Pitágoras. Euclides. Tales de Mileto

Geometría demostrativa. Números primitivos. Teoría de los Números. Algoritmo de Euclides. Teorema de Tales

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Trabajo

De

Matemáticas

Índice

Introducción..............................................................................................................3

Pitágoras... ...............................................................................................................4

Teorema de Pitágoras....................................................................................5

Geometría demostrativa primitiva..................................................................6

Euclides..... ..............................................................................................................7

Elementos de la geometría............................................................................8

Teoría de los números.. ................................................................................9

Tipos de enteros...... ......................................................................................9

Números primitivos... .....................................................................................9

Números primitivos.......................................................................................10

Algoritmo de Euclides..... .............................................................................11

Algoritmo de Euclides.... ..............................................................................12

Tales de Mileto...... .................................................................................................13

Sus estudios.. ..............................................................................................14

Sus estudios... .............................................................................................15

Algunas curiosidades sobre el sabio... ........................................................16

Teorema de Tales.. .....................................................................................16

Teorema de Tales.... ...................................................................................17

Conclusión..............................................................................................................18

Introducción

Matemáticas para hoy y para el mañana—las matemáticas continúan creciendo a un paso acelerado, expandiéndose a nuevos campos y creando nuevas aplicaciones en su búsqueda nueva he infinita. Diversos factores -como el crecimiento de la tecnología, el aumento de aplicaciones, el impacto que ha sido las computadoras, y la manera en que han ido creciendo las matemáticas se combinan desde siglos pasados para llegar a extender grandemente el alcance y aplicación de las ciencias matemáticas. Por lo tanto siendo las matemáticas una parte fundamental del desarrollo del hombre de ayer y hoy es que necesitamos ver en retrospectiva a quienes fueron los gestores de grandes avances en las ciencias matemáticas; nos referimos a personajes como Pitágoras y sus teoremas, Euclides y sus postulados y Tales de Mileto quien aporta lo suyo a través de sus teoremas. Desgraciadamente no todos tenemos la base matemática que nos gustaría (o deberíamos) tener, ya sea por que no las recuerdas, o simplemente nunca has tenido ni idea de cómo se fueron gestando, esto nos lleva a través de estos apuntes a plantearte brevemente las biografías (que manifiestan sus ideas matemáticas y como las vivían), y postulados de estos tres hombres anteriormente citados.

Pitágoras

Pitágoras. Euclides. Tales de Mileto

Pitágoras Considerado el primer matemático, Pitágoras fundó un movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.C., que enfatizó el estudio de las matemáticas con el fin de intentar comprender todas las relaciones del mundo natural. Sus seguidores, llamados pitagóricos, fueron los primeros en formular la teoría que decía que la Tierra es una esfera que gira en torno al Sol.Culver Pictures

2 - DOCTRINAS BÁSICAS

Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del auto análisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas.

3 TEORÍA DE LOS NÚMEROS

Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números.

Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras, teorema que relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo, y que establece que el cuadrado del lado mayor (hipotenusa) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (catetos).

El teorema de Pitágoras permite calcular uno de los lados de un triángulo rectángulo si se conocen los otros dos. Así, permite calcular la hipotenusa a partir de los dos catetos:

O bien, calcular un cateto conocidos la hipotenusa y el otro cateto:

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GEOMETRÍA DEMOSTRATIVA PRIMITIVA

El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.

Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos".

Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras)

Pitágoras. Euclides. Tales de Mileto

Demostración matemática: figuras 1 y 2

Estos diagramas se pueden utilizar para demostrar el teorema de Pitágoras, que dice que si un triángulo rectángulo tiene catetos A y B e hipotenusa C, entonces A2 + B2 = C2. Las figuras 1 y 2 contienen ambas cuatro triángulos rectángulos con catetos A y B e hipotenusa C. Dado que ambas figuras tienen la misma área, si se eliminan los cuatro triángulos de la figura 1, el área restante debe ser igual a la que queda si se eliminan de la figura 2. En la figura 1, el área restante es A2 + B2, y en la figura 2, es C2. Por tanto, A2 + B2 = C2, lo que demuestra el teorema de Pitágoras.

Euclides

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Sin embargo, la mayoría de los historiadores cree que alguna o todas estas obras (aparte de los Elementos) se le han adjudicado erróneamente. Los historiadores también cuestionan la originalidad de algunas de sus aportaciones. Probablemente las secciones geométricas de los Elementos fueron en un principio una revisión de las obras de matemáticos anteriores, como Eudoxo, pero se considera que Euclides hizo diversos descubrimientos en la teoría de números.

Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años, e incluso hoy, una versión modificada de sus primeros libros constituye la base de la enseñanza de la geometría plana en las escuelas secundarias. La primera edición impresa de las obras de Euclides que apareció en Venecia en 1482, fue una traducción del árabe al latín

Elementos de geometría (Obra principal de Euclides)

Geometría plana

Rama de la geometría elemental que estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como el triángulo o el círculo. Esta parte de la geometría también se conoce como geometría euclídea, en honor al matemático griego Euclides, el primero en estudiarla en el siglo IV a.C. Su extenso tratado Elementos de geometría se mantuvo como texto autorizado de geometría hasta la aparición de las llamadas geometrías no euclídeas en el siglo XIX.

Proporción

En aritmética y geometría, relación especial entre un grupo de números o cantidades. Según la definición aritmética, proporción es la igualdad de dos razones. La razón es la relación entre dos números, definida como el cociente de un número por el otro. Así, la razón de 12 a 3, expresada como 12/3 o como 4, indica que 12 contiene a 3 cuatro veces. La razón de 8 a 2 es también 4, y por tanto, según la definición de proporción, los cuatro números 12, 3 y 8, 2 están en proporción. Esta proporción se expresa como 12:3::8:2, que se lee "12 es a 3 como 8 es a 2". En una proporción válida, el producto del primer término por el último (conocidos como los extremos) es igual al producto del segundo por el tercero (conocidos como los medios); la regla de tres aritmética está basada directamente en esta propiedad. El objeto de esta regla es encontrar un cuarto número que es proporcional a tres números dados; este número se halla multiplicando el segundo número por el tercero y dividiendo el producto por el primero. La proporción continua es la propiedad de cada tres términos consecutivos o equidistantes de una progresión geométrica; por ejemplo, en la secuencia 2, 4, 8, 16, 32 ..., 2:4::4:8 y 4:8::8:16.

En la antigua Grecia, la teoría de números no era adecuada para describir aritméticamente las magnitudes geométricas. Por tanto, el astrónomo y matemático griego Eudoxo propuso una teoría separada para la proporción geométrica en el siglo IV a. C. Una descripción detallada de esta teoría, escrita por el matemático griego Euclides, se puede encontrar en los libros quinto y sexto de los Elementos de geometría.

Geometría del espacio

Rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide, la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.

Teoría de números,

Rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades y relaciones de los números. Según esta amplia definición, la teoría de números incluye gran parte de las matemáticas, en particular del análisis matemático. Sin embargo, normalmente se limita al estudio de los números enteros y, en ocasiones, a otros conjuntos de números con propiedades similares al conjunto de los enteros.

  • Tipos de enteros

Si a, b y c son números enteros tales que a = bc, a es un múltiplo de b o de c, y b y c son submúltiplos o factores de a. Si c es distinto de ±1, entonces b se denomina submúltiplo propio de a. Los enteros pares son los múltiplos de 2 incluyendo el 0, como -4, 0, 2 y 10; un entero impar es aquél que no es par, por ejemplo, -5, 1, 3, 9. Un número perfecto es aquel entero positivo que es igual a la suma de todos sus submúltiplos propios positivos (partes alícuotas); por ejemplo, 6 (que es igual a 1 + 2 + 3) y 28 (que es igual a 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son números perfectos. Un entero positivo que no es perfecto se denomina imperfecto y puede ser deficiente o superante según que la suma de sus submúltiplos propios positivos sea menor o mayor que él. Así, 9, cuyos submúltiplos son 1 y 3, es deficiente; y 12, cuyos factores son 1, 2, 3, 4 y 6, es superante

  • Números primos

Gran parte de la teoría de números se dedica al estudio de los números primos. Un número p (p ¹ ±1) es primo si sus únicos factores son ±1 y ±p. Un número a se denomina compuesto o plano si a = bc, para b y c distintos de ±1. Los diez primeros números primos positivos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29; los diez primeros números compuestos positivos son 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16 y 18. Un número compuesto se puede descomponer como producto de factores primos de forma única (sin considerar el orden de los factores). Por ejemplo, 9 = 3 × 3, 10 = 2 × 5 y 12 = 2 × 2 × 3.

