Números reales

Conjuntos. Naturales. Enteros. Racionales. Irracionales. Ordenación. Intervalo. Inecuaciones. Potencias. Radical. Racionalización. Error. Aproximación

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LOS NÚMEROS REALES TEMA 1

IDEAS SOBRE CONJUNTOS

Partiremos de la idea natural de conjunto y del conocimiento de si un elemento pertenece (* ) o no pertenece (* ) a un conjunto.

  • Los conjuntos se pueden definir por:

EXTENSIÓN:

Cuando se enumeran todos los elementos que componen el conjunto. A = { 1, 2, 3, 4, 5 }

COMPRENSIÓN:

Cuando se da una propiedad que caracteriza a todos sus elementos de forma única

A = { x * * / x < 6 } = { x * * / x* 5 }

B = { x * * / x es par }

C = { x * Z / -7 * x * 7 }

  • SÍMBOLO * (CONTENIDO): El conjunto A está contenido en el conjunto B, cuando todos los elementos de A son también de B y se escribe A * B

  • OPERACIONES CON CONJUNTOS:

UNIÓN (U): A U B = { x / x * A y / o x * B } Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y los que son de B.

Si se tienen los conjuntos A = { x * * / x < 6 } y B = { 1, 3, 5, 7, 9 } entonces

A U B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9 }

INTERSECCIÓN ( * ): A * B = { x / x * A y x * B } Es el conjunto formado por todos los elementos que son de A y de B a la vez. En el ejemplo anterior A * B = { 1, 3, 5 }

COMPLEMENTARIO ( A ): El complementario de un conjunto A es el conjunto

A = { x / x * A }. El complementario del conjunto A dl ejemplo anterior es A = { x * * / x > 7 }

DIFERENCIA: A - B = { x / x * A y x * B } En el ejemplo anterior A - B = { 2, 4 }

LOS NÚMEROS NATURALES *

Los números naturales son: * = { 0, 1, 2, 3, ········} es un conjunto infinito y se representan en una semirecta.

LOS NÚMEROS ENTEROS Z

Los números enteros son: Z= { ·······- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ·······} es un conjunto infinito y se representan en una recta. * * Z

LOS NÚMEROS RACIONALES Q

Los números racionales son aquellos que pueden expresarse en forma de fracción de dos enteros.

Números reales
es un conjunto infinito y Z * Q ya que Números reales

Se representan en una recta.

  • Los enteros se representan como enteros.

  • Los positivos y menores que la unidad: Números reales
    se representan entre el 0 y el 1 utilizando el teorema de Tales

  • Los positivos y mayores que la unidad Números reales
    , Números reales
    es un numero comprendido entre el 2 y el 3. Se dibuja:

  • Los negativos mayores que - 1: Números reales
    se dibuja:

  • Los negativos menores que -1: Números reales
    . Números reales
    Es un número comprendido entre - 4 y -3. Se dibuja:

EXPRESIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO RACIONAL.

La expresión decimal de un número racional se obtiene dividiendo el numerador entre el denominador de su expresión fraccionaria. y los números que se obtienen son:

  • Enteros: Números reales

  • Decimal exacto: Números reales

  • Decimal infinito periódico.

  • Periódico puro: Números reales
    Números reales

  • Periódico mixto: Números reales
    = 2,96666666·······Números reales

EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN NÚMERO DECIMAL

  • Entero: Números reales

  • Decimal exacto: Números reales
    luego se ha de simplificar.

  • Decimal infinito periódico:

  • Periódico puro: x = Números reales

100 x = 135,353535··········

x = 1,353535··········

99 x = 135 - 1 99 x = 134 Números reales
Números reales

  • Periódico mixto: x = Números reales

1000 x = 1318,181818·········

10 x = 13,181818·········

990 x = 1318 - 13 990 x = 1305 Números reales
Números reales

LOS NÚMEROS IRRACIONALES *

Son aquellos que no pueden ser expresados en forma de fracción de dos enteros. Por ejemplo:

Números reales

La expresión decimal de los números irracionales es infinita no periódica y por lo tanto los números decimales infinitos no periódicos no pueden expresarse en forma de fracción y por tanto son irracionales.

Hay muchos números irracionales, como: Números reales
; Números reales
; Números reales
;.....; * = 3,14159········, e = 2.71828·······

Números reales
;Números reales

REPRESENTACIÓN DE ALGUNOS NÚMEROS IRRACIONALES.

