Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos

Seminarios usando MATLAB

Seminario de Laboratorio 1:

Variables Aleatorias

Actividad 1:

Grafique la función densidad de probabilidad para una v.a. Gaussiana con media 0 y dispersión 1.

Grafique la función densidad de probabilidad conjunta para dos v.a. X e Y, siendo X una v.a. Gaussiana con media 0 y dispersión 1 e Y otra v.a. independiente de X con media 5 y dispersión 1/2.

a)

» x=[-5:0.1:5];

» gx=1/sqrt(2*pi)*exp(-x.^2/2);

» plot(x,gx)

b)

» y=[0:0.1:10];

» gy=1/(sqrt(2*pi)*(1/2))*exp(-(y-5).^2/(2*(1/2)^2));

» G=gy' * gx;

» mesh(x,y,G)

Actividad 2:

Sea w una v.a. uniformemente distribuida entre 0 y 1. Calcule su media y su varianza teóricamente.

Genere un vector con 10000 muestras de dicha variable, utilizando la función rand, y grafíquelo.

Calcule la media y la varianza para la v.a. generada, realizando su propio programa. (Deberá generar un lazo por medio del comando for)

Calcule la media y la varianza ahora, utilizando las funciones Matlab mean y std.

Compare los resultados obtenidos en a), c) y d).

Repita incisos c) a e) generando un vector de solamente 1000 muestras. Compare los resultados y escriba sus conclusiones.

Calcule, haciendo uso del concepto de frecuencia relativa, la P(W>0.5) y la P(W<0.3), para el caso b) en que considera 10000 muestras.

a)

E[ W ] = 0.5

VAR[W ]= 0.0833

b)

» w=rand(10000,1);

» plot(w(1:100))

c)

E[w]:

1º Forma:

» mediaw=0;

» suma=0;

» for i=1:10000

suma=suma+w(i);

end

» mediaw=suma/10000

mediaw =

0.5052

2º Forma:

» media=sum(w)/length(w)

media =

0.5052

VAR[W] = E[W^2] - E[W]^2:

Calculamos E[W^2]:

1º Forma:

» suma=0;

»for i=1:10000

suma=suma+(w(i))^2;

end;

» var=suma/10000;

» varianza=var-0.5052^2

varianza =

0.0841

2º Forma:

» sum(w.^2)/length(w)-mean(w)^2

ans =

0.0841

d)

» mean(w)

ans =

0.5052

» std(w)^2

ans =

0.0841

e)

Los resultados obtenidos por las tres formas son iguales, aunque solo son una aproximación del valor teórico.

f)

Lo mismo para 1000 muestras:

» w=rand(1000,1);

» mean(w)

ans =

0.5172

» std(w)^2

ans =

0.0814

Se ve que cuanto mas grande es el vector que se usa mas parecidos son los resultados al resultado teórico.

g)

» w=rand(10000,1);

P(W>0.5)

» sup=0;

» for i=1:10000

if w(i)>0.5

sup=sup+1;

end;

end;

» P=sup/10000

P =

0.5107

P(W<0.3)

» inf=0;

» for i=1:10000

if w(i)<0.3

inf=inf+1;

end;

end;

» P=inf/10000

P =

0.2946

Actividad 3:

Considere nuevamente las variables aleatorias con distribución normal X e Y del ejercicio 1.

Utilizando la función randn, genere un vector de 10000 muestras independientes para X y uno para Y

Grafique los primeros 100 valores de cada uno.

Encuentre el histograma de frecuencias de ambas variables utilizando la función hist. Realice los diagramas de barras correspondientes.

Estime la función densidad de probabilidad para las dos variables a partir de los histogramas obtenidos en c). Grafique en un mismo gráfico la fdp real y la estimada para cada caso.

