Números complejos

Unidad imaginaria. Forma polar y binómica. Módulo, argumento. Euler

  • Enviado por: Mcgonnagal
  • Idioma: castellano
  • País: España España
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TRABAJO SOBRE NUMEROS COMPLEJOS

1. INTRODUCCIÓN

El objetivo de este trabajo es conseguir inventar una forma para sumar dos números complejos en forma polar sin la necesidad de tener que pasarlos primero a forma binomica.

Basaré el trabajo en una historia irreal que ayudara a ir poco a poco introduciendo al lector en el problema matemático.

Esta historia comienza en el año 1720 donde existían países cuya única tarea era la de dedicarse a una rama de la ciencia, Biolandia, Quimilandia, Tecnolandia… pero sin duda el país mas poderoso de todos era Matelandia.

Un país casi independiente de los demás y que sabía ingeniárselas siempre para que tarde o temprano pudieran resolver los problemas que les presentaban los otros países a fin de retarlo.

Nunca conseguían vencer a Matelandia, Infinito, su rey, siempre se basaba de las mas complejas herramientas para resolver cualquier problema y además resolvía los de los demás países, así conseguía ganarse cada vez mas su permanencia en el trono. Quimilandia día a día necesitaba mas de sus habitantes, todos números, y Tecnolandia tampoco sobrevivía demasiado bien sin la continua cooperación de estos habitantes.

El único país que se resistía por el momento era Biolandia, tenía ingenieros bastantes inteligentes, lo que se podía comprobar por los complejos problemas que le daban al rey Infinito para intentar destronarle.

Los habitantes lamentaban el estado del país que a causa del orgullo de su rey, debían de someterse a algunas propiedades matemáticas que obligaban a los números a comportarse de una determinada manera.

Uno de estos casos no era exactamente una propiedad pero si una ley un poco absurda y sin motivo alguno.

Estos ingenieros sin pensarlo dos veces aprovecharían esta gran oportunidad, ya que si ellos conseguían resolver el problema que planteaba el rey en su famosa ley, todos los números complejos agradecidos, que no serían pocos, les ayudarían a destronar a Infinito y por lo tanto conseguir Biolandia el poder de este gran imperio.

Esta historia relata este problema que casi hizo derrotó al imperio más grande de todo el mundo.

La ley que tanto molestó al pueblo era esta.

“Ningún numero complejo podrá casarse con otro a menos que pueda sumarse con su pareja sin tener que pasar cada uno de los números a forma binómica.”

Los ingenieros se pusieron manos a la obra y comenzaron a investigar.

Lo primero que necesitaban era encontrar una pareja que estuviera enamorada y que su amor estuviera siendo frustrado por esta ley, necesitaban una pareja joven y llena de ilusión por ver su amor dando fruto en el matrimonio. Era difícil, la edad ideal seria 2, claro nosotros diríamos que con esa edad somos bebés pero recordemos que estamos hablando de números y el número 2 tenía además de cierta clase, el poder de ser primo lo que le colocaba en un puesto alto en la sociedad y… una edad perfecta para casarse. ¡Exacto! El 2…. Que lejos llegarían sin imaginárselo…

Buscaron entre los números 2 de este país y tras recorrer toda la provincia de los números complejos encontraron a la pareja ideal. Eran dos jóvenes enamorados y además de dos familias bastante poderosas, capaces de arrastrar a una provincia si surgía la revolución, al fin y al cabo su objetivo.

230º y 290º serán a partir de ahora los fieles cómplices de nuestros ingenieros que no descansarán hasta derrotar al rey.

Para comenzar sabían que necesitaban una base sólida, utilizaron herramientas que sabían manejar muy bien.

Querían saber cual debería de ser el resultado, aunque no lo admitiera el rey por haber utilizado un método que tajantemente prohíbe en su ley, pero que les aseguraban que estaban ante un triunfo si conseguían mediante un método diferente el mismo resultado.

Comenzaron a sacar pergaminos y plumas y comenzaron a recopilar las fórmulas que utilizarían para hallar el resultado inicial.

Números complejos
r = Números complejos
= arctg Números complejos

Números complejos
Números complejos

Números complejos
Números complejos

No eran mas que simples herramientas y debían comenzar a utilizarlas ya y bien porque si pasaba demasiado tiempo podría haberse suavizado el enojo contra la dichosa ley y los números no lucharían si se lo pidieran por destronar a Infinito.

Calcularon……

230º

Números complejos
Números complejos

Números complejos
Números complejos
230º = Números complejos

290º

Números complejos
Números complejos

Números complejos
Números complejos
290º = Números complejos
2i

Números complejos
+ Números complejos
= Números complejos

r=Números complejos
Números complejos
r= 3'4

Números complejos
3'460º

Números complejos
= 60º

3'460º Este era el resultado inicial. A el deberían llegar por otro método que empezaban a estudiar.

Sabían que no conseguirían nada si se quedaban mirando la solución mas corta y debían ponerse a trabajar para intentar resolver un problema que después de muchas noches en vela les daría otras tantas de diversión.

Pidieron la ayuda de Euler, un matemático del mundo de los humanos que sin duda era el mejor que se podía encontrar.

Euler hizo grandes avances en la historia de las matemáticas y además del trabajo que aquí se cita, faltaría indicar que Euler ayudó a Biolandia a destronar al rey Infinito.