Números reales

Números reales

Números reales

LOS NÚMEROS REALES *

Los números reales son: * = * U Q y por lo tanto * * * y Q * *

Los números reales se representan en la recta real (los racionales y los irracionales) y llenan todos los puntos que esta recta tiene

ORDENACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES

a < b significa que b - a > 0

a * b significa que b - a * 0

PROPIEDADES

  • Si a < b entonces a + c < b + c y a - c < b - c

  • Si a < b y c > 0 entonces a · c < b · c y Números reales

  • Si a < b y c < 0 entonces a · c > b · c y Números reales

  • Si a < b entonces Números reales

Esta propiedad vale para los números racionales

Estas propiedades sirven para *.

INTERVALOS DE LA RECTA REAL

Intervalos son conjuntos de números reales que coinciden con tramos de la recta real. Para ello hay una notación específica. Hay distintos tipos de intervalos:

Intervalos abiertos:

{ x / 3 < x < 7 } = ( 3, 7 )

{ x / x < 7 } = ( - *, 7 )

{ x / x > 3 } = ( 3, * )

Intervalos cerrados:

{ x / 3 * x * 7 } = [ 3, 7 ]

Intervalos semiabiertos por la derecha o semicerrados por la izquierda:

{ x / 3 * x < 7 } = [ 3, 7 );

{ x / x * 3 } = [ 3, * )

Intervalos semiabiertos por la izquierda o semicerrados por la derecha:

{ x / 3 < x * 7 } = ( 3, 7 ]

{ x / x * 7 } = ( - *, 7 ]

INECUACIONES

Consiste en encontrar TODOS los números que verifican una desigualdad. Ejemplo - 3 x + 2 < 3

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA.

Para resolverlas se han de aplicar las propiedades de la ordenación de los números reales.

Y se han de seguir los siguientes pasos:

  • Se quitan denominadores si los hubiera.

  • Se aísla la incógnita en el miembro en quede positiva con el sistema de lo que está sumando pasa al otro miembro restando y lo que esta restando pasa al otro lado sumando.

  • Lo que esta multiplicando (que será positivo) pasara al otro miembro dividiendo y lo que está dividiendo ( que será positivo ) pasa multiplicando.

  • La solución, si existe, se dará en forma de operación de intervalos.

  • INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA.

    El método para resolverlas es la siguiente:

  • Se quitan denominadores si los hubiera.

  • Se ordena en un miembro de la igualdad.

  • Sustituimos el signo de desigualdad por el de igualdad, y se resuelve la ecuación de segundo grado.

  • Los valores obtenidos se representan en la recta.

  • Probamos en cada intervalo con un numero si verifica o no la desigualdad. Si el punto verifica la desigualdad, todo el intervalo es solución.

  • Ejemplo: - 2 x - 3 < x 2 sol ( 1, 3 )

    POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO Z Y BASE UN NÚMERO REAL

    Sea a un número real a * * y n un número natural distinto del cero n * * - { 0 } se define potencia de base a y exponente n a:

    a n = a · a · · · · · a Números reales

    CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN

    Números reales

    Números reales

    Números reales

    Números reales

    Números reales

    Números reales

    Números reales

    PROPIEDADES

    Números reales
    Números reales

    Números reales
    Números reales

    Números reales

    RADICALES DE ÍNDICE ENTERO

    La raíz enésima ( de índice n * * ) de un numero real a * * se define como:

    Números reales

    n es el índice de la raíz y a es el radicando. Si el índice es n = 2 entonces no se escribe Números reales

    Las raíces de índice par tienen dos soluciones o ninguna: Números reales
    Números reales

    Las raíces de índice impar siempre tienen solución y es única: Números reales
    Números reales

    PROPIEDADES

    Números reales
    Números reales

    Números reales
    Números reales

    Números reales

    Para sumar y restar radicales han de tener el mismo índice y el mismo radicando. Números reales

    Pero Números reales
    no se puede sumar.

    Para multiplicar y dividir radicales han de tener el mismo índice.

    Números reales

    RACIONALIZAR

    Es realizar les operaciones adecuadas para obtener una fracción equivalente que no tenga raíces en el denominador.

    CASO 1º Una única raíz en el denominador.

    Números reales

    CASO 2º Raíz en el denominador relacionada con sumas o restas con otro número.

    Números reales

    CASO ·3º Una única raíz en el denominador de índice n > 2.

    Números reales

    EXPRESIÓN DE UN RADICAL COMO POTENCIA

    Las raíces se pueden expresar como potencias de exponente fraccionario y al revés, las potencias de exponente fraccionario pueden expresarse como raíces. La equivalencia es la siguiente:

    Números reales
    y en general Números reales

    Las potencias de exponente fraccionario tienen las mismas propiedades que las potencias de exponente entero.

