Operaciones aritméticas con números mayas

Sistema de escritura maya. Escritura representada por dibujos. Calendario maya. Matemáticas mayas. Operaciones aritméticas. Valor absoluto y valor relativo. Sustracción en el sistema vigesimal. Multiplicación. División

  • Enviado por: PETERCI2005
  • Idioma: castellano
  • País: Guatemala Guatemala
  • 24 páginas

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Escritura Maya:

Los mayas desarrollaron el sistema de escritura más completo de todos los pueblos indígenas americanos, con el que escribieron una cantidad muy diversa de tipos de textos: de medicina, de botánica, de historia, de matemáticas, de astronomía...

Muestra de escritura Maya. Escritura representada por dibujos.

Además, los mayas también desarrollaron un calendario muy preciso, con un año de 365 días. El año solar (haab) estaba formado por 18 meses de 20 días cada uno y un mes más de sólo cinco días. Los nombres de los meses eran: Pop, Uo, Zip, Zotz, Tzec, Xul, Yaxkin, Mol, Chen, Yax, Zac, Ceh, Mac, Kankin, Moan, Pax, Kayab, Cumbu y Uayeb.

Matemáticas:

Utilizaban un sistema de numeración vigesimal posicional. También tenían un signo para representar el cero, con el que podían realizar operaciones matemáticas complejas.

El punto tiene un valor numérico de 1 y la raya de 5. Así podían contar hasta 19. Para hacer números mayores (igual que nosotros para hacer números mayores de 9) tenían que colocar esos signos en determinadas posiciones. Al ser un sistema vigesimal, o sea, que considera el 20 como unidad básica para la cuenta, cada espacio que se avanza en el número representa 20 veces más que el espacio anterior.


 

Tabla numérica de los Mayas hasta

Operaciones Aritméticas En El Sistema De Numeración Maya

Para entender la sencillez y precisión de la ciencia matemática de los mayas, la utilización del tablero es un factor indispensable; sobre esta cuadrícula se realizaban las operaciones y los cálculos con los que se contabilizaron desde las pertenencias, los impuestos y la repartición de las cosechas, hasta los eventos astronómicos y los ciclos del tiempo.

Como todas las muestras de la cultura maya, el tablero, que es una cuadrícula semejante a la del ajedrez, es un objeto lleno de significaciones relacionadas con su cosmovisión; este elemento representaba, en un sentido místico, la urdimbre del universo; el campo donde suceden los hechos que transforman el tiempo y el espacio y el lugar donde se asienta el conocimiento humano. Por eso, al comprender su función y hacer uso de ella, se manifiesta como una figura que, de forma simbólica, ejemplifica el orden y equilibrio de todo cuanto existe.

El posicionamiento dentro del tablero, los cálculos y las operaciones aritméticas se realizan por medio de mecanismos fáciles de comprender. Los niveles del tablero incrementan su valor de abajo hacia arriba, de acuerdo a la posición que tiene el numeral dentro de dicho tablero, como se muestra a continuación, ordenando los numerales por unidades, veintenas, veintenas de veintenas, veintenas de veintenas de veintenas, etcétera, por lo que un punto (o unidad) en cada nivel, tendría la siguiente equivalencia:

Un punto en la 6ª posición 3,200,000
Un punto en la 5ª posición 160,000
Un punto en la 4ª posición 8,000
Un punto en la 3ª posición 400
Un punto en la 2ª posición 20
Un punto en la 1ª posición 1

Este mecanismo permitió a los mayas hacer cálculos con números estratosféricos; por ejemplo, el número 25 673 295, se representa en maya de la siguiente manera, utilizando seis niveles o posiciones del tablero:

'Operaciones aritméticas con números mayas'

El Cero

Las matemáticas mayas han dejado una huella en el tiempo; antes que cualquier otra civilización, los mayas originaron un concepto revolucionario: el cero, el cual es un símbolo comúnmente utilizado para representar la nada; sin embargo, el concepto maya del cero no implica una ausencia ni una negación; para los mayas, el cero posee un sentido de plenitud. Por ejemplo, al escribir la cifra 20, el cero, puesto en el primer nivel, únicamente indica que la veintena está completa.