Los trabajos científicos de Euler abarcan prácticamente todas las matemáticas contemporáneas a él. En todas las ramas de las matemáticas hizo descubrimientos notables, que lo situaron en el primer lugar en el mundo. Euler fue capaz de comprender las matemáticas como un todo único, aunque enorme en el confluían un montón de ramas importantes y ante todo el Análisis. Laplace indicó que Euler fue el maestro común de todos los matemáticos de la segunda mitad del siglo XVIII.

La actividad de Euler, en lo fundamental tuvo una orientación algorítmica. A la construcción de la teoría general llegaba partiendo de problemas concretos, los cuales tenían importancia práctica. En su herencia científica la práctica tiene un peso específico excepcionalmente grande. Aproximadamente el 40% de sus trabajos están dedicados a la matemática aplicada, la física, la mecánica, la hidromecánica, la teoría de la elasticidad, la balística, la construcción naval, la teoría de máquinas, la óptica y otras. Los rasgos algorítmicos son propios aún de sus trabajos de apariencia puramente teórica. Particularmente esto se advierte en los trabajos sobre análisis infinitesimal, el cual en esencia se construye como el aparato matemático de la mecánica clásica y la física.

Desde 1727 hasta 1783 la pluma de Euler no había cesado de extender las fronteras de prácticamente todas las ramas tanto e la matemática pura como aplicada, desde los niveles más elementales a los más avanzados. Además, Euler escribía casi siempre utilizando el lenguaje y las notaciones que aún usamos hoy, pues ningún otro matemático contribuyó en tal medida como él a dar su forma actual a la matemática que hoy llamamos clásica, siendo el más feliz inventor de notaciones de toda la historia de la matemática.

En una carta a Goldbach de 1731, Euler vuelve a utilizar su letra e para "el número cuyo logaritmo hiperbólico es igual a 1"; esta notación apareció impresa por primera vez en la Mechanica de Euler, publicada en 1736, obra en la que se presenta por primera vez la mecánica newtoniana en forma analítica. Este símbolo, que quizá le vino sugerido a Euler por la primera letra de la palabra "exponencial", no tardó en ser admitido universalmente.

Fue, sin embargo, la adopción del símbolo Números complejos
por Euler, en 1737 en primer lugar, y después en sus popularísimos textos, lo que extendió su uso universalmente. El símbolo i para la raíz cuadrada de -1 es otra de las notaciones introducidas por Euler por primera vez, aunque en este caso lo adoptó hacia finales de su vida, en 1777. Probablemente este retraso se deba a que en sus obras anteriores había utilizado la letra i de una manera bastante sistemática para representar un "número infinito", en un sentido análogo pero no análogo al del i de Wallis.

De hecho Euler utilizó i para la raíz cuadrada de -1 en un manuscrito fechado en 1777, tal manuscrito no se publicó hasta 794, de manera que fue la adopción de dicho símbolo por Gauss en su obra clásica Disuisitiones arithmeticae, de 1808, la que le aseguró un puesto definitivo en la historia de las notaciones matemáticas. Los tres símbolos e, Números complejos
e i de los que Euler fue en gran medida responsable, como hemos visto se relacionan con los dos enteros más importantes, 0 y 1, por medio de la famosa igualdad

eNúmeros complejos
i + 1= 0

Se vieron impresionados ante tal humano, pero necesitaban de su ayuda, y se la agradecerían mucho…

Recopilaron una serie de fórmulas que pudieron relacionar con el problema

Números complejos

Teniendo en cuenta que:

Números complejos
Números complejos

Números complejos

Números complejos

Números complejos

Números complejos

Números complejos
Números complejos

¡Este era el resultado que ellos querían!!!!!!!

Todo iba bien, ahora solo necesitaban averiguar  y la verdad, parece que con la ayuda de Euler y el cerebro de estos ingenieros todo iba a resultar bien, Biolandia conseguiría el trono del rey Infinito y los números complejos les ayudarían a hacerlo.

Sabiendo que:

Números complejos
Números complejos

Como Números complejos
podemos eliminar ambos elementos de la ecuación.

Números complejos

Y aplicamos a la fórmula los datos de la pareja enamorada, que veía cada vez más cercano el día de su boda.

Números complejos
Números complejos
Números complejos

Números complejos

Lo han conseguido!!!!!!!!!

3'460º

Ya tenían los dos valores que necesitaban,  y r, la pareja 230º y 290º podrían casarse así como todas aquellas parejas de números complejos que estuvieran en forma polar porque no tendrían que pasarse a forma binómico y no infringirían la ley de Infinito

Infinito!!! Ahora perdería el trono… los ingenieros agradecieron a Euler su colaboración y lo nombraron el mejor matemático del mundo.

Infinito debía admitir que había perdido esta batalla matemática y que los ingenieros de Biolandia habían hecho un gran trabajo, los números de Matelandia tomaron el poder de ese gran imperio y se fusionó con Biolandia formando uno de los imperios más grandes que la historia de la ciencia ha visto hasta el momento.

¿Retará algún otro ingeniero ahora el poder de Biomatelandia? O por el contrario pensarán que todo está resuelto… Por el momento esperarían a que la ayuda de Euler no estuviera cerca de este país y que esos ingenieros tan inteligentes perdieran poco a poco ese afan de superación que siempre les caracterizó.

¡Que ingenuos! Los problemas matematicos nunca dejan de aparecer y cada vez requieren unos cerebros mas astutos pero parece que al de nuestros ingenieros todavía le queda un buen margen y solucionarán muchos mas problemas que se les planteen.

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