    APROXIMACIÓN: TRUNCAMIENTO Y REDONDEO

    Para trabajar con números decimales infinitos o números decimales largos, se les aproximan a otros números mediante el truncamiento o el redondeo (ambas cosas las realizan las calculadoras).

    TRUNCAR un número significa suprimir les cifres a partir de una determinada.

    REDONDEAR un número es conseguir la mejor aproximación con otro que tenga una cantidad determinada de cifras decimales, y depende de la cifra situada a la derecha de la última no suprimida. H

    Si un número lo queremos redondear con n cifras decimales y la cifra decimal n+1 es mayor o igual a 5 entonces la cifra enésima se aumenta una unidad, es decir se redondea por exceso. En caso contrario se deja la que estaba, es decir se redondea por defecto.

    Ejemplo:

    Número

    Nº de cifras decimales

    de la aproximación

    Truncamiento

    Redondeo

    2,33375689.....

    3

    2,333

    2,334

    5,67587654.....

    3

    5,675

    2,676

    0,01199453....

    4

    ERRORES: ABSOLUTO Y RELATIVO

    En el truncamiento y redondeo de los números y en las aproximaciones de las medidas de magnitudes se producen errores.

    ERROR ABSOLUTO *a es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto y la aproximación:

    *a Números reales

    ERROR RELATIVO *r es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del número exacto:

    *r = Números reales
    también se expresa en porcentaje *r = Números reales

    COTA DEL ERROR ABSOLUTO

    Al medir, por ejemplo, el ancho x del cuaderno con una regla graduada en cm y en mm se observa que es mayor que 21,3 cm y menor que 21,4 cm. Se tiene que 21,3 < x < 21,4

    Muchas veces, como en el caso de la longitud del ancho del cuaderno no sabemos la medida auténtica, por lo que no podríamos calcular el valor absoluto. Ahora bien, siempre podremos decir que la medida de x está comprendida entre 21,3 y 21,4 por lo que como máximo se habrá cometido un error de Números reales
    y por lo tanto *a < 0,1. A este valor se le denomina cota del error absoluto.

    Si para el número de oro * = 1,61803·········· tomamos como aproximación 1,61 no se puede calcular el error absoluto ya que no conocemos el valor exacto, pero si lo podemos acotar, un valor que con toda seguridad es más grande que el error.

    *a = Números reales

    *a = Números reales

    PROPAGACIÓN DE ERRORES EN LAS OPERACIONES. (Apuntes en clase)

    La cota del error absoluto de una suma o de una resta es la SUMA de las cotas de los errores absolutos. En la práctica a la cota se le llama error absoluto.

    NOTACIÓN CIENTÍFICA

    1,42 · 10 18 = 1420000000000000000

    1,42 · 10 - 18 = 0,00000000000000000142

    En la notación científica hay dos partes:

    Una parte decimal con una única cifra entera y

    Una potencia de 10

    Para introducir un número en notación científica se puede hacer de dos maneras:

    Con la tecla EXP que no solo sirve para introducir números en notación científica. Y.

    Con la opción científica de la calculadora y que hay que indicarle el número de cifras que queremos utilizar (incluida la cifra entera) y que la calculadora redondea.

    EJERCICIOS

  • Completa las igualdades siguientes:

    • ( * * Z ) * Q =

    • ( Z * Q ) * * =

    • Z - * =

  • De los números siguientes escribe todos los que sean de *, todos los que sean de Z y todos los que sean de Q.

  • ( - 3 ) 2 ; - 4,5 ; 1,4 ; 8 ; - 9 ; Números reales
    ; Números reales
    ; ( - 2 ) 3

  • Encuentra el mínimo conjunto numérico ( *, Z, Q, *, * ) al que pertenezcan los números:

  • a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales

  • Escribe en forma decimal y clasifica como decimales los números resultantes:

  • a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales

  • Expresa en forma decimal e indica que tipo de decimal es, indicando el periodo si lo hubiera.

  • Números reales

  • Aplicando el teorema de Tales, dibuja un segmento de longitud Números reales
    .

  • Representa gráficamente Números reales
    .

