Potencial eléctrico

Electricidad. Distribución. Fuerzas y campos. Carga lineal infinita

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POTENCIAL ELÉCTRICO

Potencial Eléctrico

Asociado a la fuerza eléctrica tentemos una energía potencial U. La variación de energía potencial cuando una partícula experimenta un desplazamiento.

Potencial eléctrico

Diferencia de potencial

Es la variación de energía potencial por unidad de carga

Potencial eléctrico

para un desplazamiento desde un punto a hasta otro b

Potencial eléctrico

también es el trabajo por unidad de carga para desplazar la carga de a a b.

El potencial eléctrico es una magnitud escalar, y podemos escoger un valor de referencia donde queramos, ya que lo importante es la diferencia de potencial (al igual que ocurre en gravitación con la energía potencial). La relación entre energía potencial y potencial eléctrico:

Potencial eléctrico

Si tenemos un campo uniforme en la dirección x, el potencial corresponde sólo a un desplazamiento en esta dirección, así

Potencial eléctrico

A diferencia del campo eléctrico, el potencial es continuo.

La unidad es el voltio 1[V]=1[J/C]; 1[N/C]=1[V/m]

Para energía de partículas elementales, una unidad adecuada es el electrón-voltio

1[eV]=1,6×10-19 [C][V]= 1,6×10-19[J]

Si una carga se mueve debido a la fuerza electrostática, se acelera y su energía cinética, disminuyendo la energía potencial. Podemos decir que las cargas se mueven hacia posiciones de menor energía potencial. Las líneas de carga señalan la dirección en la que el potencial disminuye.

Potencial debido a una carga

El campo debido a una carga es

Potencial eléctrico

integrando queda

Potencial eléctrico

definimos V=0 para r=", y por lo tanto V0=0

Potencial eléctrico
potencial de Coulomb

si determinamos la energía potencial

Potencial eléctrico

que es la energía potencial de una carga testigo q0 debido a una carga puntual q.

Si dejamos la carga que se acelere por la fuerza de repulsión, suficientemente lejos la energía cinética adquirida es kq0q/r, o esta sería el trabajo necesario para traer una carga testigo desde gran distancia hasta una distancia r de la carga q.

El potencial en un punto debido a varias cargas corresponde a la suma de los potenciales debido a cada una de las cargas.

Potencial eléctrico

Potencial eléctrico
Ejemplo: El potencial lejos de un dipolo

Potencial eléctrico
lejos del dipolo el potencial decae como 1/r2, en vez de 1/r que corresponde a una carga puntual

Campo a partir del potencial eléctrico

Veíamos que si el campo es a lo largo de la dirección x, la variación de potencial es sólo debido al desplazamiento en la misma dirección del campo.

Potencial eléctrico

si el campo es esférico

Potencial eléctrico

en general

Potencial eléctrico

Potencial eléctrico

Potencial eléctrico

Potencial de una distribución continua de carga

Teníamos que el potencial debido a un conjunto de cargas es el sumatorio de los potenciales. Si tenemos ahora una distribución continua podemos tomar diferenciales de carga, y el potencial se obtiene integrando

Potencial eléctrico

valida para distribuciones no infinitas (plano infinito o hilo infinito)

Potencial sobre el eje de un anillo

Potencial eléctrico

para x>>a V=kQ/x

Potencial debido a un plano infinito

No podemos aplicar el método anterior, por no ser valido para distribuciones infinitas. Partimos pues del campo determinado por Gauss o por integración directa

Potencial eléctrico
(para plano yz)

Potencial eléctrico

integrando resulta

Potencial eléctrico

vemos que el potencial disminuye a medida que nos alejamos del plano de forma lineal, desde V0 para x=0.

Potencial debido a una esfera hueca (casquete)

Lo más fácil es calcular el potencial a partir del campo

Potencial eléctrico
r>R

Potencial eléctrico

integrando

Potencial eléctrico
r>R

escogemos V=0 para r="

En la parte interior, como el campo es nulo, la variación del potencial es también nula, y el potencial mantiene un valor constante en todo el interior. Por continuidad, si nos aproximamos desde fuera hacia dentro, el potencial en el interior es el mismo que en la superficie V=kQ/R.