Repita incisos b) a d) generando un vector de solamente 1000 muestras. Compare los resultados y escriba sus conclusiones.

a)

» x=randn(10000,1);

» aux=randn(10000,1);

» y=1/2*aux+5;

b)

» subplot(2,1,1)

» plot(x(1:100))

» subplot(2,1,2)

» plot(y(1:100))

c)

» intervalos=30;

» [Nj abscisax]=hist(x,intervalos);

» bar(abscisax,Nj)

» [Nj abscisay]=hist(y,intervalos);

» bar(abscisay,Nj);

d)

» rangox=max(x)-min(x);

» deltax=rangox/intervalos;

» [Njx abscisax]=hist(x,intervalos);

» Ntx=sum(Njx);

» areax=Ntx*deltax;

» fx=Njx/areax;

» gx=-4:0.1:4;

» gaussx=1/sqrt(2*pi)*exp(-gx.^2/2);

» plot(abscisax,fx,gx,gaussx)

» rangoy=max(y)-min(y);

» deltay=rangoy/intervalos;

» [Njy abscisay]=hist(y,intervalos);

» Nty=sum(Njy);

» areay=Nty*deltay;

» fy=Njy/areay;

» gy=-2.5:0.1:7;

» gaussy=1/(sqrt(2*pi)*(1/2))*exp(-(gy-5).^2/(2*(1/2)^2));

» plot(abscisay,fy,gy,gaussy)

e)

» x=randn(1000,1);

» aux=randn(1000,1);

» y=1/2*aux+5;

» intervalos=30;

» [Njx abscisax]=hist(x,intervalos);

» bar(abscisax,Njx)

» [Njy abscisay]=hist(y,intervalos);

» bar(abscisay,Njy)

» rangox=max(x)-min(x);

» deltax=rangox/intervalos;

» Ntx=sum(Njx);

» areax=Ntx*deltax;

» fx=Njx/areax;

» gx=-4:0.1:4;

» gaussx=1/sqrt(2*pi)*exp(-gx.^2/2);

» plot(abscisax,fx,gx,gaussx)

» rangoy=max(y)-min(y);

» deltay=rangoy/intervalos;

» Nty=sum(Njy);

» areay=Nty*deltay;

» fy=Njy/areay;

» gy=3:0.1:7;

» gaussy=1/(sqrt(2*pi)*(1/2))*exp(-(gy-5).^2/(2*(1/2)^2));

» plot(abscisay,fy,gy,gaussy)

Igual que en el ejercicio anterior, las aproximaciones mejoran cuando se aumenta el tamaño de los vectores.

Actividad 4:

Verificación experimental del Teorema del Limite Central

Considere 12 V.A. independientes, y cada una de ellas uniformemente distribuidas entre 0 y 1. Sea la nueva V.A. Z, la suma de dichas variables. Sea Y=Z/12. Encuentre en forma teórica la media y la varianza de Y.

Genere 12 variables aleatorias uniformemente distribuidas entre 0 y 1.

Genere una nueva variable Y definida como el promedio de las variables generadas en b).

Grafique, utilizando la función subplot, los primeros 100 valores de una de las variables uniformes, y de la variable Y.

Estime la fdp, la media y la varianza de Y, utilizando la función hist.

Compare los valores obtenidos en e) con los calculados en a).

Grafique superpuestas la distribución teórica con la estimada.

a)

Si Z=ð Xn entonces:

• E[Z] = ð E[Xn]

• Var[Z] = ð Var[Xn] + ðð Cov [Xn,Xm]

Por ser independientes e idénticas: Cov[Xn,Xm] = E[Xn*Xm]-E[Xn]*E[Xm]=0

Luego:

• Var[Z] = ð Var[Xn]=n*Var[Xn]

Si esta distribuida uniformemente entre 0 y 1: E[Xn]= ½

• E[Y] = 12

La varianza de cada Xn: Var[Xn] = E[Xn^2] - E[Xn]^2 = 1/2 -1/4 = 1/12 = 0.083

• Var[Y] = 0.0069

b)

» z=rand(12,10000);

c)

» Y=sum(z)/size(z,1);

d)

» subplot(2,1,1)

» plot(z(1:100))

» subplot(2,1,2)

» plot(Y(1:100))

e)

» inter=30;

» [Mj absc]=hist(Y,inter);

» bar(absc,Mj)

» rango=max(Y)-min(Y);

» delta=rango/inter;

» Nt=sum(Mj);

» area=Nt*delta;

» f=Mj/area;

» mean(Y)

ans =

0.5011

» std(Y)^2

ans =

0.0070

f)

Los resultados obtenidos son bastante aproximados a los obtenidos en forma teórica.

g)

» gy=0.1:0.01:0.9;

» gaussy=1/(sqrt(2*pi)*0.083)*exp(-(gy-0.5).^2/(2*0.083^2));

» plot(absc,f,gy,gaussy)

Probabilidad, Estadística y Procesos Estocásticos

Seminario 1

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