  • Encuentra la fracción que representa el número:

  • a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales
    d) Números reales
    e) 0,18 f) Números reales

    g) Números reales
    h) 3,15 i) Números reales
    j) Números reales
    k) Números reales
    l) Números reales

  • Coloca los signos Números reales
    o Números reales
    según los números de la izquierda sean o no de los conjuntos de la 1ª fila

  • *

    Z

    Q

    *

    *

    - 5

    Números reales

    Números reales

    Números reales

  • Di si son ciertas o falsas las siguientes expresiones:

  • a) Números reales
    b) Números reales
    * c) Números reales
    Números reales
    *

  • De los siguientes números di cuáles son racionales y cuales irracionales:

  • Números reales
    ; Números reales
    ; Números reales
    ; Números reales

  • Dibuja segmentos de longitud: Números reales
    ; Números reales
    ; la tercera parte de Números reales

  • Dibuja en la recta real el punto que corresponda a Números reales
    , Números reales
    , Números reales
    , Números reales
    , Números reales
    , Números reales

  • Ordena de menor a mayor: Números reales
    ; Números reales
    ; Números reales
    ; Números reales
    ; - 3,4.

  • Sería posible que si sumáramos dos números irracionales nos diera como resultado un número racional? En caso afirmativo pon un ejemplo.

  • Representa en la recta los intervalos siguientes y exprésalos como conjunto.

  • [ 4, + * ); ( - * , - 2); [ 1, 3 ]; ( 2, 5 ); [ 0, 3 ]; ( 5, + * ); [ 2, 2 ); ( - *, 0 ]

  • Escribe como intervalos y representa los siguientes conjuntos:

  • I 1 = { x * * / x > 7 }; I 2 = { x * * / x * - 5 }

    I 3 = { x * * / Números reales
    } I 4 = { x * * / 0 * x * 4 }

  • Resuelve las siguientes inecuaciones i expresa las soluciones en forma de intervalo si es posible.

  • a) - 2 x + 4 > 8; b) 5 - 8 x > - 3; c) 3 x + 2 - 4 x * 8 x + 3

    d) x - 4 * 6 x + 11 e) Números reales

  • Encuentra el valor de m para que la inecuación Números reales
    tenga por solución el intervalo Números reales
    y que m > 3.

  • Resuelve las inecuaciones:

  • a) x 2 - x + 3 < 0 b) x 2 - x + 3 > 0 c) x 2 - 7 x + 6 > 0

    d) x 2 - 12 x + 35 * 0 e) x 2 - 5 x + 4 * 0

  • Calcula:

  • a) ( 5 3 ) - 1 ; b) ( 3 - 2 ) 3 ; c) Números reales

    d) Números reales
    e) Números reales

  • Simplifica: a) Números reales
    ; b) Números reales
    ;

  • Números reales
    ; d) Números reales

  • Expresa en forma de una sola potencia de base un número entero las siguientes expresiones:

  • a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales

  • Calcula x en las igualdades siguientes:

  • a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales
    d) Números reales

  • Expresa como raíces les potencias:

  • a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales

  • Expresa como potencia de exponente fraccionario: a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales

  • Calcula :

  • a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales
    d) Números reales
    e) Números reales
    f) Números reales
    g) Números reales

  • Calcula: a) Números reales
    b) Números reales

  • Calcula:

  • a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales

    d) Números reales
    e) Números reales

  • Calcula: a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales

  • d) Números reales
    e) Números reales
    f) Números reales
    g) Números reales

    h) Números reales
    i) Números reales
    j) Números reales

  • Ordena los números siguientes sin utilizar la calculadora: Números reales

  • Escribe en una sola raíz: a) Números reales
    b) Números reales

  • Calcula y da el resultado en forma de potencia de base un número entero: a) Números reales
    b) Números reales

  • Opera y simplifica: Números reales

  • Simplifica: a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales

  • Calcula x en las igualdades siguiente: a) Números reales
    b) Números reales

  • Racionaliza las expresiones siguientes:

  • a) Números reales
    b) Números reales
    c) Números reales
    d) Números reales

    e) Números reales
    f) Números reales
    g) Números reales
    h) Números reales

    i) Números reales
    j) Números reales
    k) Números reales
    l) Números reales

    m) Números reales
    n) Números reales
    p) Números reales

  • Opera: Números reales

  • Racionaliza y calcula después la expresión decimal de: Números reales

  • Siendo A = { x * * / x < 5 } y B = { x * * / x * 0 } calcula: A * B; A * B; A - B; Números reales
    ; Números reales
    .

  • Siendo A = { x * * / - 4 < x < 5 } y B = { x * * / x < 0 } calcula: A * B; A * B; A - B; Números reales
    - B;

  • Números reales
    - A.