Potencial debido a una carga lineal infinita

A partir del campo debido a un hilo infinito

Potencial eléctrico

no podemos escoger V0 para r=", pero tomamos a como el punto donde V=0, o sea

Potencial eléctrico

Efecto punta

El potencial es mayor en las regiones próximas a las zonas de mayor curvatura.

Campo y potencial eléctrico de una carga puntual

La ley de Coulomb nos describe la interacción entre dos cargas eléctricas del mismo o de distinto signo. La fuerza que ejerce la carga Q sobre otra carga q situada a una distancia r es.

Potencial eléctrico

La fuerza F es repulsiva si las cargas son del mismo signo y es atractiva si las cargas son de signo contrario.

Concepto de campo

Es más útil, imaginar que cada uno de los cuerpos cargados modifica las propiedades del espacio que lo rodea con su sola presencia. Supongamos, que solamente está presente la carga Q, después de haber retirado la carga q del punto P. Se dice que la carga Q crea un campo eléctrico en el punto P. Al volver a poner la carga q en el punto P, cabe imaginar que la fuerza sobre esta carga la ejerce el campo eléctrico creado por la carga Q.

El punto P puede ser cualquiera del espacio que rodea a la carga Q. Cada punto P del espacio que rodea a la carga Q tiene una nueva propiedad, que se denomina campo eléctrico E que describiremos mediante una magnitud vectorial, que se define como la fuerza sobre la unidad de carga positiva imaginariamente situada en el punto P.

Potencial eléctrico

La unidad de medida del campo en el S.I. de unidades es el N/C

En la figura, hemos dibujado el campo en el punto P producido por una carga Q positiva y negativa respectivamente.

 

Energía potencial

La fuerza de atracción entre dos masas es conservativa, del mismo modo se puede demostrar que la fuerza de interacción entre cargas es conservativa.

El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la diferencia entre el valor inicial y el valor final de una función que solamente depende de las coordenadas que denominamos energía potencial.

Potencial eléctrico

La energía potencial viene dada por una fórmula similar a la energía potencial gravitatoria.

Potencial eléctrico

El nivel cero de energía potencial se ha tomado en el infinito.

 

Concepto de potencial

Del mismo modo que hemos definido el campo eléctrico, el potencial es una propiedad del punto P del espacio que rodea la carga Q, que definimos como la energía potencial de la unidad de carga positiva imaginariamente situada en P. El potencial es una magnitud escalar.

Potencial eléctrico

La unidad de medida del potencial en el S.I. de unidades es el volt (V).

 

Relaciones entre fuerzas y campos

Una carga en el seno de un campo eléctrico E experimenta una fuerza proporcional al campo cuyo módulo es F=qE, cuya dirección es la misma, pero el sentido puede ser el mismo o el contrario dependiendo de que la carga sea positiva o negativa.

 

Relaciones entre campo y diferencia de potencial

La relación entre campo eléctrico conservativo y el potencial es.

Potencial eléctrico

Potencial eléctrico

En la figura, vemos la interpretación geométrica. La diferencia de potencial es el área bajo la curva entre las posiciones A y B. Cuando el campo es constante

VA-VB=Ed que es el área del rectángulo sombreado.

El campo eléctrico E es conservativo lo que quiere decir que en un camino cerrado se cumple

Potencial eléctrico

Dado el potencial V podemos calcular el vector campo eléctrico E, mediante el operador diferencial gradiente.

Potencial eléctrico

 

Trabajo realizado por el campo eléctrico

El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre una carga q cuando se mueve desde una posición en el que el potencial es VA a otro lugar en el que el potencial es VB es

Potencial eléctrico

Potencial eléctrico

El campo eléctrico realiza un trabajo W cuando una carga positiva q se mueve desde un lugar A en el que el potencial es alto a otro B en el que el potencial es más bajo. Si q>0 y VA>VB entonces W>0.
El campo eléctrico realiza un trabajo cuando una carga negativa q se mueve desde un lugar B en el que el potencial es más bajo a otro A en el que el potencial es más alto.

Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga positiva q desde un lugar B en el que el potencial es más bajo hacia otro lugar A en el que el potencial más alto.
Una fuerza externa tendrá que realizar un trabajo para trasladar una carga negativa q desde un lugar A en el que el potencial es más alto hacia otro lugar B en el que el potencial más bajo.

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