'Operaciones aritméticas con números mayas'

La posición del cero comprueba que a este número no le falta nada, lo cual es una acepción opuesta al concepto de ausencia o carencia. En este sentido, el 20 es una unidad completa del segundo nivel y del primer nivel. Al ocupar el primer nivel, y generar uno nuevo, da la idea del cierre de un ciclo y el principio de otro. Quizá esto se relacione con las hipótesis que se han generado en torno a la naturaleza y significado original del glifo que representa:

Cero

En primer lugar, puede observársele como un puño cerrado: los dedos (que son los numerales con que empezó a contar el hombre) retenidos dentro de un espacio cerrado; contenidos en el puño, integrados y completos. Por otra parte, se le ve como una concha, imagen vinculada con el concepto de la muerte.

Al unir ambas acepciones, se deduce la terminación de la vida, el cierre de un ciclo, la medida que se completa, la integración final. Al ver el glifo y entenderlo como un puño cerrado, éste señala que nada sobra, que todo está contenido dentro de la mano, que el conjunto está completo; la concha anuncia que un ciclo de vida ha terminado y que sólo queda ahí el remanente, la huella geológica que nos informa que existió y se completó.

Cuando entendemos estos conceptos básicos: los numerales y las posiciones en el tablero, la realización de operaciones aritméticas resulta un proceso manual. Recordemos que dentro de cada nivel del tablero puede haber diecinueve unidades, y que al completarse una veintena ésta se convierte en una unidad del siguiente nivel y deja un cero en el nivel inferior. Lo que resta es manipular los signos materialmente, utilizando objetos que puedan colocarse sobre el tablero para realizar los cálculos, con el fin de facilitar su comprensión.

En cualquier caso, se acomodan los números dentro de las casillas del tablero, de izquierda a derecha, sabiendo que el primer nivel (de abajo hacia arriba) representa las unidades; el que le sigue, las veintenas; el siguiente, las veintenas de veintenas; y así sucesivamente.

Valor absoluto y valor relativo

Antes de plantear las operaciones fundamentales de la aritmética maya es necesario que establezcamos la idea acerca de los valores absoluto y relativo de los números mayas para resumir lo haremos como sigue:

El valor absoluto: Se refiere a que el punto siempre es uno; la barra siempre será cinco.

El valor Relativo: se refiere a que el valor que exprese un símbolo (1) depende de la posición que ocupe: el punto en la primera posición toma el valor de uno (1); en la segunda posición toma el valor de 20; en la tercera posición toma el valor de 400; en la cuarta posición toma el valor de 8,000 etc.

La barra en la primera posición toma el valor de 5; en la segunda posición toma el valor de 100; en la tercera posición toma el valor de 2000; en la cuarta posición toma el valor de 40,000 y así sucesivamente. El valor relativo se va obteniendo multiplicando el valor de cada posición por la base 20.

Adición Con Numeración Maya.

Para sumar dos o más números hay que reunir, en una sola columna, las barras y los puntos de un mismo nivel del tablero y, posteriormente, convertir los grupos de cinco puntos en barras y las veintenas completas (conjuntos de cuatro barras) en unidades del nivel superior inmediato. Para mayor claridad enunciaremos las siguientes reglas:

  • Se colocan las cantidades en sus respectivas posiciones, en columnas de izquierda a derecha sobre una superficie plana, (se puede emplear granos de maíz para representar los puntos, palillos para las barras y si es posible una concha para el cero, si no se cuenta con estos elementos se puede emplear entonces lápiz y papel).

  • Se disponen las cantidades una a la par de la otra.

  • Se agrupan los granos o cifras de la misma posición conservando sus valores relativos en la primera columna (es decir la de la izquierda).

  • Por cada cinco puntos que se juntan forman una barra, cada cuatro barras forman un punto en la posición inmediata superior.