El libro IX de Elementos de geometría del matemático griego Euclides contiene la demostración de que la cantidad de números primos es infinita, es decir, no existe un número primo máximo. La prueba es sencilla: sea p un número primo y q el producto de todos los enteros del 1 al p, más uno, es decir, q = (1 × 2 × 3 × … × p) + 1. El entero q es mayor que p y no es divisible por ningún entero del 2 al p, ambos inclusive. Cualquier submúltiplo de q distinto de 1, y por tanto cualquier submúltiplo primo, debe ser mayor que p, de donde se deduce que debe haber un número primo mayor que p.

Aunque hay infinitos números de primos, estos son cada vez más escasos a medida que se avanza hacia números más grandes. Se sabe que la cantidad de números primos entre 1 y n, para n bastante grande, es aproximadamente n dividido por el logaritmo neperiano de n. Un 25% de los números entre 1 y 100, un 17% de los números entre 1 y 1.000, y un 7% de los números entre 1 y 1.000.000 son primos.

Dos números primos cuya diferencia es 2 (por ejemplo, 5 y 7, 17 y 19, 101 y 103) se denominan primos gemelos. No se sabe si la cantidad de primos gemelos es infinita. Aunque todavía no se ha podido demostrar, se cree que todo número mayor que 2 se puede expresar como la suma de dos números primos; por ejemplo, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 20 = 3 + 17 y 100 = 3 + 97.

El máximo común divisor de dos enteros a y b es el mayor entero positivo que divide a a y b con resto cero. Si el máximo común divisor de dos enteros es 1, se dice que los dos números son primos relativos o primos entre sí, o que uno de ellos es un número primo del otro. Si p, q, …, u son los distintos submúltiplos primos de un entero positivo n, el número de enteros positivos menores que n y primos de n está dado por

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Si a, b y m son números enteros tales que a - b es un múltiplo de m —que es positivo— entonces se dice que a es congruente con b respecto al módulo m. Esto se escribe como

a - b (mod m)

Esta expresión se denomina congruencia. Las congruencias se comportan en muchos aspectos de manera similar a las ecuaciones. La teoría de la congruencia es una parte importante de la teoría de números. Una de las aplicaciones de la teoría de la congruencia es la resolución de los problemas conocidos como restos chinos. Un ejemplo ilustrativo de este tipo de problema es el siguiente: encontrar los dos primeros enteros positivos cuyos restos son 2, 3 y 2 al ser divididos por 3, 5 y 7 respectivamente. La respuesta, 23 y 128, fue obtenida por el matemático chino Sun-Tsù en el siglo I d.C.

Algoritmo de Euclides

Algoritmo de Euclides, procedimiento para hallar el máximo común divisor de dos números. Se basa en la siguiente propiedad: “Si d es divisor común de p y q, y p > q, entonces d es divisor del resto de dividir p entre q”.

Esta propiedad justifica el siguiente razonamiento: para hallar el M.C.D.(p, q) se divide p entre q, obteniendo un cociente q1 y un resto r1. Entonces:

D = M.C.D.(p, q) = M.C.D.(q, r1)

Ahora se procede de forma análoga con q y r1: se hace la división entera entre q y r1, obteniendo un cociente q2 y un resto r2. Entonces:

D = M.C.D.(q, r1) = M.C.D.(r1, r2)

Se prosigue así sucesivamente obteniendo números cada vez menores. De esta forma se llegará a una división exacta. El divisor de dicha división, que es el resto de la anterior, es el M.C.D., D, buscado. Como ejemplo se obtiene el M.C.D.(520, 360):

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Por tanto, M.C.D.(520, 360) = 40

Los cálculos sucesivos suelen disponerse del siguiente modo:

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Para calcular el M.C.D. de tres números, a, b, c, se halla el M.C.D. de dos de ellos, D, y luego se halla el M.C.D. de D y el tercero, pues:

M.C.D.(a, b, c) = M.C.D.(D, c)
siendo D = M.C.D.(a, b).

Teniendo en cuenta que entre el máximo común divisor, D, y el mínimo común múltiplo, M, de dos números, a y b, se da la siguiente relación:

a · b = D · M

Conociendo D se puede calcular M:

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Por ejemplo, para hallar el m.c.m.(520, 360), cuyo máximo común divisor se ha calculado mediante el algoritmo de Euclides, D = 40, se procede así:

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Tales de Mileto

Nació en la ciudad de Mileto, aproximadamente en el 624 a.C., y murió en el 546 a.C. Tradicionalmente se ha considerado a Tales uno de los siete sabios de Grecia, siendo, junto con Solón, de los más citados en las diversas listas en que se los agrupaba. Las referencias acerca de su vida son confusas y contradictorias. Respecto a su propio origen, por ejemplo, unos le consideran de origen fenicio, habiendo sido posteriormente hecho ciudadano de Mileto, y otros le hacen natural de Mileto y de sangre noble.