  • Siendo A = ( - *, 5 ) y B = ( - 2, 8 ] calcula: A * B; A * B

  • Siendo A = ( 2, 5 ) y B = ( 3, 8 ] calcula: A * B; A * B

  • Se llama entorno real de centro a y radio r > 0 al intervalo abierto:

    E r ( a ) = { x * * / a - r < x < a + r } = ( a - r, a + r )

    Así el entorno real de centro 3 y radio 4 es: E 4 ( 3 ) = { x * * / 3 - 4 < x < 3 + 4 } = ( -1, 7 )

  • El intervalo ( - 2, 4 ) es un entorno. Calcula su centro y su radio.

  • Escribe en forma de intervalo las siguientes expresiones:

  • a) E 0,5 ( 4 ); b) E 3 ( 2 ) * E 2 ( 4 ) c) E 3 ( 2 ) * E 2 ( 4 ).

  • Completa con los signos * o * los puntos suspensivos en las expresiones:

  • a) - 2 ....... E 3 ( - 5 ) b) - 6 ....... E 3 ( - 5 ) c) - 8 ....... E 3 ( - 5 ) d) 0 ....... E 3 ( - 5 )

    Se tiene que el conjunto A definido como valor absoluto es un entorno:

    Números reales

  • Expresa mediante un conjunto con valor absoluto los entornos: E 2 ( 7 ); E 7 ( 2 )

  • Dados los conjuntos A = { x * * / 1 * x * 6 } y B = { x * * / Números reales
    x } Calcula A * B; A * B.

  • Completa:

  • Número

    Aproximación

    Redondeo

    Error absoluto

    Error relativo

    E. relativo en %

    52,451

    2

    23,2372

    3

    54,887699

    4

    21,099

    2

  • Al medir una longitud de 30 km. Se ha producido un error absoluto de 30 m; y al medir una longitud de 10 m. Se ha producido un error absoluto de 1mm. ¿En cuál de las dos medidas se ha producido mas error relativo?

  • Encuentra la aproximación de Números reales
    con una cota de error absoluto de 0,00001. Ídem para Números reales
    con una cota de error absoluto de 10 - 6.

  • Redondea la expresión decimal de Números reales
    para que la cota de error absoluto sea de 0,0001. Ídem Números reales
    con una cota de 0,0001. ¿Cuál es la cota de error de Números reales
    calculado con las aproximaciones anteriores?

  • Si quisiéramos la expresión decimal de Números reales
    con una cota de error de 0,00001. ¿Qué cota de error tendrían que tener Números reales
    .

  • Si quisiéramos la expresión decimal de Números reales
    con una cota de error de 0,001. ¿Qué cota de error tendrían que tener Números reales
    .

  • Calcula si es posible: Números reales

  • Simplifica: Números reales

  • Aproxima, por truncamiento hasta el orden que se indica:

  • 0,9876 a las milésimas. Números reales
    a las diezmilésimas. Números reales
    a las décimas.

    12,5483 a las décimas. Números reales
    a las centésimas. - 0,999 a las unidades.

    Números reales
    a las centésimas.

  • Aproxima, por redondeo hasta el orden que se indica:

  • 0,9876 a las milésimas. Números reales
    a las diezmilésimas. Números reales
    a las décimas.

    12,5483 a las décimas. Números reales
    a las centésimas. - 0,999 a las unidades.

    Números reales
    a las centésimas.

  • Una aproximación por truncamiento del número 4,56789 es 4,56 Calcula el error absoluto y el error relativo.

  • Una aproximación por truncamiento del número 4,56789···· es 4,56 Calcula la cota del error absoluto

  • Escribe la aproximación por truncamiento y por redondeo hasta las milésimas de Números reales
    e indica la cota del error absoluto que has cometido.

  • Indica en cuales de las siguientes aproximaciones del número de oro Números reales
    se ha redondeado y encuentra una cota del error absoluto: 1; 1,61; 1,62; 1,618; 1,7.

  • Expresa en notación científica:

  • 0,000043 1432600000000 0,00054

    El número de Avogadro 602 204 500 000 000 000 000 000 mol - 1.

    La masa de la Tierra 5 976 300 000 000 000 000 000.

    La carga del electrón 0, 000 000 000 000 000 000 160 218 92 C.

    La masa de un protón 0, 000 000 000 000 000 000 000 000 016 726 485 kg

  • Haz con la calculadora las siguientes operaciones en notación científica:

  • a) 1,254 · 10 - 2 - 5,1 · 10 - 4 b) 2,5 · 10 3 + 2,3 · 10 - 3

    c) ( 8,14 · 10 - 5 ) ( - 4 · 10 3 ) d) ( 6,5 · 10 7 - 3,2 · 10 5 ) : ( 1,28 · 10 - 2 )

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