  • La adición y posiblemente las otras operaciones de la aritmética, las trabajaron sobre una tabla o en el suelo, en ella se colocan puntos y barras (frijoles y palitos). León-Portilla propone que en el Codigo De Dresde, se encuentra la representación de una multiplicación. También Calderón (1966) describe en forma muy didáctica, las cuatro operaciones de la aritmética, además de la raíz cuadrada y la raíz cúbica, el único inconveniente es que no indica las fuentes que utilizó.

    Veamos algunos ejemplos de adición.

    Sumar 43 con 67.

    Escribimos los dos números en notación Maya, como sigue:

    Con el siguiente ejemplo confirmaremos el algoritmo. Sumaremos 8351 con 1280 primero se convierten estos números al sistema de numeración Maya.

    Escribamos 8351 en base 20:

    Con un procedimiento similar tenemos que 1280 en maya es como sigue:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Expresamos la suma de 8351 y 1280

    Trasladamos los puntos del 1280 a la primera columna y obtenemos

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Sustracción En El Sistema Vigesimal

    Es fácil para el lector extrapolar del concepto de adición al de sustracción y también determinar si el resultado es un número negativo o un positivo. Iniciemos con un:

    Ejemplo: Restar los siguientes números

    Se nota que el primero es mayor que el segundo, ya que tiene más elementos en la tercera fila. Ahora todo lo que se necesita hacer, es quitar de la primera columna, tantos elementos como hay en la segunda columna, este proceso se repite en cada fila, comenzando con la fila más alta. Quitando entonces la primera fila se tiene:

    Veamos otro ejemplo

    Un último ejemplo: En este presentamos el caso cuando tenemos que restar de una fila, y el minuendo es menor que el substraendo, veamos:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Se restará de la columna uno, los elementos de la columna dos, fila por fila, comenzando con la fila de la potencia mayor, en este caso, se inicia la resta en la tercera fila: En la segunda fila, el minuendo es menor que el substraendo, en este caso, se baja una unidad de la fila superior, que se convierte en 20 unidades en esa fila, y de esta manera sí se puede restar, vea el ejemplo:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Con este proceso se obtiene el resultado final.

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Como acabamos de ver en los ejemplos anteriores si la operación que se quiere realizar es una resta o sustracción, hay que acomodar en el tablero el minuendo en la primera columna y el sustraendo en la segunda. Quizá la primera cifra dé la apariencia de no poder restarse por no contar con los puntos y barras suficientes para realizar la operación; en este paso, hay que recordar que los puntos de los niveles segundo y superiores equivalen a veintenas de cada nivel anterior; así, si es necesario, podemos bajar las veintenas a las casillas inferiores inmediatas, convertidas en conjuntos de cuatro barras (4 barras por 5 unidades) o en grupos de veinte unidades. Es de advertir que cuando el resultado ha quedado en la segunda columna dicho número es negativo.

    Multiplicación En El Sistema De Numeración Maya

    León-Portilla (1988), señala que en una hoja del código de Dresdre, aparecen diferentes cantidades que son múltiplos de otra. Algunos autores indican que el proceso de multiplicación, probablemente se hacía con sumas repetidas, por ejemplo, Seidenberg (pag. 380). “...a Maya Priest could have multiplied 23457 by 432, say, by repeated additions of 23457”, estas conclusiones las hacen, probablemente, por la forma en que se construye la multiplicación en los números enteros. En los inicios de su desarrollo matemático, probablemente, esta fue la forma de efectuar multiplicaciones, pero, considerando las grandes cantidades que ellos manejaban en sus cálculos astronómicos y la exactitud de los mismos, es muy lógico pensar, que debieron de haber desarrollado un algoritmo para efectuar la multiplicación. Hasta el momento, no ha sido posible deducir históricamente dicho algoritmo.

    En lo que respecta a este trabajo presentaremos una simulación de este proceso para llegar a una propuesta, de lo que pudo haber sido el algoritmo de la multiplicación en el sistema Maya.

    Iniciaremos con la multiplicación de un número por 2.