También afirman unos que estuvo casado y que tuvo un hijo, mientras otros afirman que fue soltero y adoptó un hijo de su hermano. (Sobre esta soltería de Tales nos transmite Diógenes Laercio la siguiente anécdota: "cuéntase también que apretándole su madre a que se casase, respondió que todavía era temprano; y que pasados algunos años, urgiendo su madre con mayores instancias, dijo que ya era tarde"). La misma incertidumbre rodea los demás aspectos de su vida. Se dice que viajó por Egipto, donde aprendió geometría, y donde midió la altura de las pirámides a partir de su sombra; en todo caso se le ha tenido siempre por astrónomo y geómetra práctico, atribuyéndosele algunos descubrimientos matemáticos como el teorema que lleva su nombre. Quizá la referencia más exacta de su vida sea la predicción del eclipse que tuvo lugar el año 585 antes de Cristo, lo que le valió gran renombre y fama. Respecto a su obra, unos afirman que no escribió nada y otros le consideran autor de varias obras, entre ellas una "Astrología náutica".

Respecto a su cosmología afirmaba, según las referencias que nos han transmitido los antiguos, que la tierra estaba sobre el agua, flotando como un disco. Se le atribuye la afirmación "todo es agua", que se ha interpretado en el sentido de que Tales afirmaba que el agua era el elemento originario de la realidad, el principio de todas las cosas, o bien en el sentido de que todas las cosas estaban constituidas o formadas por agua. ¿De dónde procede esta idea? Algunos afirman que Tales la tomó de la mitología oriental; la mayoría, sin embargo, tienden a atribuirle un origen experimental, bien derivado de la experiencia de lo húmedo y de la importancia de la humedad en el desarrollo de la vida, o bien de la observación de la evaporación del agua, que hace que este elemento se transforme en otro. En todo caso fue el primero que planteó la cuestión de la naturaleza última del mundo, concibiendo las cosas como formas cambiantes de un primer y único elemento: el agua.

Lo importante de lo que nos ha llegado de su pensamiento es, pues, que concibió la noción de la unidad en la diversidad, intentando explicar a partir de ella las diferencias que se perciben en la multiplicidad de lo real, y que dicho principio o "arjé" era de carácter material.

Sea como fuere, Tales es considerado el primer filósofo por cuanto, frente a las explicaciones de la realidad de carácter mítico y religioso, nos ofrece por primera vez una explicación basada en la razón, es decir, en la que no se apela a entidades sobrenaturales para explicar lo real ni se admite lo contradictorio, rechazándose, además, la heterogeneidad entre la causa y el efecto: si la realidad es física, su causa ha de ser también física (el agua, por ejemplo).

Estudios

Según Tales, el principio original de todas las cosas es el agua, de la que todo procede y a la que todo vuelve otra vez. Ha de haber, pues, alguna naturaleza, sea una o más de una, a partir de la cual todo lo demás se genera, conservándose aquélla.

Tal vez llegó a esta concepción tras observar que todas las cosas tienen un elemento húmedo y que el calor se produce y se mantiene en la humedad (ya que aquello a partir de lo cual se generan las cosas es el principio de todas ellas). Por eso llegó a esta concepción y también porque todas las simientes son de naturaleza húmeda y el agua es el principio natural de las cosas húmedas."

Antes de Tales, las explicaciones del universo eran mitológicas, y su interés por la sustancia física básica del mundo marca el nacimiento del pensamiento científico.

Fue capaz de comprender y enseñar lo que había aprendido de su relación con los sacerdotes en Egipto. Se cuenta que en uno de sus viajes a Egipto determinó la altura de la pirámide de Keops, aprovechando la sombra que esta producía en un determinado momento, aquel en el que la longitud de la sombra sea igual a la de la pirámide (los rayos del Sol deben tener una inclinación de 45º), y además perpendicular a la base. Debido a la situación de la pirámide de Keops, en Gizeh, a 30º de latitud en el hemisferio norte, sólo hay dos posibilidades para que Tales realizara esta medición, el 21 de noviembre o el 20 de enero.

