elementos en donde n es un entero positivo de otra forma es infinito el conjunto producto sea a y b el conjunto producto de a y b espresado por A*B que esta formado por todas las parejas ordenadas (a,b ) donde a pertenece a A y B pertenece a B

A*B= {(A,B) AAyBB}

A*B={(2,A),(2,B),(4,A),(A,B),(6,A),(6,B)}

A={1,3,5,7}

B= {1, 2, 3, 4, 5, 16, 18, 19,20}

C={1,2,3,5,7,11,13,17}

U={1,2,3…18,19,20}

1)AuC={1,2,3,5,7,11,13,17} 2)AnC={7,1,3,5

3)AnB)C ={2,3,5,11,13,17,15,12,14,10,8,9,6}

4(U/b)= {7,11,17,13,12,15,14,10,9,8,6}

5)C/A={2,11,13,17} 6)Cc n B = {1,2,3,5,4,20,10,8,19}

7) CnCc= ø

Principio fundamental del conteo

Si un evento puede realizarse n1y continuando con el procedimiento un segundo evento puede realizarse de n2maneras diferentes y si posterior mente un 3º evento puede realizarse n3…nn

Ejemplo

Supongase que trabajamos en el departamento en el departamento de transito del estado de mexico y queremos intercalar los vehículos las placas deveran estar conformadas por los cuales el primero debe de ser diferente de 0 vajo esta condision cuantas placas podemos gravar

n1 =26

n2 =25

n3=9

n4=10

n5=10

585000 placas

Cuantos números telefónicos ay en la ciudad

n1

n2 10000000 números telefónicos

n3

n4

n5

n6

n7

n8

n9

n10

Notación factorial

En matemáticas empleamos frecuentemente el producto de los enteros positivos desde 1 asta n esta operación la determina por el símbolo que se lee por el factorial es importante definir que 0 factorial es igual a 1 (0=1)

7! =7*6*5*4*3*2*1=5040

7!=7*6*5!

9! = 9*8*5! = 72

7! 7!

Permutaciones

Al ordenar un conjunto de n objetos en un orden se llama permutación de los objetos tomando todo a la ves al ordenador un numero r de dicho objeto donde r se llama una permutación de los objetos tomados r a la ves

Para poder calcinar las permutaciones debemos la forma

n P r = n !

(n-r)!

SI N= R

nPr =n!

Cuantas permutaciones de 3 elementos se forman con 3 objetos ABC

Permutación con repetición

Frecuente mente deseamos conocer el numero de permutación de objetos de los cuales algunos son iguales para determinarlos usamos la forma determinada

nPr = n! .

n1! * n2! *n3!...nn!

Formar todas las posibles palabras de cinco letras usando las letras empleadas en la palabra tal

DADDY

5! =5*4*3*2=120

D1 A D2 D3 Y

3! = 120 = 20

• 6

MAMI

4! = 4*3*2! = 12

2! 2! 2!

MAMA

4! = 4*3*2 = 6

2! 2! 2! 2!

Cuantas señales diferentes de cada una de 8 banderas colocadas en forma vertical pueden formarse con un conjunto de 4 banderas rojas sin mezclar 3 azules sin marcar y una blanca

8! =280

4!*3!*1!

Muchos problemas de análisis combinatorio y en particular de probabilidad se relacionan con la elección de una urna que contiene n bolas o de una carta de una baraja o de una persona de población que enojemos unas bolas tras una de r beses definimos esta elección como una prueba ordenada de tamaños n donde existen 2 casos

Pruebas con sustitución

Regresamos la bola escogida antes de formar la sig. Para obtener el numero r con sustitución utilizamos la formula nr

Pruebas sin sustitución

En este caso la bola elegida no se devuelve a la urna antes de escoger la otra por lo tanto no ay repeticiones en la prueba ordenada en esta formula

nPr = n! =

(n-r)!

De cuantas maneras se puede escoger 3 cartas sucesivas de una baraja

Con sustitución 52*52*52= 140608

Sin sustitución 52*51*51 = 132600

Coeficiente de binomio y teoría

El símbolo (rn) le ase nCr donde n y r son enteros positivas y r=< n se define como

n(n-1)(n-2)…(n-r+1)

1*2*3…(n-r)r

De donde se obtiene (rn)= nC r = n!

R!(n-r)!

(a+b) = 1

(a+B)2 = a2+3a2b+3ab2+b

(a+B)4 = a4+4a3d+6a2b+4 ab3+ab4

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 6 15 20 15 6

Combinacions

S u pongamos que tenemos una colección una convinasion es una serie de selecciones que rodea un objeto donde el objeto tiene o se encuentra las convinasiones de las letras

A, b,c,d tomando 3 a la vez

nCr = n! = 4! .

r!(n-r)! 3! 1!