    Por ejemplo: 46 por 2. Colocamos en el reticulado el 46 en dos columnas y luego sumamos. Obtenemos:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    El resultado final se escribe de la forma siguiente, destacando los factores de la multiplicación:

    Ahora se multiplicará el 46 por 3, como se hizo la multiplicación por dos, ahora se sumará otra vez 46 a este producto y el resultado será 46 por 3.

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    De nuevo se coloca el resultado final de la siguiente forma:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    ¿Qué haremos para multiplicar 46 por 5?, Sumando el producto de 46 por dos con el producto de 46 por 3 se obtiene 46 por 5:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Ahora fácilmente se haremos la multiplicación de 46 por 10.

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Ordenando obtenemos:

    Es importante que recordemos que estamos tratando de construir un algoritmo para la multiplicación.

    Como ya se efectuó la multiplicación de 46 por 10 y de 46 por 2, ahora se hará la multiplicación de 46 por 12.

    Esto es:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Siguiendo el mismo camino de los ejemplos anteriores, tenemos que:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    El resultado más interesante, lo veremos en la multiplicación de 46 por 20, que no es más que sumar dos veces la multiplicación de 46 por 10 obteniéndose:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Encontramos que el producto tiene los mismos algarismos (guarismos) del 46 el 'Operaciones aritméticas con números mayas'
    y el solamente que en una posición más alta, es lo mismo que agregar un cero debajo de la posición inferior. Es semejante al proceso que se efectúa cuando se multiplica por una potencia de 10 (en el sistema decimal), solamente se agregan ceros.

    Se confirmará este proceso, multiplicando 46 por 40, que será la suma del producto de 46 por 20 dos veces.

    Siguiendo las reglas de la suma vamos a obtener el resultado correspondiente:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Al multiplicar 46 por 40, hemos multiplicado el 46 por 2 y agregado un cero debajo de la cifra inferior.

    Ahora se haremos la multiplicación de 46 por 22. En la primera columna multiplicamos 46 por 2 y en la segunda columna multiplicamos por 20, para obtener:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Ahora, calcularemos el cuadrado de 46, es decir multiplicaremos 46 por 46. Esto es multiplicaremos el 46 por en la primera columna y el 46 por en la segunda columna, luego sumaremos las dos columnas.

    Finalmente obtenemos:

    Presentaremos un ejemplo un poco mayor, para afirmar el algoritmo, que indica que debemos multiplicar el multiplicando por cada cifra del multiplicador y los resultados parciales, se colocan en la fila según la posición de la cifra del multiplicador. Además ya no haremos la identificación con el sistema decimal.

    Multipliquemos

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Se multiplica el multiplicando por y se coloca el resultado en la primera columna a la derecha, luego se multiplica el multiplicando por y se coloca en la segunda columna, iniciando en la segunda fila.

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Para llegar al resultado final, se procede a la sumatoria de las columnas, las cuales se presentan de la siguiente forma:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Un ejemplo más, multiplicar:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    El multiplicando lo multiplicamos por 'Operaciones aritméticas con números mayas'
    y se coloca en la tercera columna (contando de izquierda a derecha), en la segunda columna tendríamos que poner la multiplicación por cero, entonces dejamos el espacio.

    En la primera columna colocamos el resultado del multiplicando por 'Operaciones aritméticas con números mayas'
    y lo colocamos a partir de la tercera fila.

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Seguidamente se realiza el proceso de sumar las columnas, para obtener el resultado final.

    Quiere formarse una idea de la cantidad multiplicada? pues se ha multiplicado 2445 por 806, y el producto es 1,970,670. (Verificarlo)

    Hasta aquí hemos logrado proponer un algoritmo para multiplicar números en el sistema de base 20, el cual consideramos que tiene las siguientes ventajas:

  • No necesita memorizar las tablas de multiplicar.

  • Es eficiente en los cálculos hechos en el sistema de base 10, facilitando

  • la emigración del sistema de base 20 al de base 10 o cualquier otra base.

  • Enunciemos tal algoritmo de manera más sencilla:

      • Escribimos el multiplicando a la derecha de la cuadrícula en forma vertical y el multiplicador, debajo del retículo de manera horizontal.