Ver cuadro:

Pitágoras. Euclides. Tales de Mileto
Pitágoras. Euclides. Tales de Mileto

Tales fue el primero en demostrar sus afirmaciones, por lo que se le considera el primer matemático de la historia.

  • Son cinco sus teoremas geométricos:

  • Todo diámetro bisecta a la circunferencia

  • Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales

  • Los ángulos opuestos por el vértice son iguales

  • Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado respectivamente iguales son iguales

  • Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto

Sobre el conocido Teorema de Tales, tal vez no fuera Tales su autor, sin embargo, se le ha atribuido a él por utilizarlo para medir distancias.

Pitágoras. Euclides. Tales de Mileto

Algunas curiosidades sobre el sabio

Tales es recordado principalmente por su cosmología basada en el agua como esencia de toda la materia y por su predicción del eclipse de sol, que debió ocurrir el 28 de mayo del 585 a. C. Lo espectacular de esta predicción es que detuvo la batalla entre Alyattes y Cyaxares en ese año. Es probable que el hecho de que el eclipse fuera total y la localidad afectada correspondiera a la de una batalla importante contribuyera enormemente a la reputación de Tales como astrónomo.

Pitágoras. Euclides. Tales de Mileto

Cuando ocurrió el eclipse de sol, Tales debía estar en el pináculo de su carrera y tener alrededor de cuarenta años. No hay escritos de Tales disponibles, así como tampoco hay fuentes contemporáneas a las que se pueda recurrir como referencia. La inclusión del nombre de Tales en el canon de los legendarios Siete Hombres Sabios condujo a su idealización y después a la leyenda que le acompaña.

Teorema de Tales

Teorema de Tales, relación básica para obtener las propiedades fundamentales de la semejanza de triángulos.

Según este teorema, una familia de rectas paralelas, r1, r2, r3,…, que cortan a dos rectas concurrentes, s y t, determinan en ellas segmentos proporcionales:

Pitágoras. Euclides. Tales de Mileto

Posición de Tales

Posición de Tales, posición en la que se encuentran dos triángulos cuando tienen un vértice común, igual el ángulo correspondiente y paralelos los lados opuestos.

Pitágoras. Euclides. Tales de Mileto

Dos triángulos en posición de Tales son semejantes. Véase Semejanza; Teorema de Tales.

Conclusión

La Historia de la Ciencia nos lleva a concluir que el conocimiento científico es consecuencia del pensar de miles de mentes humanas, sujetas a las pasiones propias e inherentes al hombre, pero maravillosas sin duda alguna. Estos científicos son seres humanos y siempre me ha interesado conocer sus nombres y sus aportaciones, su ambiente de trabajo y la relación que tuvieron con sus predecesores y la influencia sobre sus sucesores, gracias al aporte de estos hombres que determinaron pensar es que hoy podemos aplicar sus conocimientos matemáticos y avanzar en el descubrimiento de nuevas fronteras si es que podemos decir que existen.

Al investigar acerca de sus vidas hemos descubierto la importancia que existe en reflexionar, y como cada uno de nosotros puede llegar a emular a estos hombres que trascendieron en la historia de la humanidad, al descubrir en los números un mundo infinito que da respuestas al universo que nos rodea.

16

Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

Euclides (matemático) (fl. 300 a.C.), matemático griego, cuya obra principal, Elementos de geometría, es un extenso tratado de matemáticas en 13 volúmenes sobre materias tales como geometría plana, proporciones en general, propiedades de los números, magnitudes inconmensurables y geometría del espacio. Probablemente estudió en Atenas con discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría y allí fundó una escuela de matemáticas. Los Cálculos (una colección de teoremas geométricos), los Fenómenos (una descripción del firmamento), la Óptica, la División del canon (un estudio matemático de la música) y otros libros se han atribuido durante mucho tiempo a Euclides.

Pitágoras. Euclides. Tales de Mileto

Pitágoras. Euclides. Tales de Mileto

Los triángulos BED y CED tienen la misma área, porque tienen la misma base y la misma altura.

Ejemplo:

Calculemos el área del triángulo ADE: Será AD . h / 2 = AE . h' / 2

Calculemos el área del triángulo CDE: Será CD . h / 2

Calculemos el área del triángulo BED: Será BE . h' / 2

Como las áreas de los triángulos BED y CDE son iguales, los cocientes ADE / BED y ADE /CDE serán iguales.

Entonces AD / CD = AE / BE

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