Probabilidad

Estadística descriptiva. Técnicas de conteo. Variables aleatorias discretas. Valor esperado. Distribuciòn normal. Teorema de Chebyshey. Leyes de Morgan

  • Enviado por: David Antonio Cruz Ramos
  • Idioma: castellano
  • País: México México
  • 11 páginas
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Probabilidad

Unidad I

Conjuntos y técnicas de conteo

  • definición y notación de conjuntos

  • operaciones leyes y representaciones de diagramas de veon

  • análisis combinatorio principios aditivos y multicrativas (diagramas de árbol)

  • permutación

  • convinasion y teoría del binomio

  • Unidad II

    Teoría de la probabilidad

    2.1 concepto clásico y frecuente relativo

    2.2 espacio muestra y eventos

    2.3 axiomas y teoremas

    2.4 espacio finito equipobable

    2.5 probabilidad condicional e independiente

    2.6 teoría de leyes

    Unidad III

    Estadística descritiva

    3.1 instrucción notación sumatoria

    3.2 datos no agrupados

    3.2.1 medicas de tendencia central

    3.2.2 tablas de frecuencia y graficas

    3.2.3 medidas de dispersión y de posición

    Unidad IV

    Variables aleatorias discretas de probabilidad discreta

    4.1 definición de variable aleatoria discreta

    4.2 eventos equivalentes

    4.3 función de probabilidad y distribución

    4.4 valor esperado y momentos

    4.5 distribución binomial

    4.6 distribución hiperjeometrica

    4.6.1 aproximación de la hiperjeometria por la binomial

    4.7 distribución geométrica

    4.8 distribución geométrica

    4.9 distribución multinomial

    4.9 distribución de poisson

    4.9.1 a continuación de la binomial por la de poisson

    Unidad V

    Variables aleatorias y distribución de probabilidad continúa

    5.1 definición de variables aleatorias continuas

    5.2 función de densidad y acumulación

    5.3 valor esperado

    5.4 distribución normal

    5.5.1 Aproximación de la binomial a la normal

    5.6 teorema de chebyshey

    Conjunto

    Es una colección de objetos similares se encuentra como conjunto una letra mayúsculas A B C… Z y en minúsculas elementos de un conjunto y lo que se contienen { } llaves son elementos del conjunto

     es elemento de o pertenecen a

    C subconjunto de

    • contiene a…

    U conjunto universal

    Ø conjunto universal

    û unión de dos conjuntos

    • intersección de conjuntos

    : þ tal que

    N= {1, 2,3…" {

    Z= {-"…,-2,-1, 0, 1,2…" {

    R= {-"…-9/2,-2,…1/4…5…"}

    Operación con conjunto sea AEB conjuntos arbitrarios la relación de AyB expresan por es el conjunto de el elemento que pertenece a A o a B en este caso

    AûB = {X  A o x  B}

    La intercepción de Ay B expresada por A n Bes el conjunto de elementos que pertenecen a y a B

    A Nº {x  A y x  B}

    Si A intersección con B es el conjunto vació quiere decir que no tiene elementos en común A y B son disjuntos

    La diferencia de Hachón B en el complemento relativo de B con respecto con A expresado con A/B es el conjunto de elementos que pertenecen a pero no a B

    A/B = { x x  A x  B }

    Observe que la diferencia de A y B son distintas

    A/B y B

    Complemento absoluto o simplemente complemento de A expresado por AC es el conjunto de elementos que no pertenecen a ósea que el complemento de A es la diferencia del conjunto universal y el conjunto A

    Ac = {x  U, x  A}

    Las operaciones anteriores se ilustran por medio de diagramas de Venn los que consisten en superficie planas y el conjunto universal

    Sea A= {1, 2, 3,4}

    B= {3, 4, 5, 6,7}

    C= {1, 2,3…}

    Calcular AEB la diferencia y el complemento Ay A unión B

  • Abú ={ 1,2,3,4,5,6,7} b) A n B = {3,4}

  • C) A / B = {1,2} d) Ac = {5, 6,7…"}

    Sea U = de los {1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9}

    A = {1,2,3,4}

    B = {2,4,6,8}

    C = { 3,4,5,6}

    a)Ac = {5,6,8,9} b) A n C ={3,4}

    'Probabilidad'

  • (Inc.)c ={3,4} d) A u B {2,4,1,4}

  • 'Probabilidad'
    'Probabilidad'

  • B/C ={3,4}

  • 'Probabilidad'

    Leyes de aljebra de conjuntos y de potencia

    A u A = A

    A n A = A

    Leyes asociativas

    (Abú)uC = a.C.(BuC)

    (AMB)uC =a.C.(Inc.)

