Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

Cálculo matricial. Matemáticas y computación. Comandos Básicos Matemáticos. Matrices. Vectores. Modelaje de Sistemas Lineales. Mínimos Cuadrados

  • Enviado por: Tincho
  • Idioma: castellano
  • País: España España
  • 16 páginas

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Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos

Seminarios usando MATLAB

Seminario de Laboratorio 1:

Variables Aleatorias

Actividad 1:

  • Grafique la función densidad de probabilidad para una v.a. Gaussiana con media 0 y dispersión 1.

  • Grafique la función densidad de probabilidad conjunta para dos v.a. X e Y, siendo X una v.a. Gaussiana con media 0 y dispersión 1 e Y otra v.a. independiente de X con media 5 y dispersión 1/2.

  • a)

    » x=[-5:0.1:5];

    » gx=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2);

    » plot(x,gx)

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    b)

    » y=[0:0.1:10];

    » gy=1/(sqrt(2*pi)*(1/2))*exp(-(y-5).^2/(2*(1/2)^2));

    » G=gy' * gx;

    » mesh(x,y,G)

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    Actividad 2:

  • Sea w una v.a. uniformemente distribuida entre 0 y 1. Calcule su media y su varianza teóricamente.

  • Genere un vector con 10000 muestras de dicha variable, utilizando la función rand, y grafíquelo.

  • Calcule la media y la varianza para la v.a. generada, realizando su propio programa. (Deberá generar un lazo por medio del comando for)

  • Calcule la media y la varianza ahora, utilizando las funciones Matlab mean y std.

  • Compare los resultados obtenidos en a), c) y d).

  • Repita incisos c) a e) generando un vector de solamente 1000 muestras. Compare los resultados y escriba sus conclusiones.

  • Calcule, haciendo uso del concepto de frecuencia relativa, la P(W>0.5) y la P(W<0.3), para el caso b) en que considera 10000 muestras.

  • a)

    E[ W ] = 0.5

    VAR[W ]= 0.0833

    b)

    » w=rand(10000,1);

    » plot(w(1:100))

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    c)

    E[w]:

    1º Forma:

    » mediaw=0;

    » suma=0;

    » for i=1:10000

    suma=suma+w(i);

    end

    » mediaw=suma/10000

    mediaw =

    0.5052

    2º Forma:

    » media=sum(w)/length(w)

    media =

    0.5052

    VAR[W] = E[W^2] - E[W]^2:

    Calculamos E[W^2]:

    1º Forma:

    » suma=0;

    »for i=1:10000

    suma=suma+(w(i))^2;

    end;

    » var=suma/10000;

    » varianza=var-0.5052^2

    varianza =

    0.0841

    2º Forma:

    » sum(w.^2)/length(w)-mean(w)^2

    ans =

    0.0841

    d)

    » mean(w)

    ans =

    0.5052

    » std(w)^2

    ans =

    0.0841

    e)

    Los resultados obtenidos por las tres formas son iguales, aunque solo son una aproximación del valor teórico.

    f)

    Lo mismo para 1000 muestras:

    » w=rand(1000,1);

    » mean(w)

    ans =

    0.5172

    » std(w)^2

    ans =

    0.0814

    Se ve que cuanto mas grande es el vector que se usa mas parecidos son los resultados al resultado teórico.

    g)

    » w=rand(10000,1);

    P(W>0.5)

    » sup=0;

    » for i=1:10000

    if w(i)>0.5

    sup=sup+1;

    end;

    end;

    » P=sup/10000

    P =

    0.5107

    P(W<0.3)

    » inf=0;

    » for i=1:10000

    if w(i)<0.3

    inf=inf+1;

    end;

    end;

    » P=inf/10000

    P =

    0.2946

    Actividad 3:

    Considere nuevamente las variables aleatorias con distribución normal X e Y del ejercicio 1.

  • Utilizando la función randn, genere un vector de 10000 muestras independientes para X y uno para Y

  • Grafique los primeros 100 valores de cada uno.

  • Encuentre el histograma de frecuencias de ambas variables utilizando la función hist. Realice los diagramas de barras correspondientes.

  • Estime la función densidad de probabilidad para las dos variables a partir de los histogramas obtenidos en c). Grafique en un mismo gráfico la fdp real y la estimada para cada caso.

  • Repita incisos b) a d) generando un vector de solamente 1000 muestras. Compare los resultados y escriba sus conclusiones.