      • Multiplicamos las cifras de cada posición del multiplicando (iniciando de abajo hacia arriba) por la primera cifra (de la derecha) del multiplicador y escribimos los resultados (parciales) en la primera columna si empezamos a contar de derecha a izquierda.

      • Nuevamente multiplicamos las cifras de cada posición del multiplicando por la segunda, tercera, etc. cifra del multiplicador hasta concluir con todas las posiciones del multiplicador.

      • Cada vez que iniciamos un nuevo ciclo (de multiplicar las cifras del multiplicando por una cifra del multiplicador) colocamos los resultados parciales en una fila superior. Si en una de las posiciones del multiplicador tenemos cero, nos saltamos una columna y corremos una fila.

      • Por último sumamos todos los numerales de las columnas aplicando el algoritmo de la suma.

    Aparentemente el algoritmo es muy tedioso, pero con un poco de práctica del mismo, resultará muy fácil y dinámico. Pruébelo y verá.

    División En El Sistema Maya

    La construcción del algoritmo de la división es menos elaborada, se considerará como el proceso inverso de la multiplicación, esto es, dando un dividendo y un divisor, buscamos un cociente, tal que al multiplicarlo por el divisor, más el residuo (que puede ser cero), sea igual al dividendo.

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Colocamos las cantidades en el reticulado, quedando de la siguiente forma:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Luego, dividamos la primera cifra del dividendo entre la primera cifra del divisor, esto es, dividir 'Operaciones aritméticas con números mayas'
    entre el cociente es igual a quiere decir que la primera cifra del cociente es , como sucede en el algoritmo de la división de base 10, ahora se necesita restar del dividendo, una cantidad igual al divisor multiplicado por el cociente parcial, esto es:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Se inicia esto retirando dos barras de la posición más alta

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Ahora se necesita restar 'Operaciones aritméticas con números mayas'
    de la segunda fila, pero sólo hay

    De la posición más alta se baja una unidad con valor de

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    en la posición inferior, véase el reticulado:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Luego, cuando se retira 'Operaciones aritméticas con números mayas'
    de la segunda posición, se queda el reticulado como:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Se continua dividiendo, ahora la primea cifra del dividendo entre la primera cifra del divisor, esto es: entre 'Operaciones aritméticas con números mayas'
    esto da retiramos una barra de la segunda fila y un 'Operaciones aritméticas con números mayas'
    de la primera fila, quedando:

    'Operaciones aritméticas con números mayas'

    Trasladando a base 10, lo que se calculó fue la división de 4437 entre 107, el resultado es 41 de cociente con un residuo de 50.

    Se colocan los números en el reticulado, una columna por cada número y una fila por cada posición. Luego simplemente trasladamos los puntos y barras del 67 a la columna del 43, conservando las filas.

    El paso siguiente es acomodar todos los elementos a las reglas de: máximo cuatro puntos por posición, tres barras por posición y 19 unidades por posición, esto se ejecuta de la fila de las unidades, hacia arriba.

    Dividimos

    con residuo 11

    11 ocupa la posición de las unidades

    Luego dividimos

    con residuo 17

    17 ocupa la posición de las veintenas

    Ahora dividiendo

    y residuo 0

    El cero ocupa la posición de las

    Veintenas de veintenas y el último

    cociente, es decir el 1 ocupa la

    posición de las veintenas de las veintenas de las veintenas

    Seguidamente se colocan los sumandos en el reticulado, situando el 8351 en la primera columna y el 1280 en la segunda columna, conservando las posiciones que se nos presentan:

    Ahora aplicando la regla de máximo cuatro puntos se tiene el resultado siguiente.

    Aplicando la regla: 20 unidades en una celda, sube una unidad a la celda superior, logrando así el resultado siguiente:

    Aplicando reiteradamente estos pasos hasta llegar a la última fila, el resultado está en la primera columna.

    En este caso, la segunda columna tiene más elementos que la primera en la posición más alta, por lo que se retiran de la segunda columna, tantos elementos como hay en la primera. Como el resultado queda en la segunda columna, entonces convenimos que el resultado es un número negativo cuando queda en la segunda columna, véase el resultado.

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