    Leyes comutativas

    (AuB)=(BuA)

    (AnB)=(BnA)

    Leyes distributivas

    Au(BnC)=(AuB)n(AuC)

    An (BuC)= (AnB) u (AnC)

    Leyes de identidad

    Auø =A AnU=A

    AuU=U Anø= ø

    Leyes de complemento

    AuAc=U AnAc= ø

    (Ac)c= A Uc = ø

    Leyes de Morgan

    Conjuntos finitos y contables

    Los conjuntos pueden se infinitos o finitos es finito si esta vasio o si consta exactamente de n elementos en donde n es un entero positivo de otra forma es infinito el conjunto producto sea a y b el conjunto producto de a y b espresado por A*B que esta formado por todas las parejas ordenadas (a,b ) donde a pertenece a A y B pertenece a B

    A*B= {(A,B) AAyBB}

    A*B={(2,A),(2,B),(4,A),(A,B),(6,A),(6,B)}

    A={1,3,5,7}

    B= {1, 2, 3, 4, 5, 16, 18, 19,20}

    C={1,2,3,5,7,11,13,17}

    U={1,2,3…18,19,20}

    1)AuC={1,2,3,5,7,11,13,17} 2)AnC={7,1,3,5

    'Probabilidad'
    'Probabilidad'

    3)AnB)C ={2,3,5,11,13,17,15,12,14,10,8,9,6}

    4(U/b)= {7,11,17,13,12,15,14,10,9,8,6}

    'Probabilidad'
    'Probabilidad'

    5)C/A={2,11,13,17} 6)Cc n B = {1,2,3,5,4,20,10,8,19}

    'Probabilidad'
    'Probabilidad'

    7) CnCc= ø

    Principio fundamental del conteo

    Si un evento puede realizarse n1y continuando con el procedimiento un segundo evento puede realizarse de n2maneras diferentes y si posterior mente un 3º evento puede realizarse n3…nn

    Ejemplo

    Supongase que trabajamos en el departamento en el departamento de transito del estado de mexico y queremos intercalar los vehículos las placas deveran estar conformadas por los cuales el primero debe de ser diferente de 0 vajo esta condision cuantas placas podemos gravar

    n1 =26

    n2 =25

    n3=9

    n4=10

    n5=10

    585000 placas

    Cuantos números telefónicos ay en la ciudad

    n1

    n2 10000000 números telefónicos

    n3

    n4

    n5

    n6

    n7

    n8

    n9

    n10

    Notación factorial

    En matemáticas empleamos frecuentemente el producto de los enteros positivos desde 1 asta n esta operación la determina por el símbolo que se lee por el factorial es importante definir que 0 factorial es igual a 1 (0=1)

    7! =7*6*5*4*3*2*1=5040

    7!=7*6*5!

    9! = 9*8*5! = 72

    7! 7!

    Permutaciones

    Al ordenar un conjunto de n objetos en un orden se llama permutación de los objetos tomando todo a la ves al ordenador un numero r de dicho objeto donde r se llama una permutación de los objetos tomados r a la ves

    Para poder calcinar las permutaciones debemos la forma

    n P r = n !

    (n-r)!

    SI N= R

    nPr =n!

    Cuantas permutaciones de 3 elementos se forman con 3 objetos ABC

    Permutación con repetición

    Frecuente mente deseamos conocer el numero de permutación de objetos de los cuales algunos son iguales para determinarlos usamos la forma determinada

    nPr = n! .

    n1! * n2! *n3!...nn!

    Formar todas las posibles palabras de cinco letras usando las letras empleadas en la palabra tal

    DADDY

    5! =5*4*3*2=120

    D1 A D2 D3 Y

    3! = 120 = 20

    • 6

    MAMI

    4! = 4*3*2! = 12

    2! 2! 2!

    MAMA

    4! = 4*3*2 = 6

    2! 2! 2! 2!

    Cuantas señales diferentes de cada una de 8 banderas colocadas en forma vertical pueden formarse con un conjunto de 4 banderas rojas sin mezclar 3 azules sin marcar y una blanca

    8! =280

    4!*3!*1!

    Muchos problemas de análisis combinatorio y en particular de probabilidad se relacionan con la elección de una urna que contiene n bolas o de una carta de una baraja o de una persona de población que enojemos unas bolas tras una de r beses definimos esta elección como una prueba ordenada de tamaños n donde existen 2 casos

    Pruebas con sustitución

    Regresamos la bola escogida antes de formar la sig. Para obtener el numero r con sustitución utilizamos la formula nr

    Pruebas sin sustitución

    En este caso la bola elegida no se devuelve a la urna antes de escoger la otra por lo tanto no ay repeticiones en la prueba ordenada en esta formula

    nPr = n! =

    (n-r)!

    De cuantas maneras se puede escoger 3 cartas sucesivas de una baraja

    Con sustitución 52*52*52= 140608

    Sin sustitución 52*51*51 = 132600

    Coeficiente de binomio y teoría

    El símbolo (rn) le ase nCr donde n y r son enteros positivas y r=< n se define como

    n(n-1)(n-2)…(n-r+1)

    1*2*3…(n-r)r

    De donde se obtiene (rn)= nC r = n!

    R!(n-r)!

    (a+b) = 1

    (a+B)2 = a2+3a2b+3ab2+b

    (a+B)4 = a4+4a3d+6a2b+4 ab3+ab4

    1

    1 1

    1 2 1

    1 3 3 1

    1 4 6 4 1

    1 6 15 20 15 6

    Combinacions

    S u pongamos que tenemos una colección una convinasion es una serie de selecciones que rodea un objeto donde el objeto tiene o se encuentra las convinasiones de las letras

    A, b,c,d tomando 3 a la vez

    nCr = n! = 4! .

    r!(n-r)! 3! 1!