= 4-3! =4

(3!) 1!

Cuantos comités de 3 pueden formar con 8 personas

nCr = 8! = 8*7*6*5! =56

3!(8-3) 3*2(5!)

Particiones ordenadas

Supongamos que una urna tiene 7 bolas enumeradas del 1 al 7 calculemos el numero de maneras como podemos sacar primero 2 bolas luego 3 y por ultimo 2

A1(72)= 7C 2

A2 (53)=5C2 (A1)(A2)(A3)=( 7! ) ( 5! )

A3=(22)=2C2 2! 5! 3! 2!

=7*6*5! 5*4*3!

2! 5! 3! 2!

= (21) (10) = 210

De cuantas maneras se puede distribuir a nueve juguetes entre u niños si el menor recibe 3 juguetes y los otros 2

(93) (62) (42) (22)

9! . 6! . 4! .

3! 4! 2! 4! 2! 2!

9*8*7*6! 6*5*4! 4*3*2!

3! 6! 2! 4! 2! 2!

(84) (15) (6) =7560

9! . = 9*8*7*6*5*4*3! = 7560

3!2!2!2! 3!*2!*2!*2!

Diagrama de árbol

Es el dibujo que se utiliza para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en numero finito de manera ejemplo

Aya el conjunto producto a*b*c

A={1,2} 3

B={a,b,c} a 4

C={3,4} 3

1 b 4

3

C 4

3

A 4

3

2 b

4

3

C

4

7! = 7*6*5*4*3*2*1= 5040

15!= 15*14*13!= 210

14! 13!

Si no se permite de repetición

Cuantos dígitos de 3 números se pueden formar

Con los números 235679

Cuantos de estos son menores a 400

Cuantos son pares

Cuantos son impares

Cuantos son múltiplos de 5

6*5*4=120

< 400 2*5*4 =40

Pares 5*4*2 =20

Impares 5*4*4 = 80

Múltiplos de 5 5*4*1= 20

De cuantas maneras se puede acomodar una reunión de 7 personas

En una fila de 7 filas

Alrededor de una mesa redonda

7! 7*6*5*4*3*2*1=5040

(n-1)!=(7-1)!=6!= 720

Permutación circular (n-1)1

De cuantas maneras pueden sentarse 3 niños y 2 niñas en una fila

5!=5*4*3*2*1= 120

De cuantas maneras se pueden sentar si los niños se sientan juntos

3*2*1*2*1= 12 2*1*3*2*1=12

De cuantas maneras se puede hacer si las niñas lo asen juntas

4*3!*2!= 48

ncr = n! .

r!(n-r)!

16C4 = 16 ¡ . = 16*15*14*13*12! = 1820

4! ( 16-4)! 4*3*2 12!

12C8 = 12! = 12*11*10*9*8 = 495

8! (12-8) 8! 4*3*2

Ejercicio aplicado a convinasiones

De cuantas maneras fuesen escoger un comité compuesto de 2 mujeres y 7 hombres

5C2 7C3 = 5! . 7! =

2! 3! 31 4!

(35) = 350

Una delegación de estudiantes de un colegio se selecciona cada año para asistir a la asamblea anual de la asociación de estudiantes

De cuantas maneras puede acogerse la delegación si ay 12 estudiantes elegibles

12C4= 12! = 12*11*10*9! = 495

4! 8! 4*3*2

De cuantas maneras si 2 de los estudiantes elegibles no se asisten al mismo tiempo

10C4 = 10! = 10*9*8*7 = 210+540=450

4! 6! 4*3*2

10C3= 10! =10*9*8 = 240

3! 7! 3! 2!

de cuantas maneras si 2 de los estudiantes elegibles son casados y solo asisten si van ambos

10C4 = 10! = 10*9*8*7 = 210

4! 6! 4*3*2

10C2= 10! = 10*9*8! =45 210+45 =255

2!8! 2 8!

Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen cuantas maneras de escoger tiene cuantas maneras si las 3 primeras son obligatorias cuantas maneras si tiene que contestar 4 de las primeras 5 personas

10C8= 10! = 10*9 = 45

8! 2! 2

7C5 = 7! = 7*6*5 = 21

5! 2! 5! 2

5C4 5C4 = 5*5= 25

A u B

Ac

A / B

A n B

A n B = ø

Ø

5 6 7

1 2

3

4

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1

2 4 3

8 6 5

8 10 6 14

15 12 8 9

2

1 3

5

11 13 17

7

4 16 19

20 18