  • a)

    » x=randn(10000,1);

    » aux=randn(10000,1);

    » y=1/2*aux+5;

    b)

    » subplot(2,1,1)

    » plot(x(1:100))

    » subplot(2,1,2)

    » plot(y(1:100))

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    c)

    » intervalos=30;

    » [Nj abscisax]=hist(x,intervalos);

    » bar(abscisax,Nj)

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    » [Nj abscisay]=hist(y,intervalos);

    » bar(abscisay,Nj);

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    d)

    » rangox=max(x)-min(x);

    » deltax=rangox/intervalos;

    » [Njx abscisax]=hist(x,intervalos);

    » Ntx=sum(Njx);

    » areax=Ntx*deltax;

    » fx=Njx/areax;

    » gx=-4:0.1:4;

    » gaussx=1/sqrt(2*pi)*exp(-gx.^2/2);

    » plot(abscisax,fx,gx,gaussx)

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    » rangoy=max(y)-min(y);

    » deltay=rangoy/intervalos;

    » [Njy abscisay]=hist(y,intervalos);

    » Nty=sum(Njy);

    » areay=Nty*deltay;

    » fy=Njy/areay;

    » gy=-2.5:0.1:7;

    » gaussy=1/(sqrt(2*pi)*(1/2))*exp(-(gy-5).^2/(2*(1/2)^2));

    » plot(abscisay,fy,gy,gaussy)

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    e)

    » x=randn(1000,1);

    » aux=randn(1000,1);

    » y=1/2*aux+5;

    » intervalos=30;

    » [Njx abscisax]=hist(x,intervalos);

    » bar(abscisax,Njx)

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    » [Njy abscisay]=hist(y,intervalos);

    » bar(abscisay,Njy)

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    » rangox=max(x)-min(x);

    » deltax=rangox/intervalos;

    » Ntx=sum(Njx);

    » areax=Ntx*deltax;

    » fx=Njx/areax;

    » gx=-4:0.1:4;

    » gaussx=1/sqrt(2*pi)*exp(-gx.^2/2);

    » plot(abscisax,fx,gx,gaussx)

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    » rangoy=max(y)-min(y);

    » deltay=rangoy/intervalos;

    » Nty=sum(Njy);

    » areay=Nty*deltay;

    » fy=Njy/areay;

    » gy=3:0.1:7;

    » gaussy=1/(sqrt(2*pi)*(1/2))*exp(-(gy-5).^2/(2*(1/2)^2));

    » plot(abscisay,fy,gy,gaussy)

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    Igual que en el ejercicio anterior, las aproximaciones mejoran cuando se aumenta el tamaño de los vectores.

    Actividad 4:

    Verificación experimental del Teorema del Limite Central

  • Considere 12 V.A. independientes, y cada una de ellas uniformemente distribuidas entre 0 y 1. Sea la nueva V.A. Z, la suma de dichas variables. Sea Y=Z/12. Encuentre en forma teórica la media y la varianza de Y.

  • Genere 12 variables aleatorias uniformemente distribuidas entre 0 y 1.

  • Genere una nueva variable Y definida como el promedio de las variables generadas en b).

  • Grafique, utilizando la función subplot, los primeros 100 valores de una de las variables uniformes, y de la variable Y.

  • Estime la fdp, la media y la varianza de Y, utilizando la función hist.

  • Compare los valores obtenidos en e) con los calculados en a).

  • Grafique superpuestas la distribución teórica con la estimada.

  • a)

    Si Z=ð Xn entonces:

    • E[Z] = ð E[Xn]

    • Var[Z] = ð Var[Xn] + ðð Cov [Xn,Xm]

    Por ser independientes e idénticas: Cov[Xn,Xm] = E[Xn*Xm]-E[Xn]*E[Xm]=0

    Luego:

    • Var[Z] = ð Var[Xn]=n*Var[Xn]

    Si esta distribuida uniformemente entre 0 y 1: E[Xn]= ½

    • E[Y] = 12

    La varianza de cada Xn: Var[Xn] = E[Xn^2] - E[Xn]^2 = 1/2 -1/4 = 1/12 = 0.083

    • Var[Y] = 0.0069

    b)

    » z=rand(12,10000);

    c)

    » Y=sum(z)/size(z,1);

    d)

    » subplot(2,1,1)

    » plot(z(1:100))

    » subplot(2,1,2)

    » plot(Y(1:100))

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    e)

    » inter=30;

    » [Mj absc]=hist(Y,inter);

    » bar(absc,Mj)

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    » rango=max(Y)-min(Y);

    » delta=rango/inter;

    » Nt=sum(Mj);

    » area=Nt*delta;

    » f=Mj/area;

    » mean(Y)

    ans =

    0.5011

    » std(Y)^2

    ans =

    0.0070

    f)

    Los resultados obtenidos son bastante aproximados a los obtenidos en forma teórica.

    g)

    » gy=0.1:0.01:0.9;

    » gaussy=1/(sqrt(2*pi)*0.083)*exp(-(gy-0.5).^2/(2*0.083^2));

    » plot(absc,f,gy,gaussy)

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos usando Matlab

    Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos

    Seminario 1

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