    = 4-3! =4

    (3!) 1!

    Cuantos comités de 3 pueden formar con 8 personas

    nCr = 8! = 8*7*6*5! =56

    3!(8-3) 3*2(5!)

    Particiones ordenadas

    Supongamos que una urna tiene 7 bolas enumeradas del 1 al 7 calculemos el numero de maneras como podemos sacar primero 2 bolas luego 3 y por ultimo 2

    A1(72)= 7C 2

    A2 (53)=5C2 (A1)(A2)(A3)=( 7! ) ( 5! )

    A3=(22)=2C2 2! 5! 3! 2!

    =7*6*5! 5*4*3!

    2! 5! 3! 2!

    = (21) (10) = 210

    De cuantas maneras se puede distribuir a nueve juguetes entre u niños si el menor recibe 3 juguetes y los otros 2

    (93) (62) (42) (22)

    9! . 6! . 4! .

    3! 4! 2! 4! 2! 2!

    9*8*7*6! 6*5*4! 4*3*2!

    3! 6! 2! 4! 2! 2!

    (84) (15) (6) =7560

    9! . = 9*8*7*6*5*4*3! = 7560

    3!2!2!2! 3!*2!*2!*2!

    Diagrama de árbol

    Es el dibujo que se utiliza para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en numero finito de manera ejemplo

    Aya el conjunto producto a*b*c

    A={1,2} 3

    B={a,b,c} a 4

    C={3,4} 3

    1 b 4

    3

    C 4

    3

    A 4

    3

    2 b

    4

    3

    C

    4

    7! = 7*6*5*4*3*2*1= 5040

    15!= 15*14*13!= 210

    14! 13!

    Si no se permite de repetición

    Cuantos dígitos de 3 números se pueden formar

    Con los números 235679

    Cuantos de estos son menores a 400

    Cuantos son pares

    Cuantos son impares

    Cuantos son múltiplos de 5

  • 6*5*4=120

  • < 400 2*5*4 =40

  • Pares 5*4*2 =20

  • Impares 5*4*4 = 80

  • Múltiplos de 5 5*4*1= 20

  • De cuantas maneras se puede acomodar una reunión de 7 personas

    En una fila de 7 filas

    Alrededor de una mesa redonda

    7! 7*6*5*4*3*2*1=5040

    (n-1)!=(7-1)!=6!= 720

    Permutación circular (n-1)1

    De cuantas maneras pueden sentarse 3 niños y 2 niñas en una fila

    5!=5*4*3*2*1= 120

    De cuantas maneras se pueden sentar si los niños se sientan juntos

    3*2*1*2*1= 12 2*1*3*2*1=12

    De cuantas maneras se puede hacer si las niñas lo asen juntas

    4*3!*2!= 48

    ncr = n! .

    r!(n-r)!

    16C4 = 16 ¡ . = 16*15*14*13*12! = 1820

    4! ( 16-4)! 4*3*2 12!

    12C8 = 12! = 12*11*10*9*8 = 495

    8! (12-8) 8! 4*3*2

    Ejercicio aplicado a convinasiones

    De cuantas maneras fuesen escoger un comité compuesto de 2 mujeres y 7 hombres

    5C2 7C3 = 5! . 7! =

    2! 3! 31 4!

  • (35) = 350

  • Una delegación de estudiantes de un colegio se selecciona cada año para asistir a la asamblea anual de la asociación de estudiantes

    De cuantas maneras puede acogerse la delegación si ay 12 estudiantes elegibles

    12C4= 12! = 12*11*10*9! = 495

    4! 8! 4*3*2

    De cuantas maneras si 2 de los estudiantes elegibles no se asisten al mismo tiempo

    10C4 = 10! = 10*9*8*7 = 210+540=450

    4! 6! 4*3*2

    10C3= 10! =10*9*8 = 240

    3! 7! 3! 2!

    de cuantas maneras si 2 de los estudiantes elegibles son casados y solo asisten si van ambos

    10C4 = 10! = 10*9*8*7 = 210

    4! 6! 4*3*2

    10C2= 10! = 10*9*8! =45 210+45 =255

    2!8! 2 8!

    Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen cuantas maneras de escoger tiene cuantas maneras si las 3 primeras son obligatorias cuantas maneras si tiene que contestar 4 de las primeras 5 personas

    10C8= 10! = 10*9 = 45

    8! 2! 2

    7C5 = 7! = 7*6*5 = 21

    5! 2! 5! 2

    5C4 5C4 = 5*5= 25

    A u B

    Ac

    A / B

    A n B

    A n B = ø

    Ø

    5 6 7

    1 2

    3

    4

    1 2 3 4 5 6 7

    1 2 3 4 5 6 7

    1 2 3 4 5 6 7

    1

    2 4 3

    8 6 5

    8 10 6 14

    15 12 8 9

    2

    1 3

    5

    11 13 17

    7

    4 16